九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦同步练习含解析沪科版

24.2 第2课时垂径分弦一、选择题1．下列说法正确的是( )A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线必过圆心C．垂直于弦的直径平分弦D．平分弦的直径平分弦所对的弧2．2017·泸州如图K－4－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )图K－4－1A.7 B．2 7 C．6 D．83．如图K－4－2，若⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )图K－4－2A．正方形 B．菱形C．矩形 D．平行四边形4．如图K－4－3，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB＝16 cm，AC＝12 cm，则⊙O的半径OA为( )图K－4－3A．14 cm B．12 cmC．10 cm D．8 cm5．2017·太湖期末如图K－4－4，以点O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环面积最接近的是链接听课例1归纳总结( )图K－4－4A．10 B．13 C．16 D．196．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图K－4－5.若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为链接听课例2归纳总结( )图K－4－5A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm7．2017·池州月考“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图K－4－6，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD”．依题意，CD的长为( )图K－4－6A．12寸 B．13寸C．24寸 D．26寸8．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为( )A．2 5 cmB．4 5 cmC．2 5 cm或4 5 cmD．2 3 cm或4 3 cm二、填空题9．如图K－4－7，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为________.链接听课例1归纳总结图K －4－710．如图K －4－8所示，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP ＝__________．图K －4－811．如图K －4－9，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是优弧AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为________．图K －4－912．如图K －4－10，在△ABC 中，已知∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为________.链接听课例1归纳总结图K －4－1013．如图K －4－11，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为______．图K －4－11三、解答题14．2017·合肥瑶海区期末如图K －4－12，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AC .若∠A ＝22.5°，CD ＝8，求⊙O 的半径.链接听课例1归纳总结图K －4－1215．巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB＝492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米．图K－4－1316．如图K－4－14，在平面直角坐标系中，以点C(0，3)为圆心，5为半径作圆，交x轴于A，B 两点，交y轴正半轴于点P，以点P为顶点的抛物线经过A，B两点．(1)求A，B两点的坐标；(2)求此抛物线的表达式．图K－4－14实践应用今年夏天，台风来袭，某地被雨水“围攻”．如图K－4－15，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60 m，拱高PM＝18 m，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30 m时要采取紧急措施．当地测量人员测得水面A1B1到拱顶的距离只有4 m，则此时是否需要采取紧急措施？请说明理由．图K－4－15详解详析[课堂达标] 1．[答案] C2．[解析] B 由题意，得OE ＝OA －AE ＝4－1＝3，CE ＝12CD ＝OC2－OE2＝7，CD ＝2CE ＝2 7.故选B.3．[解析] B 由题意可知OC 与AB 互相垂直平分，则四边形OACB 是菱形．4．[解析] C 由垂径定理可知AD ＝12AB ＝8 cm ，OD ＝AE ＝12AC ＝6 cm ，∴OA ＝AD2＋OD2＝10 cm.5．[解析] C 过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，则AD ＝2，DC ＝2＋1＝3，S 圆环＝π(OC 2－OA 2)＝π(OD 2＋DC 2－OD 2－AD 2)＝π×(9－4)＝5π≈15.7≈16. 故选C.6．[解析] A 如图，连接OA ，过点O 作OE ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点E. ∵⊙O 的直径为200 cm ，AB ＝160 cm ， ∴OA ＝OE ＝100 cm ，AM ＝80 cm ， ∴OM ＝60 cm ，∴ME ＝OE －OM ＝100－60＝40(cm)． 7．[解析] D 如图，设CD 的长为2x 寸，则半径OC ＝x 寸，∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，AB ＝10寸，∴AE ＝BE ＝12AB ＝5寸．连接OA ，则OA ＝x 寸，根据勾股定理得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13，则CD ＝2x ＝2×13＝26(寸)．8．[解析] C 连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝4 cm ，OD ＝OC ＝5 cm. 当点C 的位置如图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ， ∴OM ＝3 cm ，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝4 5 cm ；当点C 的位置如图②所示时，同理可得OM ＝3 cm ， ∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝2 5 cm.综上，AC 的长为4 5 cm 或2 5 cm. 9．[答案] 1310．[答案] 35[解析] ∵AB ⊥CD ，∴AP ＝BP ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt △OAP 中，OA ＝12CD ＝5 cm ，∴OP ＝3 cm ，∴sin ∠OAP ＝OP OA ＝35.11．[答案] 4[解析] ∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ，∴由垂径定理得AC ＝PC ，PD ＝BD ，∴CD 是△APB 的中位线，∴CD ＝12AB＝12×8＝4.12．[答案] 2 3[解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E.在△ABC 中，∠B ＝180°－∠A －∠ACB ＝180°－20°－130°＝30°.在Rt △BCE 中，∵∠CEB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝2，∴BE ＝BC·cos30°＝ 3. ∵CE ⊥BD ，∴DE ＝BE ，∴BD ＝2BE ＝2 3. 故答案为2 3.13．[答案] 2 3[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA. ∵OD ⊥AB ，OA ＝2， ∴OD ＝12OA ＝1.在Rt △OAD 中，AD ＝OA2－OD2＝22－12＝3，∴AB ＝2AD ＝2 3.故答案为2 3. 14．解：如图，连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴CE ＝DE ＝12CD ＝4.∵OA ＝OC ，∴∠COE ＝2∠A ＝45°，∴△COE 为等腰直角三角形，∴OC ＝2CE ＝4 2， 即⊙O 的半径为4 2.15．解：如图，设弧AB 所在圆的圆心为O ，半径为R 米，连接OA ，OC ，则OC ⊥AB ，设D 为垂足，根据垂径定理，知D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点， 由题意可知AB ＝492米，CD ＝100米， 所以AD ＝12AB ＝12×492＝246(米)，OD ＝OC －CD ＝(R －100)米．在Rt △OAD 中，根据勾股定理，得 OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝2462＋(R －100)2， 解得R ＝352.58.因此，该拱桥的半径是352.58米．16．解：(1)如图，连接AC ，由题意得CO ＝3，AC ＝5.∵CO ⊥AO ，∴△ACO 是直角三角形且∠AOC 是直角，∴AO ＝AC2－CO2＝52－32＝4. 由题意可得y 轴是抛物线的对称轴， ∴BO ＝AO ＝4，∴点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(4，0)． (2)依题意得OP ＝CO ＋CP ＝3＋5＝8， ∴点P 的坐标是(0，8)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋8，代入点A 的坐标，得a ×(－4)2＋8＝0，解得a ＝－12.∴该抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋8.[素养提升]解：此时不需要采取紧急措施．理由： 如图所示，连接OA ，OA 1.由题意可得AB ＝60 m ，PM ＝18 m ，PN ＝4 m ，OP ⊥AB ，OP ⊥A 1B 1， 由垂径定理可得AM ＝MB ＝30 m ，A 1N ＝B 1N. 设OA ＝OA 1＝OP ＝R m ，在Rt △AMO 中，由勾股定理可得 AO 2＝AM 2＋MO 2，即R 2＝302＋(R －18)2， 解得R ＝34.∵PN ＝4 m ，OP ＝34 m ， ∴ON ＝30 m.在Rt △ONA 1中，由勾股定理可得 A 1N ＝A1O2－ON2＝342－302＝16(m)， ∴A 1B 1＝32 m ＞30 m ，故此时不需要采取紧急措施．。