第19届希望杯初二年级组第1试试题及答案解析
历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案
5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点， 组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的 四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于 1的正三角形．故选(D)． 二、填空题
12.如果 2x 3x 1, 那么 3 (x 2)3 (x 3)2 等于[ ]
A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．1
9.已知 x2 2xy 2y 1
y2 1
y 1 等于一个固定的值，
x2 1
2y2 xy y x 1 x 1
则这个值是( ) A．0. B．1.
C．2.
D．4.
把f1990化简后，等于 ( )
A． x . B.1-x. C. 1 . D.x.
x 1
x
二、填空题（每题1分，共10分）
1. 1302 662 ________.
9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．
A．4; B．2; C．1; D．0 10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两
位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．185
∠A＇BE=∠A＇CF=45°． 又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C． 在△A＇FC和△A＇EB中，
∴SA＇EBF=S△A＇BC．
∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值． 3．可能的四位数有9种：
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
第十九届希望杯初中1、2年级第1、2试 试题解析
第19届 “希望杯”初中试题刍议首都师范大学数学科学学院 周春荔2008年第19届全国“希望杯”数学邀请赛已经落下了帷幕。
作为数学爱好者总要回味今年的试题.，交流学习试题的体验。
“希望杯”初中试题的内容那样的基本，粗看平淡无奇，细品则另有醇美的风味.比如，初一1试题4. 正方形内有一点A ，到各边的距离分别为1，2，5，6，则正方形面积为（ ）（A ）33 （B ）36 （C ）48 （D ）49答案：选（D ）.由于A 在正方形内，所以A 到两组对边的距离之和相等，由于只有1+6=2+5，于是，正方形的边长只能为7，故面积是72=49（平方单位）.题目的设置将正方形的边长为7，以条件“正方形内有一点A ，到各边的距离分别为1，2，5，6”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发见。
接着又在初一2试中，进一步升华为试题9.平行四边形内一点到四条边的距离分别是1，2，3，4，那么，这样的平行四边形的面积最小是（ ）.（A ）21 （B ） 22 （C ） 24 （D ） 25.答案：选（A ）.如1图所设，a 和b 是平行四边形的两条边长，1h和2h 是平行四边形的两条高，则 面积1212ah bh h h =≥⨯.从1，2，3，4共有3组组合可作为为1h 和2h ，其中1123 h ,=+=2347h =+= 时，1221h h ⨯=最小.本题巧妙地利用斜边大于直角边解决了最小值的问题. 拓广了前一个试题的内涵，足见命题者匠心独运.对综合性的大题仔细品味，试题有如下特点. 图1一、题型基本，知识基本，技能基本，寓以新意有发展例1. 如图2，A 和B 两个小机器人，自甲处同时出发相背而行，绕直径为整数米的圆周上运动，15分钟内相遇7次，如果A 的速度每分钟增加6米，则A 和B 在15分钟内相遇9次，问圆周直径至多是多少米？至少是多少米？（取314.π=）分析：行程中的相遇问题，从小学开始就是重要的应用题型，属基本题型。
001全等三角形的性质及判定.学生版
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：第一讲全等三角形的 性质及判定知识点睛中考要求能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
历年1-16届希望杯初二年级竞赛试卷(共34份)[下学期]
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希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题 (2)希望杯第一届（1990年）初中二年级第二试试题 (6)希望杯第二届（1991年）初中二年级第一试试题 (10)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (17)希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题 (23)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题 (28)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (37)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (45)希望杯第五届（1994年）初中二年级第一试试题 (53)希望杯第五届（1994年）初中二年级第二试试题 (60)希望杯第六届（1995年）初中二年级第一试试题 (69)希望杯第六届（1995年）初中二年级第二试试题 (71)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (78)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (86)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (97)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (105)希望杯第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (115)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (118)希望杯第十届（1999年）初中二年级第一试试题 (129)希望杯第十届（1999年）初中二年级第二试试题 (133)希望杯第十一届（2000年）初中二年级第一试试题 (137)希望杯第十一届（2000年）初中二年级第二试试题 (140)希望杯第十二届（2001年）初中二年级第一试试题 (145)希望杯第十二届（2001年）初中二年级第二试试题 (150)希望杯第十三届（2002年）初中二年级第一试试题 (156)希望杯第十三届（2002年）初中二年级第二试试题 (158)希望杯第十四届（2003年）初中二年级第一试试题 (167)希望杯第十四届（2003年）初中二年级第二试试题 (169)希望杯第十五届（2004年）初中二年级第一试试题 (174)希望杯第十五届（2004年）初中二年级第二试试题 (177)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试 (180)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试 (184)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (188)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (192)希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题（每题1分，共10分）以下每个题目里列出的A ，B ，C ，D ，四个结论中，有且仅有一个是正确的，请你在括号内填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°B ．75°C ．55°D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2B ． 2C ．±2D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( )A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 1 4. ΔABC,若AB=π27,则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B B ．∠C ＞∠B ＞∠AC ．∠B ＞∠A ＞∠CD ．∠C ＞∠A ＞∠B5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式aa 1-⋅化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值，则这个值是( )A ．0.B ．1.C ．2D ．4.把f 1990化简后，等于 ( )A ．1-x x . B.1-x. C.x 1. D.x. 二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度．6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______．8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个．9．x ，y ，z 适合方程组 826532113533451x y z x z x y x y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届（1990年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你将正确结论的英文字母代号填到括号内．1．等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是( )A ．7.5B ．12C ．4D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则有( )A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞NB ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞QD ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割( )A ．是不存在的B ．恰有一种C ．有有限多种，但不只是一种D ．有无穷多种二、填空题（每题1分，共5分）1．△ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2.21(2)0a ab --=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++L L 的值是_____.3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4.ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5.设a,b,c 是非零整数,那么a bcabacbc abca b c ab ac bc abc ++++++的值等于_________.三、解答题（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)． 而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n ． 又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n ．即 n 1=4，n 2=7∴ n 1×n 2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A ，B ，C ，D 四个结论中，仅有一个是正确的．请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．如图24，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．方程x 25x+6=0的两个根是( )A ．1，6B ．2，3C ．2， 3D ．1， 63．已知△ABC 是等腰三角形，则( )A ．AB=ACB ．AB=BCC ．AB=AC 或AB=BCD ．AB=AC 或AB=BC 或AC=BC 22345(13)41(5)34b c ---==-+,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a=b=c C ．a=c ＞b D ．a=b ＞c(1)BO5.若a ≠b,则(b-a)a b -等于[ ]A.33()a b -;B.33()a b ---;C.33()a b --;D.33()b a --6．已知x ，y 都是正整数，那么三边是x ，y 和10的三角形有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无数多个 7．两条直线相交所成的各角中， ( )A ．必有一个钝角B ．必有一个锐角C ．必有一个不是钝角D ．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角( )A ．一个是锐角另一个是钝角B ．都是钝角C ．都是直角D ．必有一个角是直角 9．方程x 2+|x|+1=0有( )个实数根．( )A ．4B ．2C ．1D ．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2，仍得原数，这个两位数是( )A ．26B ．28C ．36D ．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是 ( )A ．179B ．181C ．183D ．185 12.如果231,x x >+那么323(2)(3)x x +-+等于[ ]A ．2x+5B ．2x5 C ．1D ．113．方程2x 5+x 4-20x 3-10x 2+2x+1=0有一个实数根是 ( ) A.53+; B.52+; C.32+; D.53-14．当a ＜1时，方程(a 3+1)x 2+(a 2+1)x (a+1)=0的根的情况是 ( ) A ．两负根 B ．一正根、一负根且负根的绝对值大 C ．一正根、一负根且负根的绝对值小 D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则( )到达N 地．( )A ． 二人同时B ．甲先C ．乙先D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先二、填空题（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母:5757-+=______________.3.方程10x x ++=的解是x=________.4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 29)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m 1)x 2+2mx+m 3=0有两个实数根．9．如图25，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．DCBAGEDCFEDCBA10．如图26，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出______条．11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于______度．12．如图27，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______． 14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q 为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2． ∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共10分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你在括号内填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．如图29，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ∶PQ 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．两个正数m ，n 的比是t(t ＞1)．若m+n=s ，则m ，n 中较小的数可以表示为 ( ) A.ts; Bs-ts; C.1ts s +; D.1s t+. 3.y>0时,3x y -等于( )A.-x xy ;B.x xy ;C.-x xy -;D.x xy -.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成 ( )A ．a ＜b ＜cB ．(a b)2+(b c)2=0C ．c ＜a ＜bD ．a=b ≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( )A ．AD 2=BD 2+CD 2B ．AD 2＞BD 2+CD 2C ．2AD 2=BD 2+CD 2 D ．2AD 2＞BD 2+CD 2( ) 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为1123的x 2、y 2的值是( ) A.x 2=1+3，y 2=2+3; B. x 2=2+3，y 2=2-3; C. x 2=7+43，y 2=7-43; D. x 2=1+23，y 2=2-3.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为( )A ．17B ．15C ．13D ．11 10．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×199119911991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________.5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则a=______.b三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1．已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
第19届“希望杯”全国数学邀请赛 初二第2试试题
（ 每种至少 一张 ） ２ 共 ４张 ， 合计 １０ ０ ０元 ， 那么 其 中面值 为 ２ 元 的人 民币有 （ ） ０ 张．
Ａ ２或 ４ ． Ｂ４ ．
２关 于 、 ．
有 无
ｃ４ ８ ．或
Ｄ ２到 ４ 之 间的任意偶数 ． ６
７由 １２ ３ 三个数 字组成 四位数 ， ． ，， 这 在每 个 四位数 中 ， 三个 数字 至少 出现一 次 ． 样 这 这 的四位数有 （ ） ．
ｔｅ ｅｒｔ ｆｔ ｔｒｅ ｉ ｓｓ（ ｈ ｎｔ ａｏｏ ｓ ｈｅ ｄ ｈ ｉ ｉ ｓｅｉ
Ａ． ： ： １ ２ ３
） ．
Ｂ．１ ：１ ： ２
Ｃ ６ｍ 、而ｃ Ｄ ５ｍ． ｍ ．ｃ ，／ ｍ ／ ．ｅ ４ ｅ ９如 图 ２ 函数 ｙ 僦 一 ｍ的 图象分 别交 ． ， ＝ ４
１． ９如图 ３ 光线从 点 ０射 出 ， ． 一束 照在经 过 Ａ（ ， ）Ｂ（ ） １ ０ 、 ０ １ 的镜 面上 的点 Ｄ， Ａ ， 经 Ｂ反 射后 ，反 射光 笔 又 照到竖 立在 ＿ 位置 的镜 ｙ 轴 面． 要使最后经 轴再反射 的光 线恰 好通过点 ｙ ４， 则点 Ｄ的坐 为 ．
语数外学习 （ 九年级 ）
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黥 黥
关 系是 （ ）
一
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分别 为 ８ ８ ８ ； 当 ｎ ５时 ， ， ，４ 若 ＝ 有且只有 两个箱 子 中的乒乓球个数相 同， 那么各 箱子 中的乒乓
球 的个数分别是 ． １． ８已知一个 有序 数组 （ ， ，， ）现 按下 ａｂｃｄ ，
ｃ ５＜ ． ５
Ｄ 不确定 的 ．
０＋ ｃ＋ｄ ／ ｎ ｎ ｌ ６ ＋ ） ｎ ｍＩ ｎ ＋ ＋ ＋６ ｃ ｄ …
15到20届希望杯初二第一试试题及培训题
第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。
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第19届希望杯全国数学邀请赛试题·解答初中二年级 第1试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为是正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号1．以下说法中正确的是（ ）A ．1的平方根和1的立方根相同B ．0的平方根和0的立方根相同C ．4的平方根是2±D ．8的立方根是2±2．若单项式52x x a b -和2233x a b -的次数相同，则x 的整数值等于（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．1±以外的数3．若a b ，和a b +都是有理数，则（ ）A ．a b ，都是有理数B ．a b ，都是无理数C ．a b ，都是有理数或都是无理数D ．a b ，中有理数和无理数各有一个4．使不等式21x +>成立的x 的值是（ ）A ．比1-大的数B ．比3-小的数C ．大于1-或小于3-的数D ．2-以外的数5．设a ，b ，c ，d ，e 只能从3-，2-，1-中取值，又x a b c d e =-+-+，22222y a b c d e =-+-+，则（ ）A ．x 的最大值比y 的最大值小B ．x 的最小值比y 的最小值小C ．x 的最大值比y 的最小值小D ．x 的最小值比y 的最大值大6．In the figure ，ABCD is a diamond ，points E and F lie on itssides AB and BC respectively ，such that AE BFBE CF=，and DEF △ is a regular triangle ．Then BAD ∠ is equal to ( )A ．40B ．60C ．80D ．1007．已知ABC △的三边的长分别为a ，b ，c ，且a a b cb c b c a++=+-，则ABC △一定是（ ）A ．等边三角形B ．腰长为a 的等腰三角形C ．底边长为a 的等腰三角形D ．等腰直角三角形8．初二⑴班有48名同学，其中有男同学n 名，将他们编成1号、2号、…、n 号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，……，n 号给全班一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（ ）B CDAEFA ．22B ．24C ．25D ．26 9．使方程32200x y +=成立的正整数对()x y ，有（ ）A ．66个B ．33个C ．30个D ．18个10．一次函数y kx b =+的图像经过点()05A ，和点()40B ，，则在该图像和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个二、A 组填空题11．已知a ，b ，c 都是正整数，并且2008abc =，则a b c ++的最小值是 ． 12．若12320072008M =------ ，222222123420072008N =-+-++- ，则M 与N 的大小关系是 ．（填“>”、“<”或“=”）13．初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学 位．14．若实数a 使等式13221a a +=+-成立，则________a =．15．Let a be an integer and satisfy ()2212008a a +<<，then ______a =．FCDBEAPCBA16．如下左图，ABC △的面积是24，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 的一个三等分点，CE 交AD 于点F ，则AEF △的面积是 ．17．如上右图，在ABC △中，5AB AC ==，P 是BC 边上点B ，C 外的任意一点，则2____AP PB PC +⋅=．18．有一个运算程序，可以使：当0m n k ⊗=（k 为已知数）时，得()11m n k +⊗=-，()12m n k ⊗+=+．现在，已知112⊗=，那么20072007_________⊗=．19．用摄氏温度计测量，水的冰点是0℃，沸点是100℃．当用华氏温度计测量时，水的冰点是32F ，沸点是212F ，现在测量某温度，用摄氏温度计测得的温度是用华氏温度计测得的温度的5倍，那么，当用摄氏温度计测量时，该温度是 ℃．20．小华同学从运动场的A 点出发，向东走10米到达B 点，再向北走8米到达C 点，再向西走6米到达D 点，再向南走5米到达E 点，则E ，A 两点相距 米．三、B 组填空题21．甲、乙两同学都想买同一本书，可是甲同学带的钱差7元，乙同学带的钱差6元，若两人带的钱合在一起买这本书则带剩1元，那么甲同学带了 元，乙同学带了 元．22．直角ABC △三边的长分别是x ，1x +和5，则ABC △的周长 ，ABC △的面积= ．23．如右图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG并排放在一起，1O 和2O 分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积= ，线段12O O 的长 ．24．若代数式33223x y x y axy +++含有因式x y -，则_____a =，在实数范围内将这个代数式分解因式， 得33223x y x y axy +++= ．25．如右图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠= ，则ABC ∠的大小是 ，AIB ∠ 的大小是 ．O 2O 1G CFEBAD IBAC参考答案：一、选择题 1．B【解析】 1的平方根是1±，1的立方根是1，所以A 不对；4的平方根是2±，所以C 不对；8的立方根是2，所以D 不对；只有0的平方根和立方根都是0，所以选B ．2．B【解析】 由题意，知()523x x x +=+-当0x ≥时，则65x x =-，解得57x =，不合题意，舍去；当0x <时，则65x x -=-，解得1x =-，符合题意，所以选B ．3．A【解析】 a ，b 都是有理数，所以a b -是有理数．又因为a b +是有理数，所以a ba b a b--=+是有理数． 所以()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦是有理数，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦是有理数．故选A ．4．C【解析】 当2x =-时，不等式无解；当2x >-时，21x +>，1x >-，此时不等式解集为1x >-； 当2x <-时，()21x -+>，3x <-．此时不等式解集为3x <-． 所以1x >-或3x <-时，不等式成立． 故选C5．A【解析】()13323x =-⨯+⨯=最大， ()33127x =-⨯+⨯=-最小； 931225y =⨯-⨯=最小， 139215y =⨯-⨯=-最小．应选A ．6．B译文：图中，ABCD 是菱形，E ，F 是AB ，BC 上的点，满足AE BFBE CF=，且DEF △是正三角形，则BAD ∠的大小是（ ） A ．40B ．60C ．80D ．100【解析】 如右图，由题意知BE CF =，在边AB 上取点K ，使AK BE =，连结DK ，BD ，易知AKD CFD △≌△，从而KD DF DE ==．故DKE △为等腰三角形，有DKE DEK ∠=∠，则DKA DEB △≌△， 于是AD DB =，ADB △是等边三角形．、 所以60BAD ∠= ．选B7．B【解析】 由已知，得()a b c b cbc b c a++=+-， 去分母得()()()2b c ab ac a bc b c ++-=+，移项因式分解得()()20b c ab ac a bc ++--=．()()()0b c b a a c +--=．因为a ，b ，c 为三角形的边，所以0b c +>，得a b =或a c =． 所以ABC △是以a 为一腰的等腰三角形．选B ．8．D【解析】 由题意，n 号同学给()2n +名同学打过电话，所以2482n +=÷，22n =．所以女同学有482226-=（名）．选D ．9．B【解析】 因为32200x y +=，x ，y 为正整数， 所以200302xy -=>．所以2663x <．又因为x 为正偶数，所以x 可取2，4，6，…，66．共33个数． 所以原方程的正整数解有33个．应选B ．10．A【解析】 如右图，将点()05，和()40，坐标分别代入y kx b =+得 504b k b =⎧⎨=+⎩解得545k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 所以一次函数解析式为554y x =-+．当1x =时，334y =，直线1x =在AOB △内有整点3个；当2x =时，122y =，直线2x =在AOB △内有整点2个；当3x =时，114y =，直线3x =在AOB △内有整点1个．选A ．K B CD AE Fxy1 2 3 45OBA二、A 组填空题 11．257【解析】 2008分解成24251⨯⨯时，24251257a b c ++=++=．这时a b c ++的值最小12．=【解析】()()()222222123420072008N =-++++- ()()()()()()121234342007200820072008=+-++-+++- ()123420072008=-++++++M =所以M N =．13．13【解析】 由题意，按属相分组可以分成4组，若每组12人，那么还有1人没有进组，当他加入某一组后，该组至少有13人．14．2【解析】 由已知()()1322322a a +=+-+，即()222422a +=+．所以()2214222222221221a +++====+++． 15．45-【解析】 若0a ≥，则()221a a +>，与题意不符．所以0a <．因为()()2244200845-<<-，所以45a =-．16．2【解析】 如右图，连结BF ，设AEF S x =△，则2EFB S x =△．因为D 为BC 中点，所以3AFC AFB S S x ==△． 所以4AEC S x =△．所以312ABC AEC S S x ==△△． 所以112421212ABC x S ==⨯=△，即2AEF S =△．17．25【解析】 如右图，过点A 作AD BC ⊥交BC 于点D ，因为AB AC =，所以ABC △是等腰三角形，D 是BC 的中点，BD CD =． 所以222AP AD DP =+．所以()()22PB PC BD DP CD DP BD DP ⋅=+-=-所以222222225AP PB PC AP BD DP BD AD AB +⋅=+-=+==18．2008FCDBEAD PCBA【解析】 因为当m n k ⊗=（k 为已知数）时，()11m n k +⊗=-，()12m n k ⊗+=+，所以()()()11211m n k k +⊗+=+-=+． 又112⊗=，所以200720072008⊗=．19．20-【解析】 由题意，摄氏温度计从0到100度对应华氏温度计从32度到212度，它们的比值是100:1805:9=，即当摄氏温度计读数为x 度时，华氏温度计的读数为9325x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭度．由题意，得95325x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得20x =-，所有用摄氏温度计测得的温度是20-℃．20．5【解析】 如右图，延长DE 交AB 于F ．在Rt AEF △中，853EF =-=（米），1064AF =-=（米）， 所以2222345AE EF AF =+=+=（米）．三、B 组填空题 21．7；8【解析】 设该书的单价为x 元，则甲同学带了()7x -元，乙同学带了()6x -元，依题意，有()()761x x x -+-=-，解得14x =元．所以甲同学带了7元钱，乙同学带了8元钱．22.12或30；6或30【解析】 因为1x x <+，所以x 不会是斜边长，当斜边长为5时，有()22125x x ++=，即2120x x +-=，得()()430x x +-= 因为40x +>，所以30x -=，3x =；当斜边长为1x +时，有()22251x x +=+，解得12x =．所以x 的值是3或12．所以直角三角形的三边分别为3，4，5或5，12，13．所以Rt ABC △的周长是12或30；面积是6或30．23．14ab ；()22122a b +【解析】 如图，122BO A =，222BO b =，12454590O BO ∠=+= ，10米5米8米6米F BE ACDDABEFCG O 1O 2所以12121122122224O BO S BO BO a b ab =⋅⋅=⋅⋅=△，()2222122212222O O a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24．5-；()()()2525x y x y y x y y -+++-【解析】 设()()3322223x y x y axy x y x mxy ny +++=-++，则()()3223322331x x y axy y x m x y n m xy ny +++=+-+--所以131.m n m a n -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，，所以4m =，1n =-． 所以145a n m =-=--=-． 原式()()224x y x xy y =-+-()()()()()2222244525x y x xy y y x y x y y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦()()()2525x y x y y x y y =-+++-．25．40 ；120【解析】 如右图，在BC 上取点D ，使CD AC =，连接DI ，已知CA AI BC +=，所以BD AI =．在ACI △和DCI △中，AC DC =，ACI DCI ∠=∠，CI 为公共边， 所以ACI DCI △≌△． 所以AI DI =．因为80BAC ∠=，所以40CAI ∠=，40CDI ∠=．又CDI ∠是等腰BDI △的外角，所以1202DBI DIB CDI ∠=∠=∠= ．所以40ABC ∠= ．在AIB △中，40BAI ∠= ，20ABI ∠= ， 所以()1802040120AIB ∠=-+= ．D 20o40o40o IBAC。