期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树法
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
Black_Scholes模型在股票定价中的应用
公司价值 300
500
800 1200 1800
出现概率 0. 1
0. 2
0. 3
0. 3
0. 1
已知 ,约定价格为 9800 万元 ,Si = 公司价值 - 257 ,股票 价格 = m a x ( Si - x ,0) ,期望值 = 股票价格 x 出现概率 ,从而
n
得到 Σpi m a x ( Si - x ,0) = 560. 5 (百万) 。若股票的期望收益 i=0
[J ] . 湖北社会科学.
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加上风险补偿率。该模型的缺陷在于 Dt 的估计。也许可以较
为准确的估计未来一两年的股息数额 ,但即使是内部人士也很
难预计未来更长时间内支付的现金股利 。
于是有了对传统模型的一个改进模型 ,即假设股票未来
的股利增长模式是可以预计的 ,并设股利按比例 g 增长 ,则
传统的模型变为 : P0
∞
=Σ t=1
D0 (1 + g) t (1 + r) t
,在
r
>
g
的条件下可以
简化为 : P0 = D1Fra bibliotek/ (r - g) 。然而当 r < g 时 ,该式则失去了意
义 。因此该模型具有很大的局限性 ,同时未来的股息也不会
一直按照同比例 g 增长 。
与传统的股票定价模型相比 ,二叉树定价模型不需要预
测公司未来的现金股利以及增长方式 ,在一定程度上克服了
其中 S0 为股票价格 ;pi 为到期股票价格为 max ( Si - x , 0) 的概率 ; Si 是公司到期的 i 种可能的价格 ; x 为公司债务的 总面值 ;r 为股票的到期收益率 ,它等于无风险利率加风险补 偿率 ,在二叉树模型中我们用无风险利率 ,但是在用期权定 价模型给股票估价的过程中由于期限比较长 ,所面临的风险 相对较大 ,相应的就需要一定的风险补偿金 。
期权定价理论文献综述
期权定价理论文献综述[摘要］本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black—Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。
最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。
[关键字］综述;期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型;蒙特卡罗法1 期权的分类及意义1.1 期权的定义期权（option）是一份合约，持有合约的一方(seller）有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。
为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。
1。
2 期权的分类期权交易的类型很多，大致有如下几种:（1)按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权；（2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权；（3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权；此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。
1.3 期权的功能作为套期保值的工具。
当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。
当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。
通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
基于偏微分方程框架分析下期权定价中BlackScholes模型与二叉树模型
理论探讨摘要：近年来，期权定价理论和衍生的产品越来越广泛。
期权的定价原理基本上可以分为蒙特卡罗模拟法、偏微分方程方法、动态规划法，有限差分方法等。
关于期权定价，其中最著名和适用最广泛的方法有两种，一种是动态规划法中的二叉树期权定价模型，另一种是偏微分方程法中的Black-Scholes 期权定价模型，两种方法在实际中都得到了大量应用。
本文通过对两个数学模型的整合和分析，做优缺点对比，整理总结两个模型各自的适用范围。
关键词：期权定价；二叉树模型；Black-Scholes模型一、期权理论在国内外的发展最早期权定价的研究大概是上世纪60年代，Bachelor 在其博士论文中提出了股票价格的布朗运动假设，并运用其对欧式期权进行定价，然而模型中有几点假设与实际市场不符：股票没有回报、买进价格可能大于股票实际价格、股票价格可能为负。
自从1965年F.Black从事认股权证定价研究，与传统方法不同他希望一些简单的假设：1.忽略交易费用；2.借贷利率相同且为常数；3.股票价格是常数波动率下的几何布朗运动。
他通过无风险对冲技巧，建立了认股权众偏微分方程，即Black-Scholes方程。
1970年，M.Scholes 与R.Merton及F.Black为最后一段公式进行了补充说明认识到只有在不存在套利情况下，期权价值才可以在此公式下进行定价。
事实上，若假设股票的期望收益率是无风险利率，则相应期权的期望收益率也是无风险利率。
这个公式使Scholes 与 Merton 于1997 年获得诺贝尔经济学奖。
对如今比较流行的定价方法比如Black-Scholes偏微分方程解、二叉树方法、蒙特卡洛模拟、有限差分方法和解析近似方法等。
但由于Black-Scholes模型假设条件比较苛刻，涉及的数学知识很深，而且适用条件十分有限，因此在1979年，Cox，Ross，Rubinstein 提出了期权定价的二叉树模型。
该模型易于理解，方便计算，理论比较直观，不仅适用于欧式期权的定价，而且也适用于美式期权的定价，应用比较广泛，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
14.期权定价的二叉树
乐经良
有关数据
若将 T 分成五段,每段长度1个月, 则t ＝0.0833(年),利用已知数据可以求出
ue
0 .4 t
1.1224,
1 d 0.8909 u
a e 0.1 t 1.0084,
ad p 0.5076 ud
乐经良
用二叉树计算
79.35 0 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.50 18.50 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 14.64 28.07 22.93
乐经良
Su2 Su S Sd Sd2
S
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率, 故
Ve r t pVu (1 p )Vd
V e r t [ pVu (1 p )Vd ]
期权的计算将从树图 Vu V Vd
乐经良
的末端( T 时刻)开始向后 倒推进行.时刻T 的期权价 值是已知的,可倒推出前 一个时刻的期权价格
利用 Matlab
编制 m 文件后可以取t 充分小，例如取 t =1/360, 求得期权价格＝ $4.76
乐经良
美式期权的例子
股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率 为 s=40% ,市场的无风险年利率 r =10%;敲定价 格 X =50(美元),美式看跌期权的有效期为五个 月,即 T =0.4167 (年)意味着期权持有者有权在 月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价 格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃 这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
乐经良
如何定价的思路
基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而 采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为V ,再以价格S 买进 a 份这种股票,那么该组合的价格为
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背景知识
衍生证券 — 期权 ()
无风险利率
约定价格
看涨期权( )；购进标的物
看跌期权( )：卖出标的物
欧式()期权；美式()期权
期权价格：一种未定权益的价格 — 方程
乐经良
简单分析
股票的现价为,由于股票价格的波动率,到 期时价格可能上扬为,也可能下跌为. 为简 单计,暂且假定涨跌幅均为％ ,则有 ％
故有
Sert pSu (1 p)Sd
乐经良
确定有关常数
利用概率论的知识，可以导出
ud 1 u e t d e t
p ad ud
(其中a ert )
乐经良
股票价格二叉树图
这是一个
的二叉树图
乐经良
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率,
故
Vert pVu (1 p)Vd
乐经良
有关数据
若将 分成五段,每段长度个月, 则 ＝(年),利用已知数据可以求出
u e0.4 t 1.1224, a e0.1t 1.0084,
d 1 0.8909 u
p a d 0.5076 ud
乐经良
用二叉树计算
注意第二 行的数字
乐经良
用前列相应两个数字和公式
V ert[ pVu (1 p)Vd ]
期权的计算将从树图
的末端( 时刻)开始向后 倒推进行.时刻 的期权价
值是已知的,可倒推出前
一个时刻的期权价格
乐经良
计算的实例
乐经良
算得期权价格
当 当然
ห้องสมุดไป่ตู้
, 得到 $ 越小，可得越精确的结果
利用
编制 文件后可以取 充分小，例如取 , 求得期权价格＝ $
()
V
1
[ pVu
(1
p)Vd ]
()
4.454
乐经良
– 方程
利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以
导出
V t
1 2S2
2
2V 2S 2
rS
V S
rV
0
对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式
方程虽然影响巨大,但是它的
数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和 掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方
乐经良
另一方面，如前面分析，这组合在期权满日
时价格
T
ST
VT
Su Sd
Vu Vd
股价上涨时 股价下落时
由于组合无风险，故
Su Vu Sd Vd
Vu Vd
S(u d )
T
u
d
d
Vu
u
u
d
Vd
V
1
[ d
ud
Vu
乐经良
程序
() *; ; (*()); ; (*); ()();
()*^*^(); ()(());
() ()(*)*(()*()*());
; [ ];
;
乐经良
美式期权的例子
股票现价＝(美元),该股票的年波动率 为 ,市场的无风险年利率 ;敲定价 格 (美元),美式看跌期权的有效期为五个 月,即 (年)意味着期权持有者有权在 五月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价 格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃 这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
V ert[ pVu (1 p)Vd ]
（不提前执行时的期权价 格）股票约定价格与当时价 格的差
（提前执行时的期权价格）
比较之：应取较大的数字
由 和 算出 , 差价为，故取 由和算出, 差价为,故取
乐经良
实验任务 选择本实验必须至少完成 任务、
乐经良
谢谢各位！
乐经良
个人整理，仅供交流学习！
， ％＝ ($)
($)
($)
显然前一情况客户会执行期权，后一情
况会放弃期权
乐经良
期权价格
在股票价格为$时,客户必定以敲定价格
$ 购进股票.这时期权的价格应为 (美元)
在股票价格为$ 时,客户必定放弃这约
定的股票购买权,这时期权的价格应为
(美元)
在期满日 时,期权价格为
(–, )
()
反问题：由 求
? ()
数学实验
期权定价问题的方程和 二叉树法
上海交通大学数学科学学院
实际问题
在世界大多数证券市场上,有一种期权 ()的交易.例如,某种股票的现价为
美元,该股票的年波动率 ,市场的无 风险年利率 ;若客户希望拥有在六个月即 年后以约定价格(美元)购进这种股票 的权利,而届时他也可以放弃这种权利.试问:为 拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言 之,这种期权的价格为多少?
u
ud
Vd ]
将数据代入 ρ ×, , , 得到
乐经良
再作分析
公式
V
1
[ d
ud
Vu
u u
d
Vd
]
记
那么
p d
ud
1 p u
ud
注意 正是股票价格上扬的概率
是股票价格下跌的概率，于是
V
1
[ pVu
(1
p)Vd ]
乐经良
这意味着可以由 和 来导出
程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.
乐经良
二叉树
在简单分析中.有一个显然的问题,例子中
到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅％的 假定都是很粗略的
事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们
将 分为很多小的时间间隔,而在每一个,
股票价格变化由 到或.若价格上扬的概率
为,那么下跌的概率为
如前所述,股票预期收益率等于无风险利率
乐经良
如何定价的思路
基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而 采取的投资组合()的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为 ,再以价格 买进
份这种股票,那么该组合的价格为
S V
组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无 风险利率，那么在期权期满日,组合增值后价值为
T (S V ) 其中 erT