北京理工大学2010-2011学年第二学期数学物理方程与特殊函数期末试题(A卷)
北京理工大学大学物理(下)历年期末试卷答案
2分
当 x =NR 时，小线圈回路中的感应电动势为
Ei 30 r 2 Iv / (2 N 4 R2 )
1分
22．(10 分) 解 设粒子被禁闭在长度为 a 的一维箱中运动形成驻波，根据驻波条件有
an
n
2
n 1.2.3
pn h
（2 分）
由德布罗意关系式可知
n
所以定态动能为量子化的，量子化能级为
2007 级大学物理期末试题 A 卷答案
考试时间：2009 年 1 月 一、选择题 C D C D D B D C B C B C C 二、填空题
Q 1 1 1 1 4 0 r1 R1 r1 R r 2 R r 2 R2
14.
15. 16. 17. 18.
6 7 x l x dx 0.23 l 27
23.（高三物理题 orz…） 2nsh nsh 答案：(1) (2) mλ mλ 解析：光子垂直射到太阳帆上再反射，动量变化量为 2p，据动量定 理和牛顿第二定律进行计算．若太阳帆是黑色的，光子垂直打到太阳 帆上不再反弹． (1)光子垂直射到太阳帆上再反射，动量变化量为 2p，设光对太阳帆 压力为 F，单位时间打到太阳帆上的光子数为 N，则 N＝nS，由动量 定理有：FΔt＝NΔt·2p 所以 F＝N·2p h 2nSh 而光子动量 p＝ ，所以 F＝ λ λ 由牛顿第二定律可得飞船加速度的表达式为
C
0 r S
d
C 0 r 2 7.7 10 3 F / m S d
C 2.4 10 7 F
S 2Rl
q CV 2.2 10 8 C
利用柱形电容器及 D 的高斯定理计算正确者同样得分（答案相同） 。
数学物理方程与特殊函数试题及答案
数学物理方程与特殊函数试题及答案猜你喜欢： 1. 2. 3. 4. 5.数学物理方程与特殊函数是一门专业性比拟强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好数学物理方程与特殊函数。
下面是给大家的数学物理方程与特殊函数试题及答案，欢送大家学习参考。
1.对于一般的二阶线性偏微分方程0(1) 它的特征方程为，假设在域内ACB那么此域内称(1) 椭圆型假设在域内B那么此域内称(1)为抛物型假设在域内 B 那么此域内称(1)为双曲型。
2. 第一类格林公式第二类格林公式 . 已那么 ;而函数按1xP的展开式4.一维热传导方程可用差分方程似代替。
二维拉普拉斯方程可用差分方0 近似代替。
5. 勒让德多项式的正交性???。
二.用别离变量法求?的解。
(15分) 解：用别离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被别离形式的特解为tTxXtxu?代入方程(1)上式左端不含有x，右端不含有t，从而得到两个线性常微分方程解(6)得 x由(2)得，及相应的固有函数为xlnBxXnn?sin? 7?? ，再由(5)得，? 由(7)，(8)得由(1)，(3)得又由(3) 得所以，原定解问题的解为?三.求方程? 的解。
(15分) 解：对(1)两端积分的通解为任意二阶可导函数，令(4)满足(2)，(3)得解之得6(5)，(6)代入(4)得u 四.求柯西问题的解。
(12分) 解;先确定所给方程的特征线。
为此，写出它的特征方程 dy2-2dxdy-3dx20 它的两族积分曲线为作特征变换4?经过变换原方程化它的通解为中21ff 是两个任意二次连续可微的函数。
方程(1)的通解为由(2。
北京理工大学(已有10试题)
北京理工大学信息科学技术学院自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002微机控制与应用技术2002——2008控制工程基础2003——2008物理光学2003——2004，2007——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002大学物理2006——2008精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）激光原理1999——2001，2005——2008电子电路2003——2005，2007——2008电路分析基础1999——2000信号处理导论2003——2008信号与系统1996——2002半导体物理学1999——2008电磁场理论1999——2000，2002——2008微机原理及应用2004——2005电动力学2003——2004理论力学1996——2008（96——98非原版）生物化学1999——2008（注：2007年试卷共11页，缺P5-6页）生物化学（A）2005——2006，2008计算机专业基础（含计算机组织与结构、数据结构）2007计算机技术基础（含计算机组成原理、操作系统和数据结构）2003——2006计算机原理（含操作系统）1999——2002程序设计1999——2000计算机系统结构基础（含计算机组成原理、计算机网络和数据结构）2004——2005 软件理论基础（含离散数学、操作系统、数据结构）1999——2005数据结构与程序设计2004——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000机电工程学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008电子技术基础2007——2008自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004电磁学2005——2008量子力学2005——2008运筹学2001——2008工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005数学物理方程2002——2006数学物理方法2000材料力学1997——1999，2002——2008理论力学1996——2008（96——98非原版）电动力学2003——2004微机控制与应用技术2002——2008控制工程基础2003——2008精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002微机原理及应用2004——2005有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学2003——2008高分子物理2005——2008高分子化学及高分子物理2003——2004安全系统工程2003——2005，2008工程热力学（不含传热学）2003——2008爆炸与安全技术2005爆炸及其作用2006爆轰理论2003——2005化学2002——2005传感与测试技术2004——2005算法语言1998微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000传热学2000应用电子技术2004机械与车辆工程学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008 电子技术基础2007——2008自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004机械设计2001——2008机械设计原理2001机械制造工程基础2003——2008机械制造工艺学2002理论力学1996——2008（96——98非原版）微机控制与应用技术2002——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）电路分析基础1999——2000模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002精密机械设计2003——2008（其中2003年称“精密机械基础”）控制工程基础2003——2008微机原理及应用2004——2005工程热力学（不含传热学）2003——2008物理化学2003——2008工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005交通运输系统工程学2005，2007——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000数字电路与数字信号处理2008材料科学与工程学院物理化学（A）2008高分子物理2005——2008高分子化学及高分子物理2003——2004材料科学基础2003——2007材料力学1997——1999，2002——2008普通化学2008综合化学2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006理论力学1996——2008（96——98非原版）电化学原理2003——2006微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000化工与环境学院自动控制理论1999——2000，2002——2008自动控制理论（非控类）2004过程控制原理2000——2005，2007——2008化工原理2002——2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学2003——2008电化学原理2003——2006环境微生物学2007——2008工程热力学（不含传热学）2003——2008微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000生命科学与技术学院生物化学1999——2008（注：2007年试卷共11页，缺P5-6页）生物化学（A）2005——2006，2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006细胞生物学2004——2006微生物学2005——2008分子生物学2007——2008有机化学1997——2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008药理学2007信号处理导论2003——2008信号与系统1996——2002电子电路2003——2005，2007——2008物理光学2003——2004，2007——2008应用光学1999——2008，2010（2010为回忆版）波动光学2002信号理论基础2007——2008计算机专业基础（含计算机组织与结构、数据结构）2007计算机技术基础（(含计算机组成原理、操作系统和数据结构）2003——2006计算机原理（含操作系统）1999——2002程序设计1999——2000计算机系统结构基础（含计算机组成原理、计算机网络和数据结构）2004——2005 软件理论基础（含离散数学、操作系统、数据结构）1999——2005数据结构与程序设计2004——2008理学院电子技术（含模拟、数字部分）1999——2000，2002——2008大学物理2006——2008数学分析1995，1999——2000，2003——2008高等代数2003——2008电磁学2005——2008量子力学2005——2008电动力学2003——2004普通化学2008综合化学2008无机化学（A）2003——2007无机化学（B）2003——2005，2007——2008分析化学2003——2008分析化学(A)2006物理化学（A）2008物理化学2003——2008有机化学1997——2008理论力学1996——2008（96——98非原版）材料力学1997——1999，2002——2008工程热力学（不含传热学）2003——2008数学物理方程2002——2006数学物理方法2000电路分析基础1999——2000模拟电子技术与数字电子技术2000——2002模拟与数字电路1999——2000，2002激光原理1999——2001，2005——2008微机控制与应用技术2002——2008爆炸与安全技术2005爆炸及其作用2006电化学原理2003——2006工程力学基础2007——2008流体力学基础2006工程流体力学2005微波技术基础1999——2000晶体管理原理与制造1999——2000管理与经济学院宏微观经济学2008管理学2003——2008（2003，2004名称叫做“管理学基础”。
北京理工大学 数理方程2013年B卷
课程编号： 07000125 北京理工大学2012-2013学年第二学期2011级数学物理方程与特殊函数期末试题（B 卷）班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________一、简答下列各题（直接写出结果，无需推导求解，每题5分，共计15分）：1. 设Ω是二维空间中一物体，闭曲线S 是其边界，物体表面绝热。
请写出稳恒状态下物体的温度分布所满足的定解问题。
2.长度为1的均匀细弦作自由振动，两端固定，弦的初始位移为()f x ，初始速度为()g x . 请写出该振动的定解问题。
3.半径为R 的薄圆盘侧面绝热，圆盘边界上的温度保持为零度，初始温度为21r R ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 其中r 为圆盘内任一点的极半径。
试写出极坐标系下圆盘的温度分布规律。
二、（15分）用分离变量法求解如下定解问题：222202cos , 0, 0,0,0.x x x x l t t t u u xx l t t x l u u u u π====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩三、（15分）用特征线法解下列定解问题：2222200540, , 0,|0, 2.y y u u ux y x x y y u u x y ==⎧∂∂∂++=-∞<<+∞>⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩四、（15分）用积分变换法求解如下定解问题：2200,0,,|().t u ut x t x u x ϕ=⎧∂∂-=>-∞<<+∞⎪∂∂⎨⎪=⎩24x a t-的傅里叶变换为22a teω-, 其中a 为常数。
五、（15分）求拉普拉斯方程第一边值问题在半空间x a >内的格林函数，并求解定解问题：0,()().xx yy zz u u u x a u a y z f y z y z ++=>⎧⎨=-∞<<+∞⎩，，，，， ，六、（15分） 设 (1,2,3,)i i α= 是零阶贝塞尔函数0()J x 的正零点，请将函数2()(01)f x x x =≤≤ 展开成贝塞尔函数0()i J x α的级数。
高数2-期末试题及答案
北京理工大学珠海学院2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 2234ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 223x xy y ++.则 2u x y ∂∂∂ =分析：u x∂∂ = 22x y +, 则2u x y ∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y∂∂ 12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ， 则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =-则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Qx∂=-∂，1P y ∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此1130xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。
北京理工大学《高等数学》历年期末考试试题及答案解析(精编版)
x = (t − 1)et 八. 设曲线 C 的方程为 y = 1 − t4
求
dy dx
,
d2y dx2
及曲线
C
在参数
t
=
0
对应点处
–2/48–
第 1 部分 北京理工大学试题集
的曲率半径.
九. 设 f ′(x).
f (x)
=
1 x
−
ex
1 −
1,
x
<
0
1
−
1 c2os x
x
,
, x
x= >0
等于
mg k
.
∫1
十一. 设 f (x) 在 [0, 1] 上连续, 在 (0, 1) 内可导, 且满足 f (1) = 2 2 xe1−x f (x)dx, 证明:
0
至少存在一点 ξ, 使得 f ′(ξ) = (1 − ξ−1) f (ξ).
1.2 2011 级秋季学期期末试卷
一. 填空题
1. 极限 lim
x→0
x
− ln(1 x2
+
x)
=
2. 设 y
=
x2 + ln x, 则
dx dy
=
dy =
∫∞
3. 广义积分
e
dx x ln2
x
=
4.
微分方程
y′′
=
1
1 + x2
的通解为
; lim
1
∫
x
(1
+
sin
2t)
1 t
dt
=
.
x→0 x 0
√ ; 设 f 可导,y = f (tan x) + 1 − x2, 则
北京理工大学2009-2010学年第二学期工科数学分析期末试题(A卷)答案
2009-2010第二学期工科数学分析期末试题解答(A 卷)一.1.11,65arccos(2分,2分)2.(1,2,7),4(2分,2分)3.25-,}52,51{-(2分,2分)4.∑∞=+--01)1(4)1(n nn n x ,∑∞=---+11)1(4)1(4ln n nn n x n (2分,2分)5.dy dx 2-,}2,1{-(2分,2分)6.x x y ln ,34ln(2分,2分)7.0，ππ324+，0，12+π(1分，1分，1分，1分)二.⎰=Ly dlx I μ2…………………….(2分)⎰+=15322)1(1dxx x μ……………………(6分)μμ35611532=+=⎰dx x x ……………………(9分)三.设V 在第一卦限部分为1V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==122486V VdVx dV x I ……………(3分)⎰⎰⎰---=yx xdzdy dx x 101010248……………..(6分)⎰⎰---=xdyy x dx x 10102)1(48………………..(7分)⎰-=1022)1(24dx x x …………………(8分)54=…………………(9分)四.令02==∂∂x xz，014=-=∂∂y yz………………(2分)解得0=x ,41=y ,得驻点)41,0(,………………..(3分)由122=+y x ，得221y x -=，代入目标函数得62+-=y y z )11(≤≤-y ………………..(4分)令012=-=y dydz，得21=y ，此时23±=x ，得两点)21,23(±………..(6分)当1±=y 时，0=x ，得两点)1,0(±………………..(7分)83941,0(=z ，42321,23(=±z ，8)1,0(=-z ，6)1,0(=z 8max =z ，839min =z ……………..(9分)五．由题意,有yXx Y ∂∂=∂∂……………………….(1分)λλλλλλλλ2121)()()33()(3)()()3()(3y x y x y y x y x y x x y y x ++--+=++--+---…….(3分)即033=--+y x y x λλ，3=λ…………………….(4分)1),()1,1(33)(3)(3),(C dy y x xy dx y x x y y x u y x ++-++-=⎰…………………….(6分)11313)(3)(3C dy y x x y dx y x xy x++-++-=⎰⎰……………………(8分)C y x yx ++-=2)(……………………(10分)注：没有加C 不扣分。
北京理工大学2010-2011学年第二学期工科数学分析期末试题(A卷)
课程编号：MTH17004, MTH17006北京理工大学2010-2011学年第二学期工科数学分析期末试题（A 卷）班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________(本试卷共6页, 十一个大题，试卷后面空白纸撕下作草稿纸)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 已知3||=a ，26||=b ，72||=⨯b a，且a 与b 的夹角是钝角，则=⋅b a ______。
2. 设x yz ye y x u z ln 2++=，则=)1,1,1()grad (div u ______________。
3. 已知向量c b a,,不共面，但向量c a c b b a +++λ,,2共面，则=λ _________。
4. 设L 是曲线1,,3===z t y t x 上从)1,0,0(A 到)1,8,2(B 的一段，若将⎰++=Lzdz ydy dx x I 2化成第一类曲线积分，则有=I _________________________。
5. 变量替换x y v x u ==,可将微分方程z yzy x z x =∂∂+∂∂化成 ________________________。
二. (9分) 交换积分次序并计算⎰⎰=yyxdx xe dy I 1。
三. (9分) 求函数y y y x y x f -+=2221),(的极值和极值点。
四. (9分)设方程523=+-y xz z 确定函数),(y x z z =，求yx z∂∂∂2。
五. (9分) 在曲面xy z =上求一点，使曲面在此点处的切平面垂直于直线13211zy x =-=+，并写出切平面方程。
六. (8分) 证明方程0ln 1=+-xdy x dx yx y y 是全微分方程，并求出通解。
七. (10分) 求幂级数∑∞=-+11)1(n n x n n 的收敛域及和函数。
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课程编号： 07000125 北京理工大学2010-2011学年第二学期
2009级数学物理方程期末试题（A 卷）
班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________
一、简答下列各题（直接写出结果，无需推导求解，每题6分，共计18分） 1. 长为2l 的均匀细杆，侧表面绝热，x l =-端有恒定热流q 进入，x l =端绝热，杆
的初始温度为σ( x ), 试写出这个热传导问题的定解问题。
2. 一圆环形平板内半径为r ，外内半径R ，其上下侧面绝热，内部无热源。
若其内
圆周边上的温度保持为1度，外圆周边绝热，请写出平面极坐标下该圆环形平板的稳恒温度分布的定解问题。
3. 长为2的均匀弦在阻尼介质中做微小横振动，已知阻尼力与速度成正比，即
u
F R
t
∂=-∂，R 为阻力系数。
弦在0x =一端自由，在2x =按照sin t 的规律做简谐振动，初位移、初速度都为零，试写出弦的阻尼振动问题。
二’ （15分）用分离变量法求解如下定解问题：
22
222000sin 20,0|0,|0 |0,|0
t t t x x l
u u
a x x t t x u u u u π====∂∂⎧-=<<>⎪∂∂⎪
==⎨⎪==⎪⎩
三、（15分）设,0x y -∞<<+∞>，求解定解问题：
2222200210, 2y y u u u
x x y y u u x
y ==⎧∂∂∂--=⎪∂∂∂∂⎪
⎨
∂⎪==⎪∂⎩
四、（15分）设()u u x y =，，用积分变换法求解下面问题：
222222000,()lim 0y x y u u y x x y u h x u =+→∞⎧∂∂+=>-∞<<∞
⎪∂∂⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
五、（15分）求拉普拉斯方程在半空间x a >内的格林函数；并求解定解问题：
2222220()(,)u u u
x a
x
y z u a y z y z y z ψ⎧∂∂∂++=>⎪∂∂∂⎨⎪=-∞<<∞⎩
，，，， ， 六（15分） 设(1,2,)i i α= 是零阶贝塞尔函数0()J x 的正零点，将函数
2
()1(01)
f x x x =-≤≤ 展开成贝塞尔函数0()i J x α的级数
七、（10分）在扇形域0,1r θα<<<内求解稳恒热传导问题，已知其满足如下条件：
01
|0,|0,r u u u u r θθαθ===∂⎛⎫
==+=- ⎪∂⎝⎭。