高中数学人教a版选修4-1学案：第2讲 5 与圆有关的比例线段 含解析
人教版数学高二A版选修4-1温故知新第二讲五与圆有关的比例线段
高中数学-打印版
五与圆有关的比例线段
温故知新
新知预习
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条相等.
2.从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的相等.
3.在经过圆外一点的切线上,这点到切点之间的线段长叫做这点到圆的.
4.从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的.
5.从圆外一点引圆的两条切线,它们的相等,圆心和这一点的连线两条切线的夹角.
知识回顾
1.圆周角定理及其推论.
2.相似三角形的判定和性质.
3.切线的性质定理.
性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
4.弦切角定理.
定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
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人A版数学选修4-1讲义：第2讲 5 与圆有关的比例线段
五与圆有关的比例线段
1．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)
2．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1相交弦定理
阅读教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-1，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.
图2-5-1
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为__________．
【解析】 根据相交弦定理，AM ·BM ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD 22， 所以CD 2＝6，CD ＝12.
【答案】 12
教材整理2 割线定理
阅读教材P 35～P 36“割线定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-2，⊙O 的割线P AB 与PCD ，则有P A ·PB ＝PC ·PD .
图2-5-2
如图2-5-3，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝__________.
图2-5-3
【解析】 由割线定理知，
AB ·AC ＝AD ·AE ，
即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.
【答案】 5
教材整理3 切割线定理
阅读教材P 36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．。
数学人教A版选修4-1素材教材梳理 第二讲五与圆有关的比例线段 Word版含解析
庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等..定理的证明：如图，已知⊙的两条弦、相交于圆内的一点.图求证：··.证明：连结、，则由圆周角定理有∠∠，又∵∠∠，∴△∽△.∴∶∶，即··.当然，连结、也能利用同样道理，证得同样结论..由于在问题的证明中，⊙的弦、是任意的，因此，··成立，表明“过圆内一定点的弦，被点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值.图如图（），考察动弦，若过⊙的圆心，则为过点的最长的弦，设⊙的半径为，则·（）（）. 如图（），考察过点的弦中最短的弦，为过⊙内一点的直径，为过点且垂直于的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有··().由于⊙是定圆，为⊙内一定点，故⊙的半径与的长为定值.设，比较上述两式，其结论是一致的，即·()（），为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点的位置有关，对圆内不同的点，一般来说，定值是不同的，即这个定值是相对于定点与定圆而言的.知识拓展由第二式可直接得到相交弦定理的推论:“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.”即·.二、割线定理与切割线定理.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等..切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项..符号语言表述：如图，··.图.定理的证明：连结、，由于为切线，所以∠∠.又因为∠∠，于是△∽△，因此有∶∶，即·.同理，有·，所以··.记忆要诀应用定理应注意的两点：（）所有线段，都有一个公共端点，而另一端点在圆上；（）等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上.误区警示使用这部分定理推论时，常常容易出现错误，因此需要结合图形，来准确表述相交弦定量、切割线定理及其推论的题设和结论.如图（１），弦ＡＢ和ＣＤ交于⊙Ｏ内一点Ｐ，则有ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ；如图（２），ＣＤ为⊙Ｏ的弦，ＡＢ为直径，且ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ，则有ＰＣＰＡ·ＰＢ.常见错误是将线段关系写为ＤＰ·ＤＣＢＰ·ＢＡ，ＰＣＰＯ·ＰＢ.()()图如图（），点Ｐ是⊙Ｏ外一点，ＰＴ为切线，Ｔ为切点，ＰＡ为割线，点Ａ、Ｂ是它与⊙Ｏ的交点，则有ＰＴＰＡ·ＰＢ，常见错误是把线段关系写成ＰＴＰＡ·ＡＢ.如图（），ＰＡＢ为⊙Ｏ的割线，ＰＣＤ为⊙Ｏ的另一条割线，则ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ.常见错误是把线段关系写成ＰＡ·ＡＢＰ·ＣＤ.如图()，把切割线定理的推论写成ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＯ.() () ()图三、切线长定理.我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部分. .切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角..如图，、是⊙外一点向圆作的两条切线，切点分别为和，那么连结、、，因为、与⊙相切于、两点，则有⊥，⊥，于是∠、∠都是直角.又，，所以△≌△.所以，∠∠.。
数学人教A版选修4-1素材：教材习题点拨第二讲五 与圆有关的比例线段含解析
教材习题点拨探究1解：连接AD，BC，则由圆周角定理的推论可得∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB。
∴错误!＝错误!。
∴P A·PB＝PC·PD。
探究2解：结论P A·PB＝PC·PD仍然成立（证明同上)．探究3解:如果CD与AB不垂直,如图所示，CD，AB是圆内的任意两条相交弦，结论（1)仍然成立．证明:连接AD，BC.∵∠A＝∠C，∠D＝∠B,∴△APD∽△CPB.∴错误!＝错误!。
∴P A·PB＝PC·PD。
探究4解：当点P在圆上时，在图1中，P A＝PC＝0,所以P A·PB＝PC·PD仍成立．当点P在圆外时，在图2中，连接AD，BC,容易证明△P AD∽PCB，所以错误!＝错误!,即P A·PB＝PC·PD.图1图2探究5解：使割线PB绕P点运动到切线的位置(如图所示）,连接AC，AD，则∠P AC＝∠PDA.又因为∠P＝∠P，所以△P AC∽△PDA，所以P APD＝错误!,即P A2＝PC·PD。
因为A,B两点重合,所以P A·PB＝PC·PD仍然成立．探究6解：使割线PD绕P点运动到切线位置时，点C与点D重合，又因为点A与点B重合，所以(1）式P A·PB＝PC·PD 变为P A2＝PC2，所以P A＝PC。
思考：解：由切割线定理能证明切线长定理．证明如下：如图,由P向圆任作一条割线PMN，由切割线定理得P A2＝PM·PN,PC2＝PM·PN.∴P A2＝PC2。
∴P A＝PC.切线长定理的空间推广：从球外一点引球的无数条切线,它们的切线长都相等．习题2。
51．解：如图，设圆的两条弦AB与CD相交于点P，P A＝12，PB＝18，PD∶PC＝3∶8。
设PD＝3x，则PC＝8x。
由相交弦定理得P A·PB＝PC·PD，∴12×18＝3x·8x，即x2＝9。
数学人教A版选修4-1课后导练：第二讲第五节与圆有关的比例线段(1)含解析
课后导练基础达标1.圆内两条弦AB和CD交于P点,AB=8,AB把CD分成3和4两部分,那么AP等于( ）A。
2 B。
6 C.2或6 D.3或5解析:设AP=x,则BP=8—x，由相交弦定理得x(8-x）=3×4.∴x=2或6。
答案：C2.如图2-5-7，AD为⊙O直径，BC切⊙O于E点，AB⊥BC,DC⊥BC,AB=4，DC=1，则AD等于（）图2-5—7A.23B.4C.5 D。
33解析:连结DF、OE,∵AD是直径,∴∠AFD=90°.又AB⊥BC,DC⊥BC，∴四边形BCDF是矩形.∴BF=DC。
由切割线定理得BE2=BF·BA=1×4=4,BE=2.∵OE⊥BC,DC⊥BC，AB⊥BC,∴CD∥OE∥AB.O为AD中点，∴E 为BC 中点。
∴BC=4.∴DF=4.在Rt△ADF 中,AD=22DF AF +=5.答案：C3。
如图2-5—8，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5，AB=7，CD=11，则AC∶BD 等于( ）图2—5-8A 。
1∶3 B.5∶12 C.5∶7D 。
5∶11解析：由割线定理得PA·PB=PC·PD，∴5×（5+7）=PC （PC+11）。
∴PC=4或PC=-15(舍去）.又∵PA·PB=PC·PD，PB PC PD PA =,∠P=∠P, ∴△PAC∽△PDB。
∴31155===PD PA BD AC 。
答案:A4.如图2-5-9，AB 、CD 是⊙O 的两条平行切线,B 、D 为切点，AC 为⊙O 的切线,切点为E 点，若AB=4,CD=9,则⊙O 的半径为（ ）图2-5-9A。
9 B。
8 C.6 D.5解析：连结OB,并作BO的延长线，过A作AF⊥CD，F为垂足.∵AB切⊙O于B,∴OB⊥AB.∵AB∥CD,∴BO⊥CD。
∴BO经过D点。
∴BD为⊙O直径.又∵AF⊥CD,∴四边形ABDF是矩形.在Rt△ACF中,AF=22CFAC-。
高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-5与圆有关的比例线段 word版含解析高考
一、选择题1．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于 B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )．A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4解析 连接OA ，则OA ⊥PC ，∴△P AO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PC BC ，又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2，设AC ＝x ，则CP ＝2x ，∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2x x ＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案 A2．如图所示，P A 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，连接OP 交AB 于C ，连接OA 、OB ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为 ( )．A ．1,2B ．2,2C ．2,6D ．1,6解析 ∵P A 、PB 为⊙O 切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，P A ＝PB ，OP 平分∠APB ，∴OP ⊥AB .∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP ，△OBP ，△OCA ，△OCB ，△ACP ，△CBP ；等腰三角形有：△OAB ，△ABP .答案 C3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm ，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是( )．A ．2 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析 由相交弦推论即可得．设另一条弦被分成x cm ，4x cm.则⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝x ·4x ，所以x ＝2 cm. 所以弦长为10 cm.答案 C4．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )．A ．2 6 B. 6 C ．2 3 D ．2 2解析 延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.答案 D二、填空题5．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．解析 由相交弦定理知EA ·EB ＝EC ·ED . (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3，∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ，∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.答案 56．如图所示，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)解析如题图所示，由于P A、PB均为⊙O切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB.又由切线长定理知P A＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填P A⊥OA或PB ⊥OB或AB⊥OP.答案AB OP7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．解析∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案 38．(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析设半径为R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝P A·PB，(3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝ 6.答案 6三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 和⊙O 分别相切于点L 、M 、N 、P .求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC证明 因为AB 、BC 、CD 、DA 都与⊙O 相切，L 、M 、N 、P 为切点，所以AL ＝AP ，LB ＝MB ，DN ＝DP ，NC ＝MC .所以AB ＋CD ＝AL ＋LB ＋DN ＋NC ＝AP ＋MB ＋DP ＋MC ＝AD ＋BC .即AB ＋CD ＝AD ＋BC .10．如图，已知在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，过点P 作半径OA 的垂线，垂足是点E .分别交⊙O 于C 、D 两点.求证：PC ·PD ＝AE ·AO .证明 连接OP ，∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，AP ＝PB .∵PE ⊥OA ，∴AP 2＝AE ·AO .∵PD ·PC ＝P A ·PB ＝AP 2，∴PD ·PC ＝AE ·AO .11．(拓展深化)如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB于点P ，CD ＝10 cm ，AP ∶PB ＝1∶5，求⊙O 的半径．解 法一 连接OC ，设AP ＝k cm ，PB ＝5k (k >0) cm ，因为AB 为⊙O 直径，所以半径OC ＝12AB ＝12(AP ＋PB )＝12(k ＋5k )＝3k ，且OP ＝OA －P A ＝3k －k ＝2k .因为AB 垂直CD 于P ，所以CP ＝12CD ＝5 cm.在Rt △COP 中，由勾股定理，得OC 2＝PC 2＋PO 2， 所以(3k )2＝52＋(2k )2， 即5k 2＝25，所以k ＝5．所以半径OC ＝3k ＝3 5 (cm)． 法二 设AP ＝k ，PB ＝5k ， 由相交弦定理：CP ·PD ＝AP ·PB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝k ·5k . ∴k ＝5，∴AB 2＝AP ＋PB 2＝35， 即⊙O 的半径为3 5 cm.。
人教A版高中数学选修4-1 第二讲 五 与圆相关的比例线段 课件(共30张PPT)
A.4 B． 3 C. 2 D． 1
解析 由相交弦定理 ，PA·PB=PC·PD
D
∵PC=PD,∴ 2*PB=4*4 ∴PB=8，AB=PB+PA=10.
O
AP
B
∴PO=5-2=3. C
3、如图，PAB为⊙O的割线，PC切⊙O于C，PC＝10，
AB＝15，则PA长 （ ） A
B
PD PB
∴PA•PB=PC•PD
C
D O
AP C
探究
B
D AP B
O
C D
P A OB
C 将弦AB向上或向下平移，是否还有以上等式呢？
D
AP
B
O
D A PO B
C 证明：
C
连接AD，BC
∠A＝∠C， ∴Rt△APD∽Rt△CPB
△APD∽△CPB
PA PC PD PB
PA•PB=PC•PD
A2 B
上面都是与圆有关角得关系，那么与圆有
关线段是否存在什么关系呢？
探究
如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB，AB与CD相
交于P.
D
AP O
B
C
C
猜想：PA、PB、PC、PD有什么关系呢？
教学目标
知识与能力
理解和掌握相交弦定理、割线定理、切 割线定理、切线长定理，并能够应用定理解 决和证明相关的几何问题.
A.5 B． 6 C. 7 D． 8
解析 由切割线定理 ，PC2=PA·PB ∴ 10*10=PA*(PA+15) P
∴PA=5.
A
B
O
C
4.如图AB是⊙O的直径,过A、B引两条弦AD和BE, 相交于点C. 求证: AC•AD+BC•BE=AB2
五与圆有关的比例线段-人教A版选修4-1几何证明选讲教案
五与圆有关的比例线段-人教A版选修4-1 几何证明选讲教案前置知识在学习本节内容之前，需要掌握以下几个基础知识：•圆的概念、性质和相关定理•三角形的概念、性质和相关定理•线段的概念和相关性质教学目标•了解圆的切线、弦、割等概念及其相关定理；•掌握比例线段的相关知识；•运用比例线段的相关知识解决几何问题。
教学重点与难点•教学重点：比例线段的相关知识；•教学难点：运用比例线段的相关知识解决复杂几何问题。
教学过程第一步：引入新知识教师首先带领学生思考一个问题：在圆的内部，连接圆心和任意一点得到的线段与圆上的切线和弦有何相同点和不同点？通过学生的思考和讨论，教师进一步引入圆的切线、弦、割等概念，并讲解其相关定理。
第二步：比例线段的讲解和例题解析教师向学生介绍比例线段的概念和性质，包括同基异侧的两条平行线段所对应的线段比相等、圆上任意两点与圆心连线所组成的三角形，其斜边中点与周长中点重合等内容。
同时，根据P90页22题进行现场例题解析，让学生了解如何运用比例线段的相关知识解决几何问题。
第三步：练习题目1.圆外一点P到圆的两个切点A、B的线段比为3:4，证明AP、BP为圆的割线，并求证AP×PB等于以P为圆心、PB为半径的圆的面积。
2.如图，AB为圆O的直径，P为BC的中点，E为AC的中点，BE与DP交于F，证明AF=FD。
3.如图，圆O的圆心为P，直径AB、CD相交于点E。
连接A、C、B、D，以H为AC和BD的交点，证明PH⊥HE。
第四步：课程小结通过本节课的学习，学生们掌握了比例线段的相关知识，并能够运用它们解决几何问题。
同时，对于圆的切线、弦、割等概念和相关定理，学生也有更深入的了解。
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五 与圆有关的比例线段
1．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)
2．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 相交弦定理
阅读教材P 34～P 35“定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-1，弦AB 与CD 相交于P 点，则PA ·PB ＝PC ·PD.
图2-5-1
AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，AM ＝4，BM ＝9，则弦CD 的长为__________．
【解析】 根据相交弦定理，AM ·BM ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD 22，
所以CD
2
＝6，CD＝12.
【答案】12
教材整理2 割线定理
阅读教材P
35～P
36
“割线定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-2，⊙O的割线PAB与PCD，则有PA·PB＝PC·PD.
图2-5-2
如图2-5-3，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝__________.
图2-5-3
【解析】由割线定理知，
AB·AC＝AD·AE，
即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.
【答案】 5
教材整理3 切割线定理
阅读教材P
36
“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
2．图形语言
如图2-5-4，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.
图2-5-4
如图2-5-5，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O 于B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于( )
图2-5-5
A．4 B．6
C．9 D．36
【解析】由切割线定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.
【答案】 B
教材整理4 切线长定理
阅读教材P
36～P
40
，完成下列问题
1．文字语言
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角．
2．图形表示
如图2-5-6，⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OP B.
图2-5-6
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：。