高三理科数学第一轮复习§4.5：解三角形应用举例
高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形第七节 解三角形的应用举例
•5．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔 顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为 ________m.
解析：如图所示，设塔高为 h m．由题意及图可知： (200－h)·tan60°＝ta2n0600° 解得：h＝4030 m.
答案：4030
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在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追 截走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北 偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私 船？
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•3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离 相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B 在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
()
•A．北偏东10° 10°
B．北偏西
•C．南偏东10° 10°
D．南偏西
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•解析：如图所示，由已知 •∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， •又AC＝BC， •∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°. •∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°. •答案：B
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•4．如图，在△ABC中，若A＝120°，AB＝5 ，BC＝7，则S△ABC＝_____.
•解析：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2 ＋AC2－2AB·ACcos120°， •即49＝25＋AC2＋5AC， •解之得AC＝3.
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∴S△ABC＝12AB·ACsinA＝12×5×3× 23＝145 3. 答案：145 3
专题4.5正弦定理和余弦定理的应用(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；①利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ①B ①C 为( ) A ．1①1①3 B ．1①2①3 C ．1①3①2D ．1①4①1【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ①B ①C ＝1①2①3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，①ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小；①若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos①ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos①BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos①BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则①ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．【例2】在①ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则①ABC 的形状为 ．【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，A ＝π2或A ＝B ，故①ABC 为等腰或直角三角形．题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S ①ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ①ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则①ABC的面积为 ．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以①ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以①ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则①ABC 的面积为 ．【解析】因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S ①ABC ＝12ab sin C＝12×23sin π6＝32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且①ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由①ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若①ABC 的面积为3，周长为8，求a .【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求①ABC 外接圆的直径；(2)求a ＋c 的取值范围．【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，①ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，从而32＜3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ①R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，①ABC 的面积为12，求a 的值．【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1.令2x ＋π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-，k ①Z ，解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z .(2)因为f (A )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＋1＝2，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA ＝1. 因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由①ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，解得a ＝3－1. 【例2】①ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【解析】：(1)法一：在①ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0，则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2，此时B ＝π2.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中，a ①b ①c ＝3①5①7，那么①ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形【解析】：因为a ①b ①c ＝3①5①7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，①ABC 是钝角三角形，故选B. 2．(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则①ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：在①ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ①(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以①ABC 的形状是等边三角形，故选C.3．(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( ) A.823 B.1433 C.73D ．733【解析】：因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D. 4．(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sinB ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24 B.24 C.528D ．34【解析】：由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为①ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.5．(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°【解析】：法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sin C ＝12sin C ，又在①ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ，b ，c 分别为①ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ①sin B ＝1①3，c ＝2cos C ＝3，则①ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3 B ．23 C ．3＋2 3D ．3＋3【解析】：因为sin A ①sin B ＝1①3，所以b ＝3a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以①ABC 的周长为3＋23，故选C.7．(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，①ABC的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B.5 C.13D ．17【解析】：因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A . 所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.易得cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a ＝1.故选A. 8．(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，①ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( ) A ．10 B ．12 C ．8＋ 3D ．8＋23【解析】：因为①ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cosA ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以①ABC 为正三角形，所以①ABC 的周长为3×4＝12.故选B.9．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，①D ＝90°，①BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B.6C.7D ．22【解析】：如图，在①ACD 中，①D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以①CAD ＝60°.又①BAD ＝120°，所以①BAC ＝①BAD －①CAD ＝60°.在①ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos①BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2Cc ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]【解析】：根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.二、填空题1.在①ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为 ． 【解析】：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B . 2．(2020·天津模拟)在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝ ．【解析】：在①ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sinC ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.3．(2020·河南期末改编)在①ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，则C ＝ ，BC ＝ ．【解析】：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.4.在①ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则①ABC 的面积为 ．【解析】：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S ①ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.5．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝ ，①ABC 的面积等于 ．【解析】：①ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝4×sinπ323＝1.又B 为三角形的内角，所以B ＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2，所以S ①ABC ＝12×2×23＝2 3.6．在①ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S ①ABC ＝574，则b 的值为 ．【解析】：由sin A sin B ＝5c 2b ①a b ＝5c 2b ①a ＝52c ，①由S ①ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，①联立①，①得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．【解析】：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA ＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4. (2)在①ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 2.在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求cos B 的值．【解析】：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求①ABC 面积的最大值．【解析】：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S ①ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故①ABC 面积的最大值为2＋ 3.4．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：①ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且①ADB ＝2①ACD ，a ＝3，求b 的值．【解析】：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c .故①ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为①ADB ＝2①ACD ＝①ACD ＋①DAC ， 所以①ACD ＝①DAC ，所以AD ＝CD ＝1.又因为cos①ADB ＝－cos①ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3.法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以①B ＝①C ，又因为①DAC ＝①ADB －①C ＝2①C －①C ＝①C ＝①B ， 所以①CAB ①①CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知①ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】：(1)因为S ①ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6.由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-＝13.所以BD ＝13.。
解三角形应用举例课件-2025届高三数学一轮复习
B )
[解析] 灯塔 A ， B 的相对位置如图所示，由已知得∠ ACB ＝80°，∠ CAB ＝∠ CBA
＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故选B.
3. [教材改编]已知 A 船在灯塔 C 的北偏东85°方向且 A 到 C 的距离为2 km， B 船在灯
塔 C 的西偏北25°方向且 B 到 C 的距离为 3 km，则 A ， B 两船的距离为(
2
在△ ACD 中，由正弦定理得
＝
，得
sin30°
sin∠
sin ∠ CDA ＝
1
×12
2
12
3
＝
3
，
2
故∠ CDA ＝60°或∠ CDA ＝120°，因为 AD ＞ AC ，所以∠ CDA 为锐角，
所以∠ CDA ＝60°，故C错误，D正确.故选ABD.
1. [角度1]如图，曲柄连杆机构中，曲柄 CB 绕 C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，使
二、基础题练习
1. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 A ， B 两点( A ， B 与树所在的直线
在同一平面内)，从 A ， B 两点测得树尖 P 的仰角分别为30°和45°，且 A ， B 两点之
间的距离为60 m，则树的高度为(
A )
A. (30＋30 3)m
B. (30＋15 3)m
AA'－CC'约为( 3 ≈1.732)(
A. 346
B. 373
B )
C. 446
D. 473
[解析] 如图所示，根据题意过 C 作 CE ∥C'B'，交BB'于 E ，过 B 作 BD ∥A'B'，交
一轮复习课时训练§4.5：解三角形应用举例
第四章§5：解三角形应用举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为A．16 B．17 C．18 D．192．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为A． 3 B．23C．3或2 3 D．33．台风中心从A地以每小时v千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，城市B处在危险区内的时间为1小时，则v 等于A．10 B．20C．25 D．304．如图，在山脚测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______ mA．1 000 B．1 0002C．1 000 3 D．2 0005．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为A．20(2＋6)海里/小时B．20(6－2)海里/小时C．20(6＋3)海里/小时D．20(6－3)海里/小时二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了20分钟，从D沿着DC走到C用了30分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为___米．7．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．8．如图所示，三座建筑物AB，CD，EF在同一竖直平面内，在建筑物CD顶端观察B，F两点俯角都为60°，且AC＝4，CE＝2，则BF的值________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）2010年8月23日，宁夏中卫市美利工业园区内的三雅精细化工厂发生爆炸，宁夏中卫市消防支队官兵迅速赶到现场安排了两支水枪，现场的示意图如右，D是着火点，A，B分别是水枪位置，已知AB＝152米，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝21 7)参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：如图，由题意知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝4＋9＋6＝19，∴BC ＝19.答案：D2．解析：如图，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由正弦定理BC sin ∠CAB ＝AC sin30°，得∠CAB ＝60°或120°.当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝90°，AB ＝23；当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，AB ＝ 3.答案：C3．解析：如图，BD ＝BE ＝30时，DE 为台风影响城市B 的距离． 又∵∠BAE ＝45°，AB ＝40，∴CB ＝202，∴DE ＝2CE ＝2BE 2－BC 2＝2900－800＝20.∴v ＝20.答案：B4．解析：DC ＝ASsin ∠SAC ＝1 000sin30°＝500(m)．又在△ASB 中，∠BAS ＝15°，∠ABS ＝30°，AS ＝1 000，∴由正弦定理得BS ＝ASsin15°sin30°＝2 000sin15°. 在Rt △BSD 中，BD ＝BSsin75°＝2 000sin15°sin75°＝2 000sin15°cos15°＝500(m)， ∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000(m)．答案：A5．解析：由题意知SM ＝20，∠SNM ＝105°，∠NMS ＝45°，∴∠MSN ＝30°，∴MN sin30°＝20sin105°， ∴MN ＝10sin105°＝10(6－2)， ∴货轮航行的速度v ＝10(6－2)12＝20(6－2)海里/小时． 答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知得CD ＝1 500，OD ＝1 000，∠CDO ＝60°，由余弦定理得OC 2＝OD 2＋DC 2－2OD·CD·cos ∠CDO ＝1 750 000， ∴OC ＝5007.答案：50077．解析：如图，依题意有PB ＝BA ＝30，PC ＝BC ＝10 3.在三角形BPC 中，由余弦定理可得cos2θ＝(103)2＋302－(103)22×103×30＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°，在三角形PCD 中可得PD ＝PC·sin4θ＝103·32＝15(m)． 答案：15 m8．解析：由已知得∠BDC ＝∠FDC ＝30°，又∵AC ＝4，CE ＝2，∴BD ＝8，DF ＝4.则由余弦定理得BF 2＝BD 2＋DF 2－2BD·DF·cos ∠BDF ＝64＋16－32＝48. ∴BF ＝4 3.答案：43三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC，解得AC ＝15. 又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， 由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，解得BC ＝15(6＋2)2， 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3.综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为30米，155＋3米．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由题意得：△ABC 中，AB ＝20，AC ＝10，∠CAB ＝120°， ∴CB 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos ∠CAB ，即CB 2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700，BC ＝107， 所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为107海里．(2)△ABC 中，AB ＝20，BC ＝107，∠CAB ＝120°， 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠CAB， 即20sin ∠ACB ＝107sin ∠120°， ∴sin ∠ACB ＝217. ∵cos49°＝sin41°＝217， ∴∠ACB ＝41°，故救援船应沿北偏东71°的方向救援．。
2020届高三文理科数学一轮复习《解三角形的实际应用举例》专题汇编(教师版)
《解三角形的实际应用举例》专题一、相关知识点1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．方位角θ的范围是0°≤θ＜360°(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角叫作坡角(如图③，角θ为坡角．)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图③，i为坡度)．③题型一测量距离问题求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10 km B．10 3 km C．10 5 km D．107 km解析：选D，如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝107(km)．2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A 成75°视角，则BC等于()A ．10 3 n mileB ．1063n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile 解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°，∴BC sin 60°＝10sin 45°，∴BC ＝5 6. 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A ．15 2 kmB ．30 2 kmC ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B.如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝302，故选B.4．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.解析：在△ABS 中，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ASB ＝BS sin ∠BAS，则AB ＝82sin 45°sin 30°＝16，故此船的船速是160.5＝32 n mile/h.5．如图，某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°方向上，距离为126海里，灯塔C 在A 的北偏西30°方向上，距离为83海里，游轮由A 处向正北方向航行到D 处时再看灯塔B ，B 在南偏东60°方向上，则C 与D 的距离为( )A ．20海里B ．8 3 海里C ．23 2 海里D ．24海里解析：△ABD 中，因为灯塔B 在A 的北偏东75°方向上，距离为126海里，货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，再看灯塔B ，B 在南偏东60°方向上，则B ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，可得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24海里．在△ACD 中，AD ＝24海里，AC ＝8 3 海里，∠CAD ＝30°，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192. 所以CD ＝8 3 海里．故选B.6．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里)．7.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分)． 8．如图所示，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．25 3 mC ．25 2 mD ．50 2 m解析：D ，因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠B ＝30°.由正弦定理可知AC sin B ＝AB sin C，即50sin 30°＝AB sin 45°，解得AB ＝50 2 m ． 9．(理科)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125解析：C ，如图所示：AB ＝150，AC ＝200，B ＝α，C ＝β，在Rt △ADB 中，AD ＝AB sin α＝150sin α，BD ＝AB cos α，在Rt △ADC 中，AD ＝AC sin β＝200sin β，CD ＝AC cos β，∴150sin α＝200sin β，即3sin α＝4sin β，①，又cos α＝34cos β，②， 由①②解得sin β＝35，cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35. ∴BD ＝AB cos α＝150×35＝90，CD ＝AC cos β＝200×45＝160， ∴BC ＝BD ＋CD ＝90＋160＝250，∴v ＝2502.5＝100.故选C. 题型二 测量高度问题求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．1．如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝解析：由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a . 2．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：设塔高为x m ，则由已知可得BC ＝x m ，BD ＝3x m ，由余弦定理可得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，即3x 2＝x 2＋5002＋500x ，解得x ＝500(m)．3．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解析：根据图示，AC ＝100 2 m. 在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)． 4．如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 5．如图，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为___米．解析：如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米． 在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米． 题型三 测量角度问题解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．1．如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为________．解析：如图，连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝217. 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A 在点B 的北偏西15°.3．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解析：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.。
专题4.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)
2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题4.5 正弦定理和余弦定理目录一、题型全归纳 (1)题型一利用正、余弦定理解三角形 (1)类型一用正弦定理解三角形 (2)类型二用余弦定理解三角形 (2)类型三综合利用正、余弦定理解三角形 (3)题型二利用正、余弦定理边角互化 (5)题型三与三角形面积有关的问题 (7)二、高效训练突破 (10)一、题型全归纳题型一利用正、余弦定理解三角形【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asin A＝bsin B＝csin C，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asin A＝bsin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asin A＝csin C可求出c，而通过asin A＝bsin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．类型一 用正弦定理解三角形【例1】．(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC 中，B ＝π6，c ＝4，cos C ＝53，则b ＝( )A ．3 3B ．3 C.32D.43【例2】．(2020·丹东模拟)在△ABC 中，C ＝60°，AC ＝2，AB ＝3，则A ＝( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．105°类型二 用余弦定理解三角形【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，AC ＝4，则BD ＝( ) A ．4 B.10 C.19D.7【例4】．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72，则BC ＝________．类型三 综合利用正、余弦定理解三角形【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C. △求A ；△若2a ＋b ＝2c ，求sin C.【例6】在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．题型二利用正、余弦定理边角互化【题型要点】1．应用正、余弦定理转化边角关系的技巧2．利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．【例1】(2020·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【例2】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【例3】(2020·黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a cos A ＝c cos B ＋b cos C . (1)求角A ；(2)若a ＝13，AB →·AC →＝6，求△ABC 的周长．题型三 与三角形面积有关的问题【题型要点】1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解. 【例1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD △AC ，求△ABD 的面积．【例2】(2019·全国卷△)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．【例3】(2020·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．二、高效训练突破一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定2．已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )A ．2B ．1 C.3 D.23.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝1213，a ＝1，则b 等于( )A ．2 B.5613 C.2113D.56394.(2020·成都模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π66.(2020·安徽省江南十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝27，c ＝3，B ＝2C ，则cos2C 的值为( ) A.73B.59C.49D.747.(2020·许昌摸底)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(C －A )＝12sin B ，且b ＝4，则c 2－a 2＝( ) A ．10 B ．8 C ．7D ．48．(2020·泸州模拟)在△ABC 中，角B 为3π4，BC 边上的高恰为BC 边长的一半，则cos A ＝( )A.255B.55C.23D.539.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b ＞c ，则bc ＝( )A.32 B ．2 C ．3 D.5210．(2020·太原五中模拟)在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B 2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 二、填空题1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A ＝________．2.(2020·衡阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2bc －c b －bc ＝3，△ABC 外接圆的半径为3，则a ＝________.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________．4.(2020·江西省九江市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，且△ABC 的面积为3，则a 的值为________． 5．(2020·海淀模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．6．(2020·揭阳摸底)在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ABD ＝π6.若AB ＝3BD ，则△CAD ＝________.若AC ＝2AD ＝2，则△ABC 的面积为________． 三、解答题1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．2.(2020·西安质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．4．(2020·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，△DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.(1)若△CDE的面积为32，求DE的长；(2)若7CF＝4DF，求sin△DFC.5．(2020·郑州模拟)在△ABC中，AB＝23，AC＝3，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2.(1)求BDDC的值；(2)求角A的大小．。
高三一轮复习--25解三角形应用举例
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2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)
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①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②东北方向；指北偏东45°或东偏北45°. ③其他方向角类似．
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4．坡度
坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
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[考题巧解]————————(一样的结果，更简洁的过程) [巧思] 欲求BC边上的高，由于b已知，需求出sin C； 为求sin C，可采用诱导公式和三角形内角和定理求sin (A＋B)，为此先求A、B的正、余弦值，并注意b<a这一隐 含条件．
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[妙解] 由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得 1 3 1－2cos A＝0，所以cos A＝2，sin A＝ 2 . bsin A 2 再由正弦定理，得sin B＝ a ＝ 2 . π 由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<2，从而 ⇨(3分) ⇨(5分)
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∴∠ABC＝45° ，∴BC与正北方向垂直． ∵∠CBD＝90° ＋30° ＝120° . 在△BCD中，由正弦定理得， BD· ∠CBD 10tsin 120° 1 sin sin ∠BCD＝ ＝ ＝2， CD 10 3t ∴∠BCD＝30° ， 即缉私船沿东偏北30° 方向能最快追上走私船．
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3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、
B间的距离，给定下列四组数据，不 能确定A、B间距离的是 A．α，a，b C．a，b，γ ( )
B．α，β，a D．α，β，b
解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确
定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似. 答案：A
2011届高三数学一轮复习精品课件：解三角形应用举例
课堂互动讲练
考点三 测量角度
测量角度问题也就是通过解三角 形求角问题， 形求角问题，求角问题可以转化为求 该角的函数值； 该角的函数值；如果是用余弦定理求 得该角的余弦，该角容易确定， 得该角的余弦，该角容易确定，如果 用正弦定理求得该角的正弦， 用正弦定理求得该角的正弦，就需要 讨论解的情况了． 讨论解的情况了．
课堂互动讲练
结合题意 思路点拨】 【思路点拨】 画出图形 在底面三角形 中借助余弦定 理列方程 用山高h表示 用山高 表示 底面三角形未 知边长度
解方程 求出高h 求出高
课堂互动讲练
【解】 画出示意图
课堂互动练
设山高 PQ＝h，则△APQ、△ BPQ 均 ＝ ， 、 为直角三角形， 为直角三角形， 在图① 在图 ①中 ， PAQ＝30°， PBQ＝45°. ∠ ＝ ， ∠ ＝ 1 ∴AQ ＝ PQ ＝ 3 h ， BQ ＝ tan30° 1 PQ ＝ h. tan45° 在图② 在图 ②中，∠ AQB＝57°＋78°＝ 135°， ＝ ＋ ＝ ， AB＝ 2500， ＝ ，
三基能力强化
1．两座灯塔A和B与海岸观察站 ．两座灯塔 和 与海岸观察站 C的距离相等，灯塔 在观察站北偏东 的距离相等， 的距离相等 灯塔A在观察站北偏东 40°，灯塔 在观察站南偏东 °， 在观察站南偏东60° ° 灯塔B在观察站南偏东 则灯塔A在灯塔 的( 则灯塔 在灯塔B的 ) 在灯塔 A．北偏东 ° ．北偏东10° B．北偏西 ° ．北偏西10° C．南偏东 ° ．南偏东10° D．南偏西 ° ．南偏西10° 答案：B 答案：
速度追截走私船．此时， 速度追截走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从 处向北偏东 ° 的速度从B处向北偏东 的速度从 处向北偏东30° 方向逃窜， 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最 快追上走私船？ 快追上走私船？
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第四章：平面向量与解三角形 §4.5：解三角形应用举例
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第四章：平面向量与解三§4.5：解三角形应用举例
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