2019 2020高中数学第二章数列22等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式
目标定位
重点难点
1.通过实例，理解等差数列 重点：理解等差数列的概
的概念，能根据等差数列的 念，能根据等差数列的定义
定义判断一个数列是否是等 判断一个数列是否是等差数
差数列．
列．
2．掌握等差数列的通项公式 难点：等差数列通项公式的
及变形公式.
应用.
【答案】C
【解析】令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，∴bn ＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2 －a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.故选C．
4．(2019年贵州遵义期末)已知在数列{an}中，a1＝－1，an ＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________.
1．已知数列 3,9,15，…， 3(2n－1)，…，那么 81是它的
()
A．第12项
B．第13项
C．第14项
D．第15项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】C
2．若数列 {an}的通项公式为 an＝－ n＋5，则此数列是 ()
A．公差为－1的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列 【答案】A
2＋1， 2－1，
解得?????bd1＝＝－3＋1.
2，
∴b11＝b1＋10d＝ 2－7.
∴a 11＝b111＝
21－7＝－74－7
2 .
【方法总结】 1.在解题过程中要注意到
a
1－
n＋1
a1n＝－
1，即
a
n＋
1＝1－a na
，此类递推公式的数列可转化为等差数列，进而求
n
出数列的通项公式．
2．在本章的许多问题中，需用构造法，构造一个新数列，
【答案】 －1n
【解析】
∵a
n＋1·a n＝a
n＋1－a
n，∴a
n1＋1－a1n＝－
1.∴
? ?
1
? ?
?a n?
是以
－1 为首项，－ 1 为公差的等差数列．∴ a1n＝－1＋(n－1)×(－
1)＝－n，∴a n＝－1n.
【分析】???a1n???成等差数列，设其公差为 d，首项为a11，然后 由通项公式求得 d 和a11，代入通项公式可求 a11.
【解析】设 bn＝a1n，{bn}的公差为 d. 由已知得 b3＝a13＝ 21－1＝ 2＋1，
b5＝a15＝ 21＋1＝ 2－1.
∴?????bb11＋＋42dd＝＝
【解题探究】运用等差数列的通项公式及解方程组的方法 求解．
【解析】由 a7＝a3＋(7－3)d，
即－74＝54＋4d，解得 d＝－34.
∴a
15＝a
3＋(15－3)
d＝54＋12×???－34???＝－
31 4.
【特别提醒】 解决等差数列通项公式问题的方法：
(1)应用等差数列的通项公式求 a1 和 d，运用了方程的思 想．一般地，可由 am＝a，an＝b，
【方法规律】 定义法是判定 (或证明)数列{an}是等差数列 的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数 列；当a n＋ 1－a n不是常数，是与 n有关的代数式时，数列 {a n}不 是等差数列．
已知等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，数列 {bn}中，bn＝3an＋4，问：数列 {bn}是否为等差数列？并说明 理由．
B．1
C．3
D．4
【答案】D
【解析】 ∵三个数2a, 3，a －6成等差数列， ∴2a ＋a －6＝
6，解得a＝4.故选D．
3 ． 若 {an} 是 公 差为 1 的 等 差数列 ， 则 {a2n － 1 ＋ 2a2n} 是 ()
A．公差为3的等差数列
B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列
D．公差为9的等差数列
得???
??
a a
1＋?m－1 ?d＝a ， 1＋?n－1?d＝b，
求出 a1 和 d，从而确定通项公式；
(2)若已知等差数列中的任意两项 am，an，求通项公式或其 他项时，运用 am＝an＋(m－n)d 则较为简捷．
设等差数列{an}的公差为 d，且 a1a2＝35，2a4 －a6＝7，则 d＝( )
【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可 用等差中项来证明．
【解析】 ∵ 1a ，1b，1c 成等差数列，
∴2b＝1a＋1c，则 b(a＋c)＝2ac .
∴b＋a c＋a
＋c b＝?b＋c?c＋ac?a＋b?a
＝b?a
＋c?＋a ac
2＋c2
＝2a12cb＋?aa＋2＋c?c2＝2?ab＋c?，
【解析】数列{bn}是等差数列． 理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. ∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列．
等差数列的通项公式
【例 2】 已知数列{an}为等差数列且 a3＝54，a7＝－74，求 a15 的值．
则a7＝( )
A．7
B．10
C．20
D．30
【答案】C
【解析】 设等差数列 {an}的公差为d，a3＋a7－a10＝－1， a11－a4＝21，∴a1－d＝－1,7d＝21，解得d＝3，a1＝2.则a7＝2 ＋6×3＝20.故选C．
2．如果三个数2a,3，a－6成等差数列，则a的值为( )
A．－1
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】∵等差数列 {an}的公差为 d，且 a1a2＝35,2a4－a6 ＝7，∴?????a21??aa11＋＋3dd??＝－3?5a， 1＋5d?＝7， 解得 a1＝5，d＝2.故选 C．
等差数列的证明
【例 3】 已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，c＋b a， a＋c b也成等差数列．
3．等差数列 1，－1，－3，－5，…，－ 89，它的项数是
()
A．92
B．47
C．46
D．45
【答案】C
4 ． 在 等 差 数 列 {an} 中 ， a1 ＋ a5 ＝ 8 ， a4 ＝ 7 ， 则 a5 ＝ ________.
【答案】10
等差数列的定义及判定
【例1】 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中an＝3n＋2； (2)在数列{an}中an＝n2＋n. 【 解 析 】(1)an ＋ 1 － an ＝ 3(n ＋ 1) ＋ 2 － (3n ＋ 2) ＝ 3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)a n ＋ 1 －a n ＝ (n ＋1)2 ＋ (n ＋1) － (n2 ＋n) ＝ 2n ＋2 ，不是常 数，所以这个数列不是等差数列．
即b＋a c，c＋b a，a＋c b也成等差数列．
【方法规律】证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1) 定义法，即证 a n＋ 1－a n＝常数； (2)利用等差中项的概念来进行 判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
若b＋1 c，a＋1 c，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2， c2 成等差数列．
【证明】由已知得 b＋1 c＋a＋1 b＝a＋2 c， 即?b2＋b＋c?a?a＋＋cb?＝c＋2 a， 即(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)， ∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2 成等差数列．
构造法解题
【示例】数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若 a3 ＝ 2－1，a5＝ 2＋1，求 a11.
2．在一个等差数列中，从第 2项起，每一项 (有穷数列的 末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即 2an＝an－1 ＋an＋1.实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项 的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m＜n)．
1．在等差数列 {an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，
1．等差数列的定义
如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于 _同__一__个___常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的___公__差_____，通常用字母____d____表示．
2．等差中项
如果三个数 a，A，b成等差数列，那么 ____A____叫做a与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是___A_＝__a_＋_2_b____．
3．等差数列的通项公式 以a1为首项， d为公差的等差数列 {an}的通项公式为 an＝ _a_1_＋__(n_－__1_)_d___. 特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中 任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．
(2)等差数列的通项公式可推广为 an＝am＋(n－m)d(n≥m， m，n∈N*)．由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其 他的任意一项．
使新数列成等差数列，从而使原问题获得解决．
1．对于等差数列定义的理解要注意： (1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项 的差”； (3)“同一个常数 d”，d是等差数列的公差，即 d＝a n－a n－ 1，d可以为零，当 d＝0时，等差数列为常数列，也就是说，常 数列是特殊的等差数列； (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重 要依据，即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)? {an}是等差数列．