5.3正方形(1)课件(八下)
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浙教版八年级下册数学课件第5章5.正方形的性质
14．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，∠AEF ＝90°，EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F.求证：AE＝EF.
整合方法提升练
证明：如图，取 AB 的中点 H，连结 EH. ∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°. ∴∠1＝∠2. ∵E 是 BC 的中点，H 是 AB 的中点， ∴BH＝BE，AH＝CE. ∴∠BHE＝45°.∴∠AHE＝135°. ∵CF 是正方形外角的平分线，∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°. ∴∠AHE＝∠ECF.∴△AHE≌△ECF(ASA)．∴AE＝EF.
夯实基础巩固练
同理可证△ABE≌△BCH， ∴BE＝AG＝DF＝CH＝12，AE＝BH＝DG＝CF＝5. ∴EH＝FH＝FG＝EG＝7. 又易知∠EHF＝90°， ∴EF＝ EH2＋FH2＝7 2. 故选 C.
夯实基础巩固练
7．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系 中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点 是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴点 D′处，则点 C 的对应点 C′的坐标为( ) A．( 3，1) B．(2，1) C．(1， 3) D．(2， 3)
【点拨】 如图，过点 E 作 EO⊥CD 于点 O，EH⊥BC 于点 H， 显然四边形 EHCO 为正方形，∴EH＝EO，∠HEO＝90°. ∵∠GEF＝∠HEO＝90°， ∴∠HEM＝∠OEN. ∵∠EHM＝∠EON＝90°， ∴△EHM≌△EON. ∴S 四边形 EMCN＝S 正方形 EHCO.
夯实基础巩固练
【点拨】在 AD 上取一点 M，使得 AM＝2，易知 F，M 关于直 线 AC 对称．连结 EM，交 AC 于点 P′，连结 P′F，易得 P′F＋P′E 的值为 PF＋PE 的最小值，即 EM 的长为 PF＋PE 的最小值．过 点 M 作 MN⊥BC 于点 N，由题意可知 EN＝BN－BE＝AM－BE ＝2－1＝1，MN＝4，所以 EM＝ EN2＋MN2＝ 12＋42＝ 17. 此类问题容易出错的地方是不能将两条线段的和转化为一条线 段． 【答案】 17
整合方法提升练
证明：如图，取 AB 的中点 H，连结 EH. ∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°. ∴∠1＝∠2. ∵E 是 BC 的中点，H 是 AB 的中点， ∴BH＝BE，AH＝CE. ∴∠BHE＝45°.∴∠AHE＝135°. ∵CF 是正方形外角的平分线，∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°. ∴∠AHE＝∠ECF.∴△AHE≌△ECF(ASA)．∴AE＝EF.
夯实基础巩固练
同理可证△ABE≌△BCH， ∴BE＝AG＝DF＝CH＝12，AE＝BH＝DG＝CF＝5. ∴EH＝FH＝FG＝EG＝7. 又易知∠EHF＝90°， ∴EF＝ EH2＋FH2＝7 2. 故选 C.
夯实基础巩固练
7．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系 中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点 是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴点 D′处，则点 C 的对应点 C′的坐标为( ) A．( 3，1) B．(2，1) C．(1， 3) D．(2， 3)
【点拨】 如图，过点 E 作 EO⊥CD 于点 O，EH⊥BC 于点 H， 显然四边形 EHCO 为正方形，∴EH＝EO，∠HEO＝90°. ∵∠GEF＝∠HEO＝90°， ∴∠HEM＝∠OEN. ∵∠EHM＝∠EON＝90°， ∴△EHM≌△EON. ∴S 四边形 EMCN＝S 正方形 EHCO.
夯实基础巩固练
【点拨】在 AD 上取一点 M，使得 AM＝2，易知 F，M 关于直 线 AC 对称．连结 EM，交 AC 于点 P′，连结 P′F，易得 P′F＋P′E 的值为 PF＋PE 的最小值，即 EM 的长为 PF＋PE 的最小值．过 点 M 作 MN⊥BC 于点 N，由题意可知 EN＝BN－BE＝AM－BE ＝2－1＝1，MN＝4，所以 EM＝ EN2＋MN2＝ 12＋42＝ 17. 此类问题容易出错的地方是不能将两条线段的和转化为一条线 段． 【答案】 17
人教版八年级数学下册正方形课件ppt(1)
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形.
A．四个角都相等 B．四条边相等
C．正方形是矩形
8、 如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE,BG.
∴∠EAC=∠GAB，
∴△EAC≌△GAB，
B．AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝90°
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
√
四边都相等
√
√
√
√
√
四个角都是直角
对角线互相平分
√
对角线互相垂直
√
√
√√
√
√
√
___对__角_线__相__等__________________√________________√__________
2.正方形的性质： 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、 菱形.所以它具有这些图形的所有性质.
B．四个内角都相等的四边形是矩形
有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
1、下列说法错误的是( D ) A．正方形是平行四边形 B．正方形是菱形 C．正方形是矩形 D．菱形和矩形都是正方形
知1－练
知2－练
2 (2016·益阳)下列判断错误的是( D ) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形
证明：∵四边形ABDE是正方形
∴AE=AB，∠EAB=90°
∵四边形ABCFG是正方形
∴AG=AC，∠GAC=90°
∴∠EAB=∠GAC=90°.
∴∠EAC=∠GAB，
八年级数学下册正方形PPT公开课
活动2 探究新知 教材P58部分内容． 提出问题： (1)什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？什么样的平行四边 形是正方形？ (2)正方形有哪些性质？ (3)正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？它的对称轴是什么？ (4)如何判定一个四边形是正方形？你能写出相应的证明过程吗？
活动3 知识归纳 1．正方形的概念： (1)有一组邻边__相__等_____的矩形是正方形； (2)有一个角是___直__角____的菱形是正方形． 2．正方形的性质：既有矩形的性质，又有菱形的性质． (1)正方形的四条边都__相__等___； (2)正方形的四个角都是__直__角____； (3)正方形的两条对角线互相___垂__直__平__分__且__相__等___，每条对角线__平__分___ 一组对角，它的对角线与每条边的夹角都是___4_5_°__．
2．理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系． (2)有一个角是_________的菱形是正方形．
A又．∵1∠4ADC＝90°1，．B正． 1方5 形的概念C．、16性质和判D．定17定理． 2活．动平5 行课四堂边小形结、2矩．形平、菱行形和四正边方形形的区、别矩与联形系．、菱形和正方形的区别与联系． (31．)有正一方组形_是__轴__对3__称．_图__运形__，的用它矩有正形_是_方_正_条方形对形的称；轴性，对质称和轴是判两条定对定角线理所在解直决线和问两组题对．边的垂直平分线．
又∵∠ADC＝90°，
1．掌握正方形的概念、性质，并会灵活运用．
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．
(1) 教材P61～62习题第7，12(3)题；
三、教学设计 活动1 新课导入
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理． 2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．动手中对正方形产 生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
正方形(第1课时)人教数学八年级下册PPT课件
正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
A
D
B
C
对称性： 轴对称图形 .
对称轴：
4条
.
探究新知 总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
平行四 边形
矩形
中心对称图形 （对角线的交点）
即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）
菱形
正方形
即是中心对称图形，
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条） 又是轴对称图形（四条）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
A
D
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
F
AB=BC， ∠ABE=∠BCF，
B
E
C
BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
课堂检测
基础巩固题
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( B )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
B
C
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
探究新知
素养考点 3 利用正方形的性质证明线段相等
例3 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形， A 试说明AE=CG.
解： ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD.
B
又∵四边形DEFG也是正方形, ∴DE=DG.
D
E G
F C
又∵正方形的每个内角为90°, ∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC， ∴∠ADE＝∠CDG.
人教版八年级数学下册正方形课件PPTppt
正 方 形
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
是正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形 是正方形
一组邻边相等的矩形 是正方形
:正方形有那些性质?
所以：
正方形具有平行四边形、 矩形、菱形的一切性质
正方形的性质
知识拓展:与同学讨论后填写下表： （1）AE与BF相等吗？为什么？
; 正方
（4）矩形一定是正方形。
形的面积是 （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
(3)正方形的面8 积64cm，则对角线交点 （2）正方形一定是菱形。
到正方形一边的距离 4㎝
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
3、正方形两条对角线的和为8cm，它的 面积为____________.
4、如图，点E、F在正方形ABCD的边 BC、CD上，BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直 的小路，使得两条直的小路将花坛平均 分成面积相等的四部分（不考虑道路的 宽度），你有几种方法？（至少说出三 种）
（12）A对E角与线B互F相相等平吗分？；为什么？
正 求例证2：：AECC为=正EF方=F形BABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EF⊥AC交BC于F.
正2、方在形下对列角性线质把中正，方平形行分四成边多形少具个有等的腰是直_角__三__角__形，？矩形具有的是_________，菱形具有的是_______，正方形具有的是
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
是正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形 是正方形
一组邻边相等的矩形 是正方形
:正方形有那些性质?
所以：
正方形具有平行四边形、 矩形、菱形的一切性质
正方形的性质
知识拓展:与同学讨论后填写下表： （1）AE与BF相等吗？为什么？
; 正方
（4）矩形一定是正方形。
形的面积是 （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
(3)正方形的面8 积64cm，则对角线交点 （2）正方形一定是菱形。
到正方形一边的距离 4㎝
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
3、正方形两条对角线的和为8cm，它的 面积为____________.
4、如图，点E、F在正方形ABCD的边 BC、CD上，BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直 的小路，使得两条直的小路将花坛平均 分成面积相等的四部分（不考虑道路的 宽度），你有几种方法？（至少说出三 种）
（12）A对E角与线B互F相相等平吗分？；为什么？
正 求例证2：：AECC为=正EF方=F形BABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EF⊥AC交BC于F.
正2、方在形下对列角性线质把中正，方平形行分四成边多形少具个有等的腰是直_角__三__角__形，？矩形具有的是_________，菱形具有的是_______，正方形具有的是
人教版八年级数学下册《正方形》课件
学习目标
• 学习目标：
1．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形 概念之间的联系和区别； 2．能用正方形的定义、性质进行推理与计 算．
• 学习重点：
正方形与平行四边形、矩形、菱形的联 系．
自主探究 你能给正方形下一个定义吗？
矩形
平行四边形
正方形
菱形
正方形性质
边 角
D
对角线 ∟D
A
1 2 5 6
对称性
如图（2）AE⊥HF ，AE与HF相等吗？
如图（3）ME⊥HF ， ME与HF相等吗？
A D A
H
D G
（ 2）
A M G
H
D F C
G B
（ 1）
E
F C
F C
BBE（ 3） NhomakorabeaE
课堂小结
平行四 边形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 矩形 菱形 正方形
对角线互相平分
对角线互相垂直 对角线相等
D
B
C
B
文 字 对边平行， 语 四条边都 言 相等 符 号 语 言
∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
四 个 角 都是直角
∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠A=∠B=∠C =∠D=90°
∟
图 形 语 言
A
∟
A
O
C
B
7
8
3
4
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
如图，已知正方形ABCD的边长为4， 对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的 延长线上．若∠CAE=15°则AE的长（ ） A ．4 B.2 C.8 D.16
• 学习目标：
1．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形 概念之间的联系和区别； 2．能用正方形的定义、性质进行推理与计 算．
• 学习重点：
正方形与平行四边形、矩形、菱形的联 系．
自主探究 你能给正方形下一个定义吗？
矩形
平行四边形
正方形
菱形
正方形性质
边 角
D
对角线 ∟D
A
1 2 5 6
对称性
如图（2）AE⊥HF ，AE与HF相等吗？
如图（3）ME⊥HF ， ME与HF相等吗？
A D A
H
D G
（ 2）
A M G
H
D F C
G B
（ 1）
E
F C
F C
BBE（ 3） NhomakorabeaE
课堂小结
平行四 边形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 矩形 菱形 正方形
对角线互相平分
对角线互相垂直 对角线相等
D
B
C
B
文 字 对边平行， 语 四条边都 言 相等 符 号 语 言
∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
四 个 角 都是直角
∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠A=∠B=∠C =∠D=90°
∟
图 形 语 言
A
∟
A
O
C
B
7
8
3
4
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
如图，已知正方形ABCD的边长为4， 对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的 延长线上．若∠CAE=15°则AE的长（ ） A ．4 B.2 C.8 D.16
人教版 八年级下册《正方形》课件 (公开课)
(B)
2.从角考虑
四个角都是直角 3.从对角线考虑
O
(D)B
C(A)
对角线互相平分垂直且相等，每条对角线平分一组对角.
4.从对称性考虑
它是轴对称图形，有4条对称轴,又是中心对称图形
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分 成四个全等的等腰直角三角形．
要判定一个三角形是等腰直 角三角形需要什么条件？判定两 个三角形全等的条件又是什么？
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形的性质
四边形
矩形
平行四边形
菱形
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
学习目标
1. 理解并掌握正方形的概念、性质； 2. 经历探索正方形有关性质的过程，了 解正方形与矩形、菱形的关系.
情景一
菱形
有一个角是
直角
正方形
正方形
★正方形是特殊的菱形
情景一
图中共有多少个等腰直角三 角形？
A
D
O
B
C
例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，
PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明: 连接PC
A
∵PM⊥BC ， PN⊥DC
四边形ABCD是正方形
D P
N
∴∠NCM=90°
∴四边形PMCN是矩形
B
MC
∴PC=MN
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等的矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形.
_有__一__个__角__是__直__角__的菱形是正方形. __一__组__邻__边__相__等___的矩形是正方形.
2.从角考虑
四个角都是直角 3.从对角线考虑
O
(D)B
C(A)
对角线互相平分垂直且相等，每条对角线平分一组对角.
4.从对称性考虑
它是轴对称图形，有4条对称轴,又是中心对称图形
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分 成四个全等的等腰直角三角形．
要判定一个三角形是等腰直 角三角形需要什么条件？判定两 个三角形全等的条件又是什么？
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形的性质
四边形
矩形
平行四边形
菱形
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
学习目标
1. 理解并掌握正方形的概念、性质； 2. 经历探索正方形有关性质的过程，了 解正方形与矩形、菱形的关系.
情景一
菱形
有一个角是
直角
正方形
正方形
★正方形是特殊的菱形
情景一
图中共有多少个等腰直角三 角形？
A
D
O
B
C
例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，
PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明: 连接PC
A
∵PM⊥BC ， PN⊥DC
四边形ABCD是正方形
D P
N
∴∠NCM=90°
∴四边形PMCN是矩形
B
MC
∴PC=MN
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等的矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形.
_有__一__个__角__是__直__角__的菱形是正方形. __一__组__邻__边__相__等___的矩形是正方形.
正方形课件PPT数学八年级下册PPT公开课
10．(宜昌中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角 线 AC 上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I， H，J.则图中阴影部分的面积等于( B )
A．1 B．12
C．13
D．14
11．(天水中考)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原 点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为__(_－__1_，__5_) ___．
5 ． 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ， 点 F 为 CD 上 一 点 ， BF 与 AC 交 于 点 E ， 若 ∠CBF＝20°，则∠AED等于__6_5_度．
6．(2020·呼伦贝尔)已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是(
)
第18章 平行四边形
正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）.
对角线分别是多少？ 解：∵ABCD是正方形 ∴∠B=90〫
6．(2020·呼伦贝尔)已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°. 若∠BAE＝56°，则∠CEF＝____°.
归纳新知
有一组邻边相等且有一个角是 定义 例5 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
直角的平行四边形是正方形. 对称性：轴对称图形，有四条对称轴.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
新知 正方形的定义及其性质
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
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的四边形是平行四边形。
①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等 ④两组对角分别相等 ⑤对角线互相平分
的平行四边形是矩形。
①有一个角为直角 ②对角线相等
的四边形是矩形。
①有三个角为直角 ②对角线平分且相等
的平行四边形是菱形。
①一组邻边相等 ②对角线互相垂直
的四边形是菱形。
①四条边都相等 ②对角线互相平分且垂直
3. 已知：如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别 是它四条边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是正方形.
4. 已知在直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶 点坐标依次是 A (-a，-b) ， B ( a，-b) ， C (a，b) ， D (-a，b).
这个四边形是正方形吗？如果认为是正方形，给出 证明；如果认为不一定是正方形，请增加一个条件使它 是正方形.
条件：？
①一组邻边相等 ②对角线互相垂直
正方形
菱形
条件：？
①一个角为直角 ②对角线相等
正方形
条件：？
平行四边形
①一个角为直角且邻边相等 ②对角线互相垂直且相等
正方形
条件：？
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个角为直角（定义） ②对角线互相垂直且相等
四边形
条件：？
①三个角为直角且邻ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
----下列说法对吗?
√（1）如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形 √（2）如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正
方形 √（3）四条边相等，有一角是直角的四边形是正方形 ×（4）对角线垂直且相等的四边形是正方形 × (5) 四个角都相等的四边形是正方形 × (6) 四条边都相等的四边形是正方形
1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形?
2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形? 若存在，它是什么图形?
3.是否存在一个角是直角的菱形?若存在， 它是什么图形?
议一议
平行四边形,矩形,菱形,正方形有存在怎样的关系?
平行四边形 矩形 正方形 菱形
正方形既是特殊的 矩形 ，又是特殊的 菱形 。
矩形
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。
定义法 菱形法
有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。
矩形法
合作探究
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， 从下列条件中取出哪些条件后，可使平行四边形ABCD 成为正方形。
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是 ∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：四边形CFDE是正方形.
1.将一张正方形纸片按如图步骤①，②，沿虚线对折两 次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图 形是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
2. 已知：如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形， ∠A=∠C=Rt∠ 求证:四边形ABCD是正方形.
一组邻边相等且一个角是直角
矩形法 定义法 菱形法
①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等 ④两组对角分别相等 ⑤对角线互相平分
的平行四边形是矩形。
①有一个角为直角 ②对角线相等
的四边形是矩形。
①有三个角为直角 ②对角线平分且相等
的平行四边形是菱形。
①一组邻边相等 ②对角线互相垂直
的四边形是菱形。
①四条边都相等 ②对角线互相平分且垂直
3. 已知：如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别 是它四条边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是正方形.
4. 已知在直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶 点坐标依次是 A (-a，-b) ， B ( a，-b) ， C (a，b) ， D (-a，b).
这个四边形是正方形吗？如果认为是正方形，给出 证明；如果认为不一定是正方形，请增加一个条件使它 是正方形.
条件：？
①一组邻边相等 ②对角线互相垂直
正方形
菱形
条件：？
①一个角为直角 ②对角线相等
正方形
条件：？
平行四边形
①一个角为直角且邻边相等 ②对角线互相垂直且相等
正方形
条件：？
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个角为直角（定义） ②对角线互相垂直且相等
四边形
条件：？
①三个角为直角且邻ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
----下列说法对吗?
√（1）如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形 √（2）如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正
方形 √（3）四条边相等，有一角是直角的四边形是正方形 ×（4）对角线垂直且相等的四边形是正方形 × (5) 四个角都相等的四边形是正方形 × (6) 四条边都相等的四边形是正方形
1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形?
2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形? 若存在，它是什么图形?
3.是否存在一个角是直角的菱形?若存在， 它是什么图形?
议一议
平行四边形,矩形,菱形,正方形有存在怎样的关系?
平行四边形 矩形 正方形 菱形
正方形既是特殊的 矩形 ，又是特殊的 菱形 。
矩形
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。
定义法 菱形法
有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。
矩形法
合作探究
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， 从下列条件中取出哪些条件后，可使平行四边形ABCD 成为正方形。
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是 ∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：四边形CFDE是正方形.
1.将一张正方形纸片按如图步骤①，②，沿虚线对折两 次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图 形是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
2. 已知：如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形， ∠A=∠C=Rt∠ 求证:四边形ABCD是正方形.
一组邻边相等且一个角是直角
矩形法 定义法 菱形法