数学实验第六次(数值积分与微分)
实验4_数值积分与数值微分
数值分析实验报告四数值积分与数值微分实验（2学时）一 实验目的1．掌握复化的梯形公式、Simpson 公式等牛顿-柯特斯公式计算积分。
2. 掌握数值微分的计算方法。
二 实验内容1. 用复化梯形公式计算积分。
⎰90dx x M=82. 用复化Simpson 公式计算积分。
⎰90dx x M=8 3. 给定下列表格值利用四点式（n=3）求)50()50('''f f 和的值。
三 实验步骤（算法）与结果1复化梯形公式用C 语言编程如下：#include<stdio.h>#include<math.h>/*被积函数的定义*/float f(float x){float y;y=sqrt(x);return y;}void main(){int i,m;float a,b,h,r;printf("输入等分数m:" );scanf("%d",&m);printf("输入区间左端点a的值:"); scanf("%f",&a);printf("输入区间右端点b的值:"); scanf("%f",&b);float x[m+1];h=(b-a)/m;for(i=0;i<=m;i++)x[i]=a+i*h;r=0;for(i=0;i<=m;i++){if(i==0) r=r+h*0.5*f(x[i]);if(i>0&&i<m) r=r+h*f(x[i]);if(i==m) r=r+0.5*h*f(x[i]);}printf("输出区间[%3.1f %3.1f]的积分值:%f\n",a,b,r); }求解结果如下：输入等分数m:8输入区间左端点a的值:0输入区间右端点b的值:9输出区间[0.0 9.0]的积分值:17.7695142复化Simpson公式用C语言编程如下：#include<stdio.h>#include<math.h>/*被积函数的定义*/float f(float x){float y;y=sqrt(x);return y;}void main(){int i,m;float a,b,h,r;printf("输入等分数m:" );scanf("%d",&m);printf("输入区间左端点a的值:"); scanf("%f",&a);printf("输入区间右端点b的值:"); scanf("%f",&b);float x[m+1];h=(b-a)/m;for(i=0;i<=m;i++)x[i]=a+i*h;r=0;for(i=0;i<=m;i++){if(i==0) r=r+h*f(x[i])/3;if(i>0&&i<m){ if(i%2==0)r=r+h*2*f(x[i])/3; else r=r+h*4*f(x[i])/3;}if(i==m) r=r+h*f(x[i])/3;}printf("输出区间[%3.1f %3.1f]的积分值:%f\n",a,b,r); }求解结果如下：输入等分数m:8输入区间左端点a的值:0输入区间右端点b的值:9输出区间[0.0 9.0]的积分值:17.9031393求导数值用C语言编程如下：#include<stdio.h>int n;/*拉格朗日多项式函数的一阶导函数的定义*/float g1(float *x,float *y,float z){int i,j,k;float r,m,s;s=0;for(i=0;i<n;i++){ m=0;for(j=0;j<n;j++){if(j!=i){ r=1;for(k=0;k<n;k++)if(k!=i&&k!=j) r=r*(z-x[k]); m=m+r*y[i];}}r=1;for(j=0;j<n;j++)if(j!=i)r=r*(x[i]-x[j]);s=s+m/r;}return s;}/*拉格朗日多项式函数的二阶导函数的定义*/ float g2(float *x,float *y,float z){int i,j,k,p;float r,m,s,w;s=0;for(i=0;i<n;i++){w=0;for(j=0;j<n;j++){if(j!=i){m=0;for(k=0;k<n;k++){if(k!=i&&k!=j){ r=1;for(p=0;p<n;p++)if(p!=k&&p!=j&&p!=i)r=r*(z-x[p]); m=m+r*y[i];}}w=w+m;}}r=1;for(j=0;j<n;j++)if(j!=i)r=r*(x[i]-x[j]);s=s+w/r;}return s;}void main(){int i,j;float f1,x0,f2;printf("输入节点数n:");scanf("%d",&n);float x[n],y[n];printf("输入向量x：");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("输入向量y：");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&y[i]);printf("********************\n"); printf("输入1****求一阶导数\n"); printf("输入2****求二阶导数\n"); printf("********************\n"); printf("选择操作1-2：");scanf("%d",&j);switch(j){case 1:printf("输入求导处的x:");scanf("%f",&x0);f1=g1(x,y,x0);printf("x=%3.1f处的一阶导数值%f\n",x0,f1); break;case 2:printf("输入求导处的x:");scanf("%f",&x0);f2=g2(x,y,x0);printf("x=%3.1f处的二阶导数值%f\n",x0,f2); break;}}求解结果如下：输入节点数n:4输入向量x：50 55 60 65输入向量y：1.6690 1.7404 1.7782 1.8129********************输入1****求一阶导数输入2****求二阶导数********************选择操作1-2：1输入求导处的x:50x=50.0处的一阶导数值0.019673输入节点数n:4输入向量x：50 55 60 65输入向量y：1.6990 1.7404 1.7782 1.8129 ********************输入1****求一阶导数输入2****求二阶导数********************选择操作1-2：2输入求导处的x:50x=50.0处的二阶导数值-0.000164。
数值分析课件第4章数值积分与数值微分
森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式)，即
S b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)].
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n = 4 时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公 式. 其形式是
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4.1.1 数值求积的基本思想
由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间[a, b]
内至少存在一点，使
I
b
a
f
(x)d
x
(b
a)
f
(
)
只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应
地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式.
几何图形见书p119.
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例如, 用区间[a, b]两端点的函数值 f(a)与f(b)的
nn
(t j)dt
0 jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题.
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4.1.3 插值型求积公式
设给定一组节点 a x0 x1 xn1 xn b
且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x)
的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)
n
Ln ( x) f ( xk )lk ( x) 则 f (x)Ln(x)
k0
如果对任I给n( 小f )正 I数n(ε~f>)0， 只n 要Ak误[ f差( x|δkk)|充 ~f分k ]小就 ,有
华南理工大学数学实验实验六
2 问题描述
2.1 问题描述 利用各种增量人脸识别算法：基于回归模型的增量人脸识别算法，最远子空 间增量分类算法、 最近最远子空间增量分类算法或其他快速算法，选择其中的一 种或几种算法，对给定的人脸数据库进行识别测试，得出识别正确率和（或）运 行时间。并与第 5 节不采用增量学习的算法进行比较，分析实验结果。在实验过 程中， 可以察看原始的人脸图片，哪些人脸识别错误？该算法有哪些优缺点？改 进方向是什么？如果有新的样本加入训练集合中，如何处理？ 当训练集的样本数较多时，如何处理？ (1) 传统的处理方法是，将新增加的训练样本和原来的训练样本放在一起， 重新训练模型，将会造成时间和存储空间的巨大开销，严重影响计算的效率。 (2) 这会使得训练数据库的样本不断增多 给定的数据库为： Yale_32x32 ， Yale_64x64 ， ORL_32 x32， ORL_64 x64， YaleB_32x32。例如 Yale_32x32.mat，包含两个变量，一个是 fea：165*1024，表 示该数据集含有 165 个人脸，每个人脸是 1024 维（32*32 的人脸数据，已经被 拉成了 1014 维的向量），一个是 gnd：165*1，代表这 165 个人脸的类别，分别 用 1，2，…，15 表示。
1 实验目的....................................................................................................................3 2 问题描述....................................................................................................................3 2.1 问题描述............................................................................................................. 3 2.2 问题背景............................................................................................................. 4 3 文献调研....................................................................................................................4 3.1 国内外研究现状................................................................................................. 5 3.2 常用人脸识别算法............................................................................................. 6 3.2.1 基于回归模型的人脸识别方法................................................................... 6 3.2.2 基于神经网络的人脸识别方法................................................................... 6 3.2.3 基于特征脸的人脸识别方法....................................................................... 7 3.3 利用增量学习改进的人脸识别......................................................................... 9 4 算法与编程..............................................................................................................10 4.1 编程流程........................................................................................................... 10 4.2 文件结构........................................................................................................... 12 4.3 编程细节........................................................................................................... 14 4.4 实现代码........................................................................................................... 15 5 实验结果..................................................................................................................27 5.1 命令行输出....................................................................................................... 27 5.2 结果分析........................................................................................................... 30 6 实验总结和实验感悟..............................................................................................33 6.1 实验总结........................................................................................................... 33 6.2 实验感悟........................................................................................................... 33 7 参考文献..................................................................................................................34 2
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数学实验报告数值积分
0.0003*x^5+0.0303*x^4+0.1236*x^3+0.0296*x^2+0.9901*x^1+0.00 13*x^0 把 x=0.596 带入得到： F(0.596)=0.63192 绘制图像有：
求拉格朗日插项式，并由此求出 f（0.596）的近似值 问题分析： 对于已知的 n 个数据点 （x1,y1） , （x2,y2） , （x3,y3） …… （ xn,yn ） , 总可 以唯 一 确定 一 条 n-1 次 y=a(0)+a(1）x+a（2）x^2+a(3) x^3+…… +a(n-1)x^( n-1) 。因为 n 个数据点都在曲线上，所以
(−1 < x ≤ 1)
令 x = 1，即 ln 2 = 1 − 1 + 1 − 1 ++ (−1) n−1 1 + ；其误差为
2 3 4 n
Rn = ln 2 − S n = (−1) n
1 1 1 1 1 + (−1) n+1 + = − + < n +1 n + 2 n +1 n +1 n+2
程序编写 1： clc;clear; n=0; r=1; p=0; k=-1; while r>=1.0e-5 n=n+1; k=k*(-1); p=p+k/n; r=abs(k/n); fprintf('n=%.0f,p=%.10f\n',n,p1); end
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数学实验报告----------------------------------------------------------------能动 04 吴建东
06实验2差分方程和数值微分
濒危物种的自然演变和人工孵化
问题：FLORIDA沙丘鹤属于濒危物种,据报道,生态学家估计它在较好的 自然环境下,年平均增长率仅为1.94%,而在中等及较差的自然环境下,年 平均增长率则分别为-3.24%,和3.82%,即它将逐年减少.如果在某自然保 护区内开始有100只鹤,建立描述其数量变化规律的模型,并作数值计算. 人工孵化是挽救这个濒危物种的措施之一，如果每年人工孵化5只鹤 放入该保护区，那么在中等自然环境下沙丘鹤的数量将如何变化？
设第k年的植物数量为XK ，则
xk xk ba1 xk 2cb(1 a1 )ba2
种子数 x1 =a1bcx 0 p=-a1bc, q活过冬天2b(1 a1 )bc a
x1 px0 0, xk pxk 1 qxk没有发芽 k 2, 3,... 活过冬天 2 0,
T
表示了线段AB、CA 它们依次称为前差公式、后差公式和中点公式。这些公式都 和CB的斜率。前、 明确的几何意义： C 后差公式误差为O(h)
o a-h a a+h x 中点公式误差O(h2)
将区间[a, b] n等分，步长 h
ba . 当函数 y= f (x)在分点 n
上用离散数值表示为( xk , yk)，a=x0< x1 <…< xn = b 时, 函数 在分点的导数值由中点公式得到三点公式：
yk 1 yk 1 , k 1,2,, n 1 2h 3 y0 4 y1 y2 y 4 yn 1 3 yn ( x0 ) ( xn ) n 2 f ,f 2h 2h f ( xk )
后两个公式是由二次插值得到，目的是保持在端点处的精度O(h2) 高阶导数的近似公式一般要用插值多项式得到，下面是二阶
数值积分与数值微分实验报告
数值积分与数值微分实验报告-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN实验三 数值积分程序设计算法1）实验目的通过本次实验熟悉并掌握各种数值积分算法及如何在matlab 中通过设计程序实现这些算法，从而更好地解决实际中的问题。
2）实验题目给出积分 dx x I ⎰-=32211 1.用Simpson 公式和N=8的复合Simpson 公式求积分的近似值.2.用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分，要求绝对误差为 710*21-=ε，将计算结果与精确解做比较，并对计算结果进行分析。
3）实验原理与理论基础Simpson 公式 )]()2(4)([6b f b a f a f a b S +++-=复化梯形公式将定积分⎰=b a dx x f I )(的积分区间],[b a 分隔为n 等分，各节点为n j jh a x j ,,1,0, =+= na b h -=复合梯形(Trapz)公式为 ])()(2)([211∑-=++-=n j j n b f x f a f n a b T 如果将],[b a 分隔为2n 等分，而n a b h /)(-=不变，则 )]()(2)(2)([41021112b f x f x f a f n a b T n j j n j j n +++-=∑∑-=+-= 其中h j a h x x j j )21(2121++=+=+，)]()(2)(2)([41021112b f x f x f a f n a b T n j j n j j n +++-=∑∑-=+-= ∑-=-++-+=10)2)12((221n j n na b j a f n a b T n=1时，a b h -=，则)]()([21b f a f a b T +-=)0(0T = )21(22112h a f a b T T +-+=)1(0T = 若12-=k n ，记)1(0-=k T T n ， ,2,1=k 12--=k a b h jh a x j +=12--+=k a b j a h x x j j 2121+=+k a b j a 2)12(-++=，则可得如下递推公式)0(0T )]()([2b f a f a b +-= ∑-=--++-+-=120001)2)12((2)1(21)(k j k k a b j a f a b k T k T k=1,2, 即为梯形递推公式。
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数学实验之数值积分
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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2008-11
桂林电子科技大学信息科技学院
谢 谢！
2008-11
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表示的函数的定积分，理所当然地属于数值积分的范畴。 一、提出几个用数值积分和微分求解的实际问题 二、介绍数值积分的梯形公式、辛普森公式 三、介绍数值微分的基本方法 四、提出的几个问题的求解过程
2008-11
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一、卫星轨道长度、人口增长 率
问题1：人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国第一颗人 造地球卫星近地点距地球表面439km，远地点距地球表面 2384km，地球半径为6317km，求该卫星的轨道长度。
二、数值积分
数值积分可用下面几种命令实现： sum(x) 输入数组x，输出为x的和，可用于按矩形公式(1)、(2)计 算积分。 cumsum(x)输入数组x，输出数组为x的依次累加和，也可用于按 矩形公式计算积分。 trapz(x)输入数组x，输出为按梯形公式(3)计算的x的积分(h=1). trapz(x,y)输入x，y为同长度的数组，输出y对x的积分(按梯形公 式计算，但步长不一定相等)。 quad(‘fun’,a,b,tol)用辛普森公式(4)计算以fun.m文件命名的函数 （或库函数如’sin’）在区间(a,b)上的积分，相对误差tol（缺省 时为10^-6），输出积分值。 quadl(‘fun’,a,b,tol)用自适应Gauss-Lobatto公式计算。
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二、数值积分
2008-11
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二、数值积分
2008-11
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三、数值微分
2008-11
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四、问题求解
2008-11
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人口增长率（续） 对于表1中给出的数据，若记时刻t的人口为x(t)，则人口（相对） 增长率为r(t)=(dx/dt)/x(t),表示每年人口增长的比例。记1900年 为k=0，1910至2000依次为k=1…10,k年人口记为xk，年增长率 为rk，用数值微分的三点公式计算（将每10年的增长率变为每年 的增长率）
数学实验
之六：数值积分与微分
2008-11
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数值积分与微分
积分和微分是我们在高等数学中学过的两个最基本的运算。它们在实际问题中有着许多直接的 应用。 微分运算比较简单，但是遇到由离散数据或图形表示的函数就只能求助于数值方法。
积分运算存在“积不出来”，计算这种类型的定积分只能用数值方法，至于由离散数据或图形
2008-11
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一、卫星轨道长度、人口增长 率
问题2：已知20世纪美国人口统计数据如表1，试计算表中这些 年份的人口增长率。
又已知某地区20世纪70年代的人口增长率如表2，且1970 年人口为210（百万），试估计1980年的人口。
2008-11
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