2014届高三北师大版数学(理)一轮复习小题专项集训(6)三角函数的概念、图象和性质]
2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：2.3三角函数的性质
⑥y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c. 这类问题的一般方法是：
设 t＝sinx＋cosx，t∈[－ 2， 2]，则 sinxcosx＝t2－2 1转化为求 二次函数在[－ 2， 2]上的最值问题．
3．三角函数的周期性 求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且 角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周 期来求解． y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0) 的最小正周期分别为 T＝|2ωπ|，T＝|2ωπ|，T＝|ωπ|.
所以原函数定义域为： {x|0＜x＜π2或 π≤x≤4}(如图)．
题型二 三角函数的单调性 例 2(1)求函数 y＝sin(π3－2x)的单调递减区间； (2)求 y＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间．
解析 (1)由已知函数得 y＝－sin(2x－π3)，欲求函数的单调递减 区间，只需求 y＝sin(2x－π3)的单调递增区间．
若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为 y ＝－Asin(－ωx－φ)．则 y＝－Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间；
减区间为原函数的增区间，如 y＝sin(π4－x)＝－sin(x－π4)，解 2kπ－π2≤x －π4≤2kπ＋π2⇒2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π为原函数的减区间．
点评 比较三角函数值大小的一般步骤是：(1)先判断正负；(2) 不同名函数化为同名函数；(3)自变量不在同一单调区间的化为同一 单调区间.
变式迁移 2 求函数 y＝log 1 (sin2x)的单调性．
2
北师大版高三数学(理)一轮专项复习《三角函数与解三角形》课件
例3设函数 f(x)=sin
���� 3
-
π 6
-2cos2π6������.
(1)求y=f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=2对称,当x∈[0,1]时,
求函数y=g(x)的最大值.
专项二
高考中的三角函数与解三角形
考情分析
典例剖析
专题总结
函数式,化简中常用到辅助角公式asin x+bcos x= ������2 + ������2 sin(x+φ).
例2(2015河北保定一模)已知函数 f(x)=sin xcos
������-
π 6
+ 12cos 2x.
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)已知△ABC的面积为 3 ,且角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
+
1 2
cos2������
+
1 4
=12sin
2������
+
π 6
+ 14.
∴函数 f(x)的最大值为34.
高考中的三角函数与解三角形
专项二
考情分析
典例剖析
专题总结
-9-
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)由题意 f(A)=12sin
2������
+
π 6
+
1 4
=
12,化简得 sin
2������
∴c= 5a,由正弦定理得 sin C= 5sin A,
∴sin A= 15sin C= 1100.
∵S△ABC=12absin C,且 S△ABC= 22sin Asin B,
高考数学北师大理一轮复习 第章 三角函数解三角形 三角函数的图像与性质 文档
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0).余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图像定义域 R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1] [－1,1] R单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； 在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增； 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 在(－π2＋k π，π2＋k π)(k∈Z )上递增最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0)(k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数.( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数.( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1.(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A.在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B.在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C.在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D.在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案 B2.函数y ＝tan2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 3.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C.2 D.3答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数.由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3， ∴ω＝32.4.(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A.f (2)<f (－2)<f (0) B.f (0)<f (2)<f (－2) C.f (－2)<f (0)<f (2) D.f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)， 又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6).于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.－1 B.－22C.22D.0答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，5π6B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z )(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 (3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为______________________________.答案 (1)B (2)B (3)1－22解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z ).故选B.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解.(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域.(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________.(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_____________________________________. 答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. (2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________.(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94D.⎣⎡⎦⎤32，74答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)D 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.题型三 三角函数的周期性、对称性命题点1 周期性例3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图像知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像( ) A.关于直线x ＝π12对称B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称(2)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________. 答案 (1)B (2)－π6解析 (1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图像向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π＜π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误.(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)图像的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案 B解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N ＋，∴ωmin ＝2，故选B.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义.②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________.(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A.－ 3B.－33C. 2D.22答案 (1)2或－2 (2)B 解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴.∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图像的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.4.三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin2x ＋cos2x D.y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为( ) A.－1 B.3 C.－1或3D.－3思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图像先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间；(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可.解析 (1)选项A 中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意. (2)由图像知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)A (2)D (3)C温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想；(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与对称轴的交点是最值点.[方法与技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质.4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解. [失误与防范]1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数.3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A.f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增 B.f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减 C.f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 D.f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cosπx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B.2.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A.2－ 3B.0C.－1D.－1－ 3答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值. ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13B.1C.53D.2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.4.关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图像的一个对称中心 D.最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误； 在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误； 最小正周期为π2，D 错误.∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0， ∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图像的一个对称中心，故选C. 5.函数y ＝cos2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A.[0,1]B.[12，1]C.[－1,2]D.[0,2]答案 A 解析y ＝cos2x ＋sin 2x ＝cos2x ＋1－cos2x2＝1＋cos2x 2.∵cos2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1].6.函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为____________________.答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得，2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z ).所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z ).7.已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1 (A >0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为3，f (x )的图像与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝________. 答案 4030解析 f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知T 2＝2，得T ＝4＝2π2ω，ω＝π4，由f (x )的最大值为3得A ＝2.又f (x )的图像过点(0,2)，∴cos2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2 (k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2. ∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2，又f (x )的周期为4,2015＝4×503＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝503×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4030.8.设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________. 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.9.已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10.(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像.若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.[－π8，3π8]B.[π8，9π8] C.[－3π8，π8]D.[π8，5π8] 答案 C解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2， 所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3答案 B解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________. 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图像过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15.已知a >0，函数f (x )＝－2a ·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间. 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]. ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
高三北师大版数学(理)一轮复习小题专项集训(6)三角函数的概念、图象和性质
小题专项集训(六）三角函数的概念、图象与性质(时间：40分钟满分：75分）一、选择题（每小题5分，共50分)1．sin 600°的值为（)．A.错误!B．－错误!C．－错误! D.错误!解析sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°＝－错误!。
答案B2．若角α的终边经过点P(1，－2）,则tan 2α的值为（)．A．－错误!B。
错误!C。
错误!D．－错误!解析tan α＝错误!＝－2，tan 2α＝错误!＝错误!＝错误!。
答案B3．(2013·福州质检）已知cos错误!＝错误!，则sin错误!的值等于( ）．A。
错误!B．－错误! C.错误!D．±错误!解析sin错误!＝sin错误!＝cos错误!＝错误!.答案A4．(2012·洛阳统考）函数y＝2cos x（sin x＋cos x)的最大值和最小正周期分别是（)．A．2，π B。
错误!＋1，πC．2，2π D.错误!＋1,2π解析y＝2cos x sin x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝错误!sin错误!＋1,所以当2x＋错误!＝2kπ＋错误!(k∈Z）,即x＝kπ＋错误!(k∈Z）时取得最大值错误!＋1，最小正周期T＝错误!＝π。
答案B5．(2012·北京东城区综合练习)将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平移错误!个单位长度，所得图象的函数解析式是( )．A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝sin错误!D．y＝sin错误!解析将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），得到y＝sin 错误!x,再把所得各点向右平移错误!个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝sin 12错误!＝sin错误!.6.（2012·孝感统考）已知f(x)＝2sin（ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为( ）．A．f(x)＝2sin错误!B．f（x）＝2sin错误!C．f（x）＝2sin错误!D．f(x)＝2sin错误!解析由函数的部分图象可知错误!T＝错误!－错误!,则T＝错误!，结合选项知ω〉0，故ω＝错误!＝错误!，排除选项C，D；又因为函数图象过点错误!，代入验证可知只有选项B满足条件．答案B7．(2013·衡阳六校联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝错误!对称,则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( ）．A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝sin错误!D．y＝sin｜x|解析注意到函数y＝sin错误!的最小正周期T＝错误!＝π,当x＝错误!时，y＝sin错误!＝1，因此该函数同时具有性质①②。
北师大版高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质课件
B．－2π，－53π和π3，2π D．π3，2π
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答案
解析 ∈Z)，
令 z＝12x＋π3，函数 y＝sinz 的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋2π(k
由 2kπ－π2≤12x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 4kπ－53π≤x≤4kπ＋π3(k∈Z)，又
因为 x∈[－2π，2π]，
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1．函数 y＝tanπ4－x的定义域是(
)
A.x|x≠π4
B.x|x≠－π4
C.x|x≠kπ＋π4，k∈Z
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z
解析 y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，由 x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠kπ＋34π， k∈Z.故选 D.
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解析 答案
2．(2019·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是 π 且在区间π2，π上 是增函数的是( )
y＝tanx
对称 对 中心
19 __(k_π_，__0_)_，__k_∈__Z___
20 _k_π_＋__π2_，__0__，__k∈__Z_ 21 __k2π_，__0__，__k_∈__Z__
称 性 对称 22 __直__线__x_＝__k_π_＋__π2_，_
轴 ___k_∈__Z___
23 __直__线___x＝ ___kπ_，____ ___k_∈__Z_________
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3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asinωx 或 y＝Atanωx 的形式，偶 函数一般可化为 y＝Acosωx＋b 的形式．
4．若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ＝π2＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z)．
【优化方案】2014届高考数学(理科-大纲版)一轮复习配套课程：4.5-三角函数性质
【解】 (1)要使原函数有意义，必须有 2sin x－1＞0， 即 sin x＞12. 作出单位圆中的三角函数线，由图知，原函数的定义域为(2kπ ＋π6，2kπ＋56π)(k∈Z)． 又∵0＜2sin x－1≤1. ∴y＝lg(2sin x－1)≤0，即值域为(－∞，0]．
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(2)要使函数有意义 sin x＋1≠0，∴sin x≠－1， ∴x≠2kπ－π2，k∈Z. ∴原函数的定义域为{x|x≠2kπ－π2，k∈Z}．
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例3 已知函数 f(x)＝sinx2cosx2＋cos2x2－2. (1)将函数 f(x)化简成 Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0,2π)) 的形式，并指出 f(x)的周期； (2)写出 f(x)的单调区间． 【思路分析】 首先化简函数 f(x)为 asin x＋bcos x，再提取
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法二：y＝ 2 sin(2x－π4)的对称轴为 2x－π4＝kπ＋π2， ∴x＝k2π＋38π(k∈Z)． 在 y 轴两侧，与 y 轴最近的两条对称轴为 x＝38π 或 x＝－π8， ∴向右平移π8个单位，对称轴 x＝－π8移到 y 轴位置，成为偶函 数 y＝－ 2cos 2x.
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考点 3 函数的周期性及单调性 求三角函数的周期，一般通过恒等变形为 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y ＝Atan(ωx＋φ))借用公式 T＝|2ωπ|(T＝|ωπ|)．但要注意定义域，否 则，通过周期定义 f(x＋T)＝f(x)结合图象来求． 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性，主要思想是将 ωx＋φ 视为一 个角度 X，利用 y＝Asin X 的单调性求解 x 的区间．
kωπ－ωφ，0(k∈Z)．
而 y＝Atan(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(kωπ－ωφ，0)(k∈Z)．
北京市高三数学一轮复习 试题选编8三角函数的图象与性
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的图象与性质一、选择题 1 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+【答案】A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A ．2 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）A ．π8B ．π4 C ．π2D ．π【答案】B ．3 ．（2013届北京大兴区一模理科）函数21cos ()xf x -=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增【答案】D4 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-【答案】 C ．5 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）函数231sin 232y x x =+的最小正周期等于 （ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π【答案】A 【解析】11cos 23=sin 2322x y x ++13=sin 22sin(2)23x x x π=+,所以函数的周期222T πππω===,选A ． 6 ．（2013北京高考数学（理））“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的” （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案. 7 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+ D ．72sin()216x y π=+【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图像与性质
.
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9- 2 的定义域为
.
对点训练 1(1)函数
π
4
π
2
答案:(1) ∣ ≠ + π, 且 ≠ + π, ∈
(2)
π
−3, − 2
∪
π
0, 2
解析:(1)要使函数有意义,则
π
4
π
2
≠ + π,∈Z,
tan-1 ≠ 0,
即
≠ + π,∈Z, ≠ + π,∈Z.
π 5π
为4 , 4 ,再结合正弦函数、余弦函数的周期
π
2π + 4
, 2π +
5π
4
(k∈Z).
突破技巧1.三角函数定义域的求法
将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图像求解.
1
y=tan -1的定义域为
π
2
π
4
π
2
故函数的定义域为 ∣ ≠ + π, 且 ≠ + π, ∈ .
sin2 > 0,
(2)由题意可知
9- 2 ≥ 0,
得
π < < π +
π
,∈Z,
2
-3 ≤ ≤ 3,
π
解得-3≤x<- 或
2
π
0<x< .
2
故函数 y=lg(sin 2x)+
9- 2 的定义域为
3π
, −1
2
,(2π,0)
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小题专项集训(六) 三角函数的概念、图象与性质(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．sin 600°的值为( )．A.32B ．－32 C ．－12D.12解析 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°＝－32. 答案 B2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为( )．A ．－43B.43C.34D ．－34解析 tan α＝－21＝－2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－2)1－4＝43.答案 B3．(2013·福州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值等于( )．A.23B ．－23C.53D ．±53解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23. 答案 A4．(2012·洛阳统考)函数y ＝2cos x (sin x ＋cos x )的最大值和最小正周期分别是( )．A ．2，π B.2＋1，π C ．2,2πD.2＋1,2π解析 y ＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时取得最大值2＋1，最小正周期T＝2π2＝π. 答案 B5．(2012·北京东城区综合练习)将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平移π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平移π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20.答案 B6.(2012·孝感统考)已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为 ( )． A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π解析 由函数的部分图象可知34T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，则T ＝4π3，结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32，排除选项C ，D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，2，代入验证可知只有选项B 满足条件． 答案 B7．(2013·衡阳六校联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |解析 注意到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②. 答案 B8．(2013·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B. 答案 B9．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C. 答案 C10．(2013·湖北八校联考)如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω＝ ( )． A ．8B.π8C.π4D.π2解析 依题意得PM ＝PN ，PM ⊥PN ，所以△PMN 是等腰直角三角形，又斜边MN 上的高为2，因此有MN ＝4，即该函数的最小正周期的一半为4，所以2πω＝8，ω＝π4，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2013·杭州调研)若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________.解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33.答案 －3312．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值为________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝－79.答案 －7913．(2012·西安五校模拟)将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位后，其图象的一条对称轴方程可以是________．解析 依题意得，将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．令2x －π3＝k π＋π2，得x ＝5π12＋k π2，其中k ∈Z ，即其图象的一条对称轴方程可以是x ＝5π12. 答案 x ＝5π12(符合x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 即可)14．(2013·九江调研)若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．解析 依题意，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y＝sin ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω>0，所以ωmin ＝74. 答案 7415．给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 5的最小正周期为5π；④函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π2是奇函数；⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析 对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 5的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π2＝sin 2x 3，显然f (－x )＝－f (x )，即原函数为奇函数，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④. 答案 ③④。