人教B版数学必修五《解三角形》》学案
解三角形(学案)
第一章 解三角形（学案）1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于（ ）A 4 B2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ ）A 36 B 26 C 21 D 23 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°4.△ABCABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5.△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定 7. △ABC 中，8b =，16ABC S =，则A ∠等于 （ ） A o 30 B o 60 C o 30或o 150 D o 60或o 120 8.△ABC 中，若60A =，）A 2 B 21 C 3 D 23ABC ，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）D 010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）C. 200米12 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 海里 海里 13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。
14.在△ABC ，150c =，30B =，则边长a = 。
高中数学必修五解三角形教案
高中数学必修五解三角形教案高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知识总结及练习解三角形一、知识点：1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R 为C的外接圆的半径，则有abc2R．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知sin?sin?sinC两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.）2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；②sin??等式中）③a:b:c?sin?:sin?:sinC；abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2Ra?b?cabc．sin??sin??sinCsin?sin?sinC1113、三角形面积公式：SC?bcsin??absinC?acsin? 222④?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理：?b?a?c?2accos(本文来自： 教师联盟网:高中数学必修五解三角形教案)B 或?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac?? b2?a2?c2?cosC?2ab?（两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.）2225、设a、b、c是C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90?为222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90?为钝角三角形．6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sinA?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222二、知识演练1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．A．90°B．120°C．130°D．150°2224．在△ABC 中，a?b?c?bc ，则A等于（）A．60°B．45°C．120°D．30°5．在△ABC中，A为锐角，lgb-lgc=lgsinA=－lg2, 则△ABC为（）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形b6、锐角?ABC中，B=2A，则a的取值范围是（）A（-2，2）B（0，2）C（2，2）D2,）7.在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值范围是222 ?A．（0，6]B．[ 6，?）C．（0，3]D．[ 3，?）?8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45，若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________9. ?ABC中，B?60?,AC，则AB+2BC的最大值为_________．10．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝123，bc＝48，b-c＝2，求a11.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA?2，AB?AC?3．（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，求a的值．12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S?2a?b2?c2)。
必修五解三角形教案
必修五解三角形教案教案标题：必修五解三角形教案教案目标：1. 确保学生理解和掌握三角形的基本概念和性质。
2. 培养学生解决三角形相关问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维和推理能力。
教案步骤：第一步：引入三角形的概念（15分钟）1. 引导学生回顾平面几何的基本概念，如点、线、角等。
2. 引入三角形的概念，解释三角形的定义和特点。
3. 通过示意图和实例，让学生理解三角形的构成要素：三条边和三个角。
第二步：介绍三角形的分类（20分钟）1. 介绍根据边长和角度的关系，将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 解释每种三角形的定义和性质，如等边三角形的三边相等、等腰三角形的两边相等等。
3. 通过实例和练习，让学生区分不同种类的三角形，并理解它们之间的关系。
第三步：探究三角形的角度性质（25分钟）1. 引导学生思考三角形内角之和的问题，并让学生猜测三角形内角之和的大小。
2. 引导学生通过实验和推理，发现三角形内角之和恒为180度的规律。
3. 给予学生足够的练习，巩固和应用三角形内角之和的概念。
第四步：解决三角形的问题（30分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们应用所学的知识解决。
2. 引导学生分析问题，确定解题思路，并运用所学的三角形性质解决问题。
3. 鼓励学生在解题过程中提出自己的解决方法，并进行讨论和分享。
第五步：总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课所学的内容，强调三角形的基本概念和性质。
2. 提醒学生在实际生活中运用三角形的知识，如测量高楼的高度、计算航行船只的位置等。
3. 鼓励学生进一步拓展学习，了解更多与三角形相关的知识和应用。
教学评估：1. 在课堂中通过观察学生的参与和回答问题的表现，评估他们对三角形概念和性质的理解程度。
2. 布置练习题，检验学生对三角形解题方法的掌握和应用能力。
3. 鼓励学生在课后自主学习和探究，通过小测验或作业评估他们的学习成果。
教学资源：1. 幻灯片或黑板，用于呈现概念和示意图。
人教版高中数学必修五高一数学必修五《解三角形》教案
1.1.3解三角形的进一步讨论（一）教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
（二）教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
（三）学法与教学用具学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具：教学多媒体设备（四）教学设想[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B =可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
（新）人教版高中数学必修5第一章《解三角形》导学案（全套）
（新）⼈教版⾼中数学必修5第⼀章《解三⾓形》导学案（全套）学案 1 正弦定理（1）教学⽬标：1、掌握正弦定理及其推导过程；2、能利⽤正弦定理解三⾓形及判断三⾓形解的个数．教学重点：利⽤正弦定理解三⾓形．教学难点：正弦定理的证明．教学过程：⼀、问题情境：1．复习：在Rt ΔABC 中，∠C=90 ，试判定A a sin ，B b sin 与Cc sin 之间的⼤⼩关系？ 2．猜想：对任意三⾓形ABC 上述关系是否成⽴？如何证明?⼆、讲授新课：1．正弦定理：_________________________________．2．利⽤正弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知两⾓与⼀边，求另两边与另⼀⾓；（2）已知两边和其中⼀边的对⾓，求其他边⾓．3．三⾓形的元素与解三⾓形：（1）把三⾓形的_________________和它们的_________________叫做三⾓形的元素．（2）已知三⾓形的_________________求其他____________的过程叫做解三⾓形.三、知识运⽤：例1．在ΔABC 中已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,.例2．在ΔA BC 中，已知060,67,14===B b a ，解ABC ?.例3．在ΔABC 中，已知045,332,2===B b c ，解ABC ?.探究：对于例2、例3能否从图形来分析为什么解的个数不⼀样，分析类型（２）产⽣多解的原因.四、课堂练习：1.在ABC ?中，⼀定成⽴的是（）A.B b A a sin sin =B.B b A a cos cos =C.A b B a sin sin =D.A b B a cos cos =2.在ABC ?中，45A = ,60B = ,10a =,则b =（）A. C.3 D.3.在ABC ?中,?=60A ,24,34==b a ，则B 等于（）A.?45或?135B.?135C.?45D.以上都不对4.在ABC ?中，45,75AB A C =?=?，则=BC （）A ．33-B ．2C ．2D ．33+5．不解三⾓形，下列判断正确的是（）A.7a =,14b =,30A = ,有两解B.30a =,25b =,150A = ,有⼀解C.6a =,9b =,45A = ,有两解D.9b =,10c =,60B = ,⽆解6．在ΔABC 中，已知060,32,2===B b a ，解三⾓形ABC .学案 2 正弦定理（2）教学⽬标：1、掌握公式的变式及三⾓形⾯积公式；2、能灵活运⽤正弦定理解决三⾓形相关问题，⽐如判断三⾓形的形状.教学过程：⼀、回顾练习：（1）在ABC ?中，已知B=60°，2=a ，3=b ，求A .（2）在ABC ?中，已知A =15°，B=120°，12=b ，求a 和c .⼆、正弦定理的变形及⾯积公式：1．正弦定理的变形①__________________________________________________②__________________________________________________③__________________________________________________2．三⾓形的⾯积公式：__________________________________________________三、例题分析：例1．在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,.例2．在ΔABC 中， 30B = ，AB =2AC =，求三⾓形的⾯积.例3．①在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. ②在ΔABC 中，已知B b A a cos cos =，试判断ΔABC 的形状.四、课堂练习：1．在ABC ?中,?=30A ,3=a ，则ABC ?的外接圆半径为（）A ．23B ．3C ．33D ．62．在ΔABC 中，若,3,600==a A 则CB A c b a sin sin sin ++++等于___________. 3．在ΔABC 中，若3:2:1::=C B A ，则_____________::=c b a .4．在ΔABC 中，已知2sin b c B =，求⾓Ｃ.5．根据下列条件，判断ΔABC 的形状：① C B A 222sin sin sin =+；② cC b B a A cos cos sin ==学案 3 余弦定理教学⽬标：1．掌握余弦定理的两种表⽰形式；2．证明余弦定理的向量⽅法；3．运⽤余弦定理解决两类基本的解三⾓形问题．教学过程：⼀、问题探究：问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵AC = ，∴AC AC ?=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．⼆、讲授新知：1．余弦定理：_________________________________；_________________________________；_________________________________．推论：_________________________________；_________________________________；_________________________________．2．利⽤余弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知三边，求三⾓；（2）已知两边和它们的夹⾓，求第三边和其他两个⾓．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B= ，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c，求A．三、典型例题：例1．在△ABC中，已知a=b=45B= ，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2．在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c=变式：在?ABC 中，若222a b c bc =++，求⾓A ．四、课堂练习：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（）2. 已知三⾓形的三边长分别为3、5、7，则最⼤⾓为（）A ．60B ．75C ．120D ．1503.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满⾜222b a c ab +-=，则∠C 等于．4. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最⼤⾓的余弦值．5. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ? 的值.学案 4 正、余弦定理在三⾓形中的应⽤（1）题型⼀利⽤正、余弦定理求边、⾓例1 已知ABC ?中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型⼆判定三⾓形的形状例2 在ABC ?中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，试判断三⾓形的形状.。
数学人教B版必修5学案： 本章整合 第一章解三角形 含
本章整合知识网络专题探究专题一 判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，利用余弦定理的推论如cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 把角的余弦化边，或利用sin A ＝a 2R 把角的正弦化边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边， ①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°； ②若a 2＋b 2>c 2，则∠C <90°； ③若a 2＋b 2<c 2，则∠C >90°；④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2．【应用1】 在△ABC 中， 若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．解析：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理， 得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4．设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m >0)，∵c >b >a ，∴∠C >∠B >∠A ．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4m 2＋9m 2－16m 22×2m ×3m ＝－14<0．∴∠C 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角【应用2】 在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C ． ∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°． ∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得 2sin 60°＝sin(120°－∠C )＋sin C ， 展开，整理得32sin C ＋12cos C ＝1． ∴sin(∠C ＋30°)＝1．∴∠C ＋30°＝90°． ∴∠C ＝60°．故∠A ＝60°． ∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． ∵∠B ＝60°，b ＝a ＋c2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°．整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ．从而a ＝b ＝c ． ∴△ABC 为等边三角形． 专题二 恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．【应用1】 在△ABC 中，求证： (1)a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C；(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．证明：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝ k ，显然 k ≠0，所以，左边＝k 2sin 2A ＋k 2sin 2B k 2sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C ＝右边，即原等式成立．(2)根据余弦定理，右边＝2⎝⎛bc ·b 2＋c 2－a22bc ＋ca ·c 2＋a 2－b 22ca ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝(b 2＋c 2－a 2)＋(c 2＋a 2－b 2)＋(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2＋c 2＝左边，即原等式成立．【应用2】 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝a 2＋b 2＋c 24S．提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．证明：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以cot A ＝cos A sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc sin A ＝b 2＋c 2－a24S，同理可得cot B ＝a 2＋c 2－b 24S ，cot C ＝a 2＋b 2－c 24S ，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝b 2＋c 2－a 24S ＋a 2＋c 2－b 24S ＋a 2＋b 2－c 24S ＝a 2＋b 2＋c 24S． 专题三 三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式： (1)S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ．(3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )⎝⎛⎭⎫其中p ＝a ＋b ＋c 2．【应用】 (2013·重庆高考，文18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc ．(1)求∠A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时∠B 的值． 提示：(1)利用余弦定理求∠A ；(2)利用正弦定理及面积公式将面积S 表示出来，再用三角变换的知识求出最值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32．又因0<∠A <π，所以∠A ＝5π6．(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(∠B －∠C )．所以，当∠B ＝∠C ，即∠B ＝π－∠A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3．专题四 正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．【应用1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos C cos B ＝2a －cb ．(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．解：(1)由cos C cos B ＝2a －c b ＝2sin A －sin Csin B ，得cos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C ． ∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ． ∵sin A ≠0，∴cos B ＝12．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4， ∴(a ＋c )2－3ac ＝7．∴ac ＝3． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334．【应用2】 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧． 解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得 a c ＝2sin A 3＝sin A sin C ．∵sin A ≠0，∴sin C ＝32． ∵△ABC 是锐角三角形，∴∠C ＝π3．(2)∵c ＝7，∠C ＝π3．由面积公式，得12ab sin π3＝332，∴ab ＝6．① 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7．②由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5． 专题五 正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→抽象概括解三角形问题――→推理演算三角形问题的解还原，实际问题的解 【应用1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°． 根据正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝5sin 15°sin 10°≈7．452 4(km)，CD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1．047(km)． 答：山的高度约为1．047 km ．【应用2】如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，∴(14x )2＝ 92＋ (10x )2 －2×9×10x cos 120°， 化简，得32x 2－30x －27＝0． 解得x ＝32或x ＝－916(舍去)．∴BC ＝ 10x ＝15，AB ＝14x ＝21． 又∵sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314，∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)． ∴38°13′＋45°＝83°13′．答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1．5小时才能追赶上该走私船．。
高中数学 第一章 解三角形复习教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
第一章解三角形整体设计教学分析首先了解新课标对本章的定位．解三角形作为三角系列的最后一章，突出了基础性、选择性与时代性．本章重在研究三角形边角之间的数量关系，如正弦定理、余弦定理等．正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具．本章的数学思想方法是一条看不见的暗线，数学思想方法是数学的精髓．在初中，教科书着重从空间形式定性地讨论三角形中线段与角之间的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系，从而较清晰地解决了三角形的确定性问题．本章对两个定理的推导引入中十分强调这一量化思想方法，并选择了更有教育价值的正弦定理和余弦定理的证明方法．本章中融合了学生已学过的大部分几何知识，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想，进一步学习数学奠定了基础．三维目标1．熟练掌握三角形中的边角关系．2．通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力．3．注重思维引导及方法提炼，展现学生的主体作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心．重点难点教学重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形．教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用，及将实际问题转化为数学问题并正确地解出这个数学问题．课时安排1课时教学过程导入新课(直接引入)本节课我们将对全章的知识、方法进行系统的归纳总结；系统掌握解三角形的方法与技巧．由此展开新课的探究．推进新课新知探究提出问题1本章我们学习了哪些知识内容？请画出本章的知识结构图.2解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用？3在解三角形时应用两个定理要注意些什么问题？若求一个三角形的角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎样选择较好？ 4本章中解三角形的知识主要应用于怎样的一些问题？ 5总结从初中到高中测量河流宽度和物体高度的方法. 活动：教师引导学生画出本章知识框图，教师打出课件演示： 从图中我们很清晰地看出本章我们学习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形，由于本章内容实践性很强，之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用．教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下：正弦定理、余弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC， a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.正弦定理、余弦定理的应用：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．在求解一个三角形时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要尽量选择运算量较小，不产生讨论的方法求解．若求边，尽量用正弦定理；若求角，尽量用余弦定理．除了正弦定理、余弦定理外，我们还学习了三角形面积公式S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积．教师利用多媒体投影演示课件如下：教师点拨学生，以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体．实际上，正弦定理只是初中“三角形中大角对大边，小角对小边”的边角关系的量化．余弦定理是初中“已知两边及其夹角，则这两个三角形全等”的量化，又是勾股定理的推广．本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上，应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题．在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时，需注意以下几点：①在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在(0，π)内不严格单调，所以角的个数可能不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解，不多解．②在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时，余弦定理会省去取舍的麻烦，但同时要注意在根据三角函数求角时，应先确定其范围．③在进行边角，角边转换时，注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式．讨论结果：(1)、(2)、(5)略．(3)在应用两个定理求解时，注意与平面几何知识的融合．若求解一个三角形时两个定理都可用，则求边宜选正弦定理，求角宜选余弦定理，但要具体问题具体分析，从中选择最优解法．(4)本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题．应用示例例1判断满足下列条件的三角形形状．(1)acosA＝bcosB；(2)sinC ＝sinA ＋sinB cosA ＋cosB. 活动：教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪些．学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角，(2)化角为边．鼓励学生尽量一题多解，比较各种解法的优劣．解：(1)方法一：用余弦定理，得a×b 2＋c 2－a 22bc ＝b×c 2＋a 2－b 22ca. ∴c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.∴三角形是等腰三角形或直角三角形．方法二：用正弦定理，得sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A＝sin2B.∵A、B 为三角形的内角，∴2A＝2B 或2A ＋2B ＝180°.∴A＝B 或A ＋B ＝90°.因此三角形为等腰三角形或直角三角形．(2)方法一：先用正弦定理，可得c ＝a ＋b cosA ＋cosB，即c·cosA ＋c·cosB＝a ＋b.再用余弦定理，得c·b 2＋c 2－a 22bc ＋c·a 2＋c 2－b 22ac＝a ＋b. 化简并整理，得a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2－ac 2－bc 2＝0，(a ＋b)(a 2＋b 2－c 2)＝0.∵a＞0，b ＞0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.∴三角形为直角三角形．方法二：∵sinA＝sin(B＋C)，sinB＝sin(A＋C)，∴原式可化为sinC·cosA＋cosB·sinC＝sinA＋sinB＝sin(B＋C)＋sin(A＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC＋sinA·cosC＋cosA·sinC.∴sinB·cosC＋sinA·cosC＝0，即cosC(sinA＋sinB)＝0.∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，∴sinA＋sinB≠0.∴cosC＝0.又∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.∴三角形为直角三角形．点评：第(1)题中的第2种解法得出sin2A＝sin2B时，很容易直接得出2A＝2B，所以A＝B.这样就漏掉了一种情况，因为sin2A ＝sin2B中有可能推出2A与2B两角互补，这点应引起学生注意．第(2)题中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选择，但学生不易想到，因此熟悉三角形中sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)等常见结论对解三角形大有益处．变式训练△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB等于( )A.53B.54C.55D.56答案：B解析：由题意得a b ＝52＝sinA sinB ＝sin2B sinB ＝2cosB ，cosB ＝54. 例2在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b)2－c 2，求tanC 的值．活动：本题涉及三角形的面积，面积公式又是以三角形的三边a 、b 、c 的形式给出，从哪里入手考虑呢？教师可先让学生自己探究，学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条件，但三角形面积公式S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA 有三个，代入哪一个呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？显然思路不明．这时教师适时点拨可否化简等式右边呢？这样右边为(a ＋b)2－c 2＝a 2＋b 2－c2＋2ab.用上余弦定理即得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2abcosC ＋2ab ，这就出现了目标角C ，思路逐渐明朗，由此得到题目解法．解：由已知，得(a ＋b)2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab＝2abcosC ＋2ab ＝2×12absinC. ∴2(1＋cosC)＝sinC ，2×2cos 2C 2＝2sin C 2·cos C 2. ∵0°＜C ＜180°，∴0°＜C 2＜90°，即cos C 2≠0. ∴tan C 2＝2.∴tanC＝2tan C 21－tan 2C 2＝41－4＝－43. 点评：通过对本题的探究，让学生认识到拿到题目后不能盲目下手，应先制定解题策略，寻找解题切入口．变式训练在△ABC 中，tanA ＝14，tanB ＝35. (1)求角C 的大小；(2)若AB 边的长为17，求BC 边的长．解：(1)∵C＝180°－(A ＋B)，∴tanC＝－tan(A ＋B)＝－14＋351－14×35＝－1. 又∵0°＜C ＜180°，∴C＝135°.(2)∵tanA＝sinA cosA ＝14，sin 2A ＋cos 2A ＝1,0°＜A ＜90°， ∴sinA＝1717. 由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，∴BC＝AB·sinA sinC＝ 2. 例3将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值．活动：本题是北京西城区的一道测试题，解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤，让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型，然后用相关的数学知识来解决．解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设∠MOA ＝θ，则|MP|＝20sinθ，|OP|＝20cosθ，从而S ＝400sinθcosθ＝200sin2θ，即当θ＝π4时，S max ＝200. 按图(2)的裁法：矩形的一边PQ 与弦AB 平行，设∠MOQ＝θ，在△MOQ 中，∠OQM＝90°＋30°＝120°，(1)(2)由正弦定理，得|MQ|＝20sinθsin120°＝4032sinθ. 又因为|MN|＝2|OM|sin(60°－θ)＝40sin(60°－θ)，所以S ＝|MQ|·|MN|＝1 60033sinθsin(60°－θ) ＝1 60033{－12[cos60°－cos(2θ－60°)] }＝80033[cos(2θ－60°)－cos60°]．所以当θ＝30°时，S max ＝40033. 由于40033＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为40033 cm 2.点评：正弦定理、余弦定理在测量(角度、距离)、合理下料、设计规划等方面有广泛应用．从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决．变式训练设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且acosB ＝3，bsinA ＝4.(1)求边长a ；(2)若△ABC 的面积S ＝10，求△ABC 的周长l. 解：(1)由acosB ＝3与bsinA ＝4，两式相除，得 34＝acosB bsinA ＝a sinA ·cosB b ＝b sinB ·cosB b ＝cosB sinB . 又acosB ＝3，知cosB ＞0， 则cosB ＝35，sinB ＝45.则a ＝5.(2)由S ＝12acsinB ＝10，得c ＝5.由cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝35，解得b ＝2 5.故△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝10＋2 5.知能训练1．在△ABC 中，若b ＝2a ，∠B ＝∠A ＋60°，则∠A ＝__________.2．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2，c b ＝12＋3，求∠A 和tanB 的值．答案：1．30° 解析：由正弦定理，知a sinA ＝bsinB ，∴1sinA ＝2sin A ＋60°，2sinA ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. ∴tanA＝33.∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝30°. 2．解：由余弦定理和已知条件，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝60°，且∠B＝180°－∠A－∠C ＝120°－∠C.由正弦定理和已知条件，得sinC sinB ＝sin120°－BsinB＝3cosB ＋sinB 2sinB ＝3cosB 2sinB ＋12＝12＋3，∴tanB＝12.∴所求∠A＝60°，tanB ＝12.课本本章小结巩固与提高1～8.课堂小结先由学生总结本节课对全章的复习都有哪些收获和提高？解决本章的基本问题都有哪些体会？可让若干学生在课堂上介绍自己的复习心得．教师进一步画龙点睛，总结解题思路：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘．作业1．巩固与提高9～12 2．自测与评估1～7设计感想本教案设计注重了优化知识结构，进一步加深对知识的巩固．在此过程中，学生对思想方法的领悟也更具深刻性；注重对学生抽象思维、发散思维的培养训练．通过一题多解训练了学生对事物现象选择角度地观察，从而把握事物的本质．本教案设计意图还按照习题的内容分类处理进行；注重了思维引导及方法提炼，展现了学生的主体作用，关注学生愉悦情感的积极体验，深挖了三角形本身内在美的价值，意在激发学生强烈的探究欲望，培养学生积极的向上心态．备课资料一、与三角形计算有关的定理 1．半角定理在△ABC 中，三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系： tan A 2＝1p －ap －ap －b p －cp，tan B 2＝1p －b p －a p －b p －c p ， tan C 2＝1p －cp －ap －b p －cp，其中p ＝12(a ＋b ＋c)．证明：tan A 2＝sinA 2cosA 2，因为sin A 2＞0，cos A2＞0，所以sin A2＝1－cosA2＝121－b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b －c24bc＝a ＋b －ca －b ＋c4bc.因为p ＝12(a ＋b ＋c)，所以a －b ＋c ＝2(p －b)，a ＋b －c ＝2(p－c)．所以sin A2＝p －bp －cbc.而cos A 2＝1＋cosA2＝121＋b 2＋c 2－a 22bc＝b ＋c 2－a24bc＝b ＋c ＋ab ＋c －a4bc＝pp －abc ，所以tan A2＝sin A 2cos A2＝p －bp －cbc pp －a bc＝p －b p －c p p －a＝1p －a p －a p －b p －cp .所以tan A 2＝1p －ap －ap －b p －cp.同理，可得tan B 2＝1p －b p －a p －b p －cp ，tan C 2＝1p －cp －ap －b p －cp.从上面的证明过程中，我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式：sin A 2＝p －bp －cbc，cosA 2＝pp －abc.同理，可得sin B2＝p －ap －cac，sin C2＝p －ap －bab，cos B 2＝p p －b ac ，cos C2＝pp －cab.2．用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如图)，已知三边a 、b 、c ，如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t a 、t b 和t c ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：t a ＝2b ＋cbcpp －a；t b ＝2a ＋cacpp －b；t c ＝2a ＋babpp －c ，其中p ＝12(a ＋b ＋c)．证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD ＝x ，DC ＝y ，那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t a 2＝b 2＋y 2－2bycosC ，①根据三角形内角平分线的性质，得c b ＝x y ，所以c ＋b b ＝x ＋yy .因为x ＋y ＝a ，所以c ＋b b ＝a y .所以y ＝abb ＋c .②将②代入①，得t a2＝b 2＋(ab b ＋c )2－2b(abb ＋c)cosC＝b 2b ＋c2[b 2＋c 2＋2bc ＋a 2－2a(b ＋c)cosC]．因为cosC ＝a 2＋b 2－c22ab ，所以t a 2＝b 2b ＋c 2[a 2＋b 2＋c 2＋2bc －2a(b ＋c)·a 2＋b 2－c 22ab] ＝bc b ＋c2(b 2＋c 2＋2bc －a 2)＝bc b ＋c2(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝bc b ＋c2·2p·2(p－a)＝4b ＋c2·bcp(p－a)．所以t a ＝2b ＋cbcpp －a .同理，可得 t b ＝2a ＋cacpp －b，t c ＝2a ＋babpp －c.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式． 3．用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中，已知三边a 、b 、c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是R ＝abc p p －ap －bp －c.证明：因为R ＝a 2sinA ，S ＝12bcsinA ，所以sinA ＝2Sbc .所以R ＝a 2sinA ＝abc4S ＝abc p p －ap －bp －c.二、备选习题1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a∶b∶c＝3∶3∶5，则2sinA －sinBsinC等于… ( )A ．－15B ．－23 C.35D ．不是常数2．△ABC 的周长等于20，面积是103，∠A＝60°，∠A 的对边为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.324．已知在△ABC 中，∠B＝30°，b ＝6，c ＝63，则a ＝__________，S △ABC ＝__________.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA ＝__________.6．对△ABC，有下面结论：①满足sinA ＝sinB 的△ABC 一定是等腰三角形；②满足sinA ＝cosB 的△ABC 一定是直角三角形；③满足a sinA ＝b sinB＝c 的△ABC 一定是直角三角形．则上述结论正确命题的序号是__________．7．在△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．8．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bcosB ＋ccosC ＝acosA ，试判断△ABC 的形状．参考答案：1．C 解析：设a ＝3k ，则b ＝3k ，c ＝5k.∴2sinA －sinB sinC ＝2a －bc ＝2×3k－3k 5k ＝35.2．C 解析：∵a＋b ＋c ＝20，∴b＋c ＝20－a ，即b 2＋c 2＋2bc ＝400－40a ＋a 2.∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc.又∵cosA＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc.又∵S △ABC ＝12bcsinA ＝103，∴bc＝40.将b 2＋c 2－a 2＝bc 和bc ＝40，代入b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ，得a ＝7.3．D 解析：由余弦定理，得cosA ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC·AB ＝4＋9－102×2×3＝14，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cosA＝2×3×14＝32. 4．a ＝6，S ＝93或a ＝12，S ＝18 3 解析：由正弦定理，得b sinB ＝c sinC ，∴sinC＝c b sinB ＝32.∴∠C＝60°或∠C＝120°. 当∠C＝60°时，则∠A＝90°，因此a ＝12，S ＝12acsinB ＝183；当∠C＝120°时，则∠A＝30°，因此a ＝6，S ＝12acsinB ＝9 3.5.33解析：由正弦定理，得(3b －c)cosA ＝(3sinB －sinC)cosA ＝sinA·cosC， 即3sinBcosA ＝sinA·cosC＋sinC·cosA， ∴3sinB·cosA＝sin(A ＋C)＝sinB.∴cosA＝33.6．①③7．解：如图，在△ABC 中，∠BAD＝150°－60°＝90°， ∴AD＝2sin60°＝ 3.在△ACD 中，AC 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150°＝7， ∴AC＝7.∴AB＝2cos60°＝1，S △ABC ＝12×1×3×sin60°＝334. 8．解：∵bcosB＋ccosC ＝acosA ，由正弦定理，得sinBcosB ＋sinCcosC ＝sinAcosA ，即sin2B ＋sin2C ＝2sinAcosA ，∴2sin(B＋C)cos(B －C)＝2sinAcosA. ∵A＋B ＋C ＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA ，即cos(B －C)＋cos(B ＋C)＝0.∴2cosBcosC＝0.∵0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴B＝π2或C ＝π2，即△ABC 是直角三角形．。
2019新人教B版必修五第一章《解三角形》word教案
2019新人教B版必修五第一章《解三角形》word教案（一）教学目标：（1）运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（3）培养学生分析问题、解决问题，自主探究的能力。
（二）教学重点与难点：重点：（1）正弦定理与余弦定理的应用。
（2）题目的条件满足什么形式时适合用正弦、余弦定理解决问题。
难点：（1）利用正弦定理求解过程中一解、二解的情况。
（2）从实际问题抽象出数学问题。
（三）教学过程：观察引入：B？让学生观察思考：在△ABC中，请给出适当的条件，并根据你给出的条件可以得到什么结论？（培养学生自主探究和学习的能力）根据学生所答，教师归纳总结正弦定理，余弦定理公式：（正弦定理）正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
（余弦定理）余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三边；（2）已知两边及夹角.（四）例题精讲：让学生自主探究，分析问题，解决问题。
（可用正、余弦2种方法解决，注意解的个数） 例2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西300，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（角度精确到10）根据题目要求把实际问题转化成解三角形问题，对应的边长和角度可从已知条件中获得。
（五）课堂练习：1.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定2.中，，，，则等于 （ ）A B C 或 D 或3.△ABC 中，若，，则等于 （A 2BC D4.中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ）A B C D5.果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定145,,.ABC a b B A C c ︒∆===例在中，已知求和参考答案：1．C 2。
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人教B 版必修五 解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理；2.并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题．【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有， 1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bc a c b A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式： （1）π=++C B A ； （2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】1.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】例1、（2010辽宁文数）在ABC、、的对边，且、、分别为内角A B C∆中，a b=+++.a Abc B c b C2sin(2)sin(2)sin（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sin sin1∆的形状.+=，试判断ABCB C例2、（2010重庆文数）设ABC∆的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b+32c-32a(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C A ππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积. 【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。
（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cos A=-13，求sin4B3π⎛⎫+⎪⎝⎭的值。
2．（2010浙江文数）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足222)4S a b c =+-。
（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。
【家庭作业】1.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为（ ）A.58B.85 C.35D.532.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a 等于（ ） A.6B.2C.3D.23.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .4.下列判断中正确的是（ ）A.△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解5.（湖北卷）设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C ===（Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值6.在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．知识点三：正余弦定理的应用（2）【典例精析】例1、（2011四川文数）在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B+ sin 2C-sinBsinC,则A 的取值范围是( )A.(0,]6πB.[,)6ππC.(0,]3πD.[,)3ππ例2、（2011全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. (1)求B ；(2)若075,2,A b ==a c 求，.例3、（2011山东文数）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a =cos B b.(1)求sin sin C A 的值；(2)若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【变式训练】1.（2011辽宁文数）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2。
（I ）求ba；（II ）若c 2=b 22，求B 。
2.（2011江西文数）在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a c o s c o s c o s 3+=.（1）求A cos 的值；(2)若332cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值．3．（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.【典例精析】例1、（2009重庆）设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量s i n ,s i n )A B =m ，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ ） A.6πB.3πC.23πD.56π例2、（2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b =．（1）求C ；（2）若1CB CA ⋅=a ,b ，c ．例3、（2010安徽文数）ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A =。
(Ⅰ)求向量AB 与向量AC 的内积；(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。
【变式训练】1.（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos25A =， 3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若1c =，求a 的值．【典例精析】例1、（2011天津文数）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2.B C b ==(1)求cos A 的值；(2)cos(2)4A π+的值．例2、（2009四川文数）在ABC ∆中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且3cos 2,sin 5A B ==.（I ）求A B +的值；（II ）若1a b +=，求,,a b c 的值。
例3、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B.【变式训练】1．（2009 全国）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b.【家庭作业】1.（2011福建文数）若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_________.2.（2011北京文数）在△ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 3.（2011全国Ⅱ文数）△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 .4.(2010广东文数)，，所对的边，若，，的三个内角分别是、、已31==∆b a C B A ABC c b a ，B C A 2=+则=A sin .5.（2010北京文数）在ABC ∆中。
若1b =，c =23c π∠=，则a= .6.（2010山东文数）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =,sin cos B B +则角A 的大小为 .7.（2009天津卷文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===(1)求AB 的值；(2)求)42sin(π-A 的值.8.（2010浙江理数）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值； (Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．9．（2009 北京）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b == （I ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积。