最新沪科版九年级数学下24.2.1垂径分弦(第四课时)--垂径定理的推论
24.2.2垂径分弦
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
O
C
D
（1）
A C
B
D O
（2）
学生练习
B
已知：AB是⊙O直径，CD
O.
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
A
EC
DF
M
C
D
A
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴AC⌒＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
如何找圆心？
• 当未知一个圆或一条弧的圆心时，如何把它找出 来？
试一试P93 12
挑战自我填一填
• 1、判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的直线是直径； (4)半圆是最长的弧； (5)直径是最长的弦；
?
不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片 的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？
你能证明圆是轴对称图形吗？
?
C
在⊙O上，你能找到
关于直线CD的一对对称
点A、B吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
C2
又 ∵AC=AB，
∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
2021年沪科版九年级数学下册第二十四章《垂径分弦》公开课课件
【综合运用】 19．(12 分)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小 是否符合要求，设计了一个如图①所示的工件槽，其中工件 槽的两个底角均为 90°，尺寸如图(单位：cm)，将形状规则 的铁球放入槽内时，若同时具有图①所示的 A，E，B 三个接 触点，该球的大小就符合要求．图②是过球心 O 及 A，B，E 三点的截面示意图，已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是 ⊙O 的弦，OE⊥CD 于点 E，AC⊥CD，BD⊥CD，请你结合 图①中的数据，计算这种铁球的直径．
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
,第 3 题图)
,第 4 题图)
4．(4 分)(2015·安顺)如图，⊙O 的直径 A.5°，OC＝4，CD 的长为
(C)
A．2 2 B．4 C．4 2 D．8
5．(4 分)(2015·广元)如图，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于 点 E，则下列结论可能错误的是( B )
垂径定理的实际应用
7．(4 分)(2015·东营)如图，水平放置的圆柱形排水管道 的截面直径是 1 m，其中水面的宽 AB 为 0.8 m，则排水管内 水的深度为__0.8__m.
,第 7 题图)
,第 8 题图)
8．(4 分)如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆 半径，连接外圆上的两点 A，B，并过A︵B的中点 C 作 CD⊥AB
点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 AB 的长为__24__ cm.
15．如图，半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0，－ 4)，N(0，－10)，函数 y＝kx(x<0)的图像过点 P，则 k＝ __28__．
16．⊙O 的直径为 10 cm，弦 AB∥CD，且 AB＝ 8 cm，CD＝6 cm，则弦 AB 与 CD 之间的距离为 __7_cm 或 1_cm__ .
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1一. 教材分析沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》是本节课的主要内容。
该定理是几何中的一个重要定理，它对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
教材通过引入实例，引导学生探究并证明垂径定理的逆定理，培养学生的几何思维和证明能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了垂径定理的相关知识，具备了一定的几何思维和证明能力。
但部分学生对于抽象的几何证明还存在一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的逆定理，并能运用其解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳、证明等方法，培养学生的几何思维和证明能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的逆定理的证明及其应用。
2.难点：对于抽象几何图形的证明和解决问题的方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生建立几何模型。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
3.实践操作法：学生动手操作，观察实验现象，归纳总结定理。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、多媒体课件、几何模型等。
2.学生准备：课本、笔记本、作图工具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考如何运用几何知识解决问题。
2.呈现（10分钟）教师展示垂径定理的逆定理，引导学生观察并分析定理的内涵。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成一些与垂径定理逆定理相关的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师针对学生的练习情况，进行讲解和辅导，帮助学生掌握垂径定理的逆定理。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理的逆定理解决更复杂的问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容，巩固所学知识。
垂径定理票
垂径定理票
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧推论推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦(不是直径) 4.垂直于弦5.经过圆心6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
垂径定理-重难点题型(融会贯通)(沪科版)(学生版)
专题24.4 垂径定理-重难点题型【沪科版】【知识点1 垂径定理及其推论】（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1 垂径定理（连半径）】【例1】（2022春•海门市期中）如图，以c 为直径的⊙O 中，弦AB ⊥CD 于M ．AB ＝16，CM ＝16．则MD的长为（ ）A ．4B ．6 C．8D ．10【变式1-1】（2022•淄川区一模）如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，OP ⊥CD ，OM ＝MN ，AB ＝18，CD ＝12，则⊙O 的半径为（ ）A．4B．4√2C．4√6D．4√3【变式1-2】（2022秋•衢州期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：（1）CD的弦心距OF的长；（2）弦CD的长．【变式1-3】（2022秋•蜀山区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF ⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．【题型2 垂径定理（作垂线）】【例2】（2022秋•江干区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，则CD的长为（）A．√34B．6√2C．2√34D．12【变式2-1】（2022•东胜区一模）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．7【变式2-2】（2022•泰兴市模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5B．4C．92D．2√5【变式2-3】（2022秋•渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D 两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．【题型3 垂径定理（分类讨论）】【例3】（2022秋•江夏区校级期末）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（）A．6B．2√21C．6或2√21D．以上说法都不对【变式3-1】（2022•松桃县模拟）已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm【变式3-2】（2022春•鼓楼区校级月考）若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB＝10，CD＝24，则AB，CD之间的距离为（）A．7B．17C．5或12D．7或17【变式3-3】（2022秋•滨江区期末）在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm【题型4 垂径定理（动点问题）】【例4】（2022秋•齐河县期末）如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【变式4-1】（2022秋•喀什地区期末）如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，P是弦AB上的一个动点，不在OP取值范围内的是（）A．4B．5C．12D．13【变式4-2】（2022秋•天心区月考）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO 分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=√3，则弦BC的最大值为（）A．2√3B．3C．√6D．3√2【变式4-3】（2022•利州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（）A．48B．45C．42D．40【题型5 垂径定理（翻折问题）】【例5】（2022•青羊区模拟）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．4√3cm B．2√3cm C．√3cm D．√2cm【变式5-1】（2016•丹东模拟）半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．【变式5-2】（2022秋•袁州区校级期中）如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为 ．【变式5-3】（2022•姜堰市校级二模）如图，⊙O 的半径为6cm ，将圆折叠，使点C 与圆心O 重合，折痕为AB ，E 、F 是AB 上两点（E 、F 不与A 、B 重合且E 在F 右边），且AF ＝BE ．（1）判定四边形OECF 的形状；（2）AF 为多少时，△CFB 为直角三角形？【知识点2 垂径定理的应用】（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【题型6 垂径定理的实际应用】【例6】（2022•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB ＝32米，拱高CD ＝8米（C 为AB 的中点，D 为弧AB 的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF 支撑，求桥墩的高度．【变式6-1】（2022秋•江门期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．【变式6-2】（2022秋•淮南月考）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．【变式6-3】（2022秋•兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？。
2024年度公开课《2412垂径定理》课件
当直线过圆心时，可根据垂径定理判断直线与圆 的交点情况，从而确定直线与圆的位置关系。
3
求解圆的半径或直径
在某些几何问题中，可以通过垂径定理构造直角 三角形，并运用勾股定理求解圆的半径或直径。
2024/3/23
16
在三角函数问题中应用
求解角度
在直角三角形中，已知两边求角度时，可利用垂径定理构造另一个直角三角形， 从而运用三角函数求解角度。
垂径定理在数学中的地位
垂径定理是圆的重要性质之一，在解决圆的有关问题时具有广泛的应用价值。同时，它也 是数学中的重要定理之一，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
相关数学家的贡献
除了欧几里得以外，还有许多数学家对垂径定理的研究做出了重要贡献，如阿基米德、阿 波罗尼奥斯等。他们的研究不仅丰富了垂径定理的理论体系，也推动了数学的发展。
21
分享交流成果
分享方式
每个小组选派一名代表，向全班 汇报本组的讨论和探究成果。
交流内容
各小组代表分享本组对于垂径定 理及其逆定理的理解和应用实例 ，以及探究过程中遇到的困难和
解决方法。
互动环节
鼓励其他小组的同学提问或发表 不同意见，以促进全班范围内的
深入交流和讨论。
2024/3/23
22
06
课程总结与拓展延伸
辅助课堂教学
为教师和学生提供一份详细、生动的 课件，作为课堂教学的有益补充，帮 助学生更好地理解和掌握垂径定理。
2024/3/23
4
垂径定理概念及重要性
2024/3/23
垂径定理概念
垂径定理是平面几何中一个非常 重要的定理，它揭示了垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分这 条弦所对的两条弧。
沪科版九年级下册数学：垂径定理
A
E D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？
如果不是，请说明为什么？
C C
A
B
O
A
EB
D
O A
是
不是，因
为没有垂
直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为
CD没有过
圆心
归纳总结
➢垂径定理的几个基本图形：
C
A
B D
O
O
O
O
A
EBA
DB
D
E
A CB C
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
这条弦所对的两条弧。
·O
用垂径定理和勾股定理求解.
AC
B
弓形中重要数量关系
C
弦长a，弦心距d，弓形高h，
h
半径r之间有以下关系：
A
Da
B
d+h=r
r2
d2
a 2
2
r
d O
当堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm . 2.已知⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°, 则弦 AC= 10 3cm .
C
➢特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
圆心到弦的距离
叫做 弦心距.
例1 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心
到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
AE EB 1 AB 1 6 3cm.
22
[初中数学]+第二课时+垂径分弦课件+年+沪科版数学九年级下册
![[初中数学]+第二课时+垂径分弦课件+年+沪科版数学九年级下册](https://img.taocdn.com/s3/m/6dab5088250c844769eae009581b6bd97e19bc7b.png)
图18
的半径，构造直角三角形，结合垂径定理、锐角三角函
数求解.
起航加油
随堂演练
课后达标
29
解：如图72，过点作 ⊥ 于点， ⊥ 于点，连接
1
，，，则＝，＝＝
2
＝3.
故＝ − ＝3 − 1 = 2.
在Rt △ 中，＝
2
1
AB
2
图11
= 2 m.
在 Rt △ AOC 中， OA = r m ， OC = 6 − r m ，根据勾股
定理，得 22 + 6 − r
解得 r =
10
.∴
3
⊙
2
= r2 .
10
O 的半径长为
3
图66
m．
起航加油
随堂演练
课后达标
18
课后达标
起航加油
Байду номын сангаас
随堂演练
课后达标
19
基础巩固
1.如图12, ⊙ O 的弦 AB 的长为16, M 是 AB 的中点,且
13
2
−
2
2 ＝ 11，所以
＝2＝2 11.
图72
起航加油
随堂演练
课后达标
31
以点 O 为圆心的圆的一部分， C 是 ⊙ O 中弦 AB 的中
点， CD 经过圆心 O 交 ⊙ O 于点 D ，并且 AB = 4 m ，
CD = 6 m .求 ⊙ O 的半径长．
解：如图66，连接 OA .
设 ⊙ O 的半径为 r m ， ∵ C 是弦AB 的中点， CD 过圆心
O ， ∴ CD ⊥ AB ， AC = BC =
⊙ O 的弦，点 P 在弦 AB 上．若 PA = 4 ， PB = 6 ，则
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A
B O
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
C
A r
D
B O
• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
B
D
600
C
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
D
A
O ┌ E
A
600
B
O ø650
D
B
D
600
C
C
M
E A
.O
小结:
B
A
C
. E
O
D
B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300(m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理, 得
R 2 300 2 R 90 . D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
注意:当具备了(1)(3)时, 应对另一条弦增加”不 是直径”的限制.
“知二推三”
作 图 平分已知弧 AB . 应 用 你会四等分弧AB吗?
A
B
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
2
C
E F
●
O
例3、如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角 为 30 °,求弦 AB 的长. O 6 O A
30°
C 例4、如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平 分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
E
B
A
M
B
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
③ ④ ⑤
① ④
② ④ ⑤
③ ② ④ ③ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
③ ② ⑤ ① ④ ⑤
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备： ① ② ③ ④ ⑤ 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
⌒
.
D
O E B
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 ⌒ ＝BD ⌒ ，AC ⌒＝BC ⌒ 求证：CD是直径， AD
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ③ ① ⑤
① ②
沪科版九年级数学上第24章《圆》
霍邱县马店镇中心校九（2）班 授课教师 丁求勇
温故探新
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（3）平分弦
｝ （4）平分弦所对的优弧 ｛ （2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
A
C
N
B
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB
A
F
D E O
一、随堂作业： 1、如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。 2、如图，AB是⊙O的弦，
∠OCA=300，OB=5cm，OC=8cm，
O
C
B
求AB的长。
二、课外作业：
A
4
┌
5
D
8
30°
B
C
完成老师补充的一张训练题。
新知探究 三个命题---垂径定理的三个推论
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。 C
⌒ ＝BD ⌒ ，AC ⌒＝BC 求证：CD⊥AB，AD 命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， A 并且平分弦所对的另一条弧。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB