解析几何2010参考解答
欣赏一道高考题的数学美
欣赏一道高考题的数学美数学美是数学的魅力之一，数学美是数学能吸引众多数学爱好者的原因之一。
2010年广东高考的一道解析几何题如下：题目：(2010年广东卷理20)已知双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点.(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;(Ⅱ)若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值.本文只讨论问题(Ⅰ)，欣赏其中的数学之美。
1．解法之美一个数学问题可以从多种角度去思考，并且都能得到最终想要的结果。
那么这个问题就是一个好问题。
上述题目问题(Ⅰ)就是这样一个问题，下面给出几个不同思考角度的几种解法：解法1：由题设知，，，则有直线的方程为，……①直线的方程为.……②联立①②解得交点坐标为，，即，，……③则，.又由点在双曲线上，.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且.解法2：由题设知，，，则有直线的方程为，……①直线的方程为.……②设点是与的交点，由①②得. ……③又点在双曲线上，因此，即. 代入③式整理得.因为点，是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合.故点和均不在轨迹上. 过点及的直线的方程为.解方程组得，.所以直线与双曲线只有唯一交点.故轨迹不经过点.同理轨迹也不经过点.综上分析，轨迹的方程为，且.解法3：由题设知，，，设，因为点在上，点在上，所以，.两式相加得，，即.又由得，，即.……①，，，……②则，.而点在双曲线上，.将①②代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且.解法4：设点是直线与的交点，因为、、三点共线，所以，……①因为、、三点共线，所以，……②①②得．……③又点在双曲线上，因此，即．代入③式整理得.因为点是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合．故点与均不在轨迹上．过点及的直线的方程为．解方程组得．所以直线与双曲线只有唯一交点．故轨迹不经过点．同理轨迹也不经过点．综上分析，轨迹的方程为，且．2．结构之美从上述的解答过程可看到，由双曲线的顶点出发，分别引出两条动直线与，探究两条动直线交点的轨迹，恰是与已知双曲线在结构上对称的椭圆。
2010届高考数学热点：解析几何
高考解析几何考查趋势及重点热点问题新泰一中 闫辉一、知识要点1、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质。
了解椭圆的参数方程，了解圆锥曲线的初步应用。
3、轨迹问题。
4、几何问题代数化的思想，曲线与方程的思想，数形结合的思想。
5、韦达定理、弦长公式。
6、平面向量、均值不等式。
二、圆锥曲线内接四边形面积的最值问题近几年高考反复考查圆锥曲线内接四边形面积的最值问题。
例1、（2009年全国卷Ⅱ、理16）已知AC 、BD 为圆O ：4y x 22=+的两条相互垂直的弦，垂足为)2,1(M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 。
1、合情推理、大胆猜测由已知可得四边形ABCD 的面积BD AC 21S ⨯=。
由均值不等式启发，猜想当AC 和BD 一个最大，一个最小或两者相等时有最值。
过圆内一点最大的弦为直径42r =，最小的为垂直于直径的弦，易求得为2，所以S=4； 当AC 和BD 相等时，由于AC 与ＢＤ垂直，ＯＭ为AMB ∠的平分线，045OMA =∠，3OM =，可求得点Ｏ到ＡＣ的距离为23，210234AC 21=-=，得10A C =，同理10B D =，所以Ｓ＝５。
有理由大胆猜测结果是，Ｓ的最大值为５，最小值为４。
2、综合推理、实证结果分析：可利用韦达定理、弦长公式，转化为函数的最值问题，但由于)2,1(M 点的位置不特殊，计算量太大，不易算不下，特别是最小值，很难求出来（不妨自己尝试一下）。
又由于3OM = ，故可采用转换命题法，把M 点的坐标换为)3,0(，四边形ABCD 的面积也不变。
设四边形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ，则BD AC 21S ⨯=。
（１）、当ＡＣ和ＢＤ的斜率一者为０，另一者不存在时，可求得，42421S =⨯⨯=。
（２）、当ＡＣ的斜率存在且不为０时，设其斜率为ｋ。
则01kx 32x )k 1(3kx y 4y x 2222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+由弦长公式得22k114k2AC ++=同理可得22k14k 2BD ++=259162k1k 361612kk )14k )(4k (4BDAC41S 222422222=+≤+++=++++=⨯⨯=即.5S 425S 162≤<⇒≤<当且仅当1k ±=时，Ｓ有最大值５综上所述得 5S 4≤≤，四边形PMQN 的面积S 的最小值为4，最大值为5。
2010年广东高考解析几何的探究与拓展
，
定理 ５ 设 曲线 为
＝１ ａ Ｏ，＞ ） 过 点 （ ， ） （＞ ｂＯ ， ｏ ｈ 作
ｂｉＯ ｓ ） ｎ 从而 Ａ Ｐ ： ＝ ｃ。ｓ ，。ｙ
＿ ＿ ＿
Ｄ、 一 ＼
Ｍ
曲线的两条切线， 且切线夹角为 ， 则有 ．＝ ２ ｃｔ ｈ ６忱 ｏ ２ 事实上 ， 根据 曲线 的对称 性很 容易 知道 ， 两切线 必
果将其平方得 ｈ ＝ ３结合（ ） １ 中的椭 圆曲线 ＋ ＝１ 不
难 发 现 有这 样 个 关 系 ：２ １ 这 又 是 一 个 偶 然 现 象 还 ３ 十 ，
迹Ｅ 则Ｒ 上， 必须满足Ａ ｔ Ｒ与双曲 线 一 １ 鲁＝ 还有另
一
个 点Ｐ， Ａ 不能与 线 告： 的 近线 交 。 ｌ 即 Ｒ 双曲 一 １ 渐
偶 然现象 还是一 个 必然 现象 呢 ， 中有 什 么规 律 或 玄 其 机 ？为什么会 出现 ≠０且 ≠± ２ √ ７
故 ｙ＃Ｏ即 ≠士 ． 口
另一方面， 为椭圆 告＝ 上的点， 在轨 设Ｒ ＋ １ 若Ｒ
２
问题 ２ 单从结论 ｈ √ 来 看 ， 难发现 什么 ， ：３ 很 但如
是个 然象（ √ 一必 现 ？ 和
若 Ｒ与渐近线 平行 ， 由 则 出 的 因 第 平行 ， Ａ。 现原 是 一 ？ 詈…） ｆ （ ｙ 一 问 中的轨迹不是一个完整的椭圆）
带着这两个 问题本人进行 了一 些思考 ， 现该题 的 发 问题和结论并不是 偶然 现象 ， 而是偶 然 中的必然 现象 ，
． 试题研究 ．
中‘善・ （ｌ 第２ 高 版 ？ 幺 ２ｏ １ ７ ｏ 年 期・ 中 ）
４ ９
２１ ０ ０年 广 东 高 考 解 析 几 何 的探 究 与 拓 展
历年高考真题考点归纳2010年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线2
三、解答题1.（2010上海文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.（1）若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标. 解析：(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)， 则212102221201022212x x a k p x a k b b py k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x ya kb ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ +=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)． 2.（2010湖南文）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。
2010年高考解析几何试题评析及2011年备考建议
到简化的作用. 解题关键是将圆的参数方程转化
为普通方程. 2. 2 圆锥曲线的定义、方程、几何性质
圆锥曲线的定义、方程、几何性质是本部分
的基石, 故每道题都要涉及, 熟练掌握基础知识 是解题的关键, 如离心率的求解一般是求出 a、b、
c 的值或找到关于 a 、b、c 的齐次方程.
例2
( 2010
年辽宁理 20 题)
= 0, 把 c =
2 3
a,
b
=
5 3
a
代入整理得
96y2
+
20
3ay - 25a2 = 0, 由韦达定理: y 1 + y2 = - 5243a,
y 1y2
=
-
25 96
a2
,
因为
|
AB
|=
1+
1 3
|
y1 -
y2 |
=
5 4
a
=
15, 所以 a =
3, b =
5, 故椭圆 C 的方程
为x 2 + y 2 = 1. 95
程, 直线与椭圆的位置关系
天津 卷*
江苏 卷*
辽宁 卷*
5, 13, 20
6, 9, 18, 21( 选)
7, 9, 20, 23( 选)
抛物线、双 曲线的 标准方 程; 直线的 参 数 方 程, 直 线 与圆 21 的位置 关 系; 椭 圆 的 标 准方 程、几何性质, 直线与 椭圆的 位置关系
双曲线 的 几 何 性质; 直 线与 圆的位置 关系; 轨迹 方程, 直 36 线与椭 圆 的 位 置关 系, 定点 问题; 极坐标 与参数 方程, 直 线与圆的位置关系;
(新课标全国I卷)2010高考数学真题分类汇编专题14解析几何(2)文(含解析)
又P在圆N上，
则有kBN+kBM＝ + ＝ ＝ ＝0，
∴直线BN与BM的倾斜角互补，
∴∠ABM＝∠ABN．
3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝ 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【解析】（1）设A（x1， ），B（x2， ）为曲线C：y＝ 上两点，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
∴x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，
∴y1•y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝ •k2+k• +1＝ ，
由 ＝x1•x2+y1•y2＝ ＝12，解得k＝1，
故直线l的方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，
∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．
5．（2015年）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0．
则直线AB的斜率为k＝ ＝ （x1+x2）＝ ×4＝1；
（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝ ，
可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，
2010年全国高考解析几何试题分析
近三年来各地高考试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
题目突出主干知识、注重“知识交汇处”命题，强化思想方法、突出创新意识，综合性较强。
从题型来看，选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线和参数方程的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何的基本知识和向量的基本方法。
解题时谨记“用代数方法研究几何性质”这一学习解析几何的方法灵魂！因此，函数，方程，不等式的相关知识就必须熟练掌握和应用。
在复习过程中这一点值得强化。
本文从2010年考纲的角度，对2010年全国各地解析几何题型和解题方法进行分析，以便同仁对2011年的高考做到心中有数。
一 考查基础知识、基本运算例1:(2010年高考福建卷理科2)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，选D。
命题意图:本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
例2:(2010年高考安徽卷理科5)双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为解析:双曲线的a2=1,b2= ,c2= ,c= ,所以右焦点为命题意图:本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论。
二、考查基本方法与基本技能例3:(2010年高考全国卷I理科9)已知F1、F2为双曲线C:.x2-y2=1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60°，则P到x轴的距离为命题意图:本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.解析:不妨设点P(x0,y)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得由余弦定理得cos ,解得x02= ,所以y2=x2-1= ，故P到x轴的距离为三、考查圆锥曲线定义例4:(2010年高考江苏卷试题6)在平面直角坐标系xO y中，双曲线 =1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________解析:考查双曲线的定义。
2010年高考数学立体几何解答题的解法
专题七
立体几何解答题的解法 应试策略
2.空间角的计算 主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算. (1)两条异面直线所成的角 ①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另 一 条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线. ②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方 体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面 ab 直线间的关系. |a||b| ③向量法：直接利用向量的数量积公式cosθ= （注意向量的方向）.
1 2
×EC×DG=1得EC=2,
EC 2 BC 2
=
3
专题七
立体几何解答题的解法 应试策略 考题剖析
解法2：（1）证明：对长方体ABCD—A1B1C1D1， 以D为坐标原点，AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立 空间直角坐标系（如图所示）. 由AD=AA1=1，AB=2， 点E是棱AB上的动点，设BE=m. ∴D（0，0，0），D1（0，0，1） A1（1，0，1），E（1，2－m，0）， C（0，2，0） （1）D1 E =(1,2－m,－1), A1 D =(－1,0,－1), ∵ D1 E A1 D = － 1+1=0 ∴ D1 E ⊥ A1 D ,即D1E⊥A1D
专题七
立体几何解答题的解法 应试策略
1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点： (1)理清平行、垂直位置关系的相互转化
专题七
立体几何解答题的解法 应试策略
(2)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻 找证题思路. (3)立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅 助线(或面)是解题的常用方法之一. (4) (4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明 线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面 及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根 据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过 计算证明线线垂直也是常用方法之一.
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另一平面 2 方程是： y sin z cos 0 。 设 P ( x , y, z ) 为 空 间 中 的 任 意 一 点 ， 它 关 于 xoy 面 的 对 称 点 是 P ( x, y, z ) ，
P ( x, y, z ) 关于 2 的对称点 P ( x, y, z) ，则 P , P 的中点在 2 上， P P 与 2 的法
解得 X : Y : Z 1: ( 1) : ( 1), 4 (1, 1, 1) 2 4 6 0, 主径面： 3( x y z ) 0 0, x y z 0 。 当 2 6 时，主方向 X : Y : Z 满足
5 3 1 X 3 5 1 Y 0, 1 1 1 Z
故分别对于两个相交平面的反射变换的乘积是一个绕定直线的旋转。
解析几何试题（2010--2011）解答
一、填空题 1.
21
2.
arcsin
4 9
3.
17 3
4.
3
5.
2
K1 I12
6.
x 2 y 2 2z 2 2 xy 4 x 4z 4 0 7. l : m 8. x 2 y 3z 0 9. 5
二、解：向量 OA (1, 2, 3), OB (4,5,6) ，过三点 O, A, B 的平面的法向量是
特征方程： 7 36 0,( 3)( 6)( 2) 0,
3 2
特征值： 1 3, 2 6, 3 2. 简化方程： 3 x 6 y 2z 6 0.
2 2 2
当 1 3 时，主方向 X : Y : Z 满足
2 3 1 X 3 2 1 Y 0, 1 1 2 Z
向量共线，于是：
( x x ) : ( y y ) : ( z z ) 0 : sin : ( cos ), y y z z sin cos 0 2 2
x x , 因而得到 y y cos 2 z sin 2 , 此变换是绕 x 轴旋转角为 2 的旋转。 z y sin 2 z cos 2
解得 X : Y : Z 1:1: 0, 4 (1,1,0) 2 4 2, 主径面： 2( x y ) 2 0, x y 1 0 。
五、 解： 因为所求直线与 l1 , l2 都共面， 所以所求直线在过 l1 的平面束 s( x 1) y z 0 及 过 l 2 的 平 面 束 t ( x 1) y z 0 中 。 所 求 直 线 在 两 平 面 束 的 交 线 交线的方向向量是 v (2, ( s t ), s t ) ， l : s( x 1) y z 0 ，t ( x 1) y z 0 中， 过点 (1, t , t ) 。 由于又与 l 3 共面，则
1
t 1
t2 s t 0, 化简得到 st 1 。在交线族中按 st 1 消去参数 s, t 得到曲 5
2 2
2 s t 3 4
2
面方程： x y z 1 。 六、证明：设两平面的夹角为 (0
2
) ，交线为 x 轴，其中一平面 1 为 xoy 面，
解得 X : Y : Z 1: ( 1) : 2, 4 (1, 1, 2) 2 4 12 18, 主径面： 6( x y 2z ) 18 0, x y 2z 3 0 。 当 3 2 时，主方向 X : Y : Z 满足
3 3 1 X 3 3 1 Y 0, 1 1 7 Z
四、解：曲面的矩阵
1 3 1 2 3 1 1 4 , 不变量 I 7, I 1 3 1 1 1 1 0, A 1 2 1 1 5 6 3 1 1 5 1 5 2 4 6 14
1 3 1 I 3 3 1 1 36, I 4 A 6 36. 1 1 5
x 1 lt 三、解：设直母线的方向向量为 v ( l , m, n) ，将直母线的参数方程 y 1 mt 代入 z 1 nt
曲面方程得：
(l , m, n)t 2 2(lF1 ( 1, 1,1) mF2 ( 1, 1,1) nF3 ( 1, 1,1))t F ( 1, 1,1) 0
( l , m , n) 0, 则 lF1 ( 1, 1,1) mF2 ( 1, 1,1) nF3 ( 1, 1,1) 0, F ( 1, 1,1) 0
即
l 2 m 2 n2 2lm 2nl mn 0, l m 3n 0,
于是
2n2 mn 0, l m 3n,
。
得到 l : m : n 1 : ( 1) : 0 或 l : m : n 5 : ( 2) :1 。 所以过点 ( 1, 1,1) 的直母线是
x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 及 。 OB (1, 2, 3) (4,5,6) 3(1, 2,1).
所以过三点 O, A, B 的平面方程： x 2 y z 0.
OAB 的面积是 S
1 1 3 OA OB n 6. 2 2 2