(课件)2 幂的乘方与积的乘方(1)-幂的乘方
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北师大版数学七年级下册幂的乘方与积的乘方——幂的乘方课件(第一课时20张)
拓展与延伸
已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3 ，求 m，n 的值.
解：因为16m=4×22n-2，所以24m =22×22n-2 . 所以24m=22n，即4m=2n，2m=n. ① 因为 27n=9×3m+3 ，所以(33)n=32×3m+3 . 所以33n=3m+5，即3n=m+5. ② 由①②得，m=1，n=2.
解：a4n-a6n = (a2n)2- (a2n)3 = 32-33 = -18 .
把指数是积的情势的幂写成幂的乘方，amn=(am)n （m，n都是正整数），然后整体代入，求出式子的值.
课堂小结
幂 的 乘 方
性质：幂的乘方，底数不变， 指数相乘.
(am)n=amn （m，n为正整数）
当堂小练
1.计算(x3)3的结果是（ D ）
新课导入
视察计算结果，你能发现什么规律？ (1) (x2)2 = x2∙x2 = x2+2= x4 ;
(2) (x2)3 = x2∙x2∙x2 = x2+2+2= x6 .
结 论 (1) (x2)2 = x2∙2= x4 ; (2) (x2)3 = x2∙3= x6 .
新课导入
视察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数）
A. x5
B. x6
C. x8
D. x9
2. 下列运算正确的是（ B ）
A. a2·a3=a6 a5
B. (a2)3=a6
C. a5·a5=a25 a10
D. (3x)3=3x3 27x3
当堂小练
3. （1）若2x+y=3，则4x·2y= 8 . （2）已知3m·9m·27m·81m=330，求m的值. 解：3m·32m·33m·34m=330 310m=330 m=3
北师大版数学七年级下册幂的乘方与积的乘方——积的乘方课件(第二课时20张)
第一章 整式的乘除
2 幂的乘方与积的乘方 课时2 积的乘方
学习目标
1.了解并掌握积的乘方的法则，熟练运用幂的乘方的运算法则 进行实际计算.（重点） 2.掌握积的乘方的运算法则的推导.（难点） 3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中 的作用.
新课导入
思 考 边长为 x 的正方形面积为 x2 ，将边长扩大3倍后，新的正方形 的面积为多少呢？
(2)1 [(-a3)2]2 ;
3
解：(1) (-3×102)3 =(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107 ;
(2)
1
[(-3
a3)2]2
1
=(9
)2·(a6)2=811
a12 ;
(3) (-a2b3)3 =(-1)3·(a2)3·(b3)3=-a6b9 .
(3) (-a2b3)3 .
） B. m2·m3=m6
C. (mn)3=mn3
分析：选项A中，m2和2m3不是同类项，不能合并，故而错误； 选项B中，m2·m3=m5，故而错误； 选项D中，(mn)3=m3n3，故而错误.
拓展与延伸
若(4am+nbm)3=64a15b9成立，则（ A ）
A. m=3，n=2
B. m=n=2
C. m=6，n=2
思考：你能总结出积的乘方的运算法则吗?
新课讲授
知识点1 积的乘方
性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
一. 般地，对于任意底数a，b与任意正整数 n.
（ab）n （ab）（ ab）（ ab）
符号表示： (ab)n=anbn （n为正整数）.
n个ab
（a a a）（ b b b）
2 幂的乘方与积的乘方 课时2 积的乘方
学习目标
1.了解并掌握积的乘方的法则，熟练运用幂的乘方的运算法则 进行实际计算.（重点） 2.掌握积的乘方的运算法则的推导.（难点） 3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中 的作用.
新课导入
思 考 边长为 x 的正方形面积为 x2 ，将边长扩大3倍后，新的正方形 的面积为多少呢？
(2)1 [(-a3)2]2 ;
3
解：(1) (-3×102)3 =(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107 ;
(2)
1
[(-3
a3)2]2
1
=(9
)2·(a6)2=811
a12 ;
(3) (-a2b3)3 =(-1)3·(a2)3·(b3)3=-a6b9 .
(3) (-a2b3)3 .
） B. m2·m3=m6
C. (mn)3=mn3
分析：选项A中，m2和2m3不是同类项，不能合并，故而错误； 选项B中，m2·m3=m5，故而错误； 选项D中，(mn)3=m3n3，故而错误.
拓展与延伸
若(4am+nbm)3=64a15b9成立，则（ A ）
A. m=3，n=2
B. m=n=2
C. m=6，n=2
思考：你能总结出积的乘方的运算法则吗?
新课讲授
知识点1 积的乘方
性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
一. 般地，对于任意底数a，b与任意正整数 n.
（ab）n （ab）（ ab）（ ab）
符号表示： (ab)n=anbn （n为正整数）.
n个ab
（a a a）（ b b b）
初中数学北师大版七年级下册《幂的乘方与积的乘方(第2课时)》课件
（2）－(－2x3y4)3 ＝－(－2)3(x3)3(y4)3 ＝－(－8)x9y12 ＝8x9y12
4．计算：
（1）a2·(－a)3·(－a2)4； （2）(3x4y2)2＋(－2x2y)4；
＝a2·(－a3)·a8 ＝－a2·a3·a8 ＝－a13
＝9x8y4＋16x8y4 ＝25x8y4
（3）
探究新知 （1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝3( ) ×5( )；
4
4
（2）(ab)4＝
＝
＝a( )b( )；
（3）(ab)n＝
＝
＝a( )b( )．
解：（2）(ab)4＝(ab)·(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a·a)·(b·b·b·b)＝a4b4；
1.2
幂的乘方与 积的乘方
数学北师大版 七年级下
学习目标 1.掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题．
2.探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达 能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力．
1．同底数幂的乘法的运算性质： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．幂的乘方的运算性质： 幂的乘方，底数不变，指数相乘．
( n )个ab
(ab)n (ab) (ab) (ab)
( n )个a
( n )个b
aa abb b
a( n )b( n )；
(ab)n =a( n )b( n （) n是正整数）．
2.把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达． 积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的
＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9
幂的乘方和积的乘方课件
微积分学
幂的乘方和积的乘方是微积分学中解 决复杂函数求导和积分问题的基础， 特别是在处理幂函数、指数函数和三 角函数的导数和积分时。
科学计算领域
数值分析
幂的乘方和积的乘方在数值分析 中用于提高数值计算的精度和稳 定性，例如在求解方程、插值、
拟合、积分和微分中。
统计学
幂的乘方和积的乘方在统计学中可 用于建立数学模型，特别是对于幂 分布、指数分布和正态分布等。
量子力学
在量子力学中，幂的乘方和积的乘 方可用于描述微观粒子的波函数和 能量层级。
工程领域
电气工程
幂的乘方和积的乘方在电气工程 中用于计算电流、电压和电阻等 电气参数，特别是在电力系统和
电路设计中。
机械工程
幂的乘方和积的乘方在机械工程 中用于计算力学性能，如压力、 应力和应变等，特别是在材料力
学和结构力学中。
性质
当底数a不为0且m为正整 数时，幂的乘方是同底数 幂的乘法的逆运算。
幂的运算规则
底数不变，指数相乘。即 (a^m)^n = a^(m*n)。
负数的偶次幂是正数，奇次幂是 负数。即 (a^m)^(-n) =
1/a^(m*n)，其中m, n为正整数 。
零的任何正整数次幂都是0。即 a^0 = 1，其中a不等于0。
幂的运算应用
在物理学中，幂的乘方可以用 来计算物理量的大小，例如速 度、加速度等。
在化学中，幂的乘方可以用来 计算化学反应中物质的质量和 体积的变化。
在工程学中，幂的乘方可以用 来计算机械零件的强度和刚度 等。
02
积的乘方
定义与性质
定义
积的乘方是指将几个数相乘，再 将所得的幂相乘。
性质
积的乘方的性质与幂的乘方的性 质相似，但需要注意符号和系数 的处理。
1-2幂的乘方与积的乘方(第二课时)课件 2022-2023学年七年级下册 数学北师大版
ZYT
探究新知
自主探究 （1）（3×5）4=(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)
=（3×3×3×3）×（5×5×5×5） =3( 4 )5(4 ). （2）（3×5）m=__(3_×__5_)×_(_3_×_5_)×_…__×_(_3_×_5_) _
m个3×5
=__(_3_×_3_×_…__×_3_) ×(5×5_×_…__×_5)__
0.254
5 7
6
4
4
1
2 5
6
5 7
6
0.254
44Leabharlann 7 55 76
0.25 44
11
1.
(2)0.125 2019×(－8 2020)．
(2)0.1252019×(－8 2020) ＝－0.1252019×8 2020 ＝－0.125 2019×82020×8 ＝－(0.125×8)2019×8 ＝－12019×8 ＝－8.
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个 因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏方．
ZYT
典例精析
例2 太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R
分别代表球的体积和半径，那么V＝
4 3
πR3，太
阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多
少立方千米(π取3)?
解：因为R＝6×105千米，
所以V＝
4 3
ZYT
课堂检测
能力提升题
8.计算:
（1）2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7;
解：原式=2x6·x3－27x9+25x2·x7
= 2x9－27x9+25x9 = 0;
（2）(3xy2)2+(－4xy3) · (－xy) ; 解：原式=9x2y4 +4x2y4=13x2y4;
探究新知
自主探究 （1）（3×5）4=(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)
=（3×3×3×3）×（5×5×5×5） =3( 4 )5(4 ). （2）（3×5）m=__(3_×__5_)×_(_3_×_5_)×_…__×_(_3_×_5_) _
m个3×5
=__(_3_×_3_×_…__×_3_) ×(5×5_×_…__×_5)__
0.254
5 7
6
4
4
1
2 5
6
5 7
6
0.254
44Leabharlann 7 55 76
0.25 44
11
1.
(2)0.125 2019×(－8 2020)．
(2)0.1252019×(－8 2020) ＝－0.1252019×8 2020 ＝－0.125 2019×82020×8 ＝－(0.125×8)2019×8 ＝－12019×8 ＝－8.
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个 因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏方．
ZYT
典例精析
例2 太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R
分别代表球的体积和半径，那么V＝
4 3
πR3，太
阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多
少立方千米(π取3)?
解：因为R＝6×105千米，
所以V＝
4 3
ZYT
课堂检测
能力提升题
8.计算:
（1）2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7;
解：原式=2x6·x3－27x9+25x2·x7
= 2x9－27x9+25x9 = 0;
（2）(3xy2)2+(－4xy3) · (－xy) ; 解：原式=9x2y4 +4x2y4=13x2y4;
教学课件：七下湘教2.幂的乘方与积的乘方(第1课时幂的乘方)
知识讲授
做一做 请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，
视察计算结果，你能发现什么规律？
2
3
2
3
( 2 ) = ___________ ；
( ) = ___正整数）.
2
知识讲授
2
3
2
2
2
2+2+2
( 2 ) = 2 ·2 ·2 = 2
m n
知识讲授
练一练：
20
10
2
5
2
2
y
(y
)
[(y ) ] =______=________；
x5mn
(x5m)n
[(x5)m]n=______=______.
知识讲授
幂的乘方法则的逆用
a
mn
(a ) (a )
m n
n m
(m，n都是正整数）
幂的乘方的逆运算：
(1)13·7=（20）=( 4 )5=( 5 )4=( 2 )10
随堂训练
1. 下列各式中，与 5+1相等的是（
A.（ 5)+1
B.（+1)5
C.·( 5)
D. · 5 ·
2. 14不可以写成（
c
c
）
）
A. 5·( 3)3
B. (-) ·(- 2) ·(- 3) ·(- 8)
C.( 7)7
D. 3 · 4 · 5 · 2
解： (1) (103)5=103×5 =1015 ;
(2) (4)4=4×4=16;
(3) ()2=×2= 2 ;
(4) -(4)3 =-4×3=-12 .
(4)-(4)3.
人教版八年级上册课件 14.1.2 幂的乘方和积的乘方 (共48张PPT)
2018/8/1
温故知新
1.幂的乘方的法则 语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 ( a ) a
m n
m n
(m、n都是正整数） .
公式中的a可表示一 个数、字母、式子等 .
2.幂的乘方的法则可以逆用.即
a
mn
(a ) (a )
m n
n m
3.多重乘方也具有这一性质.如
[(a ) ] a
已知：am=2， an=3.
m+n 求a
= ？.
=2 × 3=6
解： am+n = am · an
2018/8/1
1.( x) （ -x） ( x)
6 5
2.( y x) （ x-y）
3 4
2018/8/1
判断下面计算是否正确，如有错误请改正。
a +a a
6 6
12
(×)
2018/8/1
(3) (am)2= a mΧ 2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4Χ3 = - x12 .
计算： (1) (103)3; (2) (x3)2;
(3) - ( xm )5 ; ⑸ ( y 3 )2
(4) (a2 )3∙ a5;
⑹
[(a b) 3 ]4
幂的乘方法则(重点) 例 2：计算： (1)(x2)3； (3)(a3)2－(a2)3; (2)－(x9)8； (4)(a2)3· a5.
a
6
a a
6
2a
2018/8/1
6
2、
(1) [(x y) ]
3 4
⑵ (a-b)3［(a-b)3］2
⑶［(x-y)2］2［(y-x)2］3
温故知新
1.幂的乘方的法则 语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 ( a ) a
m n
m n
(m、n都是正整数） .
公式中的a可表示一 个数、字母、式子等 .
2.幂的乘方的法则可以逆用.即
a
mn
(a ) (a )
m n
n m
3.多重乘方也具有这一性质.如
[(a ) ] a
已知：am=2， an=3.
m+n 求a
= ？.
=2 × 3=6
解： am+n = am · an
2018/8/1
1.( x) （ -x） ( x)
6 5
2.( y x) （ x-y）
3 4
2018/8/1
判断下面计算是否正确，如有错误请改正。
a +a a
6 6
12
(×)
2018/8/1
(3) (am)2= a mΧ 2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4Χ3 = - x12 .
计算： (1) (103)3; (2) (x3)2;
(3) - ( xm )5 ; ⑸ ( y 3 )2
(4) (a2 )3∙ a5;
⑹
[(a b) 3 ]4
幂的乘方法则(重点) 例 2：计算： (1)(x2)3； (3)(a3)2－(a2)3; (2)－(x9)8； (4)(a2)3· a5.
a
6
a a
6
2a
2018/8/1
6
2、
(1) [(x y) ]
3 4
⑵ (a-b)3［(a-b)3］2
⑶［(x-y)2］2［(y-x)2］3
教学课件：七下湘教2.幂的乘方与积的乘方(第2课时积的乘方)
( ×)
(2) (3xy)3=9x3y3
( ×)
(3) (-2a2)2=-4a4
(× )
(4) -(-ab2)2=a2b4
(×)
7
7
3
5 3 5
5
×
(5) ( ) ( ) (
) 1 ( √ )
3 7
3 7
随堂训练
3.计算：
(1)（-223)3
(2) (-332)4
解：(1)原式=(-2)3 ·(2)3 ·(3)3
3n=9 ，3m+3=15，
n=3，m=4.
随堂训练
提高题：
已知=5,=3,求(-)的值.
课堂小结
1、积的乘方法则
(ab)n = anbn （n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____，再
语言表述：
乘方
把所得的幂________.
相乘
2.积的乘方公式的推广
(abc)n = anbncn （n为正整数）
3.积的乘方法则的逆用
anbn = (ab)n （n为正整数）
第二章 整式的乘法
2.1 整式的乘法
2.1.2
幂的乘方与积的乘方
第2课时 积的乘方
学习目标
1 经历探索积的乘方运算性质的过程，理解并掌握
积的乘方法则.（重点）
2 会运用积的乘方法则进行运算.（难点）
新课导入
想一想：
若已知一个正方体的棱长为2×103 cm,
你能计算出它的体积是多少吗？
V (2 103 )3 (cm3 )
16
知识讲授
例2
计算：
3
3 2
2( ) - 3( ) .
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(1 ) a 2 . a 4 + (
解:原式=
2 3 a
)
a
2 4
a
6
32
a a
6
2a
6
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( 2 )( x 3 ) 2 . ( x 4 ) 2 解:原式= . × 3 2 x
2 x 4×
解: (1)(105)3=105Χ 3 =1015 ; (2)(x4)2=x4Χ 2=x8;
(3)(-a2)3= -a
2Χ 3
= -a
6
;
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计算：
(1) (3) ⑸ (103)3; - ( xm )5 ; (2)(x3)2; (4)(a2 )3∙ a5;
比较 幂的乘方与同底数幂的乘法的异同:
a a a
m n
mn
; (a ) a (m, n为正整数）
m n mn
相同点是 不同点是：
公式中 都是底数不变 的a可代 同底数幂的乘法是指数相加；表一个 数、字 而幂的乘方是指数相乘． 母、式 子等.
[(a ) ] ? a mnp (m, n, p为正整数）
x x x ;
3 3 9
3
6
aa a ;
3 3
3．计算：
x y x y x y x y
2
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思考
(52)3表示什么？ (2 3)2表示什么？ (a2)3表示什么？ (a3)4表示什么？
（根据 同底数幂的乘法法则）
10 6 10
2 3
23
(根据乘法的定义)
(10 ) 10
23
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对于任意底数a与任意正整数m,n, (a )
m
n
?
(a ) a a a
m n m m m n个a m
(乘方的意义)
a
n个 m
m m m (同底数幂的乘法法则)
a
mn
mn
(乘法的定义)
(a ) a
m n
（m，n都是正整数）． ，指数 相乘 ．
幂的乘方，底数 不变
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例2:计算: (1)(105)3; (3) (-a2)3; (2) (x4)2;
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算 的结果有什么规律:
(52)3 ( 2 3) 2
=52
Χ
52 Χ 52=56
=
( a 2) 3
= =
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( a 3) 4
2 （根据 乘方的意义 (10 ) 10 10 10 2 3 2 2
）
10
2 2 2
m n p
能否利用幂的乘方法则来进行计算呢?
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已知,44•83=2x,求x的值. 解: 4 4
8 (2 ) (2 )
3 2 4
ห้องสมุดไป่ตู้
3 3
2 2
8
9
所以x 17
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2
17
幂的乘方的法则： (am)n = amn (m,n 都是正整数). 幂 的 意 义 底数 不变 ， 指数 相乘 . 同底数幂乘法法则： am· an=am+n(m,n都是正整数) 底数 不变 ，指数 相加 .
= x6. x8 = x 6 + 8 = x 14
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数学是一种理性的精神，使人类的思维
得以运用到最完善的程度。
——克莱因
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3 4 [( a b ) ] ⑹
( y )
3
2
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把 [(x 解：
y) ]
2 4
2 4
化成 ( x
y)
n
的形式.
[(x y) ] ( x y)
24
( x y)
8
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义务教育教科书（沪科）七年级数学下册
第8章 整式乘法与因式分解 8.1 幂的运算
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1．口述同底数幂的乘法法则． 2．下面的计算对不对？如果不对应该怎样改正？ ⑴ ⑶ ⑸
x x 2x ;
3 3 3
⑵ ⑷
x x x ;
3 3 6
x x 2x ;
3 3 6
(1 ) a 2 . a 4 + (
解:原式=
2 3 a
)
a
2 4
a
6
32
a a
6
2a
6
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( 2 )( x 3 ) 2 . ( x 4 ) 2 解:原式= . × 3 2 x
2 x 4×
解: (1)(105)3=105Χ 3 =1015 ; (2)(x4)2=x4Χ 2=x8;
(3)(-a2)3= -a
2Χ 3
= -a
6
;
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计算：
(1) (3) ⑸ (103)3; - ( xm )5 ; (2)(x3)2; (4)(a2 )3∙ a5;
比较 幂的乘方与同底数幂的乘法的异同:
a a a
m n
mn
; (a ) a (m, n为正整数）
m n mn
相同点是 不同点是：
公式中 都是底数不变 的a可代 同底数幂的乘法是指数相加；表一个 数、字 而幂的乘方是指数相乘． 母、式 子等.
[(a ) ] ? a mnp (m, n, p为正整数）
x x x ;
3 3 9
3
6
aa a ;
3 3
3．计算：
x y x y x y x y
2
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思考
(52)3表示什么？ (2 3)2表示什么？ (a2)3表示什么？ (a3)4表示什么？
（根据 同底数幂的乘法法则）
10 6 10
2 3
23
(根据乘法的定义)
(10 ) 10
23
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对于任意底数a与任意正整数m,n, (a )
m
n
?
(a ) a a a
m n m m m n个a m
(乘方的意义)
a
n个 m
m m m (同底数幂的乘法法则)
a
mn
mn
(乘法的定义)
(a ) a
m n
（m，n都是正整数）． ，指数 相乘 ．
幂的乘方，底数 不变
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例2:计算: (1)(105)3; (3) (-a2)3; (2) (x4)2;
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算 的结果有什么规律:
(52)3 ( 2 3) 2
=52
Χ
52 Χ 52=56
=
( a 2) 3
= =
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( a 3) 4
2 （根据 乘方的意义 (10 ) 10 10 10 2 3 2 2
）
10
2 2 2
m n p
能否利用幂的乘方法则来进行计算呢?
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已知,44•83=2x,求x的值. 解: 4 4
8 (2 ) (2 )
3 2 4
ห้องสมุดไป่ตู้
3 3
2 2
8
9
所以x 17
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2
17
幂的乘方的法则： (am)n = amn (m,n 都是正整数). 幂 的 意 义 底数 不变 ， 指数 相乘 . 同底数幂乘法法则： am· an=am+n(m,n都是正整数) 底数 不变 ，指数 相加 .
= x6. x8 = x 6 + 8 = x 14
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数学是一种理性的精神，使人类的思维
得以运用到最完善的程度。
——克莱因
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3 4 [( a b ) ] ⑹
( y )
3
2
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把 [(x 解：
y) ]
2 4
2 4
化成 ( x
y)
n
的形式.
[(x y) ] ( x y)
24
( x y)
8
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第8章 整式乘法与因式分解 8.1 幂的运算
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1．口述同底数幂的乘法法则． 2．下面的计算对不对？如果不对应该怎样改正？ ⑴ ⑶ ⑸
x x 2x ;
3 3 3
⑵ ⑷
x x x ;
3 3 6
x x 2x ;
3 3 6