11月数学模考测试卷(数学一)

全国硕士入学统考数学(一)模拟试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分,共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填定在答题纸．．．指定位置上. （1
）设222()1(1),()1f x x x g x x =+-=-n ，则当的是时)()(0x g x f x →
(A) 低阶无穷小量.
（B ）高阶无穷小量. (C ）同阶但不等价的无穷小量.
（D ）等价无穷小量.
(2)设函数⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=<=>=⎰⎰处在点则0)(,0,arcsin 1,
0,1,0,sin 1)(0202x x f x tdt x x x tdt x x f x
x
(A)左极限存在,但右极限不存在. (B)右极限存在,但左极限不存在. (C)极限存在,但不连续.
(D)连续.
(3){}[]上在区间
则设π2,0)(,cos ,sin min )(x f x x x f = (A)没有不可导的点. (B)只有1个不可导的点 (C)共有2个不可导的点.
(D)共有3个不可导的点.
(4)若a,b 是待定常数,则应设二阶常系数非齐次线性微分方程x y y cos =-''的特解形式为
(A).sin cos x b x a y +=* (B))sin cos (x b x a x y +=*
(C)
.cos x ax y =*
(D)
sin .y b x *=
(5)已知⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100011011A ,那么下列矩阵 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121252121,000020003,100011011 中,与A 合同．．
的矩阵共有 (A)3个.
(B)2个.
(C)1个.
(D)0个.
(6)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b b b b b b b b b B 是3阶可逆矩阵,若*
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=A b b b b b b b b b AB ,333222332313322212312111是A 的伴随矩阵,则
*A 的特征值中没有．．
(A)4.
(B).6
(C)-2.
(D)-3.
(7)设随机事件A 与B 的概率满足O<P(A)<1,0<P(B)<1,则事件A 与B 独立的充分必要条件是
(A)()() 1.P A B P A B += (B)1)()(=+B A P B A P (C)()()1P A B P A B +=
(D)()()1P A B P A B +=
(8)设随机变量X 与Y 分别服从N （-1，2）和N （1，2），且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则有 (A)120k k += (B) 120k k == (C) 120k k +≠
(D) 120k k =≠
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答案纸．．．指定位置上. （9）11
lim().1
n n
n e →∞
-
=
-
（10）已知方程0962
3=-+-k x x x 只有且只有一个正根，则实数k 的取值范围
.是
（11）已知
.)(,arccos )
(3=+='⎰
x f C x dx x
x f 则
（12）设曲面∑
是z =的上侧，则
2
xydydz xdzdx x dxdy ∑
++=⎰⎰ . （13）设B a a a a a A ,311111211⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡++=是3阶非零矩阵，且.0,0的通解是则==Ax AB
（14）设总体X 服从期望值为2的指数分布，201,,X X 是取自X 的简单随机样本，令
,20,,2,1,,20120
1
=-==∑=i X X Y X X i i i i 则Y i 的期望EY i .,=
=
i DY 方差
三、解答题：15～23小题，共94分，请将解写在答题指定位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 设1,a b ≤<求证：函数x x x f 2
ln )(=满足不等式
.)(2
122)()(02
a b b a f b f a f -<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+<
（16）（本题满分10分）
设函数[]上连续在区间b a x f ,)(，求证：
⎰
⎰-+=b
a
b
a
dx x b a f dx x f ;)()(
并计算定积分
⎰-10
35
2.)
2(sin π
π
dx x x x
π
（17）（本题满分10分）
设函数),(y x f 有二阶连续偏导数，且02=∂∂∂y
x f .求常数a 和b ，使得函数
),(),(2
2
y x f e y x z by ax
+=满足恒等式
22480.z z z
y x xyz x y x y
∂∂∂-+-=∂∂∂∂
（18）（本题满分10分）
设}0,0,2),{(2
2
≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过2
21y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++D
dxdy y x xy .]1[2
2
（19）（本题满分10分）
求幂级数∑∞
=--121
2)1(n n
n x n 的收敛半径，收敛域与和函数.
（20）（本题满分11分）
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+-+=321,231,2211321121x x x x b b a b a a A 设, 问当a ，b 取何值时，方程组b Ax =无解，有惟一解，有无穷多解，并在有解时求其解.
（21）（本题满分11分）
已知A 是3阶实对称矩阵，其特征值是T
a )0,1,1(,1,21321====λλλ是属于λ＝2的特征向量.
（Ⅰ）求矩阵A ;
(Ⅱ)若β＝（1,5,2）T ,求A n β.
(22) （本题满分11分）
从数集{}中每次任取一个数
5,4,3,2,1（取后放回），用b i 表示第i 次取出的数（i ＝1,2,3）,记列向量b ＝（b 1,b 2,b 3）T ，如果三阶矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=631421211A ，求线性方程组AX ＝b 有解的概率.
（23）（本题满分11分）
设二维连续型随机变量（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，其中
{}.20),(y x y y x D -≤≤≤=
试求：（Ⅰ）X +Y 的概率密度;
(Ⅱ)X 的边缘概率密度; (Ⅲ){}
5.12.0=≤X Y P .。