正余弦定理-实际问题应用举例
正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)
正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角(侧角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平■视线和目标视线的火角，目标视线在水平■视线白勺角叫仰角，目标视线在水平■视线下方的角叫俯角(如图①).(2) 方向角：相对丁某正方向的水平■角，如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60等；(3) 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平■角，如B点的方位角为g如图②).(4) 坡度：坡面与水平■面所成的二面角的度数.【助学微博】解三角形应用题的一般步骤(1) 阅读理解题意，弄活问题的实际背景，明确已知与未知，理活量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.(2汁艮据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3汁艮据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)#三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.解三角形应用题常有以下两种情形(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.考点自测1. (2012江苏金陵中学)已知^ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等丁 -解析记三角形三边长为a-4, a, a+ 4,则(a + 4)2 = (a-4)2 + a2— 2a(a-4)cos1120，解得a= 10,故S= 2 X 10x 6X sin 120 = 15寸3.答案15 32. 若海上有A, B, C三个小岛，测得A, B两岛相距10海里，/ BAC= 60°,/ ABC= 75°,则B, C问的距离是__________ 渔里................................. BC AB -解析由正弦正理，知sin 60° = sin 1800-60°-75°.解侍BC= 5V6(海里)•答案5 63. （2013日照调研）如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75。
正余弦定理在实际生活中的应用
正余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.1.测量中正、余弦定理的应用例1 某观测站C 在目标A 南偏西25︒方向，从A 出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ∆，求角B .再解ABC ∆，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）.解：由图知，60CAD ∠=︒.22222231202123cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===⋅⨯⨯，sin B =. 在ABC ∆中，sin 24sin BC B AC A ⋅==.由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅. 即2223124224cos60AB AB =+-⋅⋅⋅︒.整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）.答：此人所在D 处距A 还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.2.航海中正、余弦定理的应用例2 在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时A C D 312120 35︒25︒ 东 北的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？ 分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD 的方位角及由C 到D 所需的航行时间.解：设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，则有CD =，10BD t =.在ABC △中，∵1AB =，2AC =，4575120BAC ∠=︒+︒=︒，根据余弦定理可得BC ==根据正弦定理可得2sin120sin 2AC ABC BC ︒∠===. ∴45ABC ∠=︒，易知CB 方向与正北方向垂直，从而9030120CBD ∠=︒+︒=︒. 在BCD △中，根据正弦定理可得：sin 1sin 2BD CBD BCD CD ∠∠===，∴30BCD =︒△，30BDC ∠=︒，∴BD BC ==则有10t =0.24510t ==小时14.7=分钟. 所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船.评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.3.航测中正、余弦定理的应用例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'1830︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM ∆和Rt BMD ∆中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.解：设飞行员的两次观测点依次为A 和B ，山顶为M ，山顶到直线的距离为MD .如图，在ABM △中，由已知，得1830'A ∠=︒，99ABM ∠=︒，6230'AMB ∠=︒.又12018066060AB =⨯=⨯（km ）, A B DM 45︒75︒ 30︒ ACDB根据正弦定理，可得6sin1830'sin 6230'BM ︒=︒，进而求得6sin1830'sin81sin 6230'MD ︒︒=︒，∴2120MD ≈（m ）,可得山顶的海拔高度为20250212018130-=（m ）.评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.4.炮兵观测中正、余弦定理的应用例4 我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知6000CD =米，45ACD ∠=︒，75ADC ∠=︒，目标出现于地面点B 处时，测得30BCD ∠=︒，15BDC ∠=︒（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点A 、B 、C 、D 可构成四个三角形.要求AB 的长，由于751590ADB ∠=︒+︒=︒，只需知道AD 和BD 的长，这样可选择在ACD ∆和BCD ∆中应用定理求解.解：在ACD △中，18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒， 6000CD =，45ACD ∠=︒，根据正弦定理有sin 45sin 60CD AD ︒==︒， 同理，在BCD △中，180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒，6000CD =，30BCD ∠=︒，根据正弦定理有sin 30sin1352CD BD CD ︒==︒. 又在ABD ∆中，90ADB ADC BDC ∠=∠+∠=︒，根据勾股定理有：AB ====所以炮兵阵地到目标的距离为米.评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解.5.下料中正余弦定理的应用例5 已知扇形铁板的半径为R ，圆心角为60︒，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.30︒ 45︒ 75︒AC D 15︒解：在图（1）中,在AB 上取一点P ，过P 作PN OA ⊥于N ，过P 作PQ PN ⊥交OB 于Q ，再过Q 作QM OA ⊥于M .设AOP x ∠=，sin PN R x =.在POQ △中，由正弦定理，得sin(18060)sin(60)OP PQx =︒-︒︒-.∴sin(60)PQ R x =︒-.于是[]22sin sin(60)cos(260)cos 60S PN PQ R x x R x =⋅=⋅︒-=-︒-︒221(1)2≤-=. 当cos(260)1x -︒=即30x =︒时，S2. 在图（2）中，取AB 中点C ，连结OC ，在AB 上取一点P ，过P 作//PQ OC交OB 于Q ，过P 作PN PQ ⊥交AB 于N ，过Q 作QM PQ ⊥交CA 于M ，连结MN 得矩形MNPQ ，设POC x ∠=，则sin PD R x =.在POQ △中，由正弦定理得：sin(18030)sin(30)R Rx =︒-︒︒-，∴2sin(30)PQ R x =︒-.∴[]2224sin sin(30)2cos(230)cos30S PD PQ R x x R x =⋅=⋅︒-=-︒-︒222(1cos30)(2R R ≤-︒=（当15x =︒时取“=”）.∴当15x =︒时，S取得最大值2(2R .∵22(26R R >， ∴作30AOP ∠=︒，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.ABQ POxMN （1）ABQPOxMNED（2）。
正弦定理、余弦定理在生活中应用
正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程丈量中的重要应用，使高考考察的热门和要点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参照 .一、在不行抵达物体高度丈量中的应用例 1 如图，在河的对岸有一电线铁塔B 在同一水平面内的两个测量点 CAB ，某人在丈量河对岸的塔高与 D ，现测得AB时，选与塔底BCD，BDC， CD s ，并在点 C 测得塔顶A 的仰角为，求塔高AB ．剖析：此题是一个高度丈量问题，在BCD中，先求出CBD ，用正弦定理求出BC，再在Rt△ ABC 中求出塔高 AB.分析：在△ BCD 中，CBD =π．由正弦定理得BC CD=sin．sin BDC CBD因此 BC =CD sinBDC =·s sin．sin CBD sin()在 Rt △ABC中，AB=BC tan ACB·. = s tan sinsin()评论：对不行抵达的物体的高度丈量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出此中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高 .二、在丈量不行抵达的两点间距离中的应用例 2 某工程队在修建公路时，碰到一个小山包，需要打一条地道，设山双侧地道口分别为 A 、B ，为了测得地道的长度，在小山的一侧选用相距3 km的C、D两点高，测得ACB=75 0，BCD=45 0， ADC=30 0，ADC=45 0（ A 、B、C、D），试求地道的长度 .剖析：依据题意作出平面表示图，在四边形ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在ACD 和BCD 中，利用正弦定理可求得 AC 与 BC ，而后再在ABC 中，由余弦定理求出AB.分析：在 ACD 中，∵ADC=30 0，∠ACD=120 0，∴∠ CAD=30 0，∴ AC=CD= 3 .在BCD 中，∠ CBD=180 0-450-750=60 0由正弦定理可得，3 sin 75026) BC==sin 602在 ABC 中，由余弦定理，可得AB 2 AC 2 BC 2 2AC BC COSACB ，AB2(3)2(26 )2 2 2 322 6) COS 750 =52∴ AB=5 ≈ 2.236km, 即地道长为 2.236km.评论 ：此题波及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求 AB 的长，能够在ABD 中，应用余弦定理求解，但一定先求出 AD 与 BD 长，但求 AD 不如求 AC 简单，此外。
正弦定理余弦定理应用举例
正弦定理、余弦定理应用举例一、距离问题1.xkm 后，他向右转150，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点某人向正东方向走恰好3km ，那么x 的值为【】A.3B.23C.23或3D.32.如图，为了测量某障碍物两侧A、 B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据【】A., a, bB.,， aC.a,b，D.,， b两座灯塔A 与B与海洋观察站C的距离都等于 a km ，灯塔A在观察站C的北偏东3.20 ，灯塔B在观察站C的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为【】A. a kmB.3a kmC. 2a kmD. 2a km4.海上有 A、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望 C岛和 B岛成60的视角，从B岛望 C 岛和 A岛成75的视角，则B、 C 的距离是 __________________5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60的方向上，另一灯塔在船的南偏西75 方向上，则这艘船的速度是每小时___________________6.如右图所示，设 A 、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离为 50m ,ACB45 , CAB105后，就可以计算 A 、 B 两点间的距离为 ___________7.一船以 24 km / h的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东30 方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65 方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是__________km.(精确到 0.1km ）18.如图，我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD=6000m.ACD 45，ADC75，B 处时测得BCD 30 , BDC 15目标出现于地面求炮兵阵地到目标的距离。
（结果保留根号）A45600075C D3015B2二、高度问题1.在一幢 20m 高的楼顶测得对面一塔吊的仰角为60 ，塔基的俯角为45 ，那么这座塔吊的高是【】3 )m B. 20(13) m C.10( 6 2 )m D. 20(6 2 )mA.20(132.在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为60 和 30 ，已知建筑物底部高出地面 D 点 20m，则建筑物高度为【】A.20mB.30mC. 40mD.60m3.如图所示，在山根 A 处测得山顶 B 的仰角CAB 45 ,沿倾斜角为 30 的山坡向山顶走1000 米到达 S 点又测得山顶仰角DSB 75 ,则山高BC为【】A.500 2mB. 200mC.1000 2mD. 1000m4.从某电视塔的正东方向的 A 处，测得塔顶仰角为60 ；从电视塔的西偏南30 的B处，测得塔顶仰角为45 ,A、B两点间的距离是35m，则此电视塔的高度是【】4900 m D.35mA. 5 21mB.10mC.135.j 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45 ， 30 ，而且两条船与炮台底部连线成30 角，则两船相距【】A.10 3mB.100 3mC. 203mD.30m6.一船以每小时15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔M 在北偏东60方向，行驶4h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东15 方向，这时船与灯塔的距离为_____km37.甲、乙两楼相距20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 ，则甲、乙两楼的高分别是______________8.地平面上一旗杆设定为OP,为测得它的高度h，在地平线上取一基线AB， AB=200m ，在 A 处测得 P 点的仰角为OAP 30 ,在B处测得P点的仰角OBP 45 ，又测得AOB 60 ,求旗杆的高度h4。
正、余弦定理及其应用
正、余弦定理及其应用正、余弦定理及其应用一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④ 解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC 中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinBa>bA>B）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）2、ΔABC的面积公式（1）；（2）；（3）。
【基本训练】1．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______．3．在△ABC中，为的中点，且，则.4．在中，若，，，则考点集结考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用〖例1〗a=，b=，B=45°，求A,C及边c．2)在中，角所对的边分.若，则（）A．B．C．-1D．11.在△ABC中以知A=30°a、b分别为角A、B对边，且a=4=b解此三角形考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗若△的三个内角满足则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．cos的最小值为。
正、余弦定理在实际生活中的应用
正、余弦定理在实际生活中的应用正弦定理和余弦定理是三角学中重要的定理，它们不仅在数学领域有着重要的意义，而且在日常生活中也有着广泛的应用。
本文将通过几个实际生活中的例子，来说明正弦定理和余弦定理的应用。
我们来看一个生活中常见的例子，即测量高楼的高度。
假设有一栋高楼，我们无法通过直接测量得到其高度，但是我们可以通过测量某一点到高楼顶部的距离和测量这一点与高楼底部的夹角，利用正弦定理和余弦定理来计算高楼的高度。
设高楼的高度为h，某一点到高楼顶部的距离为d，某一点与高楼底部的夹角为θ，则根据正弦定理可得：\[ \frac{h}{\sin{\theta}} = \frac{d}{\sin{(90^\circ - \theta)}} \]根据余弦定理可得：\[ h^2 = d^2 + L^2 - 2dL\cos{\theta} \]通过这两个公式，我们可以根据已知的距离和夹角，计算出高楼的高度。
这就是正弦定理和余弦定理在测量高楼高度时的应用。
正弦定理和余弦定理也可以在航海领域中得到应用。
航海员在航海时需要测量两个位置之间的距离和方向角，而这正是正弦定理和余弦定理所擅长的。
假设航海员需要确定A点和B点之间的距离d和方向角θ，可以利用正弦定理和余弦定理来进行计算。
首先利用余弦定理计算A点和B点的距离：\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta} \]然后利用正弦定理计算出方向角θ：\[ \frac{\sin{\theta}}{a} = \frac{\sin{B}}{d} \]通过这些计算，航海员可以准确地确定A点和B点之间的距离和方向角，从而确保航行的安全和准确性。
在建筑领域中，正弦定理和余弦定理也有着重要的应用。
在设计桥梁和建筑物结构时，需要计算各种角度和距离，而这些计算中常常需要用到正弦定理和余弦定理。
在地质勘探和地震预测中，也需要利用正弦定理和余弦定理来计算地层的深度和角度，从而进行地质勘探和地震预测工作。
正余弦定理在生活中的运用
正余弦定理在生活中的运用正余弦定理在实际生活中的应用有：航海、地理、物理、建筑工程。
1、航海在航海中，正余弦定理被广泛用于计算方向角。
当航行在广阔的海域或天空时，确定目标的方向是至关重要的。
通过观测两个已知位置相对于自身的角度，利用正弦或余弦定理，航行者可以精确地计算出到达目标的航向角，确保安全、准确地到达目的地。
2、地理在地理中，正余弦定理被用于计算地球上两点之间的精确距离。
由于地球是一个球体，因此需要使用球面三角学来进行计算。
通过观测两个已知位置相对于第三个位置的角度，利用正弦定理或余弦定理，测量人员可以精确地计算出两点之间的实际距离，为地图绘制、导航等提供准确的数据支持。
3、物理在物理学中，正弦定理和余弦定理被广泛应用于波动和振动的研究。
例如，在声学和光学中，这些定理被用来描述波的传播和干涉现象。
通过测量波的振幅、频率和传播方向，可以使用正弦定理或余弦定理来计算波在不同介质中的传播速度、波长和相位差。
4、建筑工程在建筑工程中，正弦定理和余弦定理可用于解决与角度和距离相关的问题。
例如，在设计桥梁、隧道或高楼大厦时，工程师需要计算各种角度和距离以确保结构的稳定性和安全性。
通过使用正弦定理或余弦定理，工程师可以确定结构物的高度、长度、宽度和角度等参数。
正余弦定理介绍和区别一、正余弦定理介绍1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
即，a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为三角形的三边，A、B、C为三角形的三个内角。
2、余弦定理在任意三角形中，一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍。
即，c²=a²+b²-2abcosC，其中a、b、c为三角形的三边，C为夹角。
(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。
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D 解：依题意可知，在△ABC中， ∠ABC=90o-， ∠BAD= ， ∠CAD= ∴∠BAC=- AC ∵根据正弦定理， BC sin BAC sin ABC
BC sin ABC BC sin(90 ) BC cos AC sin BAC sin( ) sin( )
（二）测量----高度 例2：为测量某塔AB的高度，在一栋与塔AB相相距20m的楼的
楼顶处测的 得塔顶A的仰角为30°，测的塔基B的俯角 为45°，则塔AB的高度为多少m?
变式：D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，
从D、C两地测得A的仰角分别为30°和45° ，则A点离 地面的高AB等于（ ）米 A．100 B.50√3 C．50（√3+1） D．50（√3-1）
2.实际问题处理方法
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推 演 理 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
（二）测量----高度
探究（1）：利用仰角
例3.如图， AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑的最高 点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。 解：选择一条水平基线HG，使 H、G、B三点在同一条直线上。 在H、G两点用测角仪器测得A 的仰角分别是、， CD=a， 测角仪器的高是h， 那么，在△ACD中，根据正弦 定理可得
A
C
B
思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些 数据就可计算出AC的长？
A
D
C
B
思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别 为α 、β ，CD=a，测角仪器的高度为h， 那么建筑物高度AB的计算公式是什么？
A
D
C
B
a sin a sin b A B = A C sin a + h = +h sin(a - b )
B
A
答：A,B两点间的距离约为 米。
C
思考：设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，应如 何设计测量方案计算A、B两点的距离？ 在A所在的河岸边选定一点C ，测出
探究（2）：两个不可到达点的距离测量
例1：
如图： CD= 3 ，并测得∠ACB=75°∠BCD=45°， ∠ADC=30°，∠ADB=45°． A、B、C、D在同一个平面内，则A、B间的距离为多少？
(5)基线：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
练习题
3．(1)山下 B 点望山上 A 点仰角为 30° ，则山上 A 点望山下 B 点俯角为______． (2) 方 位 角 是 指 从 正 北 方 向 顺 时 针 旋 转 到 达 目 标 方 向 的 水 平 角．若水平面上点 A 处测得点 B 的方位角是 120° ，则点 B 在点 A 东 偏南______方向上．
B A C D
思考2：一般地，若A，B为不可到达点，应如何设计测量方案计
算A、B两点的距离？
B A D
C
变式：两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C
北偏东30°，B在C南偏东60°，则A,B之间相距多少km？
高度测量问题 探究（一）：利用仰角测量高度
思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑 物的最高点，在水平面上取一点C，可以测得点A的仰角， 若计算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？
1．若水平面上点 B 在点 A 南偏东 30° 方向上，则点 A 处测得点 B 的方位角是( ) A．60° B．120° C．150° D．210°
二、应用举例
探究（1）：一个不可到达点的距离测量
（一）测量----距离
例.在三角形ABC中，AC=55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o 求：A、B两点间的距离（只要求化简，不计算）
CD sin ADC a sin AC sin CAD sin( ) a sin sin AB AE h AC sin h h sin( )
探究（2）：利用俯角
B
C
例4.在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角 =54°40′，在塔 底C处测得A处的俯角 =50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
第一章 解三角形
1.2
学习目 标
应用举例
1.熟记正弦定理、余弦定理、余弦定理的推论、三角形面积公式; 2.会用正弦定理、余弦定理及有关结论求解距离、角度、高度等问 题. 重点:解三角形在实际中立数学模型求解.
重点难 点
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的 高度呢？(例如：测山高，楼高，塔高)
速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南偏东60°航行， 1小时后甲乙两船分别到达A，C两点， 求：A，C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角。
四、小结
1.解三角形应用题的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽
量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形， 求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解.
2.在实际的航海生活中 ,人们也会遇到如下的问题：在浩 瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的 航速和航向呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
一、基本概念
解斜三角形中的有关名词、术语：
（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫仰角， 视线在水平线下方的角叫俯角。 （3）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。如：西偏北 （4）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。
A
一、例题
∵在Rt△ACD中，
B
C
CD AC sin CAD BC cos sin sin( ) 27.3cos 54 40' sin 50 1' sin(54 40' 50 1' ) 150(m)
答：山的高度约为150米。 D
A
（三）测量----角度
例3：某巡逻艇在A处发现北偏东45º 相距9海里的C处有一艘走私船，
正沿南偏东75º 的方向以10海里/小时的速度逃窜. 巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追击， 问巡逻应该沿什么方向去追？需要多少时间才追上该走私船？
°
变式：甲乙两船同时从B点出发，甲船一每小时10(√3+1)km的