初二数学部分典型习题解答(1)

10
F G
H M
12.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过 正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若 DE=8，BF=5，则EF的长为____________． 解：∵ABCD是正方形(已知)， ∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°； 又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°， ∴∠FBA=∠EAD(等量代换)； ∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E， ∴在Rt△AFB和Rt△AED中， ∵
19.
ABຫໍສະໝຸດ 30°130°E
C
D
20.如图所示，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和 DE相交于AC上一点E，• 如果∠BED=90°，证明： AB∥CD。
证明：在△BDE中， ∵∠BED=90°， ∠BED+∠EBD+∠EDB=180°， ∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED =180°-90°=90°。 又∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴∠ABD=2∠EBD，∠CDB=2∠EDB， ∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB） =2×90°=180°， ∴AB∥CD。
23.一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B 和∠C分别等于32°和21°．检验工人只量得 ∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，请你说明零 件不合格的理由．
C
21°
解：延长CD交AB于E， 则∠DEB= ∠A+∠C= 111°， ∠BDC=∠DEB+∠B= 143°， 即合格零件的∠BDC应为143°，A 而此零件这个角为148°， 因此可以判定这个零件不合格．
24.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝ 2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三 角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位 置关系，并证明你的猜想
解：BE=EC，BE⊥EC． 理由：∵△AED是直角三角形， ∠AED=90°且有一个锐角是45°， ∴∠EAD=∠EDA=45°， ∴AE=DE， ∵∠BAC=90°， ∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°， ∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°， ∴∠EAB=∠EDC，
如图，在RT三角形ABC中,角 BAC=90°,AB=AC,AE是过A点的一条直线， BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若CE=3， BD=7则DE= （ ） 证明：∵∠BAC＝90 ∴∠BAE+∠CAE＝90 ∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB＝∠AEC＝90 ∴∠BAE+∠ABD＝90 ∴∠ABD＝∠CAE ∵AB＝AC ∴△ABD≌△ACE （AAS） ∴AE＝BD，AD＝CE ∵AE＝DE+AD ∴AE＝DE+CE ∴BD＝DE+CE ∴ DE= 7-3=4
（1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数．
解：设此多边形的边数为n，则 （n-2）•180°=2340， 解得n=15． 故此多边形的边数为15
（2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外 角的度数之比为3：2，求这个多边形的边数．
解：设多边形的一个内角为13x度 ，则一个外角为2x度，依题意得 13x+2x=180， 解得x=12． 2x=2×12=24°， 360°÷24°=15． 故这个多边形的边数是15．
解：作DM=DE交AC于M， 作DN⊥AC， ∵DE=DG， ∴DM=DG， ∵AD是△ABC的角平分线， DF⊥AB， ∴DF=DN， ∴△DEF≌△DNM（HL）， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11， S△DNM=S△DEF=1/2S△MDG=1/2×11=5.5
17.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， ∠1=25°，∠2=30°，求∠3的度数 解：在△ABD与△ACE中， ∵ ∠BAC=∠DAE 即∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD， ∴∠1=∠CAE； 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ∴∠2=∠ABE（对应角相等）； ∵∠3= ∠1+∠ABE= ∠1+∠2， ∠1=25°，∠2=30°， ∴∠3=55°．
D
32°
E
B
24.园艺师从土地上收集了许多大理石的边角料，• 准备给 公共绿地的甬道铺地面，其中最多的一种边角材料形状 如图所示，你能否用这种边角料铺满地面？• 如果能，请 设计出至少两种方案。
6.AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F， DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则 △EDF的面积为
如图1，已知△ABC中，∠ BAC=90°，AB=AC，AE是过 A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D， CE⊥AE于E。 求证： （1）BD=DE+CE； （2）若直线AE绕点A到图2位置时（BD <CE），其余条 件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明； （3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条 件不变，BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果， 不须证明。BD=DE-CE 归纳（1）（2）（3），请用简洁的语言表述BD、DE、 CE的关
16.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝ CE，BD＝CP，则∠DPE＝________度． 解：∵AB=AC ∴∠B=∠C 在△BPD和△CEP中
∴△BPD≌△CEP（SAS）， ∴∠BDP=∠CPE， ∵∠B+∠BDP+∠DPB=180°， ∠DPE+∠BPD+∠CPE=180° ∴∠DPE=∠B 在△ABC中，∠A=40° ∴∠B=∠C=70°， ∴∠DPE=70°
21.
23.解：（1）△AGE≌△DGB ∵△ABC≌△DEF， 理由：∴∠A=∠D，AC=DF，BC=EF ∴AC-EF=DF-BC，即AE=DB 又∵∠AGE=∠DGB， ∴△AGE≌△DGB．
（2）AB与CD互相垂直 理由：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠D ∵DF∥BC， ∴∠D=∠BCG∴∠A=∠BCG ∵∠A+∠B=90°， ∴∠BCG+∠B=90° ∴AB⊥CD．
∵D是AC的中点， ∴AD=CD= AC， ∵AC=2AB， ∴AB=AD= DC， 在△EAB和△EDC中
∴△EAB≌△EDC（SAS）， ∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC， ∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED =∠AED=90°， ∴BE⊥EC．
9.如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边 滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则 这两个滑梯与地面的夹角∠ABC与∠DFE的度数和是 ______度．
证明：因为滑梯长度相等，即BC=EF 又AC=D 而∠BAC=∠EDF=90° ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL） ∴∠ABC=∠DEF 又∠DEF+∠DFE=90° ∴∠ABC+∠DFE=90°
如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD， ∠AOC=95°，∠B=50°，• 求∠A和∠D。
解：∵∠AOC是△AOB的一个外角 ∴∠AOC=∠A+∠B （三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和） ∵∠AOC=95°，∠B=50° ∴∠A=∠AOC-∠B =95°-50°=45° ∵AB∥CD ∴∠D=∠A（两直线平行，内错角相等） ∴∠D=45°
∴△AFB≌△AED(AAS)， ∴AF=DE=8， BF=AE=5∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
13.在直角三角形中∠ACB=90°BC=2cm，CD垂直于 AB，在AC上取一点E，过点E作EF垂直于AC则AE等 于( )cm 解：∵∠ACB=90°， ∴∠ECF+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠ECF=∠B， 在△ABC和△FEC中， ∠ECF＝∠B EC＝BC ∠ACB＝∠FEC＝90° ∴△ABC≌△FEC（ASA）， ∴AC=EF， ∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm， ∴AE=5-2=3cm．
如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则 ∠1+∠2+∠3等于（ ）
∠1+∠2+∠3=135° ∠1+∠3=90° ∠2=45° 则∠1+∠2+∠3=135°
15.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50,60,其三 条角平分线交于点O,则S△ABO：S△BCO： S△CAO=__________。 解：过点O作OD⊥AB于点D， 作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F ∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO =（ 1/2AB•OD）：（ 1/2BC•OF）：（1/2 AC•OE） =AB：BC：AC =40：50：60 =4：5：6