9年级培优专题07 一元二次方程的应用.docx
九年级培优训练：一元二次方程的应用
《一元二次方程的应用》一、学习目标1.能体验用一元二次方程解决实际问题的过程，体会现实世界的数量关系可以用数学模型进行刻画. 2。
能根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解、检验，规范写出解答过程．3。
有意识．．．的注意自己分析和解决问题的方法并提高自身探究的能力．二、学习重点与难点从(实际或数学的）问题情景中建立一元二次方程的数学模型,并掌握解决问题的全过程是重点;其中从问题情景中建立一元二次方程是学习的难点．．;突破难点的关键．．是体会分析问题的方法，找到题目中的基本关系．．．．（它决定题目的性质．．．．．．．．）以及相等关系．．．．．三、学习过程1、传播问题（树枝开叉）例1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例3、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛？3、平均率问题例4、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？推广：（2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1)求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1％）（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额）（a）给出关系式例5、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件）与每件的销售价X （元）满足关系：P=100—2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件?（b）一个“+”一个“—"例6某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
一元二次方程的应用(优秀5篇)
一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。
(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
九年级数学一元二次方程实际应用
九年级数学一元二次方程实际应用大家好！今天咱们来聊聊一个看似有点神秘的数学概念——一元二次方程。
不过别担心，咱们不是要搞什么复杂的公式，而是要看看这些方程是怎么在我们生活中派上用场的。
你可能会问，这玩意儿跟咱们的日常生活有什么关系呢？其实，关系大着呢！一起来瞧瞧吧！1. 一元二次方程的基础知识首先，咱们得了解一下什么是一元二次方程。
简单来说，一元二次方程就是形如( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、和 ( c ) 是常数，( x ) 是我们要找的变量。
听起来有点儿抽象？别急，我们用实际的例子来解释一下。
1.1. 生活中的例子举个简单的例子吧。
如果你家有一个小花园，你想种一排花。
假设你种的花每行需要的空间是固定的，而且你还希望每行的花之间有一定的间隔。
假设花间距是2米，而你想要种6排花。
你想知道需要多长的空间？这时候，一元二次方程就可以帮你计算出这个长度了。
1.2. 小故事比如说，小明决定在他家花园里种花。
他量了一下花园的长度和宽度，然后想要把花园分成几个小区域，每个区域种一种花。
经过一番计算，他发现这个问题可以用一元二次方程来解决。
经过几次试错和计算，小明终于找到了一种合适的种植方案，这样既美观又实用。
2. 一元二次方程在实际生活中的应用一元二次方程不仅仅是在数学课上出现，它们其实在很多实际问题中都能找到身影。
下面我们来看几个实际应用的例子。
2.1. 解决问题想象一下，你有一个游泳池，你想在池子里放一个大的浮排。
如果浮排的面积是固定的，你又想知道池子里最大能放多大的浮排。
这里的“浮排面积”就是我们的一元二次方程中的一个参数，通过计算，你就能得到浮排的最大尺寸了。
2.2. 购物打折还有一个常见的应用场景，就是购物打折。
比如说，你要买一件原价200元的衣服，现在商店搞了一个“买一送一”的活动，但你只想买一件。
假设你能用一元二次方程计算打折后的实际花费，那么你就能准确知道自己能省多少钱。
专题7 一元二次方程及其应用(课件+练习)
知识回顾 教学目
标
3. 一元二次方程根的判别式： b²-4ac 关于x的一元二次方程的根的判别式为__________.
b2 4ac 0
方程有两个 不相等 的实
数根
判别式与 根的关系
b 4ac 0 方程有两个 相等 的实数 根
2
b 4ac 0 方程 没有 实数根
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利 于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解题指导 教学目
标
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售
量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时
的销售单价即可确定几折．
n a (1 m ) b . ___________
（下降）率问题 __________; a(1 m)n b 当m为平均下降率时，
利润=售价-成本 营销问题 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额
面积问题
解题指导 教学目
标
一元二次方程的有关概念 1.下列方程中，不是一元二次方程的是（ B ） A．x²-4=0 C．x²+2x+1=0 B ．x ² + D．3x²+
标
知识回顾 教学目
标
（3）公式法：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)
2 b b 4ac 2 的求根公式是( x1,2 (b 4ac 0) ). 2a
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解 这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方 程的解.21·cn·jy·com
重点高中自招必备 九年级 专题07 一元二次方程的应用
专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】 甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （江苏省竞赛试题） 解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题） 解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BCAO【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C 两点均不重合）.；（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】 已知：如图1，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题） 解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图2图1P'ACB B CAQ PQ P能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带飞机票价格应是________. 4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（ ） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（ ） A .215+ B . 215- C . 1 D .2DCABO第2题图 第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？ （2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。
九年级一元二次方程应用.doc
辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 一元一次方程解法 一元二次方程应用一元一次方程中考衔接授课日期及时段教学内容一元二次方程的解法一、同步知识梳理知识点1：一元二次方程定义：)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。
知识点2：一元二次方程四种解法：（1）直接开方法：形如()002≥=-k k x 和)0,0()(2≥≠=-ab a b k x a 的方程（2）配方法：一元二次方程转化为()k h x =+2 )0a (0c bx ax 2≠=++一般形式配方例如：如何解方程0462=++x x ？ 点拨：如果能化成()k h x =+2的形式就可以求解了解： 步骤：（1）移项 （2）配方．．（方法：方程两边同时加上_________________） （3）将方程写成()k h x =+2的形式（4）用直接开平方法解方程小结：由此可见，只要把一个一元二次方程变形为()k h x =+2的形式（其中h 、k 都是常数）如果k ______0，可通过直接开平方法求方程的解；如果k ______0，则原方程无解。
这种解一元二次方程的方法叫配方法．．．。
（3）公式法：一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax（1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（2） 根据判别式，怎样判断一元二次方程ax 2+bx+c=0根的情况：当b 2-4ac ＞0,方程_____________________.当b 2-4ac=0, 方程________________________. 当b 2-4ac ＜0, 方程_______________________.（4）因式分解法：若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，092=-x ＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．直接开方法： (1) x 2＝169 (2) 4（2－x ）2－9＝0 (3) (1－3x)2＝1 (4) 22)23()12(+=-x x配方法：（1）0322=-+x x （2）020102=++x x （3）12=-x x （4）04222=-+x x公式法：（1）0432=--x x （2）322=-x x （3）055.02.12.02=+-x x （4）0122=-+x x因式分解法：（1）0)1)(2(=-+x x （2）x x =23 （3）)12(3)12(4-=-x x x （4）22)23()12(+=-x x课堂达标测试一：填空题1．下列方程是一元二次方程的是_________________________．（只填序号）． （1）x 2=5；（2）x 2+xy+3=0；（3）x+1x =2；（4）mx 2+x+1=0（m ≠0）；（5）ax 2+bx+c=0；（6）23x 2+3x+1=0；（7）x 2+1=0；（8）24x +x=0．2．试写出一个含有未知数x 的一元二次方程________． 3．若关于x 的方程x21a -+3x+5=0是一元二次方程，则a 应满足________．4．若（k+1）x 2+（k －1）x+2=0是关于x 的一元二次方程，则k________．5．若关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m+1）x+3=0是一元二次方程，则m______；•若是一元一次方程，则m_______． 6．一元二次方程（2x+1）（x －1）=3x+1化为一般形式是________，二次项是______，一次项是_______，常数项是_________． 二：计算（1） 015)13(412=-+x （2）22)2(25)3(4-=+x x（3）6)6(=-x x （4）04322=-+-x x一元二次方程应用题应用一元二次方程解决有关面积、体积问题！教学重点：在实际问题中寻找等量关系，建立方程。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第4讲-一元二次方程的应用
第4讲 一元二次方程的应用在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要,这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者,而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈.——苏霍姆林斯基知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。
许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
一元二次方程的应用有以下几个方面: （1) 求代数式的值； （2）列二次方程解应用题； (3)解相关几何问题。
例题求解【例1】 在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ,C 是坐标轴上一点。
若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________.（山东省竞赛题）思路点拨 C 点可在x 轴也可能在y 轴，又ABC Rt ∆直角顶点未确定，故解本例的关键是分类讨论。
【例2】 已知实数x 、y 满足32424=-xx ，324=+yy ,则y x444+的值为（ )。
A ．7B ．2131+ C ．2137+ D ．5 (全国初中数学竞赛题）思路点拨 分别解关于x22、y 2的方程。
【例3】 在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块高墙(墙长15cm)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围城(如图所示)。
若花园的BC 边长为x(m ）,花园的面积为y(m 2)．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗?若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由; （3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？（青岛市中考题）【例4】已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度2m/s，连接PQ。
九年级一元二次方程的实际应用非常经典全面
一元二次方程的实际应用一.传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（设每轮传染中平均一个人传染了x个人）突破题1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？二.增长率问题例题1. 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。
（1）如果第一年的年获利率为P，那么第一年年终的总资金是多少万元?（年获利率=年利润/年初投入资金X100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。
突破题1.某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？突破题2.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
例题2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为？例题3.受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？例题4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。
后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。
若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？例题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
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专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面：1.求代数式的值；2.列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （江苏省竞赛试题）解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点.（1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题） 解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.【例4】 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点E 在直角边AC上（点E与A，C两点均不重合）.（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的；代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】已知：如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题）解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图1P'A A Q能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的飞机票价格应是________.4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y x x ，则444y x +的值为（ ） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的最大值是（）A. 11B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD的边长为a，O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB ＝OC＝OD＝1，则a＝（）A.215+ B.215- C. 1 D.2A第2题图第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B型汽车比A型汽车每辆车可多装15台，则A，B两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元。
若运送这批计算机用这两种型号的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A，B两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？（四川省中考试题）9. 某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费；如果超过A度，则这个月除了仍需交10A元交费.元用电费外，超过部分还需按每度100下表是一户居民3月、4月的用电情况和交费情况：根据上表的数据，电厂规定的A（度）为多少？（苏州市中考试题）10. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. 请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（广东省中考试题）11. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格，第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元. 设第二个月单价降低x元.（1）填表（不需化简）：（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？（南京市中考试题）B级1. 如图，梯子AB斜靠在墙上，∠ACB＝90°，AB＝5m，BC＝4m，当点B下滑到点B´时点A向左平移到点A´，设BB´＝x，当x＝_______时，点B下滑的距离与点A 向左平移的距离相等.（徐州市中考试题）第2题图第1题图CB l第3题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6cm ，CA ＝8cm ，动点P 从点C 出发，以2cm /s 的速度沿CA ，AB 移到点B ，则C 点出发________秒时，可使ABC BCP S S ∆∆=41. 3. 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑；用时少者胜.结果，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完。
事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍。
”根据图文信息，请问哪位同学获胜？（江西省中考试题）4. 一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级每人买1支，则只能按零售价付款，需用（12-m ）元（m 为正整数，且12-m ＞100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用（12-m ）元.（1）设这个学校初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是____________；②铅笔的零售价每支应为____________元，批发价每支应为__________元.（用含x ，m ，n 的代数式表示）（2）若按批发价每购买15支，比按零售价每购15支少付款1元，试求这个学校初三年级共有多少名学生，并确定m 的值.5. 在一次汽车比赛中，有三辆汽车在起点同时同向出发，其中第二辆车每小时辆车比第一辆车少走5公里，而比第三辆车多走7.5公里；第二辆车到达终点比第一辆车迟3分钟，而比第三辆车早到5分钟.假设它们在路上都没停过.（1）比赛的路程是多少公里？（2）第二辆车的速度是每小时多少公里？ （荆州市竞赛试题）6.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘.记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分. 已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，参加此次比赛的选手共有多少人？（天津市竞赛试题）7. 如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积地一半，且花圃四周的道路宽相等.今无测量工具，只有无刻度的尺和够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？8.小明有5张人民币，面值合计20元.（1）小明的5张人民币的面值分别是______元、______元、______元、______元、______元.（2）小明来到水果店，称了x公斤苹果（x是整数），按标价应付y元，正好等于小明那5张人民币中的2张面值之和；这时果筐里还剩6公斤苹果，店主便对小明说：“如果你把这剩下的也都买去，那么连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧。