2016届高考数学一轮复习4.1向量与向量的线性运算练习理

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入本章主要包括两个内容：平面向量、复数的概念与运算．1．平面向量的复习，主要掌握以下几点：(1)平面向量的相关概念：主要有相等向量、相反向量、零向量、共线向量、向量的模、两个向量的夹角等，这些概念是向量的基础．(2)平面向量的线性运算：向量的加法运算、减法运算、数乘运算，要注意向量共线的充要条件的应用．(3)平面向量的基本定理：这个定理是平面向量的核心，有了这个定理，实现了平面向量的坐标化运算．(4)平面向量的数量积是平面向量的主要公式，利用这个公式，可以求出两个向量的夹角，判断两个向量的垂直与平行．2．复数的复习，主要掌握以下几点：(1)复数的概念：复数的定义，复数的实部、虚部，复数的相等，共轭复数，复数的模．(2)复数的运算：复数的四则运算中，除法运算是将分母实数化．(3)复数加减运算的几何意义．预测高考对平面向量的考查仍以小题考查重要知识点，以中、低难度为主；在解答题中，会与三角函数、解三角形、解析几何等结合综合考查向量的应用．对复数的考查，仍会以小题考查复数的概念与四则运算，以容易题为主．1．复习平面向量内容时要注意：(1)向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础．(3)向量的加、减、数乘是向量的线性运算，其结果仍是向量．向量的数量积结果是一个实数．向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直．(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律．(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用．(6)平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.2．对于复数，《课标》及《考纲》的要求有以下三点：理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，会进行复数代数形式的四则运算．所以在复习中应掌握好以下几个方面：(1)掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．(2)熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则．在运算过程中要注意复数运算法则与实数运算法则的区别．复习中应掌握好复数问题实数化的化归思想．第一节 向量与向量的线性运算基础回顾Ｋ 一、向量的有关概念 1．平面向量．平面内既有大小又有方向的量叫做向量．向量一般用a ，b ，c ，……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB →.向量AB →的大小即向量的模(长度)，记作|AB →|，向量a 的大小，记作|a|.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 2．零向量．长度为零的向量叫做零向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行．零向量a ＝0⇔|a|＝0.由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件(注意“0”与“0”的区别)．3．单位向量．模为1个单位长度的向量叫做单位向量．向量a 0为单位向量⇔|a 0|＝1. 4．平行向量(共线向量)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a∥b .由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．5．相等向量．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a ＝b.二、向量的运算 1．向量的加法．求两个向量和的运算叫做向量的加法． 设AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 规定：(1)0＋a ＝a ＋0＝a ；基础自测Ｋ1．已知非零向量a ，b ，则“a∥b”是“a＋b ＝0”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：“a∥b”只要求两向量共线，而“a＋b ＝0”要求反向共线且模相等．故选B. 2．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为(C )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：如图所示，a －b ＝AB →＝e 1－3e 2.故选C.3．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，向量a ＝2e 1－e 2，b ＝me 1＋3e 2，若a∥b，则实数 m ＝－6．4．(2013·江苏南通高三期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则abc ＝201512．解析：由3aBC →＋4bCA →－5c(BC →＋CA →)＝0. 得3aBC →＋4bCA →－5cBC →－5cCA →＝0. 即(3a －5c)BC →＋(4b －5c)CA →＝0.因为BC →与CA →不共线，所以3a －5c ＝0，且4b －5c ＝0. 所以abc ＝201512.(2)向量加法满足交换律与结合律．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB →＋BC →＋CD →＋…＋PQ →＋QR →＝AR →，但这时必须“首尾相连”．2．向量的减法．(1)相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a.零向量的相反向量仍是零向量．关于相反向量有：①－(－a)＝a ；②a＋(－a)＝(－a)＋a ＝0；③若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.(2)向量的减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作a －b ＝a ＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(3)作图法：a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a ，b 有共同起点)． 3．向量加、减法的“三角形法则”与“平行四边形法则”．(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量．(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则． 4．实数与向量的积．(1)实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①||λa ＝||λ||a ；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0，方向是任意的．(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律． 三、两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b ＝λa.,高考方向1.平面向量的线性运算、共线向量定理将会成为近几年高考命题的热点.2.虽然全国高考在本节命题很少，但有可能与三角、解析几何交汇考查，有时也会命制新定义问题.3.题型主要以选择题、填空题为主，属中低档题.品味高考1．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD →＝(C )A.23AB →－13AC →B.13AB →＋23AC →C.23AB →＋13AC →D.13AB →－23AC → 解析：因为AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23(AB →－AC →)＝23AB →＋13AC →，故选C.2．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为12．解析：易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.高考测验1．定义平面向量的正弦积为a ∘b ＝|a||b|sin 2θ(其中θ为a ，b 的夹角)．已知△ABC 中，AB →∘BC →＝BC →∘CA →，则此三角形一定是(A )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：因为AB →∘BC →＝|AB →||BC →|sin 2(π－B)＝－|AB →||BC →|·sin 2B ，BC →∘CA →＝|BC →||CA →|sin 2(π－C)＝－|BC →||CA →|·sin 2C ，所以|AB →||BC →|sin 2B ＝|BC →||CA →|sin 2C ，即|AB →|·sin 2B ＝|CA →|sin 2C ，即c·2sin Bcos B ＝b·2sin Ccos C ，由正弦定理可得c·2b·cos B ＝b·2c·cos C ，故cos B ＝cos C ，因为A ，B ，C 为三角形的内角，故△ABC 一定是等腰三角形，故选A.2．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，点M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则2λ－3μ＝12．解析：依题意可解得BH ＝1，HC ＝2，AH ＝3，AM ＝32.过点M 作边AB 的平行线交边BC 于点L ，过点A 作边BC 的平行线与直线LM 交于点K ，取边AB 的中点N ，连接MN.∵点M 为AH 的中点，易得MN∥AK，且AK ＝BL ＝16BC ，∴AM →＝12AB →＋16BC →.∴λ＝12，μ＝16.∴2λ－3μ＝12.课时作业1．(2013·吉林段考)在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是(C ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0 解析：AB →－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝(B )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：利用平面几何知识得出DF∶FC＝1∶2，然后利用向量的加减法则，可得答案B. 3．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a∥b 时，实数λ等于(D ) A ．－1 B ．0 C ．－12D ．－2解析：设b ＝ma ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m ，－1＝m ，由此解得λ＝－2，故选D.4．非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R)，则点Q(x ，y)的轨迹方程是(A )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴x ＝2＋2λ，且y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.故选A.5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|＝(A )A.12B.13C.14D.16解析：由已知等式得2OC →－2OB →＝OB →－OA →，即2BO →＋2OC →＝AO →＋OB →， ∴2BC →＝AB →，于是2|BC →|＝|AB →|，即|BC →||AB →|＝12.故选A.6．(2015·全国卷Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12． 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k(a ＋2b)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.7．(2013·四川卷)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝2．解析：由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →， ∴λ＝2.8．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△A OB 与△AOC 的面积之比为12． 9．(2013·苏州调研)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于0．解析：∵a＋b 与c 共线， ∴a ＋b ＝λ1c.① 又∵b＋c 与a 共线， ∴b ＋c ＝λ2a.② 由①得：b ＝λ1c －a.∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.10．设e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解析：BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2， ∵A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ使AB →＝λBD →. ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)， 得λ＝2，k ＝－4λ⇒k ＝－8.。