14.2.6.全等三角形的判定方法的综合运用
三角形全等的判定方法
三角形全等的判定方法三角形是初中数学中的重要内容之一，而在三角形的研究中，全等三角形是一个非常重要的概念。
全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角相等，下面我们就来详细介绍一下三角形全等的判定方法。
首先，我们来介绍全等三角形的基本概念。
两个三角形全等的条件有哪些呢？首先，两个三角形的对应边相等，其次，两个三角形的对应角相等，最后，两个三角形的对应边和对应角相等。
这三个条件是判定两个三角形全等的基本条件。
其次，我们来介绍全等三角形的判定方法。
首先，对于已知的两个三角形，我们可以通过观察它们的对应边和对应角是否相等来判断它们是否全等。
如果两个三角形的对应边和对应角都相等，那么这两个三角形就是全等的。
其次，我们可以利用三角形的边长和角度来进行计算，如果两个三角形的三条边和一个角度相等，那么这两个三角形也是全等的。
最后，我们还可以利用辅助线来辅助判断两个三角形是否全等，通过辅助线的引入，我们可以更加直观地观察两个三角形的对应边和对应角是否相等。
再次，我们来介绍一些全等三角形的常见性质。
首先，全等三角形的对应边和对应角相等，这是全等三角形的基本性质。
其次，全等三角形的面积相等，这是由于全等三角形的对应边相等，所以它们的面积也相等。
最后，全等三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线都相等，这也是由于全等三角形的对应边相等，所以它们的高、中线、角平分线、垂直平分线也相等。
最后，我们来总结一下全等三角形的判定方法。
通过观察对应边和对应角是否相等，利用三角形的边长和角度进行计算，以及通过辅助线的引入来辅助判断，我们可以比较准确地判定两个三角形是否全等。
而全等三角形具有许多重要的性质，这些性质也可以帮助我们更好地理解和运用全等三角形的概念。
通过本文的介绍，相信大家对三角形全等的判定方法有了更加清晰的认识，希望大家能够通过多练习，掌握全等三角形的判定方法，提高数学水平。
全等三角形的判定方法总结
全等三角形的判定方法总结
1.SSS判定法：SSS（边边边）法是指通过比较两个三角形的三条边的边长是否相等来判定是否全等。
如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判定它们是全等三角形。
2.SAS判定法：SAS（边角边）法是指通过比较两个三角形的一个边长和对应的两个角度来判定是否全等。
如果两个三角形的一个边和对应的两个角度相等，则可以判定它们是全等三角形。
3.ASA判定法：ASA（角边角）法是指通过比较两个三角形的两个角度和对应的一条边的边长来判定是否全等。
如果两个三角形的两个角度和对应的一条边相等，则可以判定它们是全等三角形。
4.AAS判定法：AAS（角角边）法是指通过比较两个三角形的两个角度和一个不夹在这两个角度之间的边的边长来判定是否全等。
如果两个三角形的两个角度和不夹在这两个角度之间的边相等，则可以判定它们是全等三角形。
5.RHS判定法：RHS（直角边斜边）法是指通过比较两个直角三角形的一个直角边和斜边的长度来判定是否全等。
如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的长度相等，则可以判定它们是全等三角形。
需要注意的是，判定两个三角形是否全等时，条件一定要满足相等的关系。
任何两个边长或角度的比较都需要进行精确的测量和比较。
此外，在判定全等三角形时，还可以根据其他附加条件来进行判定，比如垂直平分线法、辅助线法等。
这些方法可以提供额外的证明和辅助，但主要还是依靠上述的基本的全等三角形判定方法。
综上所述，全等三角形的判定方法可以通过SSS、SAS、ASA、AAS和RHS这五种基本的判定法来进行。
全等三角形判定定理
引言：全等三角形判定定理是在几何学中非常重要的一个定理，它可以用来判定两个三角形是否全等。
全等三角形在几何学和三角学的各个分支中都具有广泛的应用。
本文是关于全等三角形判定定理的系列文章的第二篇，将探讨一些新的方法和技巧来判断三角形的全等性。
概述：全等三角形判定定理是由一组条件和规则所组成的，只有当这些条件和规则都满足时，两个三角形才可以判定为全等。
本文将分别从角度相等和边长相等两个方面来详细讨论全等三角形判定定理的方法和技巧。
正文内容：一、角度相等的判定方法1. 角度对应定理：如果两个三角形的对应角相等，那么它们可以判定为全等三角形。
2. 夹角相等定理：如果两个三角形的两边夹角分别相等，且它们所夹的边长相等，那么这两个三角形可以被判定为全等。
3. 垂直角定理：如果两个三角形的两个直角边相等，那么它们可以判定为全等三角形。
4. 整体角度相等定理：如果两个三角形的所有内角相等，那么它们可以判定为全等三角形。
5. 角度平分线相等定理：如果两个三角形的内部角平分线相等，那么它们可以判定为全等三角形。
二、边长相等的判定方法1. 三边长度相等定理：如果两个三角形的三条边的长度分别相等，那么它们可以判定为全等三角形。
2. 等腰三角形定理：如果两个三角形的底边和两条腰边的长度相等，那么它们可以判定为全等三角形。
3. 直角三角形定理：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角边的长度相等，那么它们可以判定为全等三角形。
4. 直角边相等定理：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的长度相等，那么它们可以判定为全等三角形。
5. 边中点定理：如果两个三角形的两个边的中点相等，那么它们可以判定为全等三角形。
三、角度和边长相等的判定方法1. SAS定理：如果两个三角形的一个角，连同两边上的两个点，分别与另一个三角形的一个角，连同两边上的两个点对应相等，那么这两个三角形可以判定为全等。
2. SSS定理：如果两个三角形的三条边的长度分别相等，那么它们可以判定为全等三角形。
全等三角形判定方法的综合应用
B.AB=CD D.∠AMB=∠NCD
M
N
A
C
B
D
探究点一：判定三角形全等的开放性题目
【类型一】条件开放
例1
已知：如图，∠1=∠2 ，能添加一个条件使△ABD≌
△CBD 吗？
A
补充的条件为：
①AB=CB；
②∠A=∠C； ③∠ADB=∠CDB
B
1 2
D
C
方法总结： （1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时 只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情 形，不能判定三角形全等． （2）添加条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA 的情形．
14.2.6 全等三角形判定方法的综合应用
学习目标： 1、熟练掌握判定三角形全等的五种方法;SAS,ASA,SSS,AAS,HL；（重点） 2、会根据具体情况选择合适方法证明三角形全等.（难点）
判定两个三角形全等必须具备三个条件：
SSS—三边对应相等的两个三角形全等 SAS—两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等
A
D
1.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C
求证：∠A=∠D
BE
FC
2、已知，如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC， ∠B=∠C，
求证：（1）BD=CE；（2）在（1） 的结论下证明 ∠BDO=∠CEO
证明：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A
【类型二】结论开放
例2
如图，点F在BC上，AB=AE，AF=AC，∠EAB=∠CAF，请你任意
人教版八年级数学上册---《全等三角形的性质与判定的综合运用》课堂设计
人教版八年级数学上册---《全等三角形的性质与判定的综合运用》课堂设计第一课时同学们好，在前面的学习中，我们一起学习、探究了三角形全等的性质及判定的方法，今天，我们将综合运用三角形全等的知识解决一些几何问题.我们首先回顾全等三角形的判定方法. 问题 判定两个三角形全等的方法有哪些？三边对应相等的两个三角形全等 .(简写成“边边边”或“SSS ”）.两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.(简写成“边角边”或“SAS”）.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）.AB C DE F两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）.或以上是一般三角形全等的判定方法，特殊的直角三角形，除了以上判定方法外，还有直角三角形全等特有的判定方法，即：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，(简写为“斜边、直角边”或“HL”).或问题 要判定两个三角形全等，至少要几组条件？至少需要三组条件，并且三组条件中至少有一组边相等的关系.CBAFEDABCDEFABCDEF即∠AEB=∠CBD ，此时用的判定定理是AAS ，或∠EBA=∠BDC ,此时用的判定定理是ASA.通过以上分析，本题可以添加的条件有：EB=BD ，EA=BC ，∠AEB=∠CBD ，∠EBA=∠BDC.通过例题和练习，我们知道，要添加的条件使两个三角形全等，首先明确已知条件，根据判定定理确定要添加的条件，特别注意的是，添加方法可能不唯一.例 如图3所示，已知AD=AB , 要使△ABC ≌△ADC ，现在已有的条件够不够用？需要添加几个条件？有几种添加的方法？分析：已知AD=AB ，仔细观察图形不难发现还有一个隐含条件：AC=AC ，知道两组边相等的关系之后，现在已有的条件不够用，至少需要添加一个条件，我们来看需要添加哪些条件可以判断两个三角形全等.⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠→∠=∠→=→90B D BAC DAC BC DC 找直角找两边夹角找第三边已知两边： 通过以上分析，我们知道本题有三种添加条件的方法，DC =BC 或∠DAC =∠BAC 或∠D =∠B =90°.遇到这类题目我们应特别注意挖掘隐含条件. 练习 如图4所示，AB=AC ，AD=AE 求证： BE=CD .图3 HL.SSS. SAS.图4分析：已知AB=AC ，AD=AE ，有公共角∠A ，并且公共角是两边的夹角.根据题干标图，由三角形全等判定定理SAS 可得△ABE ≌△ACD ，进而得出∠B=∠C. 解：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AE AD A A CA BA ∴ △ABE ≌△ACD (SAS) . ∴ BE =CD .小结：证明三角形全等是证明两线段、两个角相等的重要方法，遇到此类问题时，需要明确具体证明哪两个三角形全等，特别注意的是公共角一定是对应角，公共边一定是对应边.例.如图5所示，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DE,AC=DF ， BE=CF,求证∠A =∠D ..分析：根据题干标图图5要证∠A =∠D ，需证△ABC ≌△DEF ，根据已知条件很容易证得 △ABC ≌△DEF.证明：∵BE=CF ，∴BE +EC =CF +EC . 即BC =EF .在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）.∴∠A =∠D .例4.如图6所示，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE ，AD=AE .连接BD ，CE , ∠ABD=∠ACE .求证AB=AC .分析：根据题干标图要证AB=AC需证△BAD ≌△CAE∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD 又知AD=AE ，∠ABD=∠ACE .已知∠BAC=∠DAE ，图6..--CAE BAD DAC DAE DAC BAC DAE BAC ∠=∠∠∠=∠∠∴∠=∠即，在△BAD 和△CAE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，AE AD CAE BAD ACE ABD ∴ △BAD ≌△CAE (AAS) . ∴ AB=AC .证明三角形全等时需要准备边相等和角相等的条件，除了公共边、公共角相等，等量相加结果相等、等量相减结果相等也是求两条边、两个角相等经常用到的方法.通过以上例题和练习，你运用三角形全等知识解决问题的能力有没有提升呢？让我们通过一道练习验证一下吧！练习.如图7所示，B ,F ,C ,E 在一条直线上BF=CE ，AC=DF .(1) 在下列条件①∠B=∠E ；②∠ACB=∠DFE ；③AB=DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ,则所有正确条件的序号是 ______________________.(2) 根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A=∠D . 分析：（1）根据题干标图由BF=CE 得EF+FC=CE+FC ,即：BC=EF ，又知AC=DF ，如果添加①∠B=∠E图7此时，SSA 不能判定两个三角形全等；如果添加②∠ACB=∠DFE此时，SAS 能判定△ABC ≌△DEF ；如果添加③AB=DE此时，SSS 能判定△ABC ≌△DEF ；如果添加④AC ∥DF可得到∠ACB=∠DFE ，FEDCBAEDBAFC2.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC=DF，∠A＝∠D．求证：BE=CF．第二课时第三课时证明方法，这节课我们运用三角形全等知识解决实际问题.例1.如图1，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）.在图中，要测量工件内槽宽AB ，只要测量哪些量？为什么？分析：要测量工件内槽宽AB ，只需测量与AB 相等的量.可以把卡钳抽象为两个对顶的三角形,△AB O 和△CDO ，已知条件可转化为AO=CO ,BO=DO ，问题转化为求与AB 相等的线段.只需测量CD.∵点O 是AC 、BD 的中点， ∴OA =OC ,OB =OD . 在△AOB 和△COD 中，ODCBA图1⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，D O OB COD AOB OC A O ∴△AOB ≌△COD (SAS ). ∴CD =AB.∴要测量槽内宽AB ，只需测量CD .例2.如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是拿( )去配.分析:要配一块完全一样的玻璃，可把三角形的玻璃抽象为一个三角形，问题转化为找与原三角形全等的三角形所需条件，① 玻璃只有一个角，满足不了三角形全等的条件；②中没有即没有完整的边也没有完整的角，满足不了三角形全等的条件；③中有两个角和一条边都与原来的三形相等，满足三角形全等的条件；综上，最合理的办法是拿第③块玻璃去配.例3.如图3，从C 地看A ，B 两地的视角，∠C 是锐角，从C 地到A ，B 两地的距离相等.A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 相等吗？为什么？分析：可把A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 是否相等的实际问题转化为线段AD 是否与BE 的相等的问题，所以只需证明△ABD 与△BAE 全等.A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 相等 证明：∵AD⊥BC， BE⊥AC, ∴ ∠CDA= ∠CEB=90°. 在△ADC 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AC C C BEC ADC E D CBA图2 图3∴△ADC ≌△BEC （AAS ）. ∴AD =BE .即A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 相等. 练习.如图4，两车从路段AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C ，D 两地.C ，D 两地到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：实际问题可抽象为下图转化成数学问题，已知AC ∥BD ，AC =BD ，∠AEC =∠BFD =90°，问CE 与DF 是否相等.那么只需证△AEC 与△BFD 全等. C ，D 两地到路段AB 的距离相等. 证明：∵CE ⊥AB ,DF ⊥AB ， ∴∠AEC =∠BFD =90°. ∵AC ∥BD ， ∴∠A =∠D .在△AEC 与△BFD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BD AC B A AEC BFD ∴△AEC ≌△BFD （AAS ）. ∴CE =DF.即C ，D 两地到路段AB 的距离相等.例4.如图5，AC 和BD 是两根旗杆，两根旗杆间相距12 m ，某人从点B 沿BA 走向A ，一定时间他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线夹角为90°，且CM =DM ，已知旗杆AC 的高为3 m ，该人的运动速度为1 m/s ，求这个人运动了多长时间？EF B D C A 图4分析：要帮小春解决的问题是证明∠A =∠C.我们知道三角形全等是证明两个角相等的重要方法，所以需证△ABO ≌△CDO. 已知AB =CD ，隐藏条件∠AOB=∠COD ,还缺少一个条件.再来看已知，AB =CD ，BC =AD ，如果连接AC ，SSS 可证明△ABC ≌△CDA ，可得∠B =∠D ，△ABO ≌△CDO 缺少的条件找到，问题得以解决.连接AC.在△ABC 和△CDA 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,AC AC DA BC CD AB ∴△ABC ≌△CDA （SSS ）. ∴∠B =∠D.在△ABO 和△CDO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=CD,AB D,=B COD,=AOB ∠∠∠∠ ∴△AOB ≌△COD （AAS ）. ∴∠BAO =∠DCB. 即∠A =∠C.小明说还有更简单的办法，具体如下. 连接BD在△ABD 和△CDB 中，ACOBD1.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DEF的大小有什么关系？为什么？2.2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？。
沪科版数学八年级上册教案-两个直角三角形全等的判定、全等三角形的判定方法的综合运用-2课时
14.2三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定教学目标【知识与能力】学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。
【过程与方法】经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。
【情感态度价值观】感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。
教学重难点【教学重点】掌握判定直角三角形全等的特殊方法。
【教学难点】应用“HL”解决直角三角形全等的问题。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱．现工人师傅把一根已固定好(右侧一根AC)，之后小聪很快找到了另一根(左侧一根)在地面上的位置：只要BD＝CD，B点即是．小聪找到的位置是对的吗？二、合作探究探究点一：利用“HL”判定直角三角形全等例1 如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD＝ED；②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④AC＝EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是( )A．①③ B．②④ C．①④ D．②③解析：推出∠ADC ＝∠BDE ＝90°，根据“AAS ”推出两三角形全等，即可判断A 、B ；根据“HL ”即可判断C ；根据“AAA ”不能判断两三角形全等．选项A 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠ADC ＝∠EDB AD ＝DE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项B 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BED ，∠ADC ＝∠BDE AC ＝BE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项C 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在Rt △ADC 和Rt △EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BE ，AD ＝ED ， ∴Rt △ADC ≌Rt △EDB (HL )；选项D 中，根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等；故选D.方法总结：本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”，在直角三角形中，还有“HL ”定理，如果具备条件“SSA ”和“AAA ”都不能判断两三角形全等．例2 下列说法中，正确的个数是( )①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据HL 可得①正确；由“AAS ”或“ASA ”可得②、③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等，故④错误．故选C.方法总结：本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．探究点二：直角三角形全等的判定(“HL ”)与性质的综合运用例3 如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，E 是AB 上一点，AD ＝2，BC ＝4，且AE ＝BC ，DE ＝CE .(1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由；(2)求AB 的长度；(3)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由．解析：(1)根据证明直角三角形全等的“HL ”定理证明即可；(2)由(1)可得，AD ＝BE ，AE ＝BC ，所以，AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ；(3)根据题意，∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，又∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC ，所以，∠AED ＋∠BEC ＝90°，即可证得∠DEC ＝90°，即可得出．解：(1)Rt △ADE ≌Rt △BEC ，理由如下：∵在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，AE ＝BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC (HL )；(2)∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴AD ＝BE ，又∵AE ＝BC ，∴AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ，即AB ＝AD ＋BC ＝2＋4＝6；(3)△CDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC .又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴2(∠AED ＋∠BEC )＝180°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠DEC ＝90°.又∵DE ＝CE ，∴△CDE 是等腰直角三角形．方法总结：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法“HL ”可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL )，即AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △PQA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL )，即AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、板书设计两个直角三角形全等的判定⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形全等的“HL ”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.直角三角形全等的判定方法：“SAS ”，“ASA ”，“SSS ”，“AAS ”，“HL ”.教学反思由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解。
全等三角形解题方法、思路和技巧汇总
全等三角形解题方法、思路和技巧汇总本文主要介绍全等三角形的解题方法、思路和技巧。
全等三角形有五种判定方法：SSS，SAS，AAS，ASA，HL（边边角的特例）。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
因此，我们可以从结论、已知条件入手，或将已知条件和结论综合考虑，寻找可能全等的两个三角形，或者添加辅助线来构造全等三角形。
构造全等三角形的方法有多种。
如果题目中出现角平分线，可以通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，或在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，或在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形。
如果题目中出现中点或者中线，可以倍长中线法，或过中点作某一条边的平行线。
如果题目中出现等腰或者等边三角形，可以找中点，倍长中线，或过顶点作底边的垂线，或过某已知点作一条边的平行线，或三线合一。
如果题目中出现三条线段之间的关系，可以用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，或将某条线段延长，使之与特定线段相等。
如果题目中出现垂直平分线，可以把线段两端点与垂直平分线上的某点连接。
在某些特定题目中还可以使用旋转法、翻折法等。
最后，需要注意的是，在等腰直角三角形中，除了两腰相等、两底角相等外，还有三个度数：45，45，90.这是一个常见的隐藏条件，需要注意。
2、等边三角形除了三条边相等和三个角相等外，还要注意其中每个角都是60度。
通过三线合一，我们还能得到一个30度角。
3、平角的度数是180度，这是我们在计算角度时最容易忽略的。
4、外角和是指一个三角形的所有外角的度数之和，而内角和则是指所有内角的度数之和。
沪科版八年级数学上册14.2全等三角形的判定教学设计
（一）教学重难点
1.知识点方面：全等三角形的判定方法是本章节的重点，尤其是SSS、SAS、ASA、AAS和HL五种判定方法的掌握和应用。难点在于如何让学生理解并灵活运用这些判定方法，特别是在解决复杂问题时能够准确识别和运用。
2.技能方面：培养学生空间想象能力和逻辑推理能力是重点，难点在于如何通过具体的教学活动，让学生在实践中提高这些能力。
4.通过导入环节，激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍全等三角形的定义，让学生理解全等三角形的含义。
2.讲解全等三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL五种方法，通过具体实例和图示，让学生直观地感受这些判定方法的应用。
3.针对每种判定方法，给出典型例题，分析解题思路，让学生了解如何运用这些方法解决问题。
1.基础巩固题：针对全等三角形的判定方法，布置一些基础性的习题，让学生通过练习，巩固所学知识，提高解题技能。此类题目要求学生在课后自主完成，家长签字确认，以培养学生的自主学习习惯。
例题：已知△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABC是等腰三角形。
2.提高拓展题：设计一些综合性的题目，让学生在掌握全等三角形判定方法的基础上，提高自己的逻辑思维能力和空间想象力。
4.通过小组讨论，培养学生合作意识，提高学生的沟通能力和解题技巧。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖全等三角形的判定方法，让学生独立完成。
2.教师巡回指导，针对学生的疑问和困难，给予个别辅导。
3.学生完成后，组织学生互相批改，分享解题心得，提高学生的自我纠错能力。
4.针对共性问题，进行全班讲解，巩固全等三角形的判定方法。
例题：在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，B(4,7)，C(x,y)，且△ABC是全等三角形，求点C的坐标。