梯度、散度、旋度表达式的推导
梯度、散度、旋度的关系
梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程分类：电子技术梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
散度 旋度 梯度 运算
散度旋度梯度运算散度、旋度和梯度是数学中常用的运算符号，用来描述矢量场的性质和变化规律。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将分别介绍散度、旋度和梯度的定义、性质和应用。
一、散度（Divergence）散度是描述矢量场发散或收敛性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的流出或流入程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其散度定义为 D = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。
散度可以理解为该点上各个方向的流量之和。
若散度为正，则表示该点上的流量向外；若散度为负，则表示该点上的流量向内；若散度为零，则表示该点上的流量无净流出或流入。
散度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，根据散度定理，流体的质量守恒可以用散度来描述。
此外，在电场和磁场中，散度也可以用来描述电荷和磁荷的分布情况。
二、旋度（Curl）旋度是描述矢量场的旋转性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的旋转程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其旋度定义为 C =∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)。
旋度可以理解为该点上绕着某一轴旋转的程度。
若旋度为正，则表示该点上的旋转方向符合右手定则；若旋度为负，则表示旋转方向符合左手定则；若旋度为零，则表示该点上没有旋转。
旋度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋的生成。
此外，在电场和磁场中，旋度也可以用来描述电流和磁场的旋转情况。
三、梯度（Gradient）梯度是描述标量场变化率和方向的一个概念。
它表示标量场在某一点上变化最快的方向和速率。
具体地说，对于一个标量场f(x, y, z)，其梯度定义为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
直角坐标系中的散度旋度公式推导
直角坐标系中的散度旋度公式推导在数学和物理学中，直角坐标系是一种常见的坐标系，用于描述和定位空间中的点。
散度和旋度是矢量场的两个重要性质，它们在物理学中有着重要的应用。
本文将介绍直角坐标系中的散度和旋度的计算方法，并推导出相应的公式。
散度的定义和计算散度是矢量场在某一点的流出量与单位体积的比值。
设一个三维矢量场为$ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $，则其散度 $abla \cdot \mathbf{F} $ 可表示为：$$ \ abla \\cdot \\mathbf{F} = \\frac{\\partial F_x}{\\partial x} +\\frac{\\partial F_y}{\\partial y} + \\frac{\\partial F_z}{\\partial z} $$ 其中，$abla \cdot \mathbf{F} $ 对应于直角坐标系下的散度。
旋度的定义和计算旋度是矢量场的环流量密度，它描述了矢量场在某一点的旋转程度。
设一个三维矢量场为 $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $，则其旋度 $abla \times \mathbf{F} $ 可表示为：$$ \ abla \\times \\mathbf{F} = \\left( \\frac{\\partial F_z}{\\partial y} -\\frac{\\partial F_y}{\\partial z}, \\frac{\\partial F_x}{\\partial z} -\\frac{\\partial F_z}{\\partial x}, \\frac{\\partial F_y}{\\partial x} -\\frac{\\partial F_x}{\\partial y} \\right) $$其中，$abla \times \mathbf{F} $ 对应于直角坐标系下的旋度。
梯度、散度、旋度的关系
梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：分类：电子技术旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
如何推导梯度,散度,旋度,拉普拉斯算子的傅里叶对应
如何推导梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的傅里叶对应梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子是数学和物理学中常见的概念，它们在向量分析、场论、泛函分析等领域中具有重要的地位和作用。
在实际应用中，这些概念通常与傅里叶变换相结合，为问题的分析和求解提供了便利。
本文将重点探讨梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的傅里叶对应关系，并介绍如何推导这些对应关系。
1. 梯度的傅里叶对应梯度是一个向量算子，用来描述标量函数在空间中变化最快的方向和变化率。
对于二维空间中的标量函数f(x, y)，其梯度可以表示为：∇f = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y )其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f对x和y的偏导数。
现在我们来推导梯度的傅里叶对应关系。
根据傅里叶变换的定义，二维空间中的函数f(x, y)的傅里叶变换可以表示为：F(kx, ky) = ∬ f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy其中，exp(-i(kx*x + ky*y))是傅里叶核，kx和ky分别表示频域中的横向和纵向频率。
我们对上式进行偏导数运算：∂F(kx, ky)/∂kx = -i ∬ x * f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy∂F(kx, ky)/∂ky = -i ∬ y * f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy这样，我们得到了梯度的傅里叶对应关系：∇f = (i∂/∂kx, i∂/∂ky) F(kx, ky)也就是说，原函数f(x, y)的梯度与其在频域中的傅里叶变换的偏导数存在对应关系，这为在频域中对梯度的分析提供了便利。
2. 散度的傅里叶对应散度是一个向量算子，描述了向量场在某一点的流出量与流入量的差异。
对于二维空间中的向量场V(x, y) = (u(x, y), v(x, y))，其散度可以表示为：div(V) = ∂u/∂x + ∂v/∂y现在我们来推导散度的傅里叶对应关系。
梯度散度旋度的关系
梯度gradient设体系中某处的物理参数如、、等为w,在与其垂直距离的dy处该为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率;如果参数为速度、浓度或温度,则分别称为、或;在向量微积分中,的梯度是一个;标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率;更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似;在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况;在单变量的的情况,梯度只是,或者,对于一个,也就是线的;梯度一词有时用于,也就是一个沿着给定方向的倾斜程度;可以通过取向量梯度和所研究的方向的来得到斜度;梯度的数值有时也被成为梯度;在二元函数的情形,设函数z=fx,y在平面区域D内具有一阶连续,则对于每一点Px,y∈D,都可以定出一个向量δf/xi+δf/yj这向量称为函数z=fx,y在点Px,y的梯度,记作gradfx,y类似的对三元函数也可以定义一个：δf/xi+δf/yj+δf/zk 记为gradfx,y,z 梯度的汉语词义,用法;现代汉语词典附：新词新义梯度 1.坡度;2.单位时间或单位距离内某种现象如温度、气压、密度、速度等变化的程度;3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进;4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化,难易有～;散度散度divergence的概念：在F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合S,当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时,则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度,并记作div F由散度的定义可知,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F 的通量,所以div F描述了通量源的密度;div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率;简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散;用以表示的量称为散度,值为负时为辐合,此时有利于天气系统的的发展和增强,为正时表示辐散,有利于天气系统的消散;表示辐合、辐散的物理量为散度;微积分学→多元微积分→多元函数积分：设某量场由A x,y,z = Px,y,z i + Q,z j + Rx,y,z k给出,其中P、Q、R 具有一阶连续,Σ 是场内一有向曲面,n是Σ 在点x,y,z 处的单位法,则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量,而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度,记作div A,即div A= δP/δx + δQ/δy +δR/δz;上述式子中的δ 为偏partial derivative符号;散度divergence的运算法则：div α A + β B = α div A+ β div B α,β为常数div u A =u div A+ A grad u u为数性函数旋度设有场Ax,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz , δP/δz - δR/δx ,δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A的旋度,记作rot A或curl A ,即rot A=δR/δy - δQ/δz i+δP/δz - δR/δx j+δQ/δx - δP/δyk式中的δ 为偏微分partial derivative符号;行列式记号旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示：若A=Ax·i+Ay·j,则rotA=dAy/dxi-dAx/dyj若A=Ax·i+Ay·j+Az·k则rotA=dAz/dy-dAy/dzi+dAx/dz-dAz/dxj+dAy/dx-dAx/dyk为一向量;向量场A,数量场u▽称为汉密尔顿算子,算法不表示了,符号打不出来;▽·▽=▽2=△,△称为拉普拉斯算子;梯度▽u散度▽·A旋度▽×A首先梯度和旋度是向量场,而散度是标量;梯度针对一个数量场势场,衡量一个数量场的变化方向;梯度为0说明该势场是个等势场;散度针对一个向量场,衡量一个向量场的单位体积内的场强;散度为0说明这个场没有源头;旋度针对一个向量场,衡量一个向量场的自旋;旋度为0说明这个场是个保守场无旋场,保守场一定是某个数量场的梯度场;三者的关系：注意各自针对的对象不同;1.梯度的旋度▽×▽u=0梯度场的旋度为0,故梯度场是保守场;例如重力场;2.梯度的散度▽2u=△u3.散度的梯度▽▽·A4.旋度的散度▽·▽×A=0旋度场的散度为0,故旋度场是无源场;例如磁场,磁场本身是其他场的旋度场;5.旋度的旋度▽×▽×A=▽▽·A-▽2A=▽▽·A-△A旋度场的旋度也要说明一下,匀强场是保守场,因此绝对的匀强磁场是不可能的,磁场本身也是有旋场;1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度;反之则不行,还需要其他条件;2.已知某向量场,求原数量场势场;某向量场具有势场的充要条件是旋度为0;因此若该向量场的旋度为0,可由斯托克斯公式求出;若旋度不为0,则没有势场;。
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1.梯度
g. 梯度的单位
由定义可知
x
n
(n,
x)
x
所以
x
i
y
j
z
k
上式即为 在直角坐标系中的表示。
h. 性质
dr d
证明：
dr
xi
dxi
x
dx
y
dy
z
dz
2. 散度
a . 通量 给定一矢量 a(r , t)，在场内取一曲面 S,它可以
x y z
所以，最后可得
lim
a dS lim
( ax x
ay y
az )dV z
ax
ay
az
a
ai
v0 V
v0
V
x y z
xi
2. 散度
b. 散度
3）面积分与体积分的转换
n adS adV
注意点：1. n 必须在最前面 2. 封闭积分
M ' M 0
(M ') (M ) MM 'cos(n, s)
s
cos(n, s)
（条件：因为MM '极小，所以等值线可近似看作与法线垂 直）
1.梯度
d. 梯度概念
梯度：
grad
n
n
所以 是个矢量，其方向为 等值面的法线方向
e. grad , 表示场的变化率
1.梯度
c.方向导数 s 方向上得方向导数为：
lim (M ') (M )
M ' M 0
M 'M
s
M 处法线方向上的方向导数：
lim (M1) (M ) lim (M ') (M )
n M ' M 0
M1M
M 'M0 MM ' cos
lim
三个数唯一决定的。此时矢经 r 的表达式是：
r xi yj zk
但是我们也可以用另外三个数（q1, q2, q3）唯一决 定 M 点。q1, q2, q3 称为曲线坐标。
4. 曲线坐标系
1) 柱坐标 在柱坐标系中，
q1 r, q2 , q3 z ,r 由 0 变到
， 由 0 变到 2∏，z 由
i jk
a dr
lim L
a
所以 s0 S
x y z
ax ay az
i jk
a dr
即 rotna
lim
s0
L
S
a x y z
ax ay az
4. 曲线坐标系
a. 曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系 空间中任一点 M 在直角坐标系中是由（x, y, z）
3 a ndS (a )dV
3．旋度
a.环量 给定一矢量场 a(r, t),在场内场内
任取一曲线 L，作线积分
a dr (axdx aydy azdz)
L
L
称之为矢量 a 沿曲线 L 的环量。若 L
是一封闭曲线，我们在积分号中加一
小圆圈 ，并称之为矢量 a 沿封闭回 线 L 的环量。
3．旋度
b.旋度 1) 定义： 矢量 a 的矢量旋度rota在 n 方向的投影：
a d r
r
no
tl iaL s0
m S
注意：1）L 为封闭曲线，即积分为封闭
积分
2）S 的界面为 L
3．旋度
b.旋度 2) 表示形式
i jk
a dr
rotna
lim
s0
L
S
a x y z
梯度，散度，旋度示： 等值线（面）表示： 梯度
梯度表示场的不均匀 性
(x, y, z,t)
(x, y, z,t0) C
( grad , )
1.梯度
a.均匀场： (x, y, z,t) C 即任何 地方任何时刻 均为常数 b.定常场：(x, y, z) C 即 不随 时间变化而变化
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式 又因为：
nxdS dydz nydS dxdz nzdS dxdy
所以上式就转化为：
(axdydz aydxdz azdxdy)
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式
利用高斯公式把面积分转化为体积分上 式可得：
( ax ay az )dV
v0 V
注：1. S 面为封闭曲面 2. V 的界面为 S
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式
diva a lim a dS ax ay az ai
v0 V
x y z xi
证明如下：
a dS a ndS (axnx ayny aznz )dS axnxdS aynydS aznzdS
是封闭的也可以是不封闭的，在 S 面上取一面积元 素 d S ,在 d S 上任取一点 M,作 S 面在 M 点的法线， 令 n 表示 S 面上法线方向的单位矢量，a 表示 M 点 上的矢量函数的值，则
an a n cx ao s ( n, x)y a c o sn(z y , )a
表示矢量 a 在法线方向上的投影。
cno zs ( ,
2. 散度
a . 通量 定义 andS 为矢量 a 通过面积元 d S 的通量，将
之沿面积 S 积分得 andS 。称为矢量 a 通过 S 面的 s
通量。 定义面积矢量 d S 大小为 d s,方向为法线正方向
的量，即
dS dsn
2. 散度
b. 散度 1）.定义
diva a lim a dS
均匀场 0
注意：若定常场的梯度为零，则其为均匀场。
1.梯度
f. eg x2 y2 2x ,求（1，1）处法线方向 解：令 x2 y2 2x 则由题可知 x2 y2 2x =0 所以可求得 而 为矢量，所以 的方向即为（1，1） 处法线方向
ax ay az
证明如下：
因为： a dr (axdx aydy azdz)
L
L
3．旋度
b. 旋度
2) 表示形式
再由线积分转化为面积分可得：
上式= L
[( az y
ay z
)nx
(ax z
az x
)ny
(ay x
ax y
)ny ]dS
变到 ，此时与直角坐标的 函数关系是：