1.2正余弦定理应用举例
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正弦定理余弦定理应用举例
。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝ ＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝
第一部分 第一章 1.2 第一课时 正、余弦定理在实际中的应用
B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．
返回
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[精解详析]
画出示意图如图．
返回
设山高 PQ＝h，则△APQ、△BPQ 均为直角三角形， 在图①中，∠PAQ＝30° ，∠PBQ＝45° . 1 1 ∴AQ＝PQ· 30° 3h，BQ＝PQ· 45° ＝ ＝h. tan tan 在图②中，∠AQB＝57° ＋78° ＝135° ，AB＝2 500，
返回
∴BC＝ 6， AC 2 3 2 且 sin ∠ABC＝BC· ∠BAC＝ ·2 ＝ 2 . sin 6 ∴∠ABC＝45° . ∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD＝90° ＋30° ＝120° ，
名 称 方
定义 从指定方向线到目标方向 线的水平角(指定方向线是 指正北或正南或正东或正 西，方向角小于90°)
图示 南偏西60°(指以 正南方向为始 边，转向目标 方向线形成的角
向
角
方 从正北的方向线按顺时针 位 到目标方向线所转过的水
角 平角
返回
返回
在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°. 问题1：△ABC的高AD为多少？
(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键．问题 中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有 仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时， 可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；
(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方
向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意 义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应 把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差． 返回
3．某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m)．如示意 图，垂直放置的标杆BC的高
正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
1.2 正弦、余弦定理的应用举例
面直角坐标系，求的点B的坐标为（40,40），点 C
的坐标为（30,20），从而求得直线BC的方程
为2x-y-40=0，再判断圆心E到直线BC的距离为
3 5
d=
<7。所以该船若不改变航行方向，会进入
警戒水域。方法2：利用解三角形的方法求出点E
到直线BC的距离，再进行判断。
求A点离地面的高度AB。
)
2：在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶 的仰角为 6 0 ，塔底的俯角为 4 5 ，求水塔的
0 0
高度。
三：测量角度
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海 域被设为警戒水域。点E正北55海里处有一个雷达 观测站A，某时刻测得一艘以每小时1 5 5 海里匀 速直线行驶的船只位于点A北偏东 4 5 且与点A相
0
距 40 2 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已
行驶到点A北偏东 45 0 (0 0 90 0 ) 且与点A
相距 1 0 1ห้องสมุดไป่ตู้3 的位置C。
（1）求 sin 的值；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是
否会进入警戒水域，并说明理由。
方法1：以点A位圆心，东西方向作为x轴，建立平
1.2 正弦、余弦定理的应用举例
一：测量两点间的距离（可分为三类）
1：测量的两点都是可到达；
2：测量的两点只有一点可到达；
3：测量的两点都不可到达。 思考：如何利用经纬仪及钢卷尺解决这三类问题？ 请写出每一类问题的解决方法及步骤。
二：测量高度
1：如图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a
从C、D两点测得A点的仰角分别为 , (
的坐标为（30,20），从而求得直线BC的方程
为2x-y-40=0，再判断圆心E到直线BC的距离为
3 5
d=
<7。所以该船若不改变航行方向，会进入
警戒水域。方法2：利用解三角形的方法求出点E
到直线BC的距离，再进行判断。
求A点离地面的高度AB。
)
2：在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶 的仰角为 6 0 ，塔底的俯角为 4 5 ，求水塔的
0 0
高度。
三：测量角度
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海 域被设为警戒水域。点E正北55海里处有一个雷达 观测站A，某时刻测得一艘以每小时1 5 5 海里匀 速直线行驶的船只位于点A北偏东 4 5 且与点A相
0
距 40 2 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已
行驶到点A北偏东 45 0 (0 0 90 0 ) 且与点A
相距 1 0 1ห้องสมุดไป่ตู้3 的位置C。
（1）求 sin 的值；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是
否会进入警戒水域，并说明理由。
方法1：以点A位圆心，东西方向作为x轴，建立平
1.2 正弦、余弦定理的应用举例
一：测量两点间的距离（可分为三类）
1：测量的两点都是可到达；
2：测量的两点只有一点可到达；
3：测量的两点都不可到达。 思考：如何利用经纬仪及钢卷尺解决这三类问题？ 请写出每一类问题的解决方法及步骤。
二：测量高度
1：如图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a
从C、D两点测得A点的仰角分别为 , (
数学(正、余弦定理的应用举例)
B C D
A
a sin a sin b h = H - A D = H - A C sin b = H sin( b - a )
D
A
问题探究
5．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方 向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处， 测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8° 求此山的高度CD．
D
1047m
C 西 B A 东
课堂小结
1.在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线.
课堂小结
问题探求
4 ．如图，在山顶上有一座铁塔BC， 塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点， 通过测量哪些数据，可以计算出山顶 的高度？
B
C
A
问题解决
设在点A处测得点B、C的仰角分别为 α 、β ，铁塔的高BC=a，测角仪的高 度忽略不计，试求山顶高度 CD ． B
C
a cos sin CD AC sin sin( )
C
A
2 如图，有大小两座塔AB和CD，小 塔的高为h，在小塔的底部A和顶部B测得 另一塔顶D的仰角分别为α 、β ，求塔CD 的高度. D
h cos sin CD AD sin sin( )
B
A
C
如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两 处测得山顶A的俯角分别是α 、β，B、C 两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高 度是H，试求山顶的海拔高度h ．
4.计算物体的高度时，一般先根据测量 数据，利用正弦定理或余弦定理计算出 物体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度.
补充练习
1 如图，在高出地面30m的小山顶上 建有一座电视塔AB，在地面上取一点C， 测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB ＝45°，求该电视塔的高度.
A
a sin a sin b h = H - A D = H - A C sin b = H sin( b - a )
D
A
问题探究
5．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方 向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处， 测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8° 求此山的高度CD．
D
1047m
C 西 B A 东
课堂小结
1.在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线.
课堂小结
问题探求
4 ．如图，在山顶上有一座铁塔BC， 塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点， 通过测量哪些数据，可以计算出山顶 的高度？
B
C
A
问题解决
设在点A处测得点B、C的仰角分别为 α 、β ，铁塔的高BC=a，测角仪的高 度忽略不计，试求山顶高度 CD ． B
C
a cos sin CD AC sin sin( )
C
A
2 如图，有大小两座塔AB和CD，小 塔的高为h，在小塔的底部A和顶部B测得 另一塔顶D的仰角分别为α 、β ，求塔CD 的高度. D
h cos sin CD AD sin sin( )
B
A
C
如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两 处测得山顶A的俯角分别是α 、β，B、C 两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高 度是H，试求山顶的海拔高度h ．
4.计算物体的高度时，一般先根据测量 数据，利用正弦定理或余弦定理计算出 物体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度.
补充练习
1 如图，在高出地面30m的小山顶上 建有一座电视塔AB，在地面上取一点C， 测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB ＝45°，求该电视塔的高度.
3正弦定理、余弦定理应用举例
正 定 和 弦 理 实 测 中 许 弦 理 余 定 在 际 量 有 多 用 应 :
(1 量 离 )测 距 .
(2)测 高 . 量 度
(3 测 角 . ) 量 度
解斜三角形中的有关名词、 解斜三角形中的有关名词、术语：
– （1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 ）坡度：斜面与地平面所成的角度。 – （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中， ）仰角和俯角： 视线和水平线所成的角中， 所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下 上方的角叫仰角 视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下 的角叫俯角。 方的角叫俯角。 – （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向 顺时针转到目标方向 ）方位角：从正北方向顺时针 的夹角。 的夹角。 – （4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球 ）视角： 内交叉而成的角
BC AB = sin(α − β ) sin(90o + β )
BC sin(90o + β ) BC cos β 所以，AB = = sin(α − β ) sin(α − β )
B C
α β
A
解Rt∆ABD, 得
BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α − β )
两点都在河的对岸（ ），设计 例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计 、 两点都在河的对岸 不可到达）， 一种测量两点间的距离的方法。 一种测量两点间的距离的方法。
分析：用例 的方法 的方法， 分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 到对岸两点的距离， 的大小， 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 到对岸两点的距离 再测出∠ 的大小 借助于余弦定理可以计算出A、 两点间的距离 两点间的距离。 借助于余弦定理可以计算出 、B两点间的距离。
正弦定理、余弦定理的应用
禁吃野鸡，他就问朋友，早点是不是野鸡。朋友答，不是野鸡。黑人青年便享受了一顿美味的早餐。数年后，他们二人再次见面。那位朋友问他想不想吃野鸡，青年回答说那是不可能的，因为巫师郑重警告过他绝不可以吃野鸡。
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
用正弦定理或余弦定理解决
实例讲解
分析：用正弦定理解决，只须求出 ABC进而求出边AB的长。
解：由正弦定理可得:
AB AC , sin ACB sin ABC
1.2.1 应用举例
解决有关测量距离的问题
一、定理内容:
1、正弦定理: 2、余弦定理:
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
AC sin ACB
55 sin 75
AB siBiblioteka ABC sin(180 51 75)
55 sin 75 sin 54
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
; 苹果售后维修点 / 苹果售后维修点 ；
想一想
AB AC2 BC2 2AC BCCOS
有其他解法？
思考题:
我舰在敌岛A南偏西 50相距12 海里的B处，发现敌舰正由 岛北偏西 10的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
用正弦定理或余弦定理解决
实例讲解
分析：用正弦定理解决，只须求出 ABC进而求出边AB的长。
解：由正弦定理可得:
AB AC , sin ACB sin ABC
1.2.1 应用举例
解决有关测量距离的问题
一、定理内容:
1、正弦定理: 2、余弦定理:
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
AC sin ACB
55 sin 75
AB siBiblioteka ABC sin(180 51 75)
55 sin 75 sin 54
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
; 苹果售后维修点 / 苹果售后维修点 ；
想一想
AB AC2 BC2 2AC BCCOS
有其他解法？
思考题:
我舰在敌岛A南偏西 50相距12 海里的B处，发现敌舰正由 岛北偏西 10的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多
【人教版】中职数学(拓展模块)：1.2《余弦定理、正弦定理》(3)
例如：当我想在河出河面两点之距离的候， 往往可以做：在河的两个不同的地点分出望河面 两点及另一地点的角，再合两个地点之的距离，通用 正弦定理、余弦定理算求得河面两点之的距离。
解决量的程一般要充分真理解意，正确做 出形，把里的条件和所求成三角形中的已知和未 知的、角，通建立数学模型来求解
知 运用
知 运用
例2．如， A、B两点都在河的岸（不可到达）， 一种量 A、B两点距离的方法。
知 运用
知 运用
9
知 运用
A
10
堂
用余弦定理
用正弦定理
在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB
堂
先 用 正 弦 定 理 求 出 AC或 AD，再解直角三角形求出 AB
在△BCD中先用正弦定理求 出2 正弦定理、余弦定理应用举例 （一）
知 点小
1、正弦定理：
可以解决的有关解三角形： （1）已知两角和任一 ； （2）已知两和其中一的角 。
2、余弦定理： 推 :
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
可以解决的有关解三角形的： （1）已知三；（ 2）已知两和他的角。
学了正、余弦定理后，上述所提的是能。有 由于条件所限，需要量像一个点与河面一点或船到礁石 不可到达点的距离，一般作法是在河或主航道上生一段位 移，从两个不同地点出到个不能到达点的角及段位移的 度，从而通算得出答案。从而将化一个数学： 已知一个三角形的两角及，要求个三角形的其中一，然 只要根据正弦定理，就可以达到目的。
：在日常生活和工生中，了达到某种目的， 常常想得一个点与另一个不可到达的点的距离或在 的两个物体之的距离，的想法能？如何呢 ？
解决量的程一般要充分真理解意，正确做 出形，把里的条件和所求成三角形中的已知和未 知的、角，通建立数学模型来求解
知 运用
知 运用
例2．如， A、B两点都在河的岸（不可到达）， 一种量 A、B两点距离的方法。
知 运用
知 运用
9
知 运用
A
10
堂
用余弦定理
用正弦定理
在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB
堂
先 用 正 弦 定 理 求 出 AC或 AD，再解直角三角形求出 AB
在△BCD中先用正弦定理求 出2 正弦定理、余弦定理应用举例 （一）
知 点小
1、正弦定理：
可以解决的有关解三角形： （1）已知两角和任一 ； （2）已知两和其中一的角 。
2、余弦定理： 推 :
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
可以解决的有关解三角形的： （1）已知三；（ 2）已知两和他的角。
学了正、余弦定理后，上述所提的是能。有 由于条件所限，需要量像一个点与河面一点或船到礁石 不可到达点的距离，一般作法是在河或主航道上生一段位 移，从两个不同地点出到个不能到达点的角及段位移的 度，从而通算得出答案。从而将化一个数学： 已知一个三角形的两角及，要求个三角形的其中一，然 只要根据正弦定理，就可以达到目的。
：在日常生活和工生中，了达到某种目的， 常常想得一个点与另一个不可到达的点的距离或在 的两个物体之的距离，的想法能？如何呢 ？
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正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用 :
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
要测量不可到达的两点间的距离,可用 哪些方法?
如图:设A、B两点在河的两岸，怎样测 量两点之间的距离?
B
A
方案一:构造直角三角形
在河岸的一侧取一点C,使得AC⊥BC 若能测得AC的长及∠BAC,那么AB即可求出 B
C1 D1 B 1800 130032,
C1 BD1 14016
C1 D1 BC1 根据正弦定理得 sinC1 BD1 sinC1 D1 B
11.12sin1300 32 BC1 34.30, 在RtA1 BC1中, 0 sin14 16
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以 选与塔底B在同一水平面内的两个测点 C与D．现测得 BCD ，BDC ，CD s, 并在点C测得塔顶A的仰角为 ，求塔 高AB．
例6、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行 驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150 的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北 250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD.
2 A1B BC1 18 6 3 28.4 2 AB A1B AA 1 28.4 1.5 29.9(m)
答：烟囱的高为 2ຫໍສະໝຸດ .9m.例5、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯 角 540 40' ,在塔底C处测得A处的俯角 5001' 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
例7、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东750的方向航 行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东320 的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直 接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航 行多少距离?(角度精确到0.10,距离精确到0.01n mile)
B
例3:如图:甲船以每小时30 2 海里的速度向正 北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处，此时两船相距20海里.当 甲船航行20分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲 船的北偏西120°方向的 B2 处，此时两船相 距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：应用正弦定理，C=45
BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 答：
A
75°
5 6 海里
B
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不 可到达），设计一种测量A、B两点间距 离的方法。
.
A
.
B
D.
基 线
.C
练习2、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1 公里长的基线CD，并测得∠ACD=90o，∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
BC sin ACB 9 x sin 120 3 3 sin BAC AB 21x 14
练习:
一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北 偏东150相距20km处,随后货轮按北偏西 300的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货 轮的北偏东450的方向上,求货轮的速度.
S
450
N
30
0
150
SABC AB AC ( AB AC )2
1 2 2 c a b 2 S ) c a ( 4 2
2 2 2 2
1 p (a b c ) 2
1 2 sin B sin C S a 2 sin A abc S 4R
2
2
练习.如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线 上的一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB 为一边作等边三角形ABC,问: 点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大? 最大面积为多少?
B
D A C
∠ACD=90o，∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，
练习：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货 轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°，航行20 2 海里后，
见此岛在北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进，问有无
触礁危险。
A
北 北
B
20 2
C
M
解： 在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得：
B D
A
C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系 的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。 略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o △BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。
由余弦定理在△ABD中可求AB。
( AB 30 0.913) 6
A
此方案有缺限吗?
C
例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测 量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在 所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是 55m，∠BAC=510,∠ACB=750.求A、B两点 的距离(精确到0.1m)
B
A
C
练习1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成 60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C 岛间的距离是 。 C 60°
方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30度,南偏西45度. N 视 线
方位角 60度
目标方向线
仰角
水平线
俯角
视 线
问题.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑 物高度AB的方法。
A
D
C
B
例4.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟 囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角
(3)已知a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例9、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一 个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到 这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精 确到0.1cm2)
例10. 在△ABC中,求证:
a 2 b 2 sin2 A sin2 B (1) ; 2 2 c sin C
AC BC sin15 sin 45
由BC=20 2 ,可求AC ∴ 得AM= 15 2 5 6 ≈8.97>8
A
∴无触礁危险 北 75 北 30
20 2
B
C
M
思 考 背景 资料
如何测量地球与月亮之间 的距离?
早在1671年,两位法国天文学家为了测量地 球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子 午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小 和两地之间的距离,从而算出了地球与月球 之间的距离约为385400km. A
2
北
C 105° B
(21x) 10 (9x) 2 10 9x cos120 化简得： 36 x 9 x 10 0 解得：x=２／３（h）=40(min)(负值舍去）
2 2 2
2
由正弦定理，得
所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角为45 ° + 21.8 °=66.8 ° 答：舰艇应沿着方位角66.8 °的方向航行， 经过４０min就可靠近渔轮．
(2)a 2 b2 c 2 2(bc cos A ca cos B abcosC )
证明三角形中的边角关系恒等式 : 全部转 化为边的关系, 或者全部转化为角的关系.
补充练习
1.已知△ABC中,∠B=300,b=6,c=6 3 ,求a及 △ABC的面积. 2：判断满足下列条件的三角形形状，
1.2 正余弦定理应用举例
复习、请回答下列问题：
（1）解斜三角形的主要理论依据 是什么？
（2）关于解三角形，应该掌握了 哪几种类型？
复习. 下列解三角形问题, 分别属于那种类型？根据哪
个定理可以先求什么元素？
余弦定理先求出A,或先求出B,C （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 余弦定理先求出a （2）b=1，c= 2 ，A=105º ； _________________________________
A1 B BC1 sin35012 19.77,
故烟囱的高度为 21.29m.
练习4、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是
45和 60 ，CD间的距离是12m.已知测角仪器
高1.5m,求烟囱的高。 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
正弦定理先求出b （3）A=45º ，B =60º ， a=10； ________________________________
正弦定理先求出B(60o或120o) （4）a=2 3 ，b=6，A=30º . ________________________________
无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________
B
A
结论:三角形的面积公式:
1 S ab sinC 2 1 S ac sinB 2
D
C
1 S bc sin A 2
例8、在△ABC中，根据下列条件，求 三角形的面积S（精确到0.1cm2)
(1)已知a=4,c=6,B=300; (2)已知B=450,C=750,b= 2 ;
C
320
750
B
A
练习7、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出 呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该 渔轮在方位角为４５°，距离为10n mile的Ｃ 处，并测得渔轮正沿方位角为105 °的方向， 以９n mile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇 立即以２１n mile/h的速度前去营救．求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 北 0.1 °,时间精确到１min）