2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(四川卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(四川卷)
2015年高考四川卷理数试题解析（精编版）（解析版）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x << (){|23}D x x <<【答案】A【考点定位】集合的基本运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答. 2.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( )（A ）2-（B ）2（C ）-12 （D ）12【答案】D【考点定位】程序框图.【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来.4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+【答案】A【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(A)3(B)（D ）【答案】D【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD 作为基底.8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考. 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.10.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解. 12.=+75sin 15sin .【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有sin cos )a b αααϕ+=+.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.13.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题
2015年四川省高考数学（理）试卷真题答案及解析一、选择题1. 设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B ⋃= A.{|13}x x -<< B. {|11}x x -<< C. {|12}x x << D. {|23}x x << 【答案】A 【解析】{|12}A x x =-<<，且{|13}B x x =<< {|13}A B x x ∴⋃=-<<，故选A 2. 设i 是虚数单位，则复数32i i-= A.i - B. 3i - C. i D. 3i【答案】C【解析】3222i i i i i i-=--=，故选C3. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 A. 32-B.32C. 12-D. 12【答案】D【解析】进入循环，当5k =时才能输出k 的值，则51s in62S π==，故选D4. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是A. c os (2)2y x π=+ B. s in (2)2y x π=+ C. s i n 2c o s 2y x x =+ D. s i n c o s y x x =+ 【答案】A 【解析】A. c o s (2)s i n 22y x xπ=+=-可知其满足题意 B. s i n (2)c o s 22y x x π=+=可知其图像的对称中心为(,0)()42k k Z ππ+∈，最小正周期为πC. s i n 2c o s 22s i n (2)4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()28k k Z ππ-∈，最小正周期为π D. s i n c o s 2s i n ()4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()4k k Z ππ-∈小正周期为2π5. 过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则||AB = A.433B. 23C. 6D. 43 【答案】D【解析】由题可知渐近线方程为3y x =±，右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A (2,23)，B (2,23)-，所以||43A B =6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】分类讨论① 当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数，其余位置没有限制，故有133472CA =种。
2015年四川省高考数学试卷(理科)
2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．46．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个B．120个C．96个D．72个7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．68．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年高考理科数学四川卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2．设i 是虚数单位，则复数32i i-= （ ）A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A． BC ．12-D ．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 （ ）A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+5．过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）A．3B． C ．6D．6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．设四边形ABCD 为平行四边形，||=6AB ，||=4AD .若点M ，N 满足=3BM MC ，DN =2NC ，则AM NM =（ ）A ．20B ．15C ．9D ．68．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --（≥，≥）在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．81210．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是_________（用数字填写答案）. 12．sin15+sin75的值是_________.13．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y =e kx b +（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ 的最大值为_________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）.2213y x -=---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1| 1 000n T -<成立的n 的最小值.17．（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. （Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值.19．（本小题满分12分）如图A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（Ⅰ）证明：1cos tan 2sin A AA-=；（Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan 22A B++tantan 22C D+的值. 20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b=>>，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a ＞. （Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】∵集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合B={x|1＜x ＜3}，∴集合{|12}A x x =-<<， ∵A ∪B={x|﹣1＜x ＜3}，故选：A【提示】求解不等式得出集合{|12}A x x =-<<，根据集合的并集可求解答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵i 是虚数单位，则复数32i i -，∴4i 2121i i i i--==-=，故选：C【提示】通分得出4i 2i-，利用i 的性质运算即可【考点】复数代数形式的乘除运算 3.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得1k =，2k = 不满足条件4k >，3k = 不满足条件4k >，4k = 不满足条件4k >，5k =满足条件4k >，5π1sin62S ==，输出S 的值为12． 故选：D ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当5k =时满足条件4k >，计算并输出S 的值为12【考点】程序框图 4.【答案】A【解析】解：πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 πsin 2cos22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；πsin 2cos224y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．【提示】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可 【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法 5.【答案】D【解析】解：双曲线2213yx -=的右焦点（2，0），渐近线方程为y =，过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，2x =，可得A y =，B y =-，∴||AB =故选：D ．【提示】求出双曲线的渐近线方程，求出AB 的方程，得到AB 坐标，即可求解||AB ． 【考点】双曲线的简单性质 6.【答案】B【解析】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有32472⨯=个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有22448⨯=个，共有7248120+=个．故选：B【提示】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 【考点】排列、组合及简单计数问题 7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足3BM MC =，2DN NC =，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，∴NM AM AN =-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，22239216AM AB AB AD AD =++， 22233342AM AN AB AD AB AD =++，||6AB =，||4AD =，∴22131239316AM NM AB AD =-=-=故选；C【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+， 2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】B【解析】解：A 、B 都是不等于1的正数，∵333a b >>，∴1a b >>，∵l og 3l og 3a b <，∴3311log log a b <，即lg lg 0lg lg b a a b -<，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩ 求解得出：1a b >>,10a b >>>或1b >，01a <<根据充分必要条件定义得出：“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选：B ．【提示】求解333a b >>，得出1a b >>，log 3log 3a b <，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 9.【答案】B【解析】解：∵函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴①2m =，8n <对称轴82n x m -=--， ②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩即22120m m n >⎧⎨+-≤⎩ ③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩即22180m n m <⎧⎨+-≤⎩ 设22120x x y >⎧⎨+-≤⎩,22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩设k y x =，2ky x '=-，当切点为00()x y ,，k 取最大值． ①202k x -=-，202k x =，00212y x +=-，2000022x y x x ==，可得03x =，06y =，∵32x =>∴k 的最大值为3618⨯=②2012k x =，10200012x y x x ==，002180y x -+=，解得：09x =，092y =∵02x < ∴不符合题意．③2m =，8n =，16k mn ==综合得出：3m =，6n =时k 最大值18k mn ==，故选；B【提示】根据二次函数的单调性得出①2m =，8n <对称轴82n x m -=--，②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩构造函数22120x x y >⎧⎨+-≤⎩或22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩运用导数，结合线性规划求解最大值．【考点】二次函数的性质10.【答案】D【解析】解：设11()A x y ,，22()B x y ,，00()M x y ,，则斜率存在时，设斜率为k ，则2114y x =，2224y x =，利用点差法可得02ky =，因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，所以03x =，即M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±所以交点与圆心(50),的距离为4，所以24r <<时，直线l 有2条；斜率不存在时，直线l 有2条；所以直线l 恰有4条，24r <<，故选：D ．【提示】先确定M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±(50),的距离为4，即可得出结论．【考点】抛物线的简单性质，直线与圆的位置关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】40-【解析】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，515(2)(1)rrr r T C x -+=-；要求2x 的项的系数，∴52r -=，∴3r =，∴2x 的项的系数是2335()2140C =--． 故答案为：40-．【提示】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r +项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果 【考点】二项式定理的应用 12.【解析】解：sin15sin 75sin15cos15cos45cos15sin 45)60︒+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒=．． 【提示】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值． 13.【答案】24【解析】解：由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =． 代入函数e kx by +=，可得e 192b =，22e 48k b +=，即有111e 2k =，e 192b =，则当33x =时，331e 192248k b y +==⨯=． 故答案为：24．【提示】由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =．代入函数e kx by +=，解方程，可得k ，b ，再由33x =，代入即可得到结论． 【考点】函数与方程的综合运用 14.【答案】25【解析】解：根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直接坐标系，设2AB =，则：(000)A ,,，(100)E ,,，(210)F ,,；M 在线段PQ 上，设(0,,2)M y ，02y ≤≤；∴(1,,2)EM y =-，(2,1,0)AF =；∴cos |cos ,55EMAF θ==；数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）∴22244cos =5(y 5)y y θ-++，设22445(y 5)y y t -+=+，整理得：2(51)42540t y y t -++-=①，将该式看成关于y 的方程；（1）若15t =，则14y =-，不符合02y ≤≤，即这种情况不存在；（2）若15t ≠，①便是关于y 的一元二次方程，该方程有解；∴164(51)(254)0t t =---≥△；解得4025t ≤≤；∴t 的最大值为425；∴2cos θ的最大值为425，cos θ最大值为25．故答案为：25．【提示】首先以AB ，AD ，AQ 三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，(02)M y ,,，从而可求出向量EM ，AF 的坐标，由cos cos ,EM AF θ=得到22244cos 5(5)y y y θ-+=+，可设22445(5)y y t y -+=+，可整理成关于y 的方程，根据方程有解即可求出t 的最大值，从而求出cos θ的最大值． 【考点】异面直线及其所成的角 15.【答案】①④【解析】解：对于①，由于21>，由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增，即有0m >，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得()g x 在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,递减，则0n >不恒成立，则②错误；对于③，由m n =，可得1212()()()()f x f x g x g x -=-，考查函数2()2x h x x ax =+-，()22ln 2xh x x a '=+-，当a →-∞，()h x '小于0，()h x 单调递减，则③错误；对于④，由m n =-，可得1212[()()()(])f x f x g x g x -=--，考查函数2()2xh x x ax =++，()22ln 2x h x x a '=++，对于任意的a ，()h x '不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【提示】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数2()2xh x x ax =+-，求出导数判断单调性，即可判断③； 通过函数2()2xh x x ax =++，求出导数判断单调性，即可判断④．【考点】命题的真假判断与应用 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2n na = （Ⅱ）10【解析】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a -=，有1122(2)n n n n n a S S a a n ≥-==﹣﹣﹣，即12(2)n n a a n ≥=﹣， 从而212a a =，32124a a a ==，又∵1a ，21a +，3a 成等差数列，∴11142(21)a a a ++=，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n na =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =，∴1122212[1()]1111122212nn n n T -=+++==--． 由1|1|1000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．∵9102512100010242=<<=，∴10n ≥． 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10． 【提示】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n ≥=﹣，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值． 【考点】数列的求和． 17.【答案】（Ⅰ）99100（Ⅱ）2【解析】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生个有6人，参赛学生全从B 中抽出（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为：333433661100C C C C =，因此A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数，则X 的可能取值为：1，2，3，2333461(1)5C C P X C ===，2333463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===．则数学期望11232555EX =⨯+⨯+⨯=．【提示】（Ⅰ）求出A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（Ⅱ）求出X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X 的分布列，然后求解数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列 18.【答案】（Ⅰ）如图 （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）3【解析】解：（Ⅰ）F 、G 、H 的位置如图；证明：（Ⅱ）连接BD ，设O 是BD 的中点，∵BC 的中点为M 、GH 的中点为N ，∴数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）OM CD ∥，12OM CD =，HN CD ∥，12HN CD =，∴OM HN ∥，OM HN =，即四边形MNHO 是平行四边形，∴MN OH ∥，∵MN BDH ⊄平面；OH BDH ⊂面，∴MN BDH 直线∥平面；（Ⅲ）方法一：连接AC ，过M 作MH AC ⊥于P ，则正方体ABCD EFGH -中，AC EG ∥，∴MP EG ⊥，过P 作PK EG ⊥于K ，连接KM ，∴KM PKM ⊥平面则KM EG ⊥，则PKM ∠是二面角A EG M --的平面角，设2AD =，则1CM =，2PK =，在Rt CMP △中，sin 45PM CM =︒=，在R t P K M △中，KM ，∴cos 3PK PKM KM ∠==，即二面角A EG M --的余弦值为3． 方法二：以D 为坐标原点，分别为DA ，DC ，DH 方向为x ，y ，z 轴建立空间坐标系如图：设2AD =，则(120)M ,,，(0,2,2)G ，(2,0,2)E ，(1,1,0)O ，则(2,2,0)GE =-，(1,0,2)MG =-，设平面EGM 的法向量为(x,y,z)n =，则00n GE n MG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22020x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2x =，得(2,2,1)n =，在正方体中，DO AEGC ⊥平面，则(1,1,0)n DO ==是平面AEG 的一个法向量，则cos ,3||||9m n m n m n ====⨯．二面角A EG M --．【提示】（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可； （Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN BDH ∥平面； （Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解． 法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定． 19.【答案】（Ⅰ）见解析 【解析】证明：（Ⅰ）222222sin 2sin 1cos tan cos2sin cos sin A AA A AAA A -===．等式成立．（Ⅱ）由180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，由（Ⅰ）可知：tantan tan tan 2222A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ---︒--︒-=+++︒-︒-22sin sin A B =+连结BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A -=+，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C -=+，所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD C +=-+-，则：2222222265343cos 2(AB AD BCCD)2(6534)7AB AD BC CD A +--+--===+⨯+÷． 于是sin A ==AC ， 同理可得：2222222263542(AB CD)2(63541)1cos 9AB BCAD CD BC ADF B +--+--==+⨯+÷=， 于是sin B=所以tan tantan tan2222A B C D +++22sin sin A B =+=【提示】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．（Ⅱ）通过180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，利用（Ⅰ）化简22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，连结BD ，在ABD △中，利用余弦定理求出sin A ，连结AC ，求出sin B ，然后求解即可【考点】三角函数恒等式的证明20.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得QA PA QBPB=恒成立【解析】解：（Ⅰ）∵直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 ∴点在椭圆E ， ∴22222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a =，b =，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，如果存在定点Q 满足条件，数学试卷 第19页（共21页）数学试卷 第20页（共21页）数学试卷 第21页（共21页）则有||||||||QA PA QB PB =，即||||QC QD =． ∴Q 点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，则M 、N的坐标分别为、(0,，又∵||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为11)(,A x y 、22)(,B x y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=，∵22(4)8(12)0k k =++>△， ∴122412k x x k +=-+，122212x x k-=+， ∴121212112x x k x x x x ++==， 已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为22(,)x y -， 又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111OB y kx k k K x x x x --===-+=---， ∴AO QB k k =，即Q 、A 、B '三点共线，∴12QAQA x PA QB QB x PB==='． 故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得QA PA QBPB=恒成立．【提示】（Ⅰ）通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E截得的线段长为，2，计算即得结论；（Ⅱ）通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(02),．然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l ，均有QA PAQB PB=即可． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()2()2ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，∴21124222()2()22()2x a a g x x x x -+-'=-+=． 当104a <<时，()g x在10,2⎛ ⎝⎭，12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间⎝⎭上单调递减；当14a ≥时，()g x 在(0,)+∞上单调递增． （Ⅱ）由()2()2ln 210a f x x a x x ⎛⎫'=---+= ⎪⎝⎭，解得11ln 1x x a x ---=+，令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则(1)10ϕ=>，211(2)2()2011e e e e e e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭． 故存在0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，由1()10u x x '=-≥知，函数()u x 在(1,)+∞上单调递增．∴0011100()(1)()20111111u x u u e e a x e x ----=<=<=<++++． 即0(0,1)a ∈，当0a a =时，有0()0f x '=，00()()0f x x ϕ==．由（Ⅰ）知，()f x '在(1,)+∞上单调递增，故当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，从而0()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，从而0()()0f x f x >=． ∴当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥．综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【提示】（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域，把函数()f x 求导得到()g x 再对()g x 求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数()g x 的单调期间； （Ⅱ）由()f x 的导函数等于0把a 用含有x 的代数式表示，然后构造函数2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在定理得到0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，利用导数求得0(0,1)a ∈，然后进一步利用导数说明当0a a =时，若(1,)x ∈+∞，有()0f x ≥，即可得到存在(01)a ∈,，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科(四川卷)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（ ）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【答案】A【考点定位】集合的基本运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答. 2.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( )（A ）2-（B ）2（C ）-12 （D ）12【答案】D【考点定位】程序框图.【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来.4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()s i n (2)2B y x π=+ ()s i n 2c o s 2C y xx =+()s i n c o sD y x x =+【答案】A【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(A)3(B) (C)6 （D ）【答案】D【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB =，4AD =故可选,AB AD 作为基底. 8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考. 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.10.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x 上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.。
2015年四川省高考数学试卷(理科)
2015年省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．〔5分〕〔2015•〕设集合A={x|〔x+1〕〔x﹣2〕＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，那么A∪B=〔〕A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．〔5分〕〔2015•〕设i是虚数单位，那么复数i3﹣=〔〕A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i3．〔5分〕〔2015•〕执行如下图的程序框图，输出s的值为〔〕A．﹣B． C．﹣D．4．〔5分〕〔2015•〕以下函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是〔〕A．y=cos〔2x+〕 B．y=sin〔2x+〕C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．〔5分〕〔2015•〕过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，那么|AB|=〔〕A． B．2 C．6 D．46．〔5分〕〔2015•〕用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有〔〕A．144个B．120个C．96个D．72个7．〔5分〕〔2015•〕设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，假设点M、N满足，，那么=〔〕A．20 B．15 C．9 D．68．〔5分〕〔2015•〕设a、b都是不等于1的正数，那么“3a＞3b＞3〞是“log a3＜log b3〞的〔〕A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．〔5分〕〔2015•〕如果函数f〔x〕=〔m﹣2〕x2+〔n﹣8〕x+1〔m≥0，n≥0〕在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为〔〕A．16 B．18 C．25 D．10．〔5分〕〔2015•〕设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆〔x﹣5〕2+y2=r2〔r ＞0〕相切于点M，且M为线段AB的中点，假设这样的直线l恰有4条，那么r的取值围是〔〕A．〔1，3〕B．〔1，4〕C．〔2，3〕D．〔2，4〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。
2015年四川省高考数学试卷(理科)
精心整理2015 年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。
在每题 给出的四个选项中，只有一个是切合题目要求的。
1 ．（5 分）（2015? 四川）设会合 A= { x| （x+1 ）（x ﹣2 ）＜0} ，会合B= { x| 1 ＜x ＜3} ，则 A ∪ B=（ ）A ．{ x| ﹣1 ＜x ＜3}B ．{ x| ﹣1 ＜x ＜1}C ．{ x| 1 ＜x ＜2}D ．{ x| 2 ＜x ＜3 }2 ．（5 分）（2015? 四川）设 i 是虚数单位，则复数 i3 ﹣ =（ ）A ．﹣ iB ．﹣ 3iC ．iD ．3i3 ．（5 分）（2015? 四川）履行以下图的程序框图，输出 s 的值为（）A ．﹣B ．C ．﹣D ． 4 ．（5 分）（2015? 四川）以下函数中，最小正周期为 π且图象对于原点对称的函数是（ ）A ．y=cos （2x + ）B ．y=sin （2x + ）C ．y=sin2x +cos2xD ． y=sinx +cosx5 ．（5 分）（2015? 四川）过双曲线 x 2 ﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B两点，则| AB | =（）A ．B ．2C ．6D ．46 ．（5 分）（2015? 四川）用数字 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 构成没有重复数字的五位数，此中比 40000 大的偶数共有（ ）A．144 个B．120 个C．96 个 D．72 个7．（5 分）（2015? 四川）设四边形ABCD 为平行四边形，| | =6，| | =4 ，若点M 、N 知足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．68 ．（5 分）（2015? 四川）设 a、b 都是不等于 1 的正数，则“3a＞3 b＞3”是“ log a3 ＜log b 3”的（）A．充要条件 B ．充分不用要条件C．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件9 ．（5 分）（2015? 四川）假如函数f（x ）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1 （m ≥0 ，n ≥0 ）在区间 [] 上单一递减，那么mn 的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．10 ．（5 分）（2015? 四川）设直线 l 与抛物线 y2=4x 订交于 A、B 两点，与圆（ x ﹣5 ）2+y 2=r 2（r＞ 0 ）相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4） C．（2，3） D ．（2，4）二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分。
2015年四川省高考数学试卷(理科)
2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A={x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x |1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3} 2．（5分）设i 是虚数单位，则复数i 3﹣2i=（ ） A ．﹣i B ．﹣3i C ．iD ．3i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．﹣√32B ．√32 C ．﹣12 D ．124．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．y=cos （2x +π2）B ．y=sin （2x +π2）C ．y=sin2x +cos2xD ．y=sinx +cosx5．（5分）过双曲线x 2﹣y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |=（ ）A ．4√33B ．2√3C ．6D ．4√36．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．（5分）设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=6，|AD →|=4，若点M 、N 满足BM →=3MC →，DN →=2NC →，则AM →⋅NM →=（ ） A ．20 B ．15 C ．9D ．68．（5分）设a 、b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）如果函数f （x ）=12（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．25 D ．81210．（5分）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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2015年普通高等学校招生考试全国统一考试（四川卷）
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A
B =（ ）
（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<<
（C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x << 2、设i 是虚数单位，则复数3
2i i
-=（ ） （A ）i - （B ）3i - （C ）i （D ）3i
3、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）
（A ）- （B （C ）12- （D ）12 4、下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）
（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2y x π
=+ （C ）sin 2cos 2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+
5、过双曲线2
2
13y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）
（A （B ） （C ）6 （D ）6、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个
7、设四边形ABCD 为平行四边形，||6AB =，||4AD =。
若点M ，N 满足3BM MC =，
2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）
（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6
8、设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件
（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
9、如果函数21()(2)(8)12f x m x n x =-+-+（0m ≥，0n ≥）在区间1[,2]2
上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）
（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812
10、设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)x y r -+=（0r >）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点。
若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）
（A ）(1,3) （B ）(1,4) （C ）(2,3) （D ）(2,4)
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、在5(21)x -的展开式中，含2
x 的项的系数是____________（用数字填写答案）。
12、sin15sin 75+的值是____________。
13、某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k ，b 为常数）。
若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是____________小时。
14、如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点。
设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为____________。
15、已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）。
对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212
()()g x g x n x x -=-。
现有如下命题： ①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；
②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；
③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；
④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-。
其中的真命题有____________（写出所有真命题的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
设数列{}n a （1,2,3,n =⋅⋅⋅）的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，2!a +，3a 成等差数列。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}n
a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。
17、(本小题满分12分)
某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训。
由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队。
（Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛。
设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望。
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如
图所示。
在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N 。
（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需
说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线//MN 平面BDH ；
（Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值。
19、(本小题满分12分)
如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角。
（Ⅰ）证明：1cos tan 2sin A A A
-=； （Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =， 求tan tan tan tan 2222
A B C D +++的值。
20、(本小题满分13分)
如图，椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率是2
，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点。
当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截
得的线段长为
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
||||||||
QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
21、(本小题满分14分)
已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >。
（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解。