上海市华东师范大学第二附属中学2020学年高二数学3月月考试题(含解析)
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(原卷+解析版)
对④，当 ， 时，不总存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故④错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档．
12.已知 内一点 是其外心， ，且 ，则 的最大值为________.
10.已知边长为1 正八边形的8个顶点依次为 、 、 、 、 、 、 、 ，点 为该八边形边上的动点，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，根据向量数量积的几何意义知，当点 在 位置时， 取得最小值，当点 在 位置时， 取得最大值，建立直角坐标，利用向量的坐标运算，即可得答案.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于 的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】∵ 与 的夹角为锐本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.
②存在 为第二象限角，角 为第四象限角；
则下列选项中，正确的是（）
A. ①正确②正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①错误②错误
三.解答题
17.在△ 中，三个内角 、 、 所对 边分别为 、 、 .
（1）若 ， ，求△ 面积的最大值；
（2）若 ，试判断△ 的形状，并说明理由.
18.已知 （ ）
【详解】设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
2020年上海华东师范大学第二附属中学高二数学文联考试卷含解析
2020年上海华东师范大学第二附属中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (本小题满分14分) （14分）已知函数（a∈R）．(1)若在上是增函数，求a的取值范围；（2）若,证明：.参考答案：解：(1)∵ ,且在[1,e]上是增函数,∴≥0恒成立，即a≥-在[1,e]上恒成立, ∴a≥-1（2）证明：当a=1时，x∈[1,e]． ks5u令F(x)= -=- ,∴,∴F(x) 在[1,e]上是减函数，∴F(x)≤F(1)=∴x∈[1,e]时，<略2.参考答案：A3. i是虚数单位,复数对应的点位于A第一象限 B第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B4. 设，若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．参考答案：B5. 已知命题p：任意的x∈R，x>sin x，则p的否定形式为( ) A．：存在x∈R，x<sin x B．：任意x∈R，x≤sin x C．：存在x∈R，x≤sin x D．：任意x∈R，x<sin x 参考答案：C6. 若右边的程序框图输出的S是62，则条件①可为A、m≤5B、m≤6C、m≤7D、m≤8参考答案：答：D。
略7. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (－4，0)，C (4，0)，则顶点A的轨迹方方程是（）A．（y≠0） B．（y≠0）C．（y≠0） D．（y≠0）参考答案：A8. 已知点P(2，1)为圆C：x2＋y2－8x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为A.2x＋y－5＝0B.x＋2y－4＝0C.2x－y－3＝0D.x－2y＝0参考答案：C9. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排列种数为（）A．B． C. D．参考答案：A10. 设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为( )A. B．3 C．6 D．无法确定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆C：，则其长轴长为___▲___；若F为椭圆C 的右焦点，B 为上顶点，P 为椭圆C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值___▲___.参考答案：(1). (2).由题意易得：长轴长为；四边形OBPF的面积为三角形OBF与三角形BFP的面积和，三角形OBF的面积为定值，要使三角形BFP的面积最大，则P到直线BF的距离最大，设与直线BF平行的直线方程为y=﹣x+m，联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0．由△=16m2﹣4×3×（2m2﹣2）=0，解得m=．∵P为C上位于第一象限的动点，∴取m=，此时直线方程为y=﹣x+．则两平行线x+y=1与x+y﹣的距离为d=.．∴三角形BFP的面积最大值为S=．∴四边形OAPF（其中O为坐标原点）的面积的最大值是=．故答案为：．12. 已知等比数列{a n}的首项为1，且，则__________.参考答案：128【分析】先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：.故答案为：128.【点睛】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础. 对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.13. 命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题是．参考答案：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】利用原命题和否命题之间的关系，准确的写出原命题的否命题．注意复合命题否定的表述形式．【解答】解：原命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题只需将条件和结论分别否定即可：因此命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0的否命题为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0．故答案为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠014. （4分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx 的最大值为_________ ．参考答案：15. 从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球,共有种取法。
2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期3月月考数学试卷含详解
2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-=∆__________．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x =+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y +的最小值为______.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n -=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e x x x f axf ax ax->-恒成立，则a 的取值范围是______.12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++= ，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b< B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n nn a a a a a n a a aa +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.18.已知函数()22sin 3sin cos f x x x x ωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且3,sin 2sin c B A ==，()3f C =，求ABC 的面积．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．【答案】[]22-,【解析】【分析】根据补集的定义直接进行运算即可.【详解】因为{}2M x x =>，所以{}{}2|22M x x x x =≤=-≤≤，故答案为：[2,2]-.2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】利用复数的除法运算得z ，即可求解.【详解】()()()()2+i 1i 2+i 31i,1+i 1+i 1i 22z -===--则z 的虚部为12-.故答案为：12-.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-=∆__________．【答案】14-【解析】【分析】首先计算()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，当0x ∆→时，即可求值.【详解】()()()11222222xf x f x x -∆+∆-=-=+∆+∆，()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，()()()002211limlim 224x x f x f x x ∆→∆→⎛⎫+∆-=-=- ⎪ ⎪∆+∆⎝⎭.故答案为：14-4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________【答案】8【解析】【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案.【详解】由等差数列的性质可得：1164131a a a a +=+=，所以()1161616116822a a S +⨯⨯===，故答案为：8.5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为【答案】23【解析】【详解】试卷分析：设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r ，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为43π，由得圆锥母线与底面所成角的余弦值为23r l =.考点：圆锥的侧面展开图.6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x=+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.【答案】21【解析】【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得ab .【详解】由()ln af x x x =+，得21()a f x x x'=-，则()11f a '=-，又()1f a =，则切线方程为()()11y a a x -=--，即()112y a x a=--+14,12a a b ∴-=-+=，得3,7a b =-=-21ab ∴=故答案为：21.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为______.【答案】3+##3+【解析】【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==-时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.【答案】45【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算AB AM ⋅的最大值．【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：(0,0)A ，(5,0)B ，(0,12)C ，ABC 外接圆225169()(6)24x y -+-=，设M 513(cos 22θ+，136sin )2θ+，则513(cos 22AM θ=+ ，136sin )2θ+，(5,0)AB =，2565cos 4522AB AM θ⋅=+≤ ，当且仅当cos 1θ=时取等号．所以AB AM ⋅的最大值是45．故答案为：45．9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．【答案】1)-【解析】【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案．【详解】如图正六边形中，,OA AB c BD ===，直线OB 即双曲线的渐近线方程为y =，由椭圆的定义可得)21a AB BD c =+=，所以椭圆的离心率1c e a ===，双曲线的渐近线方程为n y x m =，则=n m ，双曲线的离心率2e ==，所以椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为1)-【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.【答案】【解析】【分析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长.【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为1,SO BD BO SB ====2GE GF ==，EF =P+【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，则a 的取值范围是______.【答案】[)0,e 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为e x ax >恒成立,分离参数求最值即可求解.【详解】定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，∴函数()f x 为R 上的偶函数．令()()g x xf x x =-，则()()g x g x -=-,()g x 为奇函数．()()()1g x xf x f x ''=+-．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．()0g x '∴>，()g x 在[)0,∞+单调递增．∴函数()g x 在R 上单调递增．对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，()()e e e x x x f axf ax ax ⇒->-,即()()exg g ax >e x ax ∴>．当0x >时，e ()xa h x x <=，则2(1)()x e x h x x'-=，则()01,0x h x <<'<；()1,0x h x '>>；故()h x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增；可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，()1eh =e a ∴<．当0x <时，e xa x>，则()0h x <，则0a ≥则a 的取值范围是[)0,e .故答案为：[)0,e .12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++=，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据焦半径公式表示出FA ，FB，FC，依题意可得1233x x x ++=，即可求出3x 的取值范围，即可得解.【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，准线方程为=1x -，所以11FA x =+ ，21F x B =+ ，31FC x =+，0FA FB FC ++=，又A 、B 、C 为抛物线上三点，显然三点不完全重合，∴()()()()1122331,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=，即1233x x x ++=，1230y y y ++=，所以123222123012y y y y y y ++=⎧⎨++=⎩，因为FA FB FC ≤≤，所以123111x x x ≤≤+++，等价于123y y y ≤≤，由对称性，不妨设312210y y y y y =--≤≤≤，所以()222222123121212y y y y y y y ++=++--=，即2212126y y y y ++=，所以()()222212*********y y y y y y y y +≤++=≤+，所以2233364y y ≤≤，所以33364x x ≤≤，3322x ≤≤，351,32FC x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，当()330,0,,,22A B C ⎛⎛ ⎝⎝时，即52FC = ；当(11,,2,22A B C ⎛⎛- ⎝⎝时，即3FC = ;所以5,32FC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b < B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值【答案】C【解析】【分析】[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，A 正确，[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，B 正确，[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，C 错误，根据单调性判断D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，正确；对选项B ：[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，正确；对选项C ：[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，错误；对选项D ：[]3,5x ∈时，()f x 单调递减，当()5,x ∈+∞时，()f x 单调递增，函数()f x 在5x =处取得极小值，正确；故选：C ．15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>【答案】C【解析】【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题【答案】A【解析】【分析】对①，直接令2a =判断即可；对②，利用反证法，先设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，再推导21,k k a a --的大小推出矛盾即可；【详解】对①，当2a =时，易得12a =，22a =，31a =，42a =，52a =，61a =…故数列{}n a 为2，2，1循环.所以对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=成立，故①正确；对②，对于任意[)2,a ∈+∞，有12a =，2a a =，32a a =，42a =，设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，则4k >，此时易得21,k k a a a --≤，又()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩，且由题意，0n a >恒成立，故21n a +≥，即数列{}n a 中所有项都满足1n a ≥，故211,k k a a a --≤≤，因为[]2112max ,1,k k k k k a a a a a a ----⎧⎫=∈⎨⎩⎭，与k a a >矛盾，故对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.故选：A三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）1arcsin3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线PC 的方向向量与平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.在正方形ABCD 中，AC BD ⊥.而PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC .【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.设1AB =，则()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，从而()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=- .设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =r，0000PB n x z x z y z y z PD n ⎧⎧⋅=-==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎩⎪⎩⎩ ，令1z =，则()1,1,1n = .设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，则1 sin|cos,3PC nPC nPC nθ⋅===⋅∣，故PC与夹面PBD的所成角大小为1 arcsin3.18.已知函数()22sin cosf x x x xωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x的单调增区间；（2）设ABC的内角、、A B C的对边分别为a b c、、，且2sinc B A==，()3f C=，求ABC的面积．【答案】（1）1ω=，πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）32【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()π2sin216f x xω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，根据最小正周期得到ω，进而得到函数解析式，得到单调递增区间；（2）根据()3f C=求出π3C=，由正弦定理得到2b a=，由余弦定理得到1a=，求出三角形面积.【小问1详解】()π1cos22sin216f x x x xωωω⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，2ππ2Tω==，()π1,2sin216f x xω⎛⎫∴==-+⎪⎝⎭，令πππ22π,2π,622x k k k⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，解得πππ,π,63x k k k⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，故()f x的单调增区间为πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z．【小问2详解】()π2sin 2136f C C ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ，即sin 216πC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，ππ11π2,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故ππ262C -=，解得π3C =，sin 2sin B A =，2b a ∴=，2222cos c a b ab C =+- ，222342a a a ∴=+-，解得1a =，1322,sin 22ABC b a S ab C ∴====△．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【答案】（1）2400cm ；（2）16x =.【解析】【分析】（1）连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ，利用底面积与侧面积的和求解表面积；（2）由AB x =，可得2x OE =，)(200202x PE x =-<<，先利用勾股定理求出棱锥的高，然后表示出体积，再利用导数求最大值时x 的的值.【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ．（1）∵10AB =，∴5OE =，15PE =，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为141010410154002ABCD PBC S S S =+=⨯+⨯⨯⨯=表△，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为2400cm ．（2）∵AB x =，∴2x OE =，)(200202x PE x =-<<，∴)222052002022x x PO x x ⎛⎛⎫⎫=---<<⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝，∴正四棱锥P ABCD -的体积为)()()241252525202020020333V x x x x x x x x =⨯-=⨯-=-<<．令)()()(420020t x x x x =-<<，则)()(3516t x x x '=-，当016x <<时，)(0t x '>，)(t x 单调递增；当1620x <<时，)(0t x '<，)(t x 单调递减，∴)()(max 16t x t =，∴)()(max 16V x V =，∴当16x =时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【点睛】方法点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何法，特别是平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、导数法以及均值不等式法求解.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．【答案】（1）22143x y +=；（2）4；（3）8【解析】【分析】（1）直接利用四边形面积可知=ab 2a =即可求出b 值，即可求得椭圆方程；（2）设出点M 坐标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可；（3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及1230kk kk ++=可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形FPQ △的周长.【小问1详解】由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为1222a b ⨯⨯⨯=，即=ab∵2a =，∴b =，∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】椭圆的右顶点为(),0a ，以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =，设动点()00,M xy ，则()()()22222200000010201004102100102MH x y x x ax x a a =-+=-++=--+--⎡⎤⎣⎦当1020a ->时，即05a <<，最小值在对称轴处取得，即()(22100102a --=，解得4a =或6a =（舍去），当1020a -≤，即05a <≤，最小值在00x =处取得，此时MH 最小值为10，不符合题意，故4a =；【小问3详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则1112y k x =+，2222y k x =+，故12121212122222y y kx m kx m k k x x x x +++=+=+++++，则()()()()()()()12211212122233322kx m x kx m x kk kk k k k x x +++++++=++=+++()()()12121212224324kx x k m x x mk x x x x ++++=++++，当2a =时椭圆的方程为22143x y +=，将椭圆方程与直线方程联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2223484120k x kmx m +++-=，()()22222264434412144481920k m k m m k ∆=-+-=-+>，即22340m k -+>，122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，即()()2221222241282243434334128243434m km k k m m k k k k k k m km k k --⨯++⨯+++++=--+⨯+++()()222041616m k m k m km k --==-+，故m k =或2m k =，此时均满足0∆>，若m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，此时直线恒过()1,0-，若2m k =，则直线l 的方程为2y kx k =+，此时直线恒过()2,0-，与题意矛盾，点()1,0-为椭圆的左焦点1F ，故FPQ △的周长为1148PF FQ PQ PF FQ PF QF a ++=+++==.21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.【答案】（1）(,0∞⎤-⎦（2）10eλ<<（3）6302ln 2,4ln 2517⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接由导数求出参数的范围即可.（2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果.（3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量带入()()g p g q -，写出表达式再求导即可.【小问1详解】易得定义域为()0,∞+，()221x h x x x xλλ-'=-=，当且仅当0λ≤时，()0h x '>恒成立，()y h x =是定义域上的单调递增函数，符合题意；而当0λ>时，()h x '既不恒正，也不恒负，即()y h x =不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；所以，由题意得实数λ的取值范围为(],0-∞；【小问2详解】函数()y h x =有两个不同的零点，所以()y h x =不是定义域上的单调函数，即0λ>；∴()y h x =在()0,λ上为单调递减函数，在[),λ+∞上为单调递增函数，且当x 趋近于0和+∞时，()y h x =趋近于+∞，∴函数()y h x =有两个不同的零点()()min 1ln 100eh x h l l l ==+<Þ<<.【小问3详解】(),p q p q < 为()()ln x x g x x x xh λλλ=-=+-的两个驻点，(),0p q p q ∴<<为()210g x x x l l =--=¢的两根，即一元二次方程20x x λλ-+=有两个不同的正根，即11p q pq λ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则1142,11751p q p p p q p λ⎧⎡⎤==∈⎪⎢⎥+⎣⎦+⎪⎪⎨⎪<=⎪⎪⎩，解得1142p ≤≤，()()()2111122ln ln 2ln p g p g q g p g p p p p p p p p p l l l 骣骣骣骣-琪琪琪琪\-=-=+----=+琪琪琪琪桫桫桫桫2212242ln 2ln 211⎛⎫-=+⋅=+- ⎪+⎝⎭+p p p p p p p ，令()24112ln 2,,142⎡⎤=+-∈⎢⎥+⎣⎦m p p p p ，()()()()2222222128011p p m p p p p p -=-=++¢³ ()m p \在11,42p 轾Î犏犏臌上为单调递增函数，则()3064ln 2,2ln 2175m p 轾Î-+-+犏犏臌，()()()6302ln 2,4ln 2517g p g q m p 轾\-=Î--犏犏臌.【点睛】关键点睛：第二问是零点问题，转化为方程根的个数问题；第三问较难，首先将双变量转化为单变量需用驻点这一条件，再用韦达定理表示出来，注意新变量的取值范围，最后再构造函数求单调性得出结果.。
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高三上学期质量调研数学试卷
华东师范大学第二附属中学 2023学年第一学期高三年级质量调研数学试卷考生注意：1.本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知全集()[),12,U =-∞+∞，集合()[)1,13,A =-+∞，则A =________.2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=-（i 为虚数单位），则Im z =________.3.设常数0a >且1a ≠，若函数()log 1a y x =+在区间[]0,1上的最大值为1，最小值为0，则实数a =________.4.已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为23π的扇形，则该圆锥的高为________.5.若()42340123412x a a x a x a x a x -=++++，则1234a a a a +++=________.6.方程1x y +=所表示的图形围成的区域的面积是________.7.在等比数列{}n a 中，3a ，11a 分别是函数32432y x x x =+++的两个驻点，则7a =________.8.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x ax x a +>⎧⎪⎨>⎪⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 9.若直线e 4eln 40x y -+=是指数函数xy a =（0a >且1a ≠）图像的一条切线，则底数a =________.10.在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是________. 11.点O 是正四面体1234A A A A 的中心，()11,2,3,4i OA i ==.若11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++，其中()011,2,3,4i i λ≤≤=，则动点P 扫过的区域的体积为________.12.已知正整数m ，n 满足24m n <≤，若关于x 的方程()()1122sin 2sin mx nx +=--有实数解，则符合条件的(),m n 共有________对.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.两个变量x 与y 之间的回归方程（ ） A.表示x 与y 之间的函数关系 B.表示x 与y 之间的不确定关系 C.反映x 与y 之间的真实关系D.是反映x 与y 之间真实关系的一种最佳拟合14.已知事件A ，B 满足()01P A <<，()01P B <<，则不能说明事件A ，B 相互独立的是（ ）A.()()P A B P A B = B.()()P A B P A = C.()()P B A P B =D.()()P B A P B A =15.在ABC △中，已知sin A a =，3cos 5B =，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（ ） A.{}30,15⎛⎤ ⎥⎝⎦B.40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C.4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}40,15⎛⎤ ⎥⎝⎦16.已知圆锥曲线Γ：(),1f x y =关于坐标原点O 对称，定点P 的坐标为()00,x y .给出两个命题：①若()000,1f x y <<，则曲线Γ上必存在两点A ，B ，使得P 为线段AB 的中点；②若()00,0f x y =，则对曲线Γ上任一点A ，Γ上必定存在另外一点B ，使得PA PB =.其中（ ）A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三梭柱111ABC A B C -中，2AB =，14AA =.点M 是11AC 的中点.（1）求四面体11MBB C 的体积；（2）求直线MA 与平面11BCC B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若数列{}n a 为等差数列，()2392n S tn t n t =+-+-（t 为常数），求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，11a =，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小满分8分）已知F 为抛物线Γ：24y x =的焦点，O 为坐标原点.过点(),4P p 且斜率为1的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，与x 轴交于点M . （1）若点P 在抛物线Γ上，求PF ；（2）若AOB △的面积为p 的值；（3）是否存在以M 为圆心、2为半径的圆，使得过曲线Γ上任意一点Q 作圆M 的两条切线，与曲线Γ交于另外两点C ，D 时，总有直线CD 也与圆M 相切？若存在，求出此时p 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小满分6分第3小题满分8分）设函数()y f x =的定义域为开区间I ，若存在0x I ∈，使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点，则称切线l 是()y f x =的一条“L 切线”.（1）判断函数ln y x =是否存在“L 切线”，若存在，请写出一条“L 切线”的方程，若不存在，请说明理由.（2）设()()()3210,f x x ax x c =++∈，若对任意正实数c ，函数()y f x =都存在“L 切线”，求实数a 的取值范围.（3）已知实数0b >，函数()()2ee 6xx g x b x x =-+∈R ，求证：函数()y g x =存在无穷多条“L 切线”，且至少一条“L 切线”的切点的横坐标不超过ln2b .。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二3月月考数学试题 解析版
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二3月月考数学试题一、单选题1．对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A．若，则B．若，则且C．一定有D．一定有【答案】D【解析】【分析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。
【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。
2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A．平行B．垂直C．相交D．异面【答案】B【解析】【分析】直线与平面三种位置关系，对每个选项举反例排除或证明。
【详解】解：选项A，当直尺所在直线与地面只有一个公共点时，若地面上能找出一条直线与此相平行，则直尺所在直线与地面是平行的，线面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，与条件矛盾，选项A错误选项B：直线与地面共有三种位置关系，1.直线在地面内，可以找到一条直线与已知直线垂直；2.直线与地面有一共公共点，即相交时，可以找到一条直线与已知直线垂直；3. 直线与地面平行时，可以找到一条直线与已知直线异面垂直，所以选项B正确。
选项C：当直尺所在直线与地面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交，选项C错误选项D：当直尺所在直线在地面内时，直尺所在直线与地面上所有直线都是共面的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面，选项D错误【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明。
直线与平面的位置共有三种，对每一种情况进行具体分析求解。
3．若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020年上学期高二月考数学试卷(无答案)
华二附中高二月考数学试卷一. 填空题1. 直线:51250l x y -+=的单位方向向量为2. 已知2a i j =-，b i k j =+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是3. 若直线l 过点(P -，且与直线:20m x +=的夹角为3π，则直线l 的方程是4. 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取 值范围是5. 已知直线:10l x y --=，1:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为6. 函数y 的最小值为7. 在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若ABC ∆的面积为1，则2MB MC BC ⋅+的最小值为8. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ， Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值范围是9. 已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单 位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数；⑤ 存在恰经过一个整点的直线；11. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，则 满足下列四个条件：① 0aOA bOB cOC ++=；② tan tan tan 0AOA BOB COC ++=； ③ sin 2sin 2sin 20AOA BOB COC ++=；④ 0OA OB OC ++=的点O 依次为ABC ∆的（ ）A. 外心、内心、垂心、重心B. 内心、外心、垂心、重心C. 垂心、内心、重心、外心D. 内心、垂心、外心、重心12. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l 、2l 的距离分别为 1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 913. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是 圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+（,x y R ∈），则x y +的取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2D. [2-14. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ① 3450a b -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>； ④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞； 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 15. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ，以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，若m 、M 为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆，{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m 、M 满足（ ）A. 0m =，0M >B. 0m <，0M >C. 0m <，0M =D. 0m <，0M <16. 已知直线:(2)()0l a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P ，问：（1）直线l 是否经过某个定点？若经过，求该定点的坐标，若不经过，说明理由；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程；17. 如图所示，PAQ ∠是某海海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=︒，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米； （1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC ∆的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？18. 定义“矩阵”的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的意义为点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的变换下成点ax by cx dy +⎛⎫ ⎪+⎝⎭，设矩阵11A ⎛=⎪-⎭；（1）已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为，试求点P 的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线，若不存在，则说明理由；19. 小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP xOA yOB =+时，1x y +=（如图1），第 二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答：（1）当1x y +>或1x y +<时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写 出你的结论，并说明理由；（2）如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内 （不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，求实数x 的取值范围，并求当12x =时，实数y 的取值范围；（3）过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP xOA yOB =+，请分别写出点P 在每个区域内运动（不含边界）时，实数x 、y 应满足的条件（不必证明）；参考答案一. 填空题1. 125(,)1313或125(,)1313--2. 1(,2)(2,)2-∞-- 3. 2x =-或1x +=4. (,)62ππ5. 210x y --=6.7.8. [3+9.10. ①③⑤二. 选择题11. D 12. A 13. B 14. B 15. D三. 解答题16.（1）经过(2,3)-；（2）570x y ++=.17.（1）750米，1500米；（2）50万元.18.（1）1)4；（2）y =或y =. 19.（1）当1x y +>时，O 、P 两点位于直线异侧；当1x y +<时，O 、P 两点位于直线同侧；（2）(0,)+∞，1(,0)2-；（3）① 0x >，0y <，0x y +>；② 0x >，0y >；③ 0x <，0y >，0x y +>； ④ 0x <，0y >，0x y +<；⑤ 0x <，0y <；⑥ 0x >，0y <，0x y +<.。
上海华东师大附属中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析
上海华东师大附属中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在区间[－1,2]上随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出直线和圆相交时的取值范围，然后根据线型的几何概型概率公式求解即可．【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，直线方程即为，所以圆心到直线的距离，又直线与圆相交，所以，解得．所以在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．故选C．【点睛】本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是由直线和圆相交求出参数的取值范围，然后根据公式求解，考查转化和计算能力，属于基础题．2. 过点且与直线平行的直线方程是（）．．．．参考答案：3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E ＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④参考答案：D4. 设函数，则（）A. 7B. 9C. 11D. 13参考答案：A【分析】先求，再求，进而得到所求的和.【详解】函数，所以，，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关分段函数求函数值的问题，在解题的过程中，注意分清自变量的范围，需要代入哪个式子，属于简单题目.5. 曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标．【解答】解：∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题．6. 化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（）A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1参考答案：C【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵，∴x2+y2=0或x=1，故选C．7. 已知椭圆上到点A（0， b）距离最远的点是B（0，－b），则椭圆的离心率的取值范围为( ▲ )A. B. C. D. 参考答案：C略8. 正方体ABCD—A1B1C1D1中直线与平面夹角的余弦值是（）A． B． C． D．参考答案：C略9. 已知实数满足则的最小值是（）（A）5 （B）（C）（D）参考答案：C10. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子.建立空间直角坐标系O-xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是A. (,,1)B.(0,0,1)C.(1,,1)D. (1,,)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵。
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高三下学期3月月考化学试卷(原卷版)
化学试题
选择题无特殊说明，均为单选，标注“不定项”的，有1-2个正确选项；
可能用到的相对原子质量：
一、最“炫”分子
1.2023年6月，科学家首次合成含铍-铍能的固态化合物，相关成果发表于《科学》杂质。该分子入选2023年最“炫”分子榜单，其结构如图所示，回答下列问题：
（3）工业生产对催化剂进行选择的时候，除了要考虑催化剂的效宰以外，催化剂的稳定性也是很重要的参考条件，一般工业生产所用催化剂更换间隔为半年到一年，请根据下图信息，选出最适合的催化剂_____。
A. B. C. D.
（4）在恒温( )密闭容器中，往容器中注入一定量 和 发生以上反应， _____；若反应达到平衡时 和 浓度相等，则平衡时 的浓度 _____ 。
A．碱性B．中性C．酸性
Ⅱ．热分解法脱硫
在密闭容器中模拟工业热分解法脱硫，发生反应 。其他条件不变时， 的平衡转化率随温度和压强的变化如图。
（4） ，反应中 _____(填“是”或“不是")气态，理由是_____。
（5）实际反应在高温下进行的原因可能是_____(答出2条即可)。
四、阳宗海治理的“功臣”——
熔点/
552
399
488
510
① 中 原子的杂化方式为_____；
② _____(填“能”或“不能)溶于四氯化碳：
③ 、 、 的熔点依次升高的原因是_____。
（5） 易形成配离子 ，其中心阳离子的配位数为_____，配体是_____(填化学符号)，配离子的空间构型为_____。
（6）离子晶体中稳定配位多面体的理论半径比如表所示：
（5）通常用碘量法测定 的质量分数：称取 无水 样品，溶于稀盐酸，配制成 溶液；取出 溶液，加入稍过量的 溶液，充分反应后，滴入几滴淀粉溶液，并用 标准液滴定，消耗 标准液 (已知： )。
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上海市华东师范大学第二附属中学2020学年高二数学3月月考试题（含解析）一、填空题：1.设，则__________________；【答案】1【解析】【分析】通过运算，将复数转化为形式,即可得解.【详解】解：,所以Imz=1【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的虚部的定义，其中正确进行复数的除法运算是解题的关键，是基础题.2.设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则【答案】-2【解析】．【考点定位】考查复数的定义及运算，属容易题。
3.若复数满足，则_______________；【答案】【解析】【分析】设出，代入，求出，根据得到结论【详解】解设代入得：根据复数相等定义得：，解得解得：，故【点睛】本题考查复数相等的定义、复数模的定义，待定系数法的使用是本题解题的主要方法。
4.若是实系数方程的一个虚根，且，则_____________；【答案】4【解析】【分析】是实系数方程的一个虚根，解出方程的根为，根据复数模的定义，解得的值【详解】解：实系数方程的一个虚根所以，解得：【点睛】在复数范围内求解实系数方程的根，在时，两根互相共轭，共轭复数的模相等，根据模的值求出参数的值.5.已知空间四边形中，，点分别是边和的中点，且，则异面直线和所成角的大小是_________________________；【答案】【解析】【分析】要求异面直线和所成角，先找出与异面直线和平行的两条相交的直线，探寻出异面直线和所成角，进而在三角形中解决角的大小问题【详解】解：取的中点，连接因为，为中点所以，同理：所以，异面直线和所成角即为所成角异面直线和所成角即为或其补角在中，由余弦定理得异面直线和所成角为60°【点睛】异面直线所成角问题，要借助平行关系，找出具体角，然后在三角形中，求出角的大小。
6.已知在长方体中，，则直线与平面所成的角的大小为_______________________；【答案】【解析】【分析】线面角是线在平面内的射影与线的夹角，先要求出直线在平面内的射影，由于平面与平面是垂直的，故过点作垂线交于点，根据面面垂直的性质定理即可得到平面，所以，即为直线在平面内的射影，所以即为直线与平面所成角，在求解角的大小。
【详解】解：过点作垂线交于点因为平面垂直平面所以，直线在平面内的射影为所以，即为直线与平面所成角在中，所以，直线与平面所成角的大小为【点睛】线面所成角常见解法是通过找出斜线在平面上的射影，射影与其直线所成角即为线面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。
7.已知点是边长为1的等边三角形所在平面外一点，且，则点到平面的距离是_________________________；【答案】【解析】【分析】由于，所以点在平面的射影为底面等边三角形的重心，设重心为点，所以，，在三角形求解。
【详解】解：设等边三角形的重心为点，连接因为且，所以，平面所以，在等边中，在中，。
【点睛】点到面的距离常见解决方法是：1.找出点到面的距离对应线段；2.等体积法求解。
8.已知直线与平面，下列命题：①若平行内的一条直线，则；②若垂直内的两条直线，则；③若，且，则；④若且，则；⑤若且，则；⑥若，则；其中正确的命题为______________（填写所有正确命题的编号）；【答案】⑤⑥【解析】【分析】如果命题找到反例就说明错误性，找不到反例可试着证明命题的正确性【详解】解：①若平行内的一条直线，则，还有可能在平面内，所以错误；②若垂直内的两条直线，则，这两条直线必须是垂直的，所以错误；③若，且，则，缺少与相交的条件，所以错误；④若且，则，要垂直于平面才能得到，所以错误；⑤若且，则，由线面平行的性质定理可证得；⑥若，则，由面面平行的性质定理可证得；故选⑤⑥【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明。
9.设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合___________________；【答案】或【解析】【分析】根据若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，分两种情况讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析。
【详解】解：集合中任意两数之积仍是中的元素所以会出现两者相乘等于自身的情况，也有可能均不等于自身情况即其中有一项为或者（1）当时，或若，则或所以，或又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素所以，剩下的一个数必为-1，所以集合当时，则必须又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素则，解得，或，，所以，集合。
（2）当时，三个等式相乘则得到所以得到或若，则三者必有一个为0，同（1）可得集合。
若，则得到，当时，则可以得到且，则不成立；当时，则，不成立。
故集合M为或【点睛】求解这类问题时，要注意逻辑严谨分析，对每一个条件，每一种情况都要力求准确到位，在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充。
10.已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是______________________；【答案】【解析】【分析】当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。
与在二面角的两个面内，此时可将在两个不同平面上的量通过对平面翻折，转化到同一平面上求解。
【详解】解：当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。
与在二面角的两个面内，为此将绕旋转90°，使得平面与平面在同一平面内，由，故当共线且与垂直时，取得最小。
在平面内，因为所以，，又，所以与都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值为。
【点睛】空间中的最短（长）距离常见方法是通过射影等方法转化为平面上的最值问题。
二、选择题：11.对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A. 若，则B. 若，则且C. 一定有D. 一定有【答案】D【解析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。
【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。
12.教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面【答案】B【解析】【分析】直线与平面三种位置关系，对每个选项举反例排除或证明。
【详解】解：选项A，当直尺所在直线与地面只有一个公共点时，若地面上能找出一条直线与此相平行，则直尺所在直线与地面是平行的，线面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，与条件矛盾，选项A错误选项B：直线与地面共有三种位置关系，1.直线在地面内，可以找到一条直线与已知直线垂直；2.直线与地面有一共公共点，即相交时，可以找到一条直线与已知直线垂直；3. 直线与地面平行时，可以找到一条直线与已知直线异面垂直，所以选项B正确。
选项C：当直尺所在直线与地面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交，选项C错误选项D：当直尺所在直线在地面内时，直尺所在直线与地面上所有直线都是共面的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面，选项D错误【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明。
直线与平面的位置共有三种，对每一种情况进行具体分析求解。
13.若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。
【详解】解：在复数范围内，存在使，命题①错误；②在复数范围内，复数满足，根据运算性质可得到，故成立；③在复数范围内表示的是复数与的模长，模长相等，复数可以不相等。
④在复数范围内，由于是非零复数，所以在得两边同时除以可得，故成立。
故选B【点睛】实数运算成立的等式，在复数范围内未必成立，不同范围成立条件不一样，注意合理使用。
14.（2020•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C. 平面α与平面β平行D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°【答案】A【解析】设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直三、解答题：15.在正方体中，分别是的中点.（1）求证：四边形是棱形；（2）作出直线与平面的交点（写出作图步骤）.【答案】（1）详见解析；（2）略.【解析】【分析】（1）在空间中证明四边形为菱形，则必须从相等、平行两个角度进行证明（2）要作直线与平面的交点，在平面上，作出直线与直线的交点。
【详解】（1）证明：取中点，连接，可得，四边形为平行四边形，则，由为正方体，且分别为的中点，可得为平行四边形，∴，则，且，四边形为平行四边形，由，可得，四边形是菱形.（2）作图：步骤1：连接步骤2：取与的交点，记作为，即为所求。
【点睛】证明空间四边形为平行四边形，不能仅仅用两组对边分别相等来证明，必须要出现一组对边平行的条件；作直线与平面的交点常见办法是在同一平面内作直线与平面内某条直线的交点。
16.如图：在长方体中，分别是棱的中点，，求：（1）与所成的角；（2）与平面所成的角.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求直线与所成的角，通过可转化为直线与所成的角，然后在中利用余弦定理解可得；（2）直线与平面所成的角，首先要求出在平面上射影，由长方体可得在平面上射影即为，所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角，在中解得线面角的大小。
【详解】解：因为，分别是棱的中点所以，所以，直线与所成的角即为直线与所成的角所以，直线与所成的角为或其补角连接在中，，，由余弦定理解得所以，直线与所成的角（2）因为长方体所以，平面连接所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角，在中，，，所以所以直线与平面所成角的平面角即为。
【点睛】异面直线所成角常见解法是通过平行找出异面直线所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小；线面所成角常见解法是通过找出斜线在平面上的射影，射影与其直线所成角即为线面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。