高中数学直线与双曲线习题课优质课件(选修2-1)

3 若 Δ＝0，即 k＝2，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切， 只有一个公共点； 3 若 Δ>0，即 k<2，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两 个公共点； 3 若 Δ<0，即 k>2，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点． 3 综上，(1)当 k＝± 2或 k＝2时，直线 l 与双曲线只有一个公 共点；
跟踪训练 2 已知直线 y＝ax＋1 与双曲线 3x2－y2＝1 交于 A、B 两点．若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值及弦长 |AB|.
y＝ax＋1 由 2 2 3x －y ＝1
解
消去 y，得
问题 2 直线和双曲线只有一个公共点， 直线和双曲线一定 相切吗？
答案 不一定，平行于渐近线的直线若和双曲线相交， 只有一个公共点，而不是相切．
2 y 例 1 已知双曲线 x2－ ＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何 2
值时，直线 l 与双曲线 C：(1)有一个公共点； (2)有两个 公共点；(3)无公共点？
探究点一 直线与双曲线的位置关系 问题 1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？
答案
判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程
组，消去一个变量，转化成关于 x 或 y 的一元二次方程， 再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这 时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时，就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解．这时 直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零 时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．
1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线 l：y＝kx＋m (m≠0) x2 y2 双曲线 C： 2－ 2＝1 (a>0，b>0) a b ① ②
把①代入②得(b2－ a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. b 2 2 2 (1)当 b －a k ＝0，即 k＝± 时，直线 l 与双曲线的渐近 a
探究点二 与弦长有关的问题 x2 y2 例 2 设双曲线的顶点是椭圆 ＋ ＝ 1 的焦点，该双曲线 3 4 又与直线 15x－ 3y＋ 6＝ 0 交于 A， B 两点， 且 OA⊥ OB(O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB|.
解
(1)已知椭圆的焦点为(0，± 1)，即是双曲线的1)，即 y＝kx＋(1－k)．
y＝kx＋1－k， 由 2 y2 x － ＝1， 2 得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0. (*)
当 k2－2＝0，即 k＝± 2时，(*)式只有一解，直线 l 与双曲线相交，只有一个公共点．
当 k2－2≠0 时，Δ＝24－16k，
②
因此设双曲线方程为 y2－mx2＝1 (m>0)
又直线 15x－3y＝－6
A(x1， y1)、 B(x2， y2)是方程①、 ②组成的方程组的两个解．
y2－ mx2＝ 1 由 15x－ 3y＝－ 6
15 2 4 得 9 －mx ＋
15 3 x＋3＝0，
15 15 当 m＝ 9 时，显然不满足题意，当 m≠ 9 时，
3 (2)当 k< 且 k≠± 2时，直线 l 与双曲线有两个公共点； 2 3 (3)当 k>2时，直线 l 与双曲线无公共点．
小结 在讨论直线与双曲线的位置关系时，要先讨论得到
的方程二次项系数为零的情况，再考虑 Δ 的情况，而且不 要忽略直线斜率不存在的情形．
x2 2 跟踪训练 1 双曲线 C： 2－y ＝ 1 (a>0)与直线 l：x＋ y＝1 a 相交于两个不同的点 A、 B.求双曲线的离心率 e 的取值范 围．
x1＋x2＝－ 15 (2)∵ ， 9 x1x2＝ 4
∴|AB |＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝
1＋
9 15 2 2 · － 15 －4· ＝4. 4 3
小结 使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解 决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得 到的 k 要保证满足相交，即验证 Δ>0.
4 15 3 x2＋x2＝－ ， 15 9 －m 则 3 . x1x2＝15 －m 9
又 OA⊥OB，所以 x1x2＋y1y2＝0，
8 2 15 ∴x1x2＋y1y2＝ x1x2＋ (x1＋x2)＋4＝0， 3 3
4 15 8 3 2 15 3 ∴ · ＋ ＋4＝0； 3 15 3 －15 －m － m 9 9 1 ∴m＝ ，经验证，此时 Δ>0； 3 2 x ∴双曲线的方程为 y2－ ＝1. 3
相交于一点 线平行，直线与双曲线 C______________.
b (2)当 b － a k ≠ 0，即 k≠ ± 时， a
2 2 2
Δ＝ (－ 2a2mk)2－ 4(b2－ a2k2)(－ a2m2－ a2b2)． Δ>0⇒ 直线与双曲线有 ____ 两 个公共点，此时称直线与双 曲线 ________ 相交 ； Δ＝ 0⇒ 直线与双曲线有 ____ 此时称直线与双 一 个公共点， 曲线 ________ 相切 ； Δ<0⇒ 直线与双曲线 ________ 没有 公共点，此时称直线与双 曲线 ________ 相离 ． 2．弦长公式 斜率为 k (k≠ 0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1， y1)， B(x2， 1 2 y2)，则 |AB|＝ 1＋ k |x1－ x2|＝ 1＋ 2|y1－ y2|. k
解
x＋y＝1， 2 由x 2 2－y ＝1 a
消去 y 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， 1－a2≠0， 由题意知 4 2 2 4 a ＋ 8 a 1 － a >0，
得 a∈(0,1)∪(1， 2)．
a2＋b2 c 1 ∴e＝ ＝ ＝ 1＋ 2， a a2 a 6 ∴e∈ ， 2 ∪( 2，＋∞)． 2