新浙教版九年级数学上册第一第二章培优班练习卷

期末模拟试题(一)- 2022-2023学年九年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)

2022-2023学年九年级上期期末模拟试题（一）测试内容:九年级上全册+九年级下1-2章注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·浙江九年级期末）对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频数表如下：抽取件数50 100 150 200 500 800 1000合格频数30 80 120 140 445 720 900合格频率0.6 0.8 0.8 0.7 0.89 0.9 0.9估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（）A．1080套B．960套C．840套D．720套【答案】A【分析】根据表格中数据估计合格校服的概率约为0.9，再根据概率公式计算即可．【详解】解：根据表格数据可估计合格校服的概率约为0.9，∴估计出售1200套校服，其中合格校服大约有1200×0.9=1080（套），故选：A．【点睛】本题考查频率估计概率、样本估计总体，根据表格数据估计出合格校服的概率是解答的关键．2．（2022·四川巴中市·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BP APAP AB=，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对【答案】A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜P A，PB＝x，则P A＝20−x，则BP APAP AB=，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜P A，PB＝x，则P A＝20−x，∴BP APAP AB=，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．3.（2022·石家庄市九年级二模）现从四个数2-，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数y ax b =+中a ，b 的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（）A ．16B ．112 C ．13D ．23【答案】A【分析】先利用列表的方法求解从四个数2-，0，1，2中任意选出两个不同的数的结果数，再判断使函数y ax b =+的图像分布在一二三象限的结果数，再直接利用概率公式进行计算即可得到答案. 【详解】解：列表如下：2-0 1 22-()2,0-()2,1-()2,2- 0()0,2-0,1()0,21()1,2-()1,01,22()2,2- ()2,0 ()2,1一共有12种等可能的结果，而y ax b =+分布在一二三象限，a ∴＞0,b ＞0, 所以符合条件的等可能的结果数有2种，所以使y ax b =+分布在一二三象限的概率是21=.126选：.A 【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，一次函数的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.4．（2022•绵阳市九年级一模）如图，以O 为圆心的，C 、D 三等分，连MN 、CD ，下列结论错误的是（）A ．∠COM ＝∠CODB ．若OM ＝MN ，则∠AOB ＝20°C ．MN ∥CD D ．MN ＝3CD 【分析】连接ON 、MC 、DN ，过点O 作OE ⊥CD 交于点E ，根据圆周角定理判断A ；根据等边三角形的判定定理和性质定理判断B；根据垂径定理、平行线的判定定理判断C，根据两点之间线段最短判断D．【解析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，∵，∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵，∴∠AOB＝20°，B选项结论正确，不符合题意；∵OE⊥CD，∴，∴，∴OE⊥MN，∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理、平行线的判定，掌握圆心角、弧、弦直径的关系定理是解题的关键．5．（2022·广西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF 并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7【答案】A【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝EH，即可得EH：CH＝2：3，根据平行线等分线段定理即可得23 AD EHDC CH==．【详解】解：如图，过点D作DH∥AE交BC于H，∵BF ＝DF ，FE ∥DH ，∴BE ＝EH ，∴BE ：BC ＝2：7，∴EH ：CH ＝2：3， ∵AE ∥DH ，∴23AD EH DC CH ==，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题．6．（2022·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 内接于O ，DC 、BC 交EF 于G 、H ，若正方形ABCD 的边长是4，则GH 的长度为( )A ．22B ．44233-C ．463D ．8233- 【答案】A【分析】连接AC 交EF 于M ，连接OF ，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC 交EF 于M ，连接OF ，四边形ABCD 是正方形，90B ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径，ACD ∴∆是等腰直角三角形，242AC AD ∴==，22OA OC ∴==，AEF ∆是等边三角形，AM EF ∴⊥，30OFM ∠=︒，122OM OF ∴==，2CM ∴=，45ACD ∴∠=︒，90CMG ∠=︒，45CGM ∴∠=︒，CGH ∴∆是等腰直角三角形，222GH CM ∴==．故选：A ．【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．7．（2022·河南南阳·二模）如图，平面直角坐标系中，A （4，0），点B 为y 轴上一点，连接AB ，tan ∠BAO ＝2，点C ，D 为OB ，AB 的中点，点E 为射线CD 上一个动点、当△AEB 为直角三角形时，点E 的坐标为（）A ．（4，4）或（25+2，4）B ．（4，4）或（25-2，4）C ．（12，4）或（25+2，4）D ．（12，4）或（25-2，4）【答案】C【分析】根据已知可得OA =4，OB = 8，从而利用勾股定理可求出AB ，然后分两种情况，当∠AE 1B =90°，当∠BAE 2=90°，进行计算即可解答．【详解】解：∵A （4，0），∴OA =4，在Rt △ABO 中，tan ∠BAO =2BOOA=，∴OB =2OA =8， ∴22228445AB OA OB =+=+=， ∵点C ，D 为OB ，AB 的中点，∴142OC OB ==，122CD OA ==，//CD OA 如图，分两种情况：当∠AE 1B =90°，点D 为AB 的中点， ∴DE 1＝1252AB =，11225CE CD DE =+=+，∴E 1（52＋2，4 ），当∠BAE 2=90°，过点E 2作E 2F ⊥x 轴，∴∠BAO +∠E 2AF = 90°， ∵∠BOA ＝90°，∴∠ABO +∠BAO =90°，∴∠ABO ＝∠E 2AF ， ∵∠BOA ＝∠AFE 2=90°，∴△BOA ∽△AFE 2，∴2BO AF OA E F =，∴844AF ＝，∴AF =8，∴OF =OA +AF =12，∴E 2（12，4）．综上所述，当△AEB 为直角三角形时，点E 的坐标为（52＋2，4 ）或（12，4）．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．8．（2022·重庆九年级开学考试）重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A 点测得佛顶仰角为37︒，接着向大佛走了10米来到B 处，再经过一段坡度4:3i =，坡长为5米的斜坡BC 到达C 处，此时与大佛的水平距离 6.2DH =米（其中点A 、B 、C 、E 、F 在同一平面内，点A 、B 、F 在同一条直线上），请问大佛的高度EF 为（）（参考数据：tan370.75︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80)︒≈．A ．15米B ．16米C ．17米D ．18米【答案】B【分析】过点C 作CM BF ⊥于点M ，过点G 作GN EF ⊥于点N ，设4CM x =，3BM x =，则由勾股定理可以求出x =1，再证明四边形DHFM 和四边形AGNF 是矩形，得到 6.2DH FM ==米，从求出19.2AF GN ==米，最后解直角三角形即可．【详解】解：过点C 作CM BF ⊥于点M ，过点G 作GN EF ⊥于点N ，斜坡BC 的坡度4:3i =，5BC =米，∴设4CM x =，3BM x =，∵222CM BM BC += 222(4)(3)5x x ∴+=，解得1x =，4CM ∴=米，3BM =米， ∵DH ⊥EF ，AB ⊥EF ，DM ⊥AB ，GA ⊥AB ，∴四边形DHFM 和四边形AGNF 是矩形， 6.2DH FM ∴==米，10AB =米，103 6.219.2AF GN AB BM MF ∴==++=++=米，在Rt ENG ∆中，37EGN ∠=︒，tan 370.75ENNG∴︒=≈， 0.750.7519.214.4EN NG ∴=⨯=⨯=米，14.4 1.616EF EN NF ∴=+=+=米．故选B ．【点睛】本题主要考查了坡比，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2022·四川旌阳·九年级期末）关于x 的函数2|2|41y x x x k =---++的图象与x 轴有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（） A ．134k <且3k ≠ B ．1334k <<C ．134k >D ．134k <【答案】B【分析】首先根据绝对值的意义将2|2|41y x x x k =---++整理为2253(2)31(2)x x k x y x x k x ⎧-++≥=⎨-+-<⎩，根据图象与x 轴有四个不同的公共点得到判别式24>0b ac ∆=-，代入列出不等式组求解即可．【详解】解：∵2|2|41y x x x k =---++∴2253(2)31(2)x x k x y x x k x ⎧-++≥=⎨-+-<⎩，由题意得22(5)4(3)0(3)4(1)0k k ⎧--+>⎨--->⎩，且当2x =时，>0y ，即4810k -++>，解得：1334k <<．故选：B ．【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与x 轴交点的关系，解题的关键是熟练掌握．抛物线与x 轴交点个数由△决定：Δ＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．（2022·绵阳市·九年级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②9a +3b +c ＜0；③a ＞3c；④若方程ax 2+bx +c ＝0两个根x 1和x 2，则3＜|x 1﹣x 2|＜4，其中正确的结论有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【分析】①根据对称轴的位置可判断出ab 的符号，然后根据函数和y 轴的交点坐标可判断出c 的正负，进而可判断出abc 的正负；②根据二次函数的对称性可得当x =3时，即可判断函数值y 的正负；③首先由对称轴公式得出a 与b 的关系，然后根据当x =1时函数值y 为负求解即可； ④根据二次函数与x 轴的交点坐标的取值范围求解即可．【详解】①抛物线对称轴在y 轴右侧，则a ，b 异号，而c ＞0，则abc ＜0，故结论正确； ②由图象可知x ＝3时，y ＝9a +3b +c ＜0，故结论正确； ③∵2b a＝2，∴b ＝﹣4a ，∵当x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，∴﹣3a +c ＜0，∴a ＞3c，故结论正确； ④若方程ax 2+bx +c ＝0两个根x 1和x 2，由图象可知，0＜x 1＜1，3＜x 2＜4， ∴则2＜|x 1﹣x 2|＜4，故结论错误；故选：A ．【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·江苏）小红在地上画了半径为2m 和3m 的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．【答案】59【分析】用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率．【详解】解：S 阴影＝π（32﹣22）＝5π（cm 2），所以掷中阴影部分的概率是55==99S S 阴影大圆ππ，故答案为：59．【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．12．（2022·黑龙江·九年级期中）设a 、b 为两实数，且满足2430a a --=，2430b b --=，则b aa b+=______．13．（2022·四川旌阳·九年级期末）点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(3,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是________（用“>”连接）．【答案】231y y y >>【分析】根据二次函数的解析式求得开口方向和对称轴，根据二次函数的性质可得离对称轴越远的点的函数值越小，分别计算123,,P P P 到对称轴1x =的距离，进而即可求得1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解：22y x x c =-++，∴对称轴为212x =-=-，10a =-< ∴二次函数的图象开口向下，则离对称轴越远的点的函数值越小，点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(3,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，点123,,P P P 到对称轴1x =的距离分别为3,1,2，则231y y y >>故答案为：231y y y >> 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．14．（2022·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【答案】0.8或2【分析】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC=时，BPQ BAC ∽，即824816t t-=；当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案．【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQ BA BC=时，BPQ BAC ∽，即824816t t-=，解得：2t =；当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=，解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．15．（2022·辽宁·沈阳实验中学二模）如图，新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B 处，此时这位同学一共走的距离为______米．【答案】(2306．【分析】过P 作PC ⊥AB 于C ，由新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向，可得∠A =45°可证PC =AC ，由P A =60米，由三角函数可得A C=PC =2B 处在教学楼北偏东30°方向，可得∠B =30°，可求PB =2PC =602Rt △BCP 中，BC =PB cos30°=6AB =BC +AC (302306=米即可．【详解】解：过P 作PC ⊥AB 于C ，∵新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向， ∴∠A =45°∴∠CP A =90°-∠A =45°，∴PC =AC ，设A C=PC =x ，∵P A =60米∴A C=PC =P A cos45°=6023022⨯=， ∵综合楼B 处在教学楼北偏东30°方向，∴∠B =30°，∴PB =2PC =602，在Rt △BCP 中，BC =PB cos30°36023062=⨯=， ∴AB =BC +AC ()302306=+米．故答案为：()302306+．【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握方位角，三角函数定义，以及三边之间关系是解题关键． 16．（2022·黑龙江龙凤·九年级期末）如图，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，5AB =，3BC =，点P 在边AB 上运动以P 为圆心，PA 为半径作P ，若P 与平行四边形ABCD 的边有四个公共点，则AP 的长度满足条件是_______．【答案】201295AP <<或52AP =【分析】求出⊙P 与BC ，CD 相切时AP 的长以及⊙P 经过A ，B ，C 三点时AP 的长即可判断．【详解】解：如图1中，当⊙P 与BC 相切时，设切点为E ，连接PE ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得：22AB BC -=4，设AP=x ，则BP=5-x ，PE=x ，∵⊙P 与边BC 相切于点E ，∴PE ⊥BC ， ∵BC ⊥AC ，∴AC ∥PE ，∴PE PB AC AB =，∴545x x -=，∴2020,99x AP ==；如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．∵S平行四边形ABCD=2×12×3×4=5PE，∴PE=125，观察图象可知：209＜AP＜125时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=52，综上所述，AP的值的取值范围是：201295AP<<或AP=52．故答案为：201295AP<<或AP=52．【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·江苏·常州外国语学校九年级月考）计算：（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°；（2）cos60°2cos45°+3tan230°．【答案】（1）52；（2）1．【分析】（1）将tan45°=1，sin30°=12，cos30°=3tan60°= 3（2）将cos60°=12，cos45°=22，tan230°=231()=33分别代入，再计算解题．【详解】解：（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°13=21+322⨯⨯⨯3=1+25=2；（2）cos60°﹣22cos45°+3tan230°21223=3()2223-⨯+⨯1113223=-+⨯1=．【点睛】本题考查特殊角的锐角函数值、锐角三角函数值的混合运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．18．（2022·广东广州·九年级期末）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：（1）本次随机抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率【答案】（1）60，见解析；（2）125、90；（3）1 6【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；（3）画树状图，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），补全图（Ⅰ）如下：故答案为：60；（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×1560=125（人），图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×1560=90°，故答案为：125，90；（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个， ∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为212=16．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．19．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为A (0，2)，B (1，3)，C (2，1)．(1)请在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，画出ABC 的位似图形A 1B 1C 1，使它与ABC 的相似比为2：1；(2)求出A 1B 1C 1的面积．【答案】(1)见解析 (2)6【分析】（1）分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．（1）如图所示，即为所求．(2)△A 1B 1C 1的面积为4×4-12×4×2-12×2×2-12×2×4=6．【点睛】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．20．（2022·贵州遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60°，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30°，测得3AE =m ，8EF =m （A ，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m 3 1.73≈）．【答案】(1)33m (2)1.2m【分析】（1）解Rt ADE △即可求解；（2）延长FC 交AB 于点G ，证明DGC ∴是等边三角形，解Rt AFG △，根据DC DG AG AD ==-即可求解．(1)在Rt ADE △中，tan tan 603ADAED AE∠==︒= 3AE =m 333AD AE ∴==m(2)如图，延长FC 交AB 于点G ，3,8AE EF == 11AF AE EF ∴=+= 3tan tan30AG F AF ==︒=113AG ∴=Rt AFG 中，90,30A F ∠=︒∠=︒60AGF ∴∠=︒60BDC GDC ∠=∠=︒ DGC ∴是等边三角形1123333 1.233DC DG AG AD ∴==-=≈ 答：灯管支架CD 的长度约为1.2m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2022·内蒙古呼和浩特·）某市计划在十二年内通过租房建设，解决低收入人群的住房问题，已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y （单位：百万平方米），与时间x （第x 年）的关系构成一次函数（1≤x ≤7且x 为整数），且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为236和72百万平方米；后五年竣工面积与时间的关系是y ＝18-x +154（7＜x ≤12且x 为整数）．（1）已知第六年竣工使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积最后一年比第六年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？（2）受物价上涨的影响，已知这12年中，每年投入使用的租金与时间的函数解析式为m ＝2x +36．假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工的公租房年租金W 关于时间x 的函数解折式，并求出W 的最大值（单位：亿元）．如果在W 取得最大值的这一年，老张租用了58平方米的房子，计算老张这一年应交的租金为多少？【答案】（1）最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决12.5万人的住房问题；（2）()()2212144173131357124x x x W x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩，，；W 的最大值为1.47亿元；老张这一年应交的租金为2436元．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式，算出第六年对应的y 值，由已知条件即可求得答案；（2）分别算出17x ≤≤和712x <≤时，W 的函数表达式，配方求得最值，对比分析即可知道W 的最大值，进一步求得老张应交的租金．【详解】解：设()0,17y kx b k x =+≠≤≤由已知得：236732k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：164k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴()14176y x x =-+≤≤ 当6x =时，164=36y =-⨯+∴30020=15÷（平方米），15(120)18⨯+=％（平方米）当12x =时，115912=844y =-⨯+∴910018=12.54⨯÷（万人）所以最后一年可解决12.5万人的住房问题．（2）当17x ≤≤时，()2112364214463W x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭；当712x <≤时，()21151********44W x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭∴这12年中每年竣工的公租房年租金W 关于时间x 的函数解折式为()()2212144173131357124x x x W x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩，，又∵当17x ≤≤时，()22112144314733W x x x =-++=--+∴当3x =时，=147W ；∵当712x <≤时，()22113135614444W x x x =-++=--+∴当8x =时，=143W ；∵147＞143∴当3x =时，年租金最大，W 的最大值为1.47亿元当3x =时，233642m =⨯+=∴58422436⨯=（元）所以老张这一年应交的租金为2436元【点睛】本题考查一次函数实际应用，二次函数的应用．能够从大量文字中提取出解题所需要的条件，并能够列出符合题意的表达式，利用配方法将二次函数一般式配成顶点式，从而求出最值是解题的关键．22．（2022·杭州市十三中教育集团九年级）如图，OAB 中，OA OB =，O 过AB 中点C ，且与OA 、OB 分别交于点E 、F ．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）延长AO 交O 于点D ，连结DF 、DC ，求证：EDC FDC ∠=∠；（3）在（2）的条件下，若10DE =，6DF =，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【分析】（1）连接OC ，证OC AB ⊥即可证直线AB 是O 的切线；（2）由圆周角定理可得12EDC AOC ∠=∠，12FDC BOC ∠=∠，由（1）证AOC BOC ∠=∠即可；（3）作ON DF ⊥于N ，延长DF 交AB 于M ，在t R CDM 中求出DM 、CM 即可求出CD ．【详解】解（1）证明：连接OC ，如下图：∵OA=OB ，C 为AB 的中点，∴OC AB ⊥，∵点C 在O 上，∴AB 是O 的切线；（2）根据圆周角定理可知，12EDC AOC ∠=∠，12FDC BOC ∠=∠，由（1）可得AOC BOC ∠=∠，∴EDC FDC ∠=∠；（3）作ON DF ⊥于N ，延长DF 交AB 于M ，如下图：∵ON DF ⊥，=OD OF ，∴1===32DN NF DF ，在t R ODN 中，∵=90OND ∠︒，1==52OD DE ，=3DN ，∴22==4ON OD DN -，∵=OD OC ，∴=OCD EDC ∠∠，∵=EDC FDC ∠∠，∴=OCD FDC ∠∠，∴OC ∥DM ， ∵OC AB ⊥，∴DM AB ⊥，∴四边形OCMN 是矩形，∴4ON CM ==， 5MN OC ==，在t R CDM 中，=90DMC ∠︒，4CM =，==35=8DM DN MN ++∴22228445CD DM CM ++=【点睛】本题比较综合，考查了圆的切线，圆周角与圆心角的关系，勾股定理等相关知识，熟练掌握并能灵活运用每一个细小的知识点，是解决此类综合大题的关键．23．(2022.成都市初三一诊)天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，以AP 为边作等边△APQ ，连接CQ ．求证：BP = CQ ；（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC 中，AB =BC ，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰△APQ ，使AP =PQ ，∠APQ =∠ABC ，连接CQ ．判断∠ABC 和∠ACQ 的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形 APEF ，Q 是正方形APEF 的中心，连接CQ ．若正方形APEF 的边长为6，22CQ =，求正方形ADBC 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）ABC ACQ ∠=∠，理由见解析；（3）正方形ADBC 的边长为214+．【分析】（1）易证∠BAP ＝∠CAQ ，根据AB ＝AC ，AP ＝AQ ，由SAS 证得△BAP ≌△CAQ ，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠BAC ＝∠PAQ ，证得△BAC ∽△PAQ ，得出BA PAAC AQ=，易证∠BAP ＝∠CAQ ，则△BAP ∽△CAQ ，可得∠ABC ＝∠ACQ ；（3）连接AB 、AQ ，由正方形的性质得出2ABAC=，∠BAC ＝45°，2AP AQ =，∠PAQ ＝45°，易证∠BAP ＝∠CAQ ，则可得△ABP ∽△ACQ ，根据相似三角形的性质求出BP ＝4，设PC ＝x ，则BC ＝AC ＝4＋x ，在Rt △APC 中，利用勾股定理列方程求出x ，即可得出结果．【详解】（1）证明：如图1，ABC 与APQ 都是等边三角形，60BAC PAQ ∴∠=∠=︒，1323∴∠+∠=∠+∠，12∠∠∴=．又AB AC =，AP AQ =，ABP ACQ ∴≅，BP CQ ∴=；（2）ABC ACQ ∠=∠，理由：如图2，在ABC 中，AB BC =，1802ABC BAC ︒-∠∴∠=，在PAQ △中，PA PQ =，1802APQPAQ ︒-∠∴∠=，APQ ABC ∠=∠，BAC PAQ ∴∠=∠，BACPAQ ∴，BA PAAC AQ∴=，又13BAC ∠+∠=∠，23PAQ ∠+∠=∠，12∠∠∴=，ABP ACQ ∴，∴ABC ACQ ∠=∠；（3）如图3，连接AB ，AQ ，正方形ADBC ，2ABAC∴=，45BAC ∠=︒，又Q 为正方形APEF 的中心，2APAQ∴=，45PAQ ∠=︒， 13BAC ∠+∠=∠，23PAQ ∠+∠=∠，12∠∠∴=，AB APAC AQ=，ABP ACQ ∴，22AC CQ AB BP ∴==，22CQ =，4BP ∴=，设PC x =，则4BC AC x ==+，在Rt APC 中，222AP AC PC =+，即2236(4)x x =++，解得：214x =-±，0x，214x ∴=-+，∴边长4214AC x =+=+.【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．24．（2022·广东·广州九年级期中）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，点D 的坐标为()4,n ．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA PD 、，求当PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．【答案】(1)2134y x x =-++,112y x =+(2)151,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()09Q -，【分析】（1）先利用待定系数法求二次函数解析式，然后再根据点D 的横坐标为4，代入二次函数解析式求得D 点坐标，再用待定系数法求直线l 的解析式即可；（2）过点P 作PF y ∥轴交AD 于F ，设P （n ，21,34P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭），则1,12F n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据()132PAD D A S x x PF PF =⋅-⋅=，得到PF 的值最大时，△P AD 的面积最大，求出PF 的最大值即可；（3）如图2，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AT ，作DM x ⊥轴于M ，TN x 轴于N ，则90ANT DMA AT AD ∠=∠=︒=，，证明AAS ANT DMA ≌（），得到16T -（，），设DT 交x 轴于Q ，证得ATD 是等腰直角三角形，则45ADQ ∠=︒，利用待定系数法求得直线DT 的解析式为39y x =-，再求得与y 轴的交点Q 的坐标即可．【详解】（1）解：将点A 、B 的坐标代入23y ax bx =++，得423036630a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得141a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2134y x x =-++； ∵当4x =时，2144334y =-⨯++=，∴3(4)D ，； ∵直线l 经过点A ，D ，∴设直线l 的解析式y kx m =+，将点A ，点D 坐标代入得：2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩，得121k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴直线l 的解析式为112y x =+．（2）解：如图1，过点P 作PF y ∥轴交AD 于F设21,34P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,12F n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∵()132PAD D A S x x PF PF =⋅-⋅=，∴PF 的值最大时，PAD 的面积最大，∵2113142PF n n n ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭=()219144n --+， ∴当1n =时，PF 的值最大，最大值为94，此时PAD 的面积最大值为：2743max PF =，当1x =时，2115344y x x =-++=∴此时151,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述：当ΔP AD 面积最大时点P 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，该面积的最大值为274．（3）解：如图2，，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AT ，作DM x ⊥轴于M ，TN x 轴于N ，则90ANT DMA AT AD ∠=∠=︒=，，∵90NAT DAM MDA DAM ∠∠∠∠︒＋＝＋＝，∴NAT MDA ∠=∠，∴AAS ANT DMA ≅（），∴36AN DM NT MA ====，，∴1ON AN OA ＝－＝，∴()16T -，，设DT 交x 轴于Q ， ∵90TAD AD AT ∠︒＝，＝，∴ATD 是等腰直角三角形，∴45ADQ ∠=︒，设直线DT 的解析式为=+y px t ，∵()()4316D T -，，，，∴346p t p t =+⎧⎨-=+⎩，解得39p t =⎧⎨=-⎩， ∴直线DT 的解析式为39y x =-，令0x =，得9y =-．∴()09Q -，．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、直线与x 轴的交点、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并正确添加辅助线是解题的关键．。

浙教版九年级(上)数学试题卷1--3章

如图，⊙O 中，弦AB 的长为A ．13cm B ．14cm 反比例函数xy 6=图象上有三个点1y ，2y ，3y 的大小关系是（A ．y y y << B ． A ． B ． C ． D ．二、填空题（本题有6小题，每题5分，共30分） 11．反比例函数xy 6=当自变量x = ―3时，函数值为． 12．二次函数2)1(32+--=x y 图象的顶点坐标是 _ _ __．则弦AB 的长是 cm ．15．数学课本上，用“描点法”画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的对称轴是_ ___． 16．两个反比例函数48,y y x x==-的图象在第一象限，第二象限如图，点P 1、P 2、P 3……P 2012在4y x=的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，……，过点P 1、P 2、P 3、……、P 2012分别做x 轴的平行线，与8y x=-的图象交点依次是Q 1 、Q 2、Q 3、……、Q 2012，则点Q 2012的横坐标是．三、解答题（本题有8小题，第17、 18、19题每题8分，第20、21、22题每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．某国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A ，B ，C 的距离相等． (1) 若三所运动员公寓A 、B 、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置；（用直尺和圆规找）(2) 若∠BAC ＝56°º，则∠BPC ＝度.18．已知反比例函数y ＝ kx 的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点（2，2）（1）求a 和k 的值；（4分）（2）试说明反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点。

（4分） B19．如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD, CD =10cm, AP : PB=1 : 5．求⊙O 的半径．20．如图，函数b x k y +=11的图象与函数xk y 22=的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A 点坐标为（2，1），C 点坐标为（0，3）．（1）求函数1y 的表达式和B 点的坐标；（5分）（2）观察图象，在第一象限内（x ＞0）当x 取什么样的范围时，可使1y ＜2y .？（5分）20．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于E ，BD 交CE 于点F ．（1）试判断∠A 与∠BCE 的关系，并进行说明；（5分）（2）求证：BF = CF ．（5分）22．如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，―6）两点．（1）求这个二次函数的解析式．（6分）（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积．（4分）B23．（本题满分12分）某商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件。

浙教版九年级数学上册第1章二次函数章末教材同步培优、能力提升卷

浙教版九年级数学上册第1章二次函数章末教材同步培优、能力提升卷一、选择题（共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）1. 抛物线的顶点坐标是( ).2(1)2y x =-+ A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ).2=+1y x A ．B ．C ．D ．()231y x =+-()233y x =++()231y x =--()233y x =-+3. 抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（）A ．直线x=－1 B ．直线x=1C ．直线y=－1D ．直线y=14. 已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是（） y =(x -1)2-1y x x A.x <0 B.x >0C.x <1D.x >15.小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数的单位：；的单位：可以描h =3.5t -4.9t 2(t s h m)述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A.0.71sB.0.70sC.0.63sD.0.36s6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关,,,,,123351A yB yC y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2y x 4x 5=+-123y y y 、、系是（）A.B.C.D.123y y y <<213y y y <<312y y y <<132y y y <<7. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（）8.二次函数的图象与轴正方向交于，两点，与轴正方向交于点．已知y =x 2+bx +c A B y C ，，则 AB =3AC∠CAO =30∘c =()A.35B.710C.19D.279．下表是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 的值与函数y 的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解的范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20y ＝ax 2＋bx ＋c－0.03－0.010.020.04A.6<x <6.17 B ．6.17<x <6.18C ．6.18<x <6.19D ．6.19<x <6.2010. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：y =ax 2+bx +c x y x …-2-1012…y…4664…小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最x (3, 0)y =ax 2+bx +C 大值为；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，随增大而增大．其中正确有（）6x =12y xA.个0B.个1C.个2D.个3y=ax2+bx+c11. 如图为二次函数的图象，则下列说法中错误的是（）ac<02a+b=0A. B.a+b+c>0x ax2+bx≥a+bC. D.对于任意均有y=ax2+bx+c x=-1(0.5, 0)12. 如图，抛物线的对称轴是．且过点，有下列结论：abc>0a-2b+4c=025a-10b+4c=03b+2c>0①；②；③；④；⑤a-b≥m(am-b)．其中所有正确的结论是（）A.①②③B.①③④C.①②③⑤D.①③⑤y=ax2+bx+c13.已知二次函数的图象如图，以下结论正确的有（）a<0b<0c<0b2-4ac>02a-b=0ac>0a+b<0①，，；②；③；④；⑤．A.个2B.个3C.个4D.个514. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D.当x＜1时，y随x的增大而增大y=-x2+bx+c x=2 15. 二次函数的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为直线；②当x≥0y x y<0x<0x>4y=-x2+4x 时，随的增大而增大；③当时，或；④函数解析式为其中正确的结论有（）A.①④B.①②③C.①②④D.①③④二、填空题（共8 小题，每小题 3 分，共24 分）y=x2+2x-3x16. 抛物线与轴交点的坐标是________．17. 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M（1，2.25），则该抛物的解析式为。

2019-2020学年浙教版九年级数学上册第一、二章测试卷含答案

2019-2020学年九年级数学上册第一、二章测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是( )A ．(2，－3)B ．(－2，3)C ．(2，3)D ．(－2，－3) 2．一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外，其他都相同．从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为( )A.14B.13C.16D.193．以下说法中正确的是( )A ．在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同B ．一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖C ．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K ，这是必然事件D ．“实数a ＜0，则2a ＜0”是随机事件4．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 25．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中x 与y 的对应值如下表．当x ＝1时，y 的值为( )A.4B ．6C.7D ．126．某小组做绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：则绿豆发芽概率的估计值是( ) A ．0.96B ．0.95C ．0.94D ．0.907．抛物线y ＝(x ＋3)2－4可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位8．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，这样就确定点P的一个坐标(x，y)，那么点P落在双曲线y＝6x上的概率为()A.118 B.112 C.19 D.169．已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是()A．B．C． D.第10题图10．给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝1x的图象，其中判断正确的是()①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1; ②如果a2＞a＞1a，那么a＞1；③如果1a＞a2＞a，那么－1＜a＜0；④如果a2＞1a＞a，那么a＜－1.A．正确的命题是①②B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①④D．错误的命题只有③二、填空题(每小题4分，共24分)11．某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选对的概率是__ __．12．已知抛物线y＝x2－(k＋1)x＋4的顶点在y轴上，则k的值是__ _．13．已知a，b可以取－2，－1，1，2中任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax ＋b的图象不经过第四象限的概率是_．14．如图所示，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－112x2＋23x＋53.则他将铅球推出的距离是__ _m.第14题图第15题图第16题图15．小颖与两位同学进行象棋比赛时，决定用“手心、手背”游戏确定出场顺序.设每人每次出手心、手背的可能性相同.若其中一人与另外两个人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次，小颖最后出场比赛的概率为__ _．16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(43，0)是x轴上一点，以OA 为对角线作菱形OBAC，使得∠BOC＝60°，现将抛物线y＝x2沿直线OC平移到y＝a(x－m)2＋h，那么h关于m的关系式是__h＝__，当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是__ _．三、解答题(共66分)17．(6分)小龙和晓丽用“红桃3”“红桃4”“梅花5”“红桃6”这四张扑克牌玩游戏．(1)将这四张扑克牌洗牌后反扣在桌面上，翻开记下花色，再反扣洗牌，第二次再翻开一张记下花色．若两次都是红桃，小龙赢；若是一次红桃、一次梅花，则晓丽赢．小龙和晓丽谁赢的可能性大？说明理由．(2)利用这四张扑克牌设计一个对于双方都公平的游戏方案．第18题图18．(8分)如图所示，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求出点B和点C的坐标；(2)求此抛物线的函数解析式；(3)在抛物线x轴上方存在一点P(不与点C重合)，使S△PAB＝S△CAB，请求出点P的坐标．第19题图19．(8分)如图所示，三张卡片上分别写有一个代数式，把它们背面朝上洗匀，小明闭上眼睛进行抽卡片活动．(1)若从中随机抽取一张卡片，则卡片上为x的代数式的概率是多少？(2)若从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或画树状图法求能组成分式的概率．第19题答图20．(8分)在3×3的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．(1)从A，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及B，C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是多少？(2)从A，D，E，F四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B，C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解)．第20题图第20题答图21．(8分)二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值大于0.第21题图22．(8分)某校举行以“助人为乐，乐在其中”为主题的演讲比赛，比赛设一个第一名，一个第二名，两个并列第三名．前四名中七、八年级各有一名同学，九年级有两名同学，小蒙同学认为前两名是九年级同学的概率是12，你赞成他的观点吗？请用列表法或画树状图法分析说明．23．(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(2，3)，对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，求BC－AC的值；(3)将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP＝OQ，直接写出点Q的坐标．24．(10分)已知如图，矩形OABC的长OA＝3，宽OC＝1，将△AOC沿AC 翻折得△APC.(1)求∠PCB 的度数；(2)若P ，A 两点在抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 上，求b ，c 的值，并说明点C在此抛物线上；(3)(2)中的抛物线与矩形OABC 边CB 相交于点D ，与x 轴相交于另外一点E ，若点M 是x 轴上的点，N 是y 轴上的点，以点E ，M ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点M ，N 的坐标．第24题图2019-2020学年九年级数学上册第一、二章测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是( D )A ．(2，－3)B ．(－2，3)C ．(2，3)D ．(－2，－3) 2．一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外，其他都相同．从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为( B )A.14B.13C.16D.193．以下说法中正确的是(A)A．在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同B．一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖C．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件D．“实数a＜0，则2a＜0”是随机事件4．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(A)A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x与y的对应值如下表．当x＝1时，y的值为(B)A.4 B．6 C.7 D．126．某小组做绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：则绿豆发芽概率的估计值是(B)A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.907．抛物线y＝(x＋3)2－4可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是(B)A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位8．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，这样就确定点P的一个坐标(x，y)，那么点P落在双曲线y＝6x上的概率为( C )A.118B.112C.19D.169．已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( D )A ．B ．C ． D.第10题图10．给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x 的图象，其中判断正确的是( C )①如果1a ＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1; ②如果a 2＞a ＞1a ，那么a ＞1；③如果1a＞a 2＞a ，那么－1＜a ＜0；④如果a 2＞1a＞a ，那么a ＜－1.A ．正确的命题是①②B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①④D ．错误的命题只有③二、填空题(每小题4分，共24分)11．某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选对的概率是__14__．12．已知抛物线y ＝x 2－(k ＋1)x ＋4的顶点在y 轴上，则k 的值是__－1__． 13．已知a ，b 可以取－2，－1，1，2中任意一个值(a ≠b)，则直线y ＝ax ＋b 的图象不经过第四象限的概率是__16__．14．如图所示，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y ＝－112x 2＋23x ＋53.则他将铅球推出的距离是__10__m.第14题图第15题图第16题图15．小颖与两位同学进行象棋比赛时，决定用“手心、手背”游戏确定出场顺序.设每人每次出手心、手背的可能性相同.若其中一人与另外两个人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次，小颖最后出场比赛的概率为__14__．16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(43，0)是x 轴上一点，以OA 为对角线作菱形OBAC ，使得∠BOC ＝60°，现将抛物线y ＝x 2沿直线OC 平移到y ＝a(x －m)2＋h ，那么h 关于m 的关系式是__h m__，当抛物线与菱形的AB 边有公共点时，则m 的取值范围是3．三、解答题(共66分)17．(6分)小龙和晓丽用“红桃3”“红桃4”“梅花5”“红桃6”这四张扑克牌玩游戏．(1)将这四张扑克牌洗牌后反扣在桌面上，翻开记下花色，再反扣洗牌，第二次再翻开一张记下花色．若两次都是红桃，小龙赢；若是一次红桃、一次梅花，则晓丽赢．小龙和晓丽谁赢的可能性大？说明理由．(2)利用这四张扑克牌设计一个对于双方都公平的游戏方案．解：(1)小龙赢的可能性大，理由：由题意可得，出现的所有可能性是： (红桃3，红桃3)、(红桃3，红桃4)、(红桃3，梅花5)、(红桃3，红桃6)，(红桃4，红桃3)、(红桃4，红桃4)、(红桃4，梅花5)、(红桃4，红桃6)，(梅花5，红桃3)、(梅花5，红桃4)、(梅花5，梅花5)、(梅花5，红桃6)，(红桃6，红桃3)、(红桃6，红桃4)、(红桃6，梅花5)、(红桃6，红桃6)，∴小龙赢的概率为916，晓丽赢的概率为616，∵916>616，∴小龙赢的可能性大．(2)例如(答案不唯一)：两次抽取的数的和为偶数是小龙赢，两次抽取的数的和为奇数时，晓丽赢．第18题图18．(8分)如图所示，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求出点B和点C的坐标；(2)求此抛物线的函数解析式；(3)在抛物线x轴上方存在一点P(不与点C重合)，使S△PAB＝S△CAB，请求出点P的坐标．解：(1)B(3，0)，C(0，3)(2)B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，解得b＝2，c＝3，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.(3)设P(x，y)，∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4，S△CAB＝6S△PAB＝12×4×y＝6，解得y＝3.当y＝3时，－x2＋2x＋3＝3，解得x＝0，x＝2，∴P(2，3)或P(0，3)．第19题图19．(8分)如图所示，三张卡片上分别写有一个代数式，把它们背面朝上洗匀，小明闭上眼睛进行抽卡片活动．(1)若从中随机抽取一张卡片，则卡片上为x 的代数式的概率是多少？(2)若从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或画树状图法求能组成分式的概率．第19题答图解：(1)13(2)画树状图如图．∵共有6种等可能的结果，能组成分式的有xx －1，x －1x ，2x ，2x －1， ∴能组成分式的概率是46＝23. 20．(8分)在3×3的方格纸中，点A ，B ，C ，D ，E ，F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上．(1)从A ，D ，E ，F 四点中任意取一点，以所取的这一点及B ，C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是多少？(2)从A ，D ，E ，F 四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B ，C 为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解)．第20题图第20题答图解：(1)14(2)画树状图如图： ∵从A ，D ，E ，F 四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B ，C 为顶点画四边形共有12种等可能结果，以点A ，E ，B ，C 为顶点及以D ，F ，B ，C 为顶点所画的四边形是平行四边形，有4种结果，∴所画的四边形是平行四边形的概率P ＝412＝13. 21．(8分)二次函数y ＝x 2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，并指出当x 满足什么条件时，函数值大于0.第21题图第21题答图解：(1)画图如图所示：依题意，得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x －1∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1.(2)当y＝0时，x2－2x－1＝0，即(x－1)2＝2，∴x－1＝±2，即x1＝1－2，x2＝1＋ 2.∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1－2，0)和(1＋2，0)．由图可知，当x＜1－2或x＞1＋2时，二次函数y＝(x－1)2－2的函数值大于0.22．(8分)某校举行以“助人为乐，乐在其中”为主题的演讲比赛，比赛设一个第一名，一个第二名，两个并列第三名．前四名中七、八年级各有一名同学，九年级有两名同学，小蒙同学认为前两名是九年级同学的概率是12，你赞成他的观点吗？请用列表法或画树状图法分析说明．解：不赞成小蒙同学的观点．理由如下：记七、八年级两名同学为A，B，九年级两名同学为C，D.画树状图分析如下：第22题答图由上图可知所有的结果有12种，它们出现的可能性相等，满足前两名是九年级同学的结果有2种，所以前两名是九年级同学的概率为212＝16. 23．(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点(2，3)，对称轴为直线x ＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其中x 1＜0，x 2＞0，与y 轴交于点C ，求BC －AC 的值；(3)将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP ＝OQ ，直接写出点Q 的坐标．第23题答图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点(2，3)，对称轴为直线x ＝1， ∴⎩⎨⎧－4＋2b ＋c ＝3，b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)如图，设直线l 与对称轴交于点M ，则BM ＝AM.∴BC －AC ＝BM ＋MC －AC ＝AM ＋MC －AC ＝2MC ＝2.(3)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点为(1，4)，∵将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，∴新抛物线的顶点为(1，0)，∴将原抛物线向下平移4个单位即可．设点P的坐标为(x，y)，则y＝－x2＋2x＋3，点Q的坐标为(x，y－4)，则y ＞y－4.∵OP＝OQ，∴x2＋y2＝x2＋(y－4)2，∴y2＝(y－4)2，∵y＞y－4，∴y＝－(y－4)，∴y＝2，∴y－4＝－2，当y＝2时，－x2＋2x＋3＝2，解得x＝1±2，∴点Q的坐标为(1＋2，－2)或(1－2，－2)．24．(10分)已知如图，矩形OABC的长OA＝3，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC.(1)求∠PCB的度数；(2)若P，A两点在抛物线y＝－43x2＋bx＋c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；(3)(2)中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E，M，D，N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M，N的坐标．第24题图第24题答图解：(1)在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝1，则∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60°；根据折叠的性质知OA ＝AP ＝3，∠ACO ＝∠ACP ＝60°；∵∠BCA ＝∠OAC ＝30°，且∠ACP ＝60°，∴∠PCB ＝30°.(2)如图1，过P 作PQ ⊥OA 于点Q ，Rt △PAQ 中，∠PAQ ＝60°，AP ＝3，∴OQ ＝AQ ＝32，PQ ＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32；将P ，A 代入抛物线的解析式中，得⎩⎨⎧－1＋32b ＋c ＝32，－4＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝1，即y ＝－43x 2＋3x ＋1；当x ＝0时，y ＝1，故C(0，1)在抛物线的图象上．(3)①如图2，若DE 是平行四边形的对角线，点C 在y 轴上，CD 平行x 轴，∴过点D 作DM ∥CE 交x 轴于点M ，则四边形EMDC 为平行四边形，把y ＝1代入抛物线解析式得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫334，1 把y ＝0代入抛物线解析式得点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0第24题答图∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，N 点即为C 点，坐标是(0，1)； ②如图3，若DE 是平行四边形的边，过点A 作AN ∥DE 交y 轴于点N ，四边形DANE 是平行四边形，∴DE ＝AN ＝OA 2＋ON 2＝3＋1＝2，∵tan∠EAN＝ONOA＝33，∴∠EAN＝30°，∵∠DEA＝∠EAN，∴∠DEA＝30°，∴M(3，0)，N(0，－1)；同理，过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，∴M(－3，0)，N(0，1)．。

浙教版九年级数学上《第1章二次函数》培优提高单元检测试题(有答案)

第一学期浙教版九年级数学上第1章_二次函数_培优提高单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如果函数y=(k−3)x k2−3k+2+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（）A.1或2B.0或3C.3D.02.如图⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=−12x2的图象，则阴影部分的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π3.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：x…−5−4−3−2−1…y…−7.5−2.50.5 1.50.5…根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A.该抛物线的对称轴是直线x=−2B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0, −2.5)C.b2−4ac=0D.若点A(0, 5, y1)是该抛物线上一点．则y1<−2.54.已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A.abc>0B.4a−b=0C.9a+3b+c<0D.5a+c>05.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列正确的说法有（）(1)点P(ac, b)在第二象限；(2)x>1时y随x的增大而增大；(3)b2−4ac>0；(4)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0解为x1=−1，x2=3；(5)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为0<x<3．A.2个B.3个C.4个D.5个6.一男生推铅球，铅球在运动过程中，高度不断发生变化．已知当铅球飞出的水平距离为x时，其高度为(−112x2+23x+53)米，则这位同学推铅球的成绩为（）A.9米B.10米C.11米D.12米7.已知点(x1, y1)，(x2, y2)是函数y=(m−3)x2图象上的两点，且0<x1<x2当时，有y1<y2，则m的取值范围是（）A.m>3B.m≥3C.m<3D.m≤38.同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换和旋转变换得到的函数是（）x2−1 B.y=2x2+3A.y=12C.y=−2x2−1D.y=2(x+1)2−19.将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是（）A.y=2(x−1)2−3B.y=2(x+1)2+3C.y=2(x−1)2+3D.y=2(x+1)2−35．10.如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用20米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是（）平方米．A.40B.50C.60D.以上都不对二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.函数y=x2−4x+3，当y<0时，x的取值范围________．)作12.如图，经过原点的抛物线y=−x2+mx(m>2)与x轴的另一交点为A，过点P(1, m2直线PE⊥x轴于点E，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连接CB，CP，CA，要使得CA⊥CP，则m的值为________．13.若二次函数y=ax2−4x+a的最小值是−3，则a=________．14.二次函数y=x2+bx−2，当x=−2时，函数有最小值，则b=________．15.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则|a+b|+|b+c|+|c+a|可化简为________．16.已知抛物线经过点A(−1, 5)，B(5, 5)，C(1, 9)，则该抛物线上纵坐标为9的另一点的坐标是________．17.已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(2, 0)，且与y轴交于点B，若OB=1，则该二次函数解析式中，一次项系数b为________，常数c为________．18.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1, 3)与(−1, 5)，则a+c的值是________．19.把二次函数y=2x2−4x改写成y=a(x+m)2+k的形式是________，其顶点坐标是________．20.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(−4, 0)，(2, 0)，则这条抛物线的对称轴是直线________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1, 0)．(1)试确定a+b−c的符号；(2)求证：方程ax2+bx+c=0的另一根x0满足0<x0<1；(3)求证：0<b<a．22.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利y元，每件衬衫降价x元，请你写出y与x之间的关系式．23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B(−2, 6)，C(2, 2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有(3)若直线y=−12两个交点，求b的取值范围．x2+3.5运行，然后准确落入篮24.如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=−15框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．(1)球在空中运行的最大高度为多少米？(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？25.已知抛物线C1经过A(−1, 0)，B(0, 3)，C(3, 0)三点，其顶点为点D，对称轴与x轴交于点E．(1)求抛物线C1顶点D的坐标；(2)将抛物线C1平移得到将抛物线C2，C2的对称轴与x轴交于点E′，C2与y轴交于点B′、顶点为D′，若△ABO与△D′B′E′相似，试求出此时抛物线C2的顶点坐标．26.抛物线y=ax2+bx+c过A(2, 3)，B(4, 3)，C(6, −5)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足DEAE =√52，求点D的坐标；(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由．答案1.D2.B3.C4.D5.B6.B7.A8.A9.B10.B11.1<x <312.313.114.415.−2b16.(3, 9)17.32或521或−1 18.419.y =2(x −1)2−2(1, −2)20.x =−121.解：(1)由图得a >0．c <0， ∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过过(−1, 0)， ∴a −b +c =0， ∴a =b −c ，∴a +b −c =2a >0；(2)由图象得出方程ax 2+bx +c =0的一个根是−1， ∵对称轴x =−b2a 在−1和0，∴−1到对称轴的距离大于0小于1，从而得出另一个根到对称轴的距离大于0小于1，即另一根x 0在0和1之间；(3)∵−1<−b2a <0， ∴−2a <−b <0， ∴0<b <2a ， ∵a −b +c =0， ∴b =a +c ， ∴b <a ， ∴0<b <a ．22.解：降价x 元后的销量为：(20+2x)，单价的利润为：(40−x)，故可得利润y =(40−x)(20+2x) =2(40−x)(10+x)=−2x 2+60x +800(0<x <40)．23.解：(1)由题意{4a −2b +2=64a +2b +2=2解得{a =12b =−1，∴抛物线解析式为y =12x 2−x +2．(2)∵y =12x 2−x +2=12(x −1)2+32． ∴顶点坐标(1, 32)，∵直线BC为y=−x+4，∴对称轴与BC的交点H(1, 3)，∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=12⋅32⋅3+12⋅32⋅1=3．(3)由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2−x+4−2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1−4(4−2b)=0，∴b=158，当直线y=−12x+b经过点C时，b=3，当直线y=−12x+b经过点B时，b=5，∵直线y=−12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴158<b≤3．24.解：(1)因为抛物线y=−15x2+3.5的顶点坐标为(0, 3.5)所以球在空中运行的最大高度为3.5米；(2)当y=3.05时，3.05=−15x2+3.5，解得：x=±1.5又因为x>0所以x=1.5当y=2.25时，x=±2.5又因为x<0所以x=−2.5，由|1.5|+|−2.5|=1.5+2.5=4米，故运动员距离篮框中心水平距离为4米．25.解：(1)设抛物线的解析式为y =a(x +1)(x −3)，将点B(0, 3)代入，得：−3a =3，解得：a =−1，∴抛物线解析式为y =−(x +1)(x −3)=−x 2+2x +3，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1, 4)．(2)如图1中，作DE // AB 交抛物线于E ，作EG ⊥抛物线的对称轴于G 交抛物线于F ，作EM ⊥DE 交对称轴于M ，连接FM ．则△DEG ∽△DME ∽△DFG ∽△DMF ∽△BAO ．∵A(−1, 0)，B(0, 3)，∴直线AB 的解析式为y =3x +3，∵D(1, 4)，∴直线DE 的解析式为y =3x +1，由{y =3x +1y =−x 2+2x +3解得{x =1y =4或{x =−2y =−5， ∴点E 的坐标为(−2, −5)，根据对称性可知F(4, −5)，∵EM⊥DE，∴直线EM的解析式为y=−13x−173，∴M(1, −6)，∴EG=GF=3，GM=1，观察图象可知，①当点E(−2, −5)平移到(0, 0)时，△ABO与△D′B′E′相似，此时抛物线C2的顶点坐标D′(3, 9)．②当点F(4, −5)平移到(0, 0)时，△ABO与△D′B′E′相似，此时抛物线C2的顶点坐标D′(−3, 9)．③当点E(−2, −5)平移到(0, 1)时，△ABO与△D′B′E′相似，此时抛物线C2的顶点坐标D′(3, 10)．④当点F(4, −5)平移到(0, 1)时，△ABO与△D′B′E′相似，此时抛物线C2的顶点坐标D′(−3, 10)．如图2中，取Q(−11, 0)，连接DQ交抛物线于E，抛物线的对称轴交AC于K，作EG⊥抛物线的对称轴于G交抛物线于F，作EM⊥DE交对称轴于M，连接FM．则△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．∵直线DE的解析式为y=13x+113，由{y =13x +113y =−x 2+2x +3解得{x =1y =4或{x =23y =133， ∴E(23, 133)，根据对称性F(43, 133)，∵EM ⊥DE ，∴直线EM 的解析式为y =−3x +193，∴M(1, 103)，∴EG =GF =13，MG =1，观察图象可知，①当点E(23, 133)平移到(0, 0)时，△ABO 与△D ′B ′E ′相似，此时抛物线C 2的顶点坐标D′(13, −13)．②当点F(43, 133)平移到(0, 0)时，△ABO 与△D ′B ′E ′相似，此时抛物线C 2的顶点坐标D′(−13, −13)． ③当点E(23, 133)平移到(0, 1)时，△ABO 与△D ′B ′E ′相似，此时抛物线C 2的顶点坐标D′(13, 23)． ④当点F(43, 133)平移到(0, 1)时，△ABO 与△D ′B ′E ′相似，此时抛物线C 2的顶点坐标D′(−13, 23)．综上所述，满足条件的抛物线C 2的顶点坐标为(3, 9)或(−3, 9)或(3, 10)或(−3, 10)或(13, −13)或(−13, −13)或(13, 23)或(−13, 23)． 26.解：(1)根据题意，设抛物线表达式为y =a(x −3)2+ℎ．把B(4, 3)，C(6, −5)代入得：{a +ℎ=39a +ℎ=−5，解得：{a =−1ℎ=4，故抛物线的表达式为：y =−(x −3)2+4=−x 2+6x −5；(2)设直线AC 的表达式为y =kx +n ，则：{2k +n =36k +n =−5，解得：k =−2，n =7，∴直线AC 的表达式为y =−2x +7，设点D(m, −m 2+6m −5)，2<m <6，则点E(m, −2m +7)， ∴DE =(−m 2+6m −5)−(−2m +7)=−m 2+8m −12，设直线DE 与直线AB 交于点G ，∵AG ⊥EG ，∴AG =m −2，EG =3−(−2m +7)=2(m −2)，m −2>0，在Rt △AEG 中，∴AE =√5(m −2)，由DEAE =√52，得25(m−2)=√52，化简得，2m2−11m+14=0，解得：m1=72，m2=2（舍去），则D(72, 154)．(3)根据题意得：△ABF为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则△BPQ为等腰直角三角形，分三种情况：①若∠BPQ=90∘，BP=PQ，如图2，过P作MN // x轴，过Q作QM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，易证得：△BAP≅△QMP，∴AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，∴P(2, −2)，Q(−3, 0)，在Rt△QMP中，PM=5，QM=2，由勾股定理得：PQ=√22+52=√29，∴S△BPQ=12PQ⋅PB=292；如图3，易证得：△BAP≅△PMQ，∴AB=PM=2，AP=MQ=3−2=1，∴P(2, 2)，Q(3, 0)，在Rt△QMP中，PM=2，QM=1，由勾股定理得：PQ=√5，∴S△BPQ=12PQ⋅PB=52；②若∠BQP=90∘，BQ=PQ，如图4，易得：△BNQ≅△QMP，∴NQ=PM=3，NG=PM−AG=3−2=1，∴BN=MQ=4+1=5，∴P(2, −5)，Q(−1, 0)∴PQ=√52+32=√34，∴S△BPQ=12PQ⋅PB=342=17；如图5，易得△QNB≅△PMQ，∴NQ=PM=3，∴P(2, −1)，Q(5, 0)，∴PQ=√10，∴S△BPQ=12PQ⋅PB=102=5，③若∠PBQ=90∘，BQ=BP，如图6，过Q作QN⊥AB，交AB的延长线于N，易得：△PAB≅△BNQ，∵AB=2，NQ=3，AB≠NQ∴此时不存在符合条件的P、Q．。

2019-2020学年浙教版九年级数学上册第一、二章测试卷含答案

2019-2020学年九年级数学上册第一、二章测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是( )A ．(2，－3)B ．(－2，3)C ．(2，3)D ．(－2，－3) 2．一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外，其他都相同．从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为( )A.14B.13C.16D.193．以下说法中正确的是( )A ．在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同B ．一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖C ．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K ，这是必然事件D ．“实数a ＜0，则2a ＜0”是随机事件4．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 25．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中x 与y 的对应值如下表．当x ＝1时，y 的值为( )A.4B ．6C.7D ．126．某小组做绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：则绿豆发芽概率的估计值是( ) A ．0.96B ．0.95C ．0.94D ．0.907．抛物线y ＝(x ＋3)2－4可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位8．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，这样就确定点P的一个坐标(x，y)，那么点P落在双曲线y＝6x上的概率为()A.118 B.112 C.19 D.169．已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是()A．B．C． D.第10题图10．给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝1x的图象，其中判断正确的是()①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1; ②如果a2＞a＞1a，那么a＞1；③如果1a＞a2＞a，那么－1＜a＜0；④如果a2＞1a＞a，那么a＜－1.A．正确的命题是①②B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①④D．错误的命题只有③二、填空题(每小题4分，共24分)11．某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选对的概率是__ __．12．已知抛物线y＝x2－(k＋1)x＋4的顶点在y轴上，则k的值是__ _．13．已知a，b可以取－2，－1，1，2中任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax ＋b的图象不经过第四象限的概率是_．14．如图所示，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－112x2＋23x＋53.则他将铅球推出的距离是__ _m.第14题图第15题图第16题图15．小颖与两位同学进行象棋比赛时，决定用“手心、手背”游戏确定出场顺序.设每人每次出手心、手背的可能性相同.若其中一人与另外两个人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次，小颖最后出场比赛的概率为__ _．16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(43，0)是x轴上一点，以OA 为对角线作菱形OBAC，使得∠BOC＝60°，现将抛物线y＝x2沿直线OC平移到y＝a(x－m)2＋h，那么h关于m的关系式是__h＝__，当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是__ _．三、解答题(共66分)17．(6分)小龙和晓丽用“红桃3”“红桃4”“梅花5”“红桃6”这四张扑克牌玩游戏．(1)将这四张扑克牌洗牌后反扣在桌面上，翻开记下花色，再反扣洗牌，第二次再翻开一张记下花色．若两次都是红桃，小龙赢；若是一次红桃、一次梅花，则晓丽赢．小龙和晓丽谁赢的可能性大？说明理由．(2)利用这四张扑克牌设计一个对于双方都公平的游戏方案．第18题图18．(8分)如图所示，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求出点B和点C的坐标；(2)求此抛物线的函数解析式；(3)在抛物线x轴上方存在一点P(不与点C重合)，使S△PAB＝S△CAB，请求出点P的坐标．第19题图19．(8分)如图所示，三张卡片上分别写有一个代数式，把它们背面朝上洗匀，小明闭上眼睛进行抽卡片活动．(1)若从中随机抽取一张卡片，则卡片上为x的代数式的概率是多少？(2)若从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或画树状图法求能组成分式的概率．第19题答图20．(8分)在3×3的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．(1)从A，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及B，C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是多少？(2)从A，D，E，F四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B，C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解)．第20题图第20题答图21．(8分)二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值大于0.第21题图22．(8分)某校举行以“助人为乐，乐在其中”为主题的演讲比赛，比赛设一个第一名，一个第二名，两个并列第三名．前四名中七、八年级各有一名同学，九年级有两名同学，小蒙同学认为前两名是九年级同学的概率是12，你赞成他的观点吗？请用列表法或画树状图法分析说明．23．(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(2，3)，对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，求BC－AC的值；(3)将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP＝OQ，直接写出点Q的坐标．24．(10分)已知如图，矩形OABC的长OA＝3，宽OC＝1，将△AOC沿AC 翻折得△APC.(1)求∠PCB 的度数；(2)若P ，A 两点在抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 上，求b ，c 的值，并说明点C在此抛物线上；(3)(2)中的抛物线与矩形OABC 边CB 相交于点D ，与x 轴相交于另外一点E ，若点M 是x 轴上的点，N 是y 轴上的点，以点E ，M ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点M ，N 的坐标．第24题图2019-2020学年九年级数学上册第一、二章测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是( D )A ．(2，－3)B ．(－2，3)C ．(2，3)D ．(－2，－3) 2．一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外，其他都相同．从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为( B )A.14B.13C.16D.193．以下说法中正确的是(A)A．在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同B．一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖C．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件D．“实数a＜0，则2a＜0”是随机事件4．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(A)A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x与y的对应值如下表．当x＝1时，y的值为(B)A.4 B．6 C.7 D．126．某小组做绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：则绿豆发芽概率的估计值是(B)A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.907．抛物线y＝(x＋3)2－4可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是(B)A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位8．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，这样就确定点P的一个坐标(x，y)，那么点P落在双曲线y＝6x上的概率为( C )A.118B.112C.19D.169．已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( D )A ．B ．C ． D.第10题图10．给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x 的图象，其中判断正确的是( C )①如果1a ＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1; ②如果a 2＞a ＞1a ，那么a ＞1；③如果1a＞a 2＞a ，那么－1＜a ＜0；④如果a 2＞1a＞a ，那么a ＜－1.A ．正确的命题是①②B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①④D ．错误的命题只有③二、填空题(每小题4分，共24分)11．某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选对的概率是__14__．12．已知抛物线y ＝x 2－(k ＋1)x ＋4的顶点在y 轴上，则k 的值是__－1__． 13．已知a ，b 可以取－2，－1，1，2中任意一个值(a ≠b)，则直线y ＝ax ＋b 的图象不经过第四象限的概率是__16__．14．如图所示，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y ＝－112x 2＋23x ＋53.则他将铅球推出的距离是__10__m.第14题图第15题图第16题图15．小颖与两位同学进行象棋比赛时，决定用“手心、手背”游戏确定出场顺序.设每人每次出手心、手背的可能性相同.若其中一人与另外两个人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次，小颖最后出场比赛的概率为__14__．16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(43，0)是x 轴上一点，以OA 为对角线作菱形OBAC ，使得∠BOC ＝60°，现将抛物线y ＝x 2沿直线OC 平移到y ＝a(x －m)2＋h ，那么h 关于m 的关系式是__h m__，当抛物线与菱形的AB 边有公共点时，则m 的取值范围是3．三、解答题(共66分)17．(6分)小龙和晓丽用“红桃3”“红桃4”“梅花5”“红桃6”这四张扑克牌玩游戏．(1)将这四张扑克牌洗牌后反扣在桌面上，翻开记下花色，再反扣洗牌，第二次再翻开一张记下花色．若两次都是红桃，小龙赢；若是一次红桃、一次梅花，则晓丽赢．小龙和晓丽谁赢的可能性大？说明理由．(2)利用这四张扑克牌设计一个对于双方都公平的游戏方案．解：(1)小龙赢的可能性大，理由：由题意可得，出现的所有可能性是： (红桃3，红桃3)、(红桃3，红桃4)、(红桃3，梅花5)、(红桃3，红桃6)，(红桃4，红桃3)、(红桃4，红桃4)、(红桃4，梅花5)、(红桃4，红桃6)，(梅花5，红桃3)、(梅花5，红桃4)、(梅花5，梅花5)、(梅花5，红桃6)，(红桃6，红桃3)、(红桃6，红桃4)、(红桃6，梅花5)、(红桃6，红桃6)，∴小龙赢的概率为916，晓丽赢的概率为616，∵916>616，∴小龙赢的可能性大．(2)例如(答案不唯一)：两次抽取的数的和为偶数是小龙赢，两次抽取的数的和为奇数时，晓丽赢．第18题图18．(8分)如图所示，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求出点B和点C的坐标；(2)求此抛物线的函数解析式；(3)在抛物线x轴上方存在一点P(不与点C重合)，使S△PAB＝S△CAB，请求出点P的坐标．解：(1)B(3，0)，C(0，3)(2)B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，解得b＝2，c＝3，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.(3)设P(x，y)，∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4，S△CAB＝6S△PAB＝12×4×y＝6，解得y＝3.当y＝3时，－x2＋2x＋3＝3，解得x＝0，x＝2，∴P(2，3)或P(0，3)．第19题图19．(8分)如图所示，三张卡片上分别写有一个代数式，把它们背面朝上洗匀，小明闭上眼睛进行抽卡片活动．(1)若从中随机抽取一张卡片，则卡片上为x 的代数式的概率是多少？(2)若从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或画树状图法求能组成分式的概率．第19题答图解：(1)13(2)画树状图如图．∵共有6种等可能的结果，能组成分式的有xx －1，x －1x ，2x ，2x －1， ∴能组成分式的概率是46＝23. 20．(8分)在3×3的方格纸中，点A ，B ，C ，D ，E ，F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上．(1)从A ，D ，E ，F 四点中任意取一点，以所取的这一点及B ，C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是多少？(2)从A ，D ，E ，F 四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B ，C 为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解)．第20题图第20题答图解：(1)14(2)画树状图如图： ∵从A ，D ，E ，F 四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B ，C 为顶点画四边形共有12种等可能结果，以点A ，E ，B ，C 为顶点及以D ，F ，B ，C 为顶点所画的四边形是平行四边形，有4种结果，∴所画的四边形是平行四边形的概率P ＝412＝13. 21．(8分)二次函数y ＝x 2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，并指出当x 满足什么条件时，函数值大于0.第21题图第21题答图解：(1)画图如图所示：依题意，得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x －1∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1.(2)当y＝0时，x2－2x－1＝0，即(x－1)2＝2，∴x－1＝±2，即x1＝1－2，x2＝1＋ 2.∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1－2，0)和(1＋2，0)．由图可知，当x＜1－2或x＞1＋2时，二次函数y＝(x－1)2－2的函数值大于0.22．(8分)某校举行以“助人为乐，乐在其中”为主题的演讲比赛，比赛设一个第一名，一个第二名，两个并列第三名．前四名中七、八年级各有一名同学，九年级有两名同学，小蒙同学认为前两名是九年级同学的概率是12，你赞成他的观点吗？请用列表法或画树状图法分析说明．解：不赞成小蒙同学的观点．理由如下：记七、八年级两名同学为A，B，九年级两名同学为C，D.画树状图分析如下：第22题答图由上图可知所有的结果有12种，它们出现的可能性相等，满足前两名是九年级同学的结果有2种，所以前两名是九年级同学的概率为212＝16. 23．(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点(2，3)，对称轴为直线x ＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其中x 1＜0，x 2＞0，与y 轴交于点C ，求BC －AC 的值；(3)将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP ＝OQ ，直接写出点Q 的坐标．第23题答图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点(2，3)，对称轴为直线x ＝1， ∴⎩⎨⎧－4＋2b ＋c ＝3，b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)如图，设直线l 与对称轴交于点M ，则BM ＝AM.∴BC －AC ＝BM ＋MC －AC ＝AM ＋MC －AC ＝2MC ＝2.(3)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点为(1，4)，∵将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，∴新抛物线的顶点为(1，0)，∴将原抛物线向下平移4个单位即可．设点P的坐标为(x，y)，则y＝－x2＋2x＋3，点Q的坐标为(x，y－4)，则y ＞y－4.∵OP＝OQ，∴x2＋y2＝x2＋(y－4)2，∴y2＝(y－4)2，∵y＞y－4，∴y＝－(y－4)，∴y＝2，∴y－4＝－2，当y＝2时，－x2＋2x＋3＝2，解得x＝1±2，∴点Q的坐标为(1＋2，－2)或(1－2，－2)．24．(10分)已知如图，矩形OABC的长OA＝3，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC.(1)求∠PCB的度数；(2)若P，A两点在抛物线y＝－43x2＋bx＋c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；(3)(2)中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E，M，D，N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M，N的坐标．第24题图第24题答图解：(1)在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝1，则∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60°；根据折叠的性质知OA ＝AP ＝3，∠ACO ＝∠ACP ＝60°；∵∠BCA ＝∠OAC ＝30°，且∠ACP ＝60°，∴∠PCB ＝30°.(2)如图1，过P 作PQ ⊥OA 于点Q ，Rt △PAQ 中，∠PAQ ＝60°，AP ＝3，∴OQ ＝AQ ＝32，PQ ＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32；将P ，A 代入抛物线的解析式中，得⎩⎨⎧－1＋32b ＋c ＝32，－4＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝1，即y ＝－43x 2＋3x ＋1；当x ＝0时，y ＝1，故C(0，1)在抛物线的图象上．(3)①如图2，若DE 是平行四边形的对角线，点C 在y 轴上，CD 平行x 轴，∴过点D 作DM ∥CE 交x 轴于点M ，则四边形EMDC 为平行四边形，把y ＝1代入抛物线解析式得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫334，1 把y ＝0代入抛物线解析式得点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0第24题答图∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，N 点即为C 点，坐标是(0，1)； ②如图3，若DE 是平行四边形的边，过点A 作AN ∥DE 交y 轴于点N ，四边形DANE 是平行四边形，∴DE ＝AN ＝OA 2＋ON 2＝3＋1＝2，∵tan∠EAN＝ONOA＝33，∴∠EAN＝30°，∵∠DEA＝∠EAN，∴∠DEA＝30°，∴M(3，0)，N(0，－1)；同理，过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，∴M(－3，0)，N(0，1)．。

浙教版九年级数学上(1-2)单元同步测试(含答案)

浙教版（1单元-2单元）同步测试姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列事件是随机事件的是（）A．漳州市在六月份下了雪B．太阳从东边升起C．打开电视机正在播动画片D．两个奇数之和为偶数2.抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（）A．（，﹣3）B．（﹣，﹣3） C．（，3） D．（﹣，3）3.小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（）A．B．C．D．4.对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（）A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小5.下列说法正确的是（）A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式B．数据2，0，﹣2，1，3的中位数是﹣2C．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生6.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤7.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.158.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=B．y=C．y=D．y=9.已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣110.如图，在等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动，若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 _________ 象限．12.在“Wish you success ”中，任选一个字母，这个字母为“s ”的概率为． 13.将二次函数y=x 2﹣4x+3化为y=a （x+m ）2+k 的形式：y=________________． 14.二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x+5的最大值是．15.甲、乙两同学手中各有分别标注，，三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢．你认为此规则公平吗？并说明理由．________．16.如图，抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx+n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx+c ＞n 的解集是．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）李老师一共调查了多少名同学？（2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名，将上面条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．18.某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数，（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率，（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？19.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？20.在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．21.已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？22.今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A．B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．根据以上信息解答下列问题：（1）求m的值；（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．23.如图：已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A．B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴交点，连接AC，（1）求抛物线解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A．B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A．B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）答案解析一、选择题1.【考点】随机事件．【分析】随机事件，又称不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．解：A．漳州市在六月份下了雪是不可能事件，选项错误；B、太阳从东边升起，是必然事件，选项错误；C、打开电视机正在播动画片是随机事件，选项正确；D、两个奇数之和为偶数是必然事件，选项错误．故选C．【点评】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．解：y=﹣（x+）2﹣3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）．故选B．3.【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．解：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），∴他的爸爸妈妈相邻的概率是：，故选D．4.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．解：A．∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；D、∵a=1＞0，对称轴x=m，∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识,正确掌握二次函数的性质是解题关键5.【考点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；中位数；概率的意义【分析】根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识进行判断即可．解：A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确；B、数据2，0，﹣2，1，3的中位数是1，错误；C、可能性是99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误；D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为100，错误；故选：A．【点评】此题考查概率的意义，关键是根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识解答．6.【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x=﹣=1，∴b=﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．7.【考点】频数（率）分布表，利用频率估计概率【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．8.【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a2=x2．故选：C．【点评】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．9.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．解：当y=0，则0=x2﹣4x+3，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，∴A（1，0），B（3，0），y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴M点坐标为：（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，关键是要掌握二次函数的性质。

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习培优训练(附答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习培优训练（附答案）一．待定系数法求二次函数解析式1．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点P（2，3），Q（﹣1，6）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式及其顶点坐标；（Ⅱ）若点M（m，n）在此抛物线上．①当n＝11时，求m的值；②若点M到y轴的距离小于2，求n的取值范围．2．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M（t﹣1，y1），N（t，y2）在该抛物线上，当t＜1时，比较y1与y2的大小；（3）若点P（m，n）在该抛物线上，求m﹣n的最大值．二．二次函数的应用3．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？4．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间满足关系式h＝﹣5t2+20t．（Ⅰ）小球运动的时间是多少时，小球回落到地面？（Ⅱ）圆圆说小球的高度能达到21米，你认为圆圆的说法对吗？为什么？6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满；当每个房间每天定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？并求出一天的最大利润是多少？7．某商品每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2600．（Ⅰ）一批发市场每月想从这种商品销售中获利24000元，该如何给这种商品定价？（Ⅱ）物价部门规定，该商品的每件售价不得高于65元，设这种商品每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？8．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件，市场调查反映；如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件，请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：原价每件降价1元每件降价2元…每件降价x元每件售价（元）353433…505254…每天销售量（件）（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．三．二次函数综合题9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y 轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（x D，y D）为抛物线上一个动点，其中1＜x D＜3．连接AC，BC，DB，DC．（I）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．13．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），该抛物线的顶点为D．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（Ⅱ）①直线CD的解析式为；②过点D作DH⊥x轴于H，在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段PO的长，求点P的坐标；（Ⅲ）设直线CD交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？14．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB ∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）求点C到直线AB的距离（用含a的式子表示）；（3）若点C到直线AB的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．15．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线y＝kx+m，经过点B，C．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；（Ⅲ）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．16．抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．18．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+P A的最小值．19．已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．参考答案一．待定系数法求二次函数解析式1．解：（Ⅰ）把P（2，3），Q（﹣1，6）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；∵y＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；（Ⅱ）∵点M（m，n）在此抛物线上，∴n＝m2﹣2m+3；①当n＝11时，m2﹣2m+3＝11，解得m1＝﹣2，m2＝4；即m的值为﹣2或4；②∵点M到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，而m＝﹣2时，n＝11；m＝2时，n＝3，∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，x＝1时，y有最小值2，∴当﹣2＜m＜2时，n的范围为2≤n＜11．2．解：（1）抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而t＜1，∴点M（t﹣1，y1），N（t，y2）对称轴的左侧的抛物线上，∵t﹣1＜t，∴y1＞y2；（3）∵点P（m，n）在该抛物线上，∴n＝m2﹣4m+3，∴m﹣n＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，m﹣n有最大值，最大值为二．二次函数的应用3．解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（Ⅱ）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．4．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：．故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；（2）根据题意，得：（x﹣100）（﹣x+180）＝1500，整理，得：x2﹣280x+19500＝0，解得：x＝130或x＝150，答：每件商品的销售价应定为130元或150元；（3）∵y＝﹣x+180，∴W＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣x+180）＝﹣x2+280x﹣18000＝﹣（x﹣140）2+1600，∴当x＝140时，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．5．解：（Ⅰ）当h＝0时，﹣5t2+20t＝0，解得t＝0或t＝4，∴小球运动时间是4s时小球落回到地面；（2）圆圆的说法不对，理由：将h＝21代入，则﹣5t2+20t＝21，即5t2﹣20t+21＝0，∵△＝（﹣20）2﹣4×5×21＝﹣20＜0，∴方程无解，∴圆圆的说法不对．6．解：设每个房间每天的定价增加x元，宾馆所得利润为y元，根据题意，得整理，得其中0≤x≤500，且x是10的倍数当∴房价定为160+180＝340时，宾馆利润最大∴y最大值＝故房价定为340元时，宾馆利润最大，一天的最大利润为10240元7．解：（Ⅰ）由题意得：（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，解得，x1＝70，x2＝110．∴这种商品可定价为每件70元或110元．（Ⅱ）由题意得：w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20x2+3600x﹣130000＝﹣20（x﹣90）2+32000，∵a＝﹣20＜0，对称轴为x＝90，∴当x＜90时，w随x的增大而增大．∵该商品的每件售价不得高于65元，每件售价不低于进货价50元，∴50≤x≤65．∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500．∴售价定为每件65元可获得最大利润，最大利润是19500元．8．解：（1）35﹣x，50+2x；（2）根据题意，每天的销售额y＝（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35）配方得y＝﹣2（x﹣5）2+1800，∵a＜0，∴当x＝5时，y取得最大值1800．答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．三．二次函数综合题9．解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x＝时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝3﹣，当y＝0时，x＝，故点N、M的坐标分别为：（1，3﹣）、（，0），CN+MN+MB的最小值＝CH＝CM+FH＝．10．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PF，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），则点M坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（0，），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：，解得：，故点M的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．11．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）如图，过点D作DH⊥x轴，与直线BC交于点E，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，与y轴交于点C，∴点C（0，3），∴OC＝3，∴S△AOC＝×1×3＝，∵点B（3，0），点C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，∵点D（x D，y D），∴点E（x D，﹣x D+3），y D＝﹣x D2+2x D+3，∴DE＝﹣x D2+2x D+3﹣（﹣x D+3）＝﹣x D2+3x D，∵△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍∴S△BCD＝3＝×DE×3，∴2＝﹣x D2+3x D，∴x D＝1（舍去），x D＝2，（Ⅲ）设点M（m，0），点N（x，y）当BD为边，四边形BDNM是平行四边形，∴BN与DM互相平分，∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴，∴m＝1，当BD为边，四边形BDMN是平行四边形，∴BM与DN互相平分，∴，∴y＝﹣3，∴﹣3＝﹣x2+2x+3∴x＝1±，∴∴m＝±，当BD为对角线，∴BD中点坐标（，），∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴m＝5，综上所述点M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图1，连接CN，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图2，连接EN，CM，MN，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图3，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△P AB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，∴当m＝时，△P AB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．13．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵抛物线与y轴交于点C（0，8），∴9＝﹣8a，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴顶点D坐标（1，9）；（Ⅱ）①设直线CD解析式为y＝kx+b，，∴，∴直线CD的解析式为y＝x+8，故答案为y＝x+8；②如图1，过点P作PM⊥CD于M，设点P（1，t），∵直线CD与x轴的夹角为45°，∴PM＝PD＝（9﹣t），∵PM＝PO，∴PM2＝PO2，∴1+t2＝（9﹣t）2，∴t1＝﹣9+4，t2＝﹣9﹣4（舍去），∴点P的坐标为（1，﹣9+4）；（Ⅲ）如图2，∵直线CD交x轴于点E，∴0＝x+8，∴x＝﹣8，∴点E（﹣8，0），∵BF⊥x轴，∴点F的横坐标为4，∵点F在直线CD上，∴点F（4，12），①当抛物线向上平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0），当x＝﹣8时，y＝﹣72+m，当x＝4时，y＝m，∴﹣72+m≤0或m≤12，∴0＜m≤72；②当抛物线向下平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0），联立方程组可得：，∴x2﹣x+m＝0，∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤，∴0＜m≤，∴抛物线向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移个单位长度．14．解：（1）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax+a﹣3，∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，∴顶点坐标为（1，﹣3）；（2）如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，∵∠ABC＝135°，∴∠CBD＝45°，∵CD⊥AD，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴顶点坐标为（m，2m﹣5），∵AB＝4，∴点B的横坐标为m+2，∵点B在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴y＝a（m+2﹣m）2+2m﹣5＝4a+2m﹣5，∴点B（m+2，4a+2m﹣5），设点C到直线AB的距离为d，∴BD＝CD＝d，∴点C（m+2+d，4a+2m﹣5﹣d），∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣d＝，a（m+2+d﹣m）2+2m﹣5，整理得：ad2+4ad+d＝0，∵d≠0，∴d＝﹣，∴点C到直线AB的距离为﹣；（3）∵点C到直线AB的距离为1，∴﹣＝1，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m的值为或10+2．15．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，∴点C（0，﹣2），点A（﹣1，0），点B（4，0），∵直线y＝kx+m，经过点B，C，∴，解得：，∴k的值为；（Ⅱ）如图1，过点P作PE⊥AB交BC于点E，∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点为A、B，∴0＝y＝x2﹣x﹣2，∴x1＝4，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），设点P（a，a2﹣a﹣2），则点E（a，a﹣2），∴PE＝a﹣2﹣（a2﹣a﹣2）＝﹣a2+2a，∵四边形ACPB面积＝（4+1）×2+×（﹣a2+2a）×4＝﹣（a﹣2）2+9，∴当a＝2时，四边形ACPB面积有最大值，此时点P（2，﹣3）；（Ⅲ）如图2，当点M在BC上方时，设CM交AB于点H，∵∠MCB＝∠ABC，∴CH＝BH，∵CH2＝OC2+OH2，∴BH2＝4+（4﹣BH）2，∴BH＝，∴OH＝，∴点H（，0），∵点C（0，﹣2），点H（，0），∴直线CH解析式为：y＝x﹣2，联立方程组可得，解得：，，∴点M（，），当点M'在BC下方时，∵∠M'CB＝∠ABC，∴M'C∥AB，∴点M'的纵坐标为﹣2，∴点M'的坐标为（3，﹣2）；综上所述：点M（，）或（3，﹣2）．16．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，故当m＝2时，PN有最大值为；（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．17．解：（Ⅰ）令x＝0，则y＝，即C（0，）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：＝a（0﹣5）（0+1），解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣5）（x+1）＝﹣x2+2x+；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线AC的表达式为y＝﹣x+，当x＝2时，y＝，则MH＝﹣＝3，则△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF2＝OD2＝m2+（﹣m+）2＝m2﹣m+，∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，故点D（1，2），∵点P、D的纵坐标相同，故2＝﹣x2+2x+，解得x＝2±，故点P的坐标为（2+，2）或（2﹣，2）．18．解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣2，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴S△ABD＝＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（m，），则M（m，），∴EM＝﹣＝﹣m+2，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝×EM×1＝＝﹣，＝﹣．∴当m＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin∠EAG＝，∴PH＝AP，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴sin∠AEG＝sin∠HEF＝＝，∴FH＝＝3．∴PE+P A的最小值是3．19．解：（1）∵B（1，0），∴OB＝1；∵OC＝3BO，∴C（0，﹣3）；（1分）∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），∴；解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：（2分）（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N 在中，令y＝0，得方程解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1∴A（﹣4，0）设直线AC的解析式为y＝kx+b∴解这个方程组，得∴AC的解析式为：（3分）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝＝设，（4分）当x＝﹣2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值（5分）（3）如图所示，①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，∵C（0，﹣3）∴设P1（x，﹣3）∴解得x1＝0，x2＝﹣3∴P1（﹣3，﹣3）；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C（0，﹣3）∴设P（x，3），∴，x2+3x﹣8＝0解得或，此时存在点和综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3），，．20．解：（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+mx+n，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM＝2S△BOC列方程可得：•AO×|n|＝2××OB×OC，∴×2×|﹣m2﹣m+2|＝2，∴m2+m＝0或m2+m﹣4＝0，解得x＝0或﹣1或，∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入得到，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+2，设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），ND＝（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，∵﹣1＜0，∴x＝﹣1时，ND有最大值1．∴ND的最大值为1．。

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