2021届一轮复习人教A版 数列的函数特性 学案
第2课时 数列的函数特性几种数列的概念(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为 递增 数列， 递减 数列， 摆动 数列和 常 数列．(2)一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 a n ＋1>a n ，那么这个数列叫作 递增 数列．(3)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 a n ＋1<a n ，那么这个数列叫作 递减 数列．(4)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作 摆动 数列．(5)如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫作 常 数列．Y 预习自测u xi zi ce1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( C ) A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，…D ．1,2,3,4，…，30[解析] 数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．2．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( A ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列[解析] 由已知得a n ＋1－a n ＝3>0，故{a n }为递增数列． 3．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是( B ) A ．1214B ．30C ．31D ．32[解析] a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1122＋1214，∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或6时，a n 取最大值30，故选B ． 4．已知数列{2n3n ＋1}，那么这个数列是( A )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列[解析] 因为a n ＋1－a n ＝2n ＋13n ＋1＋1－2n 3n ＋1＝23n ＋43n ＋1>0，所以a n ＋1>a n ，故该数列是递增数列．5．已知数列的通项公式为a n ＝－4n ＋10，则数列是 递减 数列．(填递增或递减) [解析] ∵a n ＋1－a n ＝－4(n ＋1)＋10－[－4n ＋10]＝－4<0. ∴a n ＋1<a n ，∴数列为递减数列．H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨数列的表示法的应用例题1 (1)根据数列的通项公式填表：n 1 2 … 5 …… na n… (153)…3(3＋4n )(2)n n [分析] (1)根据数列的通项公式，代入相应的n 值得到所求的项，解关于n 的方程得项对应的n 值．(2)在直角坐标系下，描出点(n ，a n )．[解析] (1)由第n 项可知此数列的通项公式为：a n＝3(4n＋3)，所以a1＝3×(4×1＋3)＝21，a2＝3×(4×2＋3)＝33，a5＝3×(4×5＋3)＝69.令3(4n＋3)＝153，解得n＝12.故填充完整的表格为：n 12…5…12…na n2133…69…153…3(3＋4n)(2)∵n n－1n 1234…a n13927…『规律总结』(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系．(2)数列a n＝3n－1的图像是函数y＝3x－1(x>0)上的无穷多个孤立的点．〔跟踪练习1〕已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，作出该数列的图像．[解析] 分别取n＝1,2,3，…，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)，…，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上的一些等间隔的点．命题方向2 ⇨数列单调性的判断例题2 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：此数列为递增数列．[分析]作差计算a n＋1－a n，并判断a n＋1－a n的符号，从而确定数列{a n}的增减性．[证明] 对于任意n∈N＋，由公式a n＝n2n2＋1，有a n＋1－a n＝n＋12n＋12＋1－n2n2＋1＝[1－1n＋12＋1]－(1－1n2＋1)＝1n2＋1－1n＋12＋1＝n＋12－n2n2＋1[n＋12＋1]＝2n＋1n2＋1[n＋12＋1]>0，即a n＋1>a n(n∈N＋)．故数列{a n}是递增数列．『规律总结』判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，即通过判断一个数列{a n}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的单调性．(1)利用作差比较法①若a n＋1－a n>0恒成立，则数列{a n}是递增数列；②若a n＋1－a n<0恒成立，则数列{a n}是递减数列；③若a n＋1－a n＝0恒成立，则数列{a n}是常数列．(2)利用作商比较法①若a n>0则当a n＋1a n>1时，数列{a n}是递增数列；当a n＋1a n<1时，数列{a n}是递减数列；当a n＋1a n＝1时，数列{a n}是常数列．②若a n<0，则当a n＋1a n<1时，数列{a n}是递增数列；当a n＋1a n>1时，数列{a n}是递减数列．③当a n ＋1a n＝1时，数列{a n }是常数列．〔跟踪练习2〕已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ [解析] (1)对任意n ∈N ＋， ∵a n ＋1－a n ＝1n ＋12＋5n ＋1＋4－1n 2＋5n ＋4＝－2n ＋3[n ＋12＋5n ＋1＋4]n 2＋5n ＋4<0，∴数列{a n }为递减数列． (2)令a n <0，即1n 2＋5n ＋4<0，∴n 2＋5n ＋4<0， 解得－4<n <－1，而n ∈N ＋，故数列{a n }没有负数项．命题方向3 ⇨数列中的最大(小)项问题例题3 (1)求数列a n ＝－2n 2＋29n ＋3的最大项；(2)求数列a n ＝n 2－7n ＋50的最小项．[分析] 由于所给数列的通项公式均为n 的二次函数，因此可利用二次函数方法求最值，也可以利用a n ≥a n ＋1且a n ≥a n －1建立关于n 的不等式组求出n ，然后求最大项．[解析] 方法一：(1)由已知得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.又∵n ∈N ＋，∴当n ＝7时，a n 有最大值108. ∴数列a n 中的最大项为a 7＝108. (2)∵a n ＝n 2－7n ＋50＝(n －72)2＋1514，∴当n ＝3或4时，数列中的项最小， 即最小的项为a 3＝a 4＝42－7×4＋50＝38.方法二： (1)设数列中第n 项最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.即⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋29n ＋3≥－2n ＋12＋29n ＋1＋3，－2n 2＋29n ＋3≥－2n －12＋29n －1＋3.解得274≤n ≤314.又n ∈N ＋，故n ＝7.此时a 7＝108为最大值． (2)设数列{a n }中第n 项最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－7n ＋50≤n －12－7n －1＋50，n 2－7n ＋50≤n ＋12－7n ＋1＋50，∴3≤n ≤4.∴当n ＝3或n ＝4时，a n 有最小值． 此时，a 3＝a 4＝38.『规律总结』 (1)数列是一种特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N ＋这一约束条件．(2)本题常见的错误是：由a n ＝－2(n －294)2＋10818得a n 的最大项为10818，忽略了定义域是正整数集这一条件．(3)已知数列的通项公式求数列的最大(小)项，可利用若a n 是数列中的最大项，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ∈N ＋且n ≥2)成立；若a n 是数列中的最小项，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n∈N ＋且n ≥2)成立．〔跟踪练习3〕已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解析] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，∴n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.命题方向4 ⇨数列的周期性例题4 若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则该数列的前2 019项的乘积a 1·a 2·…·a 2 019＝ 3 .[分析] 运用归纳猜想的方法，可以发现该数列是一个周期数列． [解析] 由题意可知a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，所以a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝1－31＋3＝－12，a 4＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋131－13＝2，….可知该数列是一个周期为4的数列，并且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，所以a 1·a 2·…·a 2 019＝a 1a 2a 3＝3.『规律总结』 若存在非零整数T ，使得a m ＋T ＝a m 对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{a n }为周期数列，其中T 叫作数列{a n }的周期．〔跟踪练习4〕已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0<a n <122a n－112≤a n <1，若a 1＝67，则a 2020＝( C )A ．67 B ．57 C ．37D ．27[解析] a 1＝67，a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37.a 4＝2a 3＝67，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，于是a 2 019＝a 3＝37.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题5 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，求该数列中的数值最大的项．[误解] 误解一：a n ＝－2n 2＋21n ＝－2(n －214)2＋4418，∴a n 的最大值为4418，∴该数列中数值最大的项为4418. 误解二：a n ＝－2n 2＋21n ＝－2(n －214)2＋4418，∵n ∈N ＋，∴n ＝5或6时，a n 最大，∴该数列中数值最大的项为第5项或第6项．[辨析] 误解一注意到了数列是函数可用二次函数求最值的方法，求数列中的最大(小)项，但忽视了数列中，自变量n 只能是正整数，n 取不到214.误解二注意到了数列是特殊的函数，运用二次函数求最值的方法，求数列中的最大(小)项也注意到了n ∈N *，但没注意到n ＝5和n ＝6时，哪一个距离n ＝214更近，从而找出最大项，另外把求最大项的值误为求最大项的项数．[正解] a n ＝－2(n －214)2＋4418，∵n ∈N *，∴当n ＝5时a n 最大， ∵a 5＝55，∴数值最大的项为第5项，最大值为55.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu数列⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧几种数列⎩⎪⎨⎪⎧递增数列递减数列常数列摆动数列应用⎩⎪⎨⎪⎧单调性的判断最大小项问题周期性。
2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性
第3节函数的奇偶性与周期性考试要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[常用结论与微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( ) (4)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称.( )解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，其在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |D.y ＝2－x解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数. 答案 B3.(老教材必修4P46A10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案 14.(2020·济南一中月考)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.12D.－12解析 由题意，得b ＝0，且2a ＝－(a －1)， 解得a ＝13，则a ＋b ＝13.答案 B5.(2019·全国Ⅱ卷)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x－1，则当x <0时，f (x )＝( ) A.e －x－1 B.e －x＋1 C.－e －x －1D.－e －x＋1解析 由题意知，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x－1)＝－e －x＋1. 答案 D6.(2020·衡水中学调研)已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x－1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________.解析 由f (x ＋2)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为2，又f (x )为偶函数，∴f (－2 017)＋f (2 018)＝f (－2 016－1)＋f (0)＝f (－1)＋f (0)＝f (1)＋f (0)＝e －1. 答案 e －1考点一 函数的奇偶性及其应用 多维探究角度1 函数奇偶性的判断【例1－1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1).解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数. (3)显然函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 2(－x ＋（－x ）2＋1)＝log 2(x 2＋1－x )＝log 2(x 2＋1＋x )－1＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数.规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立. 角度2 函数奇偶性的应用 【例1－2】 (1)若函数f (x )＝3·e|x －1|－sin （x －1）e|x －1|在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p ，q ，则p ＋q 的值为( ) A.2 B.1 C.6 D.3(2)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－3)＝________. 解析 (1)因为f (x )＝3e|x －1|－sin （x －1）e |x －1|＝3－sin （x －1）e|x －1|， 所以f (x )－3＝－sin （x －1）e |x －1|，∴f (t ＋1)－3＝－sin te|t |，t ∈[－4，4]. 又f (t ＋1)－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，也是p －3＋q －3＝0，所以p ＋q ＝6.(2)因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，故f (x )＝2x－1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7. 答案 (1)C (2)－7规律方法 利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出. (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值. 【训练1】 (1)(角度1)设函数f (x )＝2a x－1＋b (a >0且a ≠1)，则函数f (x )的奇偶性( ) A.与a 无关，且与b 无关 B.与a 有关，且与b 有关 C.与a 有关，但与b 无关D.与a 无关，但与b 有关(2)(角度2)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________ .解析 (1)f (－x )＝2a －x －1＋b ＝－2axa x －1＋b ≠f (x )，所以f (x )一定不是偶函数；设f (x )为奇函数，则由奇函数的定义知f (－x )＋f (x )＝0.即－2a x a x －1＋b ＋2a x －1＋b ＝－2（a x－1）a x －1＋2b ＝－2＋2b ＝0，解得b ＝1， 即当b ＝1时，f (x )为奇函数， 当b ≠1时，f (x )为非奇非偶函数， 所以f (x )的奇偶性与a 无关，但与b 有关. (2)由于f (－x )＝f (x )， 即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0， 解得a ＝－32.答案 (1)D (2)－32考点二 函数的周期性及其应用【例2】 (1)已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋2π)＝f (x )，当x ∈(0，π)时，f (x )＝2sin x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19π3＝( ) A.12B.32C.1D. 3(2)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，且当x ∈(1，4]时，f (x )＝3x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝________.解析 (1)因为f (x ＋2π)＝f (x )，所以f (x )的周期为2π. 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫19π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π×3＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，又因为当x ∈(0，π)时，f (x )＝2sin x2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π6＝1. (2)由题意，得f (1)＝f (4)＝11，f (2)＝5，f (3)＝8. 故f (1)＋f (2)＋f (3)＝24，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝33×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (33×3＋1)＝803. 答案 (1)C (2)803规律方法 1.注意周期性的常见表达式的应用.2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).【训练2】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f （x ），则f (2 020)＝________.(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________.解析 (1)由f (x ＋2)＝1－f （x ），得f (x ＋4)＝1－f （x ＋2）＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4).又f (2)＝2－3，所以f (4)＝－1f （2）＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－ 3.(2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个. 答案 (1)－2－ 3 (2)7考点三 函数性质的综合运用 多维探究角度1 函数的单调性与奇偶性【例3－1】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a(2)(2020·安徽江南十校质检)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________________. 解析 (1)易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数， ∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)， ∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .(2)由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|). 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2， 因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.由f (|x |)>f (|2x －1|，可得|x |>|2x －1|， 两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案 (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 规律方法 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)>f (x 2)的形式，再结合单调性，脱去法则“f ”变成常规不等式，如x 1<x 2(或x 1>x 2)求解. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)(2020·德州联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2 023)＝( ) A.20192B.1C.0D.－1(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A.(－1，4) B.(－2，0) C.(－1，0)D.(－1，2)解析 (1)根据题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数是周期为4的周期函数，则f (2 023)＝f (－1＋2 024)＝f (－1)，又函数y ＝f (x )为奇函数，且x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则f (－1)＝－f (1)＝－1，故f (2 023)＝－1. (2)因为f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数. ∴f (5)＝f (－1)＝f (1)<1. 从而2a －3a ＋1<1，解得－1<a <4.答案 (1)D (2)A规律方法 1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【训练3】 (1)(角度1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (lnx )<f (2)，则x 的取值范围是( )A.(0，e 2) B.(e －2，＋∞) C.(e 2，＋∞)D.(e －2，e 2)(2)(角度2)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.解析 (1)根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2).(2)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.答案(1)D (2)2赢得高分高考中函数性质“瓶颈题”突破函数的单调性、奇偶性、周期性在高考中占有重要地位，不仅单独考查，且常融合渗透于一体，考查性质的综合应用，如2019·全国Ⅰ卷·T11，2019·全国Ⅲ卷·T11，2018·全国Ⅱ卷·T11，2017·全国Ⅲ卷·T15等，着重考查利用函数性质求值、比较大小、求解参数或解不等式.【典例】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解析法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二取一个符合题意的函数f(x)＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案 C思维升华 1.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.2.对于选择题、填空题，还常借助特殊性(如法二)，或函数图象的几何直观进行优化求解. 【训练】(2020·湖南百校大联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋x ＋b ，则|f (x )|>3的解集为( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－4)∪(4，＋∞) C.(－2，2)D.(－4，4)解析 由题意，f (0)＝log 22＋b ＝0，解得b ＝－1.所以f (x )＝log 2(x ＋2)＋x －1，f (2)＝3，且在R 上单调递增，又|f (x )|>3，所以|f (x )|>f (2)，即f (x )>f (2)或f (x )<f (－2)，解得x >2或x <－2. 答案 A数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 类型1 奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析 显然函数f (x )的定义域为R ， 且f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案 2类型2 抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (4)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 023)＋f (2 024)＝( ) A.3B.2C.1D.0解析 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 023)＝－f (2 023)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1， ∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 024)＝f (337×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 023)＋f (2 024)＝－f (2 023)＋3＝1. 答案 C类型3 抽象函数的对称性 已知函数f (x )是定义在R 上的函数.(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.【例3】 已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[－3，1]B.(－∞，－3)∪[1，＋∞)C.[－4，2]D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析 由于f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， 因此函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称.由f (x )在[1，＋∞)上递减，知f (x )在(－∞，1]上递增. 又x ∈[－1，0]，知x －1∈[－2，－1]，①当m ＋2≤1，即m ≤－1时，f (m ＋2)≥f (x －1)对x ∈[－1，0]恒成立， 则有m ＋2≥x －1对x ∈[－1，0]恒成立，∴－3≤m ≤－1，②当m ＋2>1，即m >－1时，f (m ＋2)≥f (x －1)＝f (3－x )， 则有m ＋2≤3－x 对x ∈[－1，0]恒成立，则－1<m ≤1， 由以上知，实数m 的取值范围是[－3，1]. 答案 A【例4】 函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)的值为________. 解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即函数f (x )是R 上的奇函数， 所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1)＝4， 所以f (2 020)＋f (2 022)＝f (2 020)＋f (2 020＋2) ＝f (2 020)＋f (－2 020)＝f (2 020)－f (2 020)＝0， 所以f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＝4. 答案 4A 级 基础巩固一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |解析 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数.对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减. 答案 C2.(2020·咸阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤0，ax 2＋x ，x >0为奇函数，则a ＝( )A.－1B.1C.0D.±1解析 由题意，得f (－x )＝－f (x )，则f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，得a ＝－1(经检验符合题意). 答案 A3.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝( ) A.－2B.0C.1D.2解析 由题意，得f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 答案 A4.若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A.f (2)>f (3) B.f (2)>f (5) C.f (3)>f (5)D.f (3)>f (6)解析 ∵y ＝f (x ＋4)为偶函数，∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)， 因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称， ∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5). 又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数， ∴f (5)>f (6)，所以f (3)>f (6). 答案 D5.定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A.减函数且f (x )>0B.减函数且f (x )<0C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<0解析 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0. 又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.答案 D 二、填空题6.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为________. 解析 由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2).又f (x )是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln 2. 答案 －ln 27.奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________.解析 由于f (x )在[3，6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9. 答案 98.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________.解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 所以|ln t |≤1，即－1≤l n t ≤1，故1e≤t ≤e.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 三、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立.(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.(1)证明 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期. (2)解 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)解 因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数. 故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立， 于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立. 于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.B 级 能力提升11.(2020·泉州质检)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －cos x ，则下列结论正确的是( )A.f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0203<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192<f (2 018)B.f (2 018)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192C.f (2 018)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203D.f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203<f (2 018)解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )的周期为4. 因此f (2 018)＝f (2)＝f (0)，f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0203＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫168×4＋43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，又x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－cos x 单调递增，∴f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23， 故f (2 018)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203.答案 C12.(2020·东北三省四校联考)已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，现给出下列命题：①函数f (x )是以2为周期的周期函数；②函数f (x )是以4为周期的周期函数；③函数f (x －1)为奇函数；④函数f (x －3)为偶函数，则其中真命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0， 即有f (－x )＝f (x )＝－f (2－x )，即为f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 可得f (x )的最小正周期为4，故①错误；②正确. 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋1)＝－f (x －1). 又f (－x －1)＝f (x ＋1)，则f (－x －1)＝－f (x －1)， 故f (x －1)为奇函数，③正确.由f (－x －3)＝f (x ＋3)，若f (x －3)为偶函数，即有f (－x －3)＝f (x －3)，得f (x ＋3)＝f (x －3)，∴f (x ＋6)＝f (x ).得6为f (x )的周期，这与4为最小正周期相矛盾，则④错误. 综上知，正确的命题为②③.答案 B13.若定义在R上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）对任意x ∈R 恒成立，则f (2 023)＝________.解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f （x ＋2）＝11f （x ）＝f (x )， 则函数f (x )的周期是4，所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1). 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1). 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f （－1），得f (1)＝1f （1）.由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1. 答案 114.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. C 级 创新猜想15.(开放多填题)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________. 解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ， 则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案 ①②莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2021 2021学年高中数学 §1.3函数的基本性质学案 新人教A版必修1.doc
2021 2021学年高中数学§1.3函数的基本性质学案新人教A版必修1.doc----0ba99fbe-6ea1-11ec-9cf3-7cb59b590d7d2021-2021学年高中数学§1.3函数的基本性质学案新人教a版必修1.doc2022-2022学年高中数学§1.3函数的基本性质学习目标：1.掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2.能够应用函数的基本性质来解决一些问题；3.学习使用函数图像理解和研究函数的性质学习难点：函数基本性质的综合应用学习重点：函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；预习案：（复习课本p27~p36，找出疑问）复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？示例分析：例1判断函数y＝x2－2|x|－3的奇偶性，并作出图象指出单调区间及单调性.例2已知f（x）是（0，+∞). （-）上F（x）的单调性∞, 0）被判断和证明小结：定义在r上的奇函数的图象一定经过.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性，偶函数在关于原点对称区间上的单调性例3已知f（x）是定义在（？1,1）上的减法函数，f（2？a）？f（a？3）？0.求实数a的取值范围当堂检测：1.假设f（x）是奇数函数，是[3,7]中的增函数，最大值为4，那么f（x）是[-7，-3]上的函数，最大值为2、函数y?x2?bx?c(x?(??,1))是单调函数时，b的取值范围（）.a．b??2b．b??2c．b??2d．b??23.在下列函数中，区间（0,2）上的增函数是（）a.y？？十、一b．y?xc．y?x2?4x?5d．y?2xax2?b4、已知函数y=为奇函数，则（）.十、加州？0b。
B0c。
C0d。
A.0课后作业：1、设f(x)在r上是奇函数，当x≥0时，f(x)?x(1?x)，画出函数的图象并求出f(x)的表达式是什么？2.判断以下函数的奇偶性：（1）y＝1?x＋1?x；3、课本第44页8、9、102） y＝？？？？x2？x（x？0）？？x2？x（x？0）。
数列的函数特性教学案
数列的函数特性教学案第2课时数列的函数特性知能目标解读熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导数列的概念与函数概念的联系数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.数列的表示方法数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.数列的单调性递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1>an，那么这个数列叫做递增数列.递减数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即an+1an 递增an+11即可.［解析］∵f=2x-2-x,f=-2n,∴2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,∴an2+2nan-1=0,解得an=-n±.∵an>0,∴an=-n.==0,则数列{an}是递增数列；若an+1-an1,则数列{an}是递增数列；若0,∴an+10,即230-100×1.05n-2>0时，1.05n-20,其实对非零实数a 应分a>0和a0时，an-an-10,∴an>an-1, ∴数列｛an ｝是递增数列. 课堂巩固训练 一、选择题已知数列｛an ｝,a1=1,an-an-1＝n-1，则a6= A.7 B.11 c.16D.17［答案］c［解析］ ∵a1=1,an-an-1=n-1， ∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2, ∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4, ∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7, ∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.数列{an}中，an=-n2+11n,则此数列最大项的值是 A. B.30D.32［答案］ B［解析］an=-n2+11n=-2+,∵n∈N+,∴当n=5或6时，an取最大值30，故选B.一给定函数y=f的图像在下列图中，并且对任意a1∈,由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1>an，则该函数的图像是［答案］ A［解析］由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1>an,可得f>an,即f>x.故要使该函数y=f图像上任一点都满足y>x,图像必在直线y=x的上方，所以A正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题已知f=2,f=,则f=［答案］［解析］∵f=2,f=,∴f==,f===,已知数列{an}中，an=an+满足a1=2,a2=4,则a3= ［答案］2=a+a=2a=-1［解析］ ∵a1=2,a2=4,,∴或,=a2+=0=3 ∴a3=3+3=2. 三、解答题证明数列｛｝是递减数列. ［证明］ 令an=， ∴an+1-an=-=-=-0可知an+1>an ， 所以数列{an}是递增数列. 设an=-n2+10n+11，则数列{an}A.5B.11 c.10或11 D.36 ［答案］ D［解析］ ∵an=-n2+10n+11=-2+36, ∴当n=5时，an 取最大值36.数列｛an｝中，a1=0，以后各项由公式a1•a2•a3•…•an ＝n2给出，则a3+a5等于A.B.c.D.［答案］c［解析］∵a1•a2•a3•…•an=n2,∴a1•a2•a3=9,a1•a2=4,∴a3＝.同理a5=,∴a3+a5=+=.已知数列{an}的通项公式an=lg1536-lg2，则使得an1536,代入验证得答案为D.已知数列{an}中，a1=1,a2=3，an=an-1+，则a5=A.B.c.4D.5［答案］A［解析］a3=a2+=3+1=4.a4=a3+=4+=.a5=a4+=+=.在数列{an}中，a1=1,an•an-1=an-1+n，则的值是A. B. c. D.［答案］ c［解析］ ∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+3=2+=1,∴a3=, 又a3a4=a3+4,∴a4=3, ∵a4a5=a4+5=2,∴a5=, ∴==.已知S 表示数列的前项和，且S+S+1=a+1，那么此数列是A.递增数列B.递减数列 c.常数列 D.摆动数列 ［答案］ c［解析］ ∵a+1=S+1-S=S+S+1， ∴S=0.可知此数列每一项均为0， 即an=0是常数列.已知数列{an}的通项公式为an=n-1［n-1-1］，则关于an 的最大项，最小项叙述正确的是A.最大项为a1,最小项为a3B.最大项为a1,最小项不存在c.最大项不存在，最小项为a3D.最大项为a1，最小项为a4［答案］A［解析］令t=n-1，则它在N+上递减且0a3，故选A.二、填空题已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12，则这个数列的第四项是5是这个数列的第这个数列从第项起以后各项为正数.［答案］－12 11 7［解析］a4=42-4×4-12＝-12.令65＝n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,∴n=11或n=-7.故65是这个数列的第11项.令n2-4n-12>0,得n>6或nan［解析］∵a,b,c均为实数，f==在上是增函数，故数列an=在n∈N+时为递增数列，∴an-3［解析］ 由｛an ｝为递增数列，得an+1-an=2+λ-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立， 即λ>-2n-1在n ≥1令f=-2n-1,fax=-3. 只需λ>fax=-3即可.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n ，关于该数列，有以下四种说法：该数列有无限多个正数项；该数列有无限多个负数项；该数列的最大项就是函数f=-2x2+13x 的最大值；-70是该数列中的一项.其中正确的说法有 ［答案］［解析］ 令-2n2+13n>0，得00,an+1>an.故数列｛an ｝为递增数列.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来. an=n+2; an=.［解析］ a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图2.已知数列｛an ｝,a1=2,an+1=2an ，写出数列的前4项，猜想an,并加以证明.［证明］由a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=4=22,a3=2a2=2•22=23,a4=2a3=2•23=24.猜想an=2n.由a1=2,an+1=2an,得==…===2.∴an=•…••a1=2•2…2•2＝2n.已知函数f=,设f=an.求证：≤an0，即an+1>an, 所以数列{an}是递增数列.所以an的最小值为a1=,即an≥.所以≤an<1.。
2021~2021学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第3讲 函数
2021~2021学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第3讲函数2021~2021学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第3讲函数基本性质一．【课标要求】1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．【命题走向】从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索预测2021年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点三．【要点精讲】1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任○意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：○若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：第 1 页共 13 页1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○感谢您的阅读，祝您生活愉快。
人教A版2021届高考数学一轮复习讲义：函数的性质
函数的性质知识讲解一、函数的奇偶性1.定义奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．2.判断函数奇偶的方法1）定义法：先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断()f x 与()f x 关系；若()()f x f x ，则()f x 是偶函数；若()()f x f x ，则()f x 是奇函数． 2）图像法：函数图像关于y 轴对称函数是偶函数．函数图像关于原点对称函数是奇函数．3.性质1）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．3）设()f x ，()g x 的定义域分别是12D D ，，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇， 偶±偶=偶，奇⨯奇=偶(例如sin yx x 是偶函数)，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇（例如cos y x x 是奇函数）．4.奇偶性的等价条件条件：对于定义域内的任意一个x ()()()()0f x f x f x f x ()f x 是偶函数函数图像关于y 轴对称．()()()()0f x f x f x f x ()f x 是奇函数函数图像关于原点对称．推广：①()y f x a 是偶函数()()f a x f a x ()(2)f x f a x ()f x 关于x a 对称．②()()f ax f b x ()f x 关于2a b x 对称③()yf x a 是奇函数()()f a x f a x ()f x 关于(0)a ，成中心对称．④()()(2)()f x a f x a f x a f x ()f x 是周期函数2T a （0a ）的周期函数．二、函数的单调性1.定义：设函数()yf x 的定义域为A ，区间M A ，如果取区间M 中任意两个值，12x x ，，改变量 210xx x △，则当210y y y △时，就称函数()y f x 在区间M 上是增函数．则当210y y y △时，就称函数()y f x 在区间M 上是增函数．2.讨论函数单调性：必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单 调区间是其定义域的子区间；3.判断函数的单调性的方法有：1）定义法2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的导数判断函数的单调性；4）复合函数的单调性结论：“同增异减”；5）奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性． 6）在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．7）()af x 当0a >时候与()g x 的单调性相同，当0a <时候与()g x 的单调性相反．8）如果()f x 是单调函数且()0f x >，则()f x 和1()f x 数的单调性是相反的，如果()f x 是单调函数且()0f x <，()f x 和1()f x 的单调性是相反的． 注意：单调性区间不能写成并集，可以写成和．不能根据()f x 的单调性和()g x 的单调性来判断判断()f x 与()g x 成积单调性．三、函数的对称性1.一个函数的对称问题：1）关于y 轴对称：)()(x f x f =-；2）关于原点对称：)()(x f x f -=-；3）关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；4）关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+．2.互两个函数的互对称：函数()y f x a =-与()y f a x =-的图像关于直线x a =对称．四、函数的周期性1.判断函数是否是周期函数：方法：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2.具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数），1）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．2）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．3）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y ，()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．4）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数．经典例题一．选择题（共11小题）1．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f （x）的解析式是（）A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）【解答】解：任取x＜0则﹣x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，①又函数y=f（x）在R上为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）②由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2）故选：A．2．若f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（log2x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，4）B．（4，+∞）C ．（0，14）∪（4，+∞）D ．（14，4） 【解答】解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，∴在[0，+∞）上是增函数，∴f （log 2x ）=f （|log 2x |），则不等式等价于f （|log 2x |）＜f （2），∴|log 2x |＜2．∴﹣2＜log 2x ＜2∴14＜x ＜4． 故选：D ．3．已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．50【解答】解：∵f （x ）是奇函数，且f （1﹣x ）=f （1+x ），∴f （1﹣x ）=f （1+x ）=﹣f （x ﹣1），f （0）=0，则f （x +2）=﹣f （x ），则f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，∵f （1）=2，∴f （2）=f （0）=0，f （3）=f （1﹣2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，f （4）=f （0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．4．下列函数满足f（x）+f（﹣x）=0的是（）A．f(x)=√x B．f（x）=ln|x|C．f(x)=1x−1D．f（x）=xcosx【解答】解：f（x）+f（﹣x）=0；∴f（﹣x）=﹣f（x）；A．f（﹣x）=√−x≠﹣f（x）；B．f（﹣x）=ln|x|=f（x）；C.f(−x)=1−x−1≠−f(x)；D．f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x）．故选：D．5．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐设函数g（x）=（12标之和为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），故f（x）的图象关于直线x=1对称．）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，又g（x）=（12作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．故选：B．6．已知函数f(x)=lgx4−x，则（）A．f（x）在（0，4）单调递减B．f（x）在（0，2）单调递减，在（2，4）单调递增C．y=f（x）的图象关于点（2，0）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=2对称【解答】解：由x4−x＞0得：x∈（0，4），令t=x4−x =﹣1﹣4x−4，故t=x4−x在（0，4）上为增函数，故函数f(x)=lg x4−x在（0，4）单调递增，故排除A，B，D，由f(x)=lg x4−x，故f（4﹣x）=﹣f（x），即y=f（x）的图象关于点（2，0）对称故选：C．7．设函数f（x）=ax2+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1﹣x）=f（1+x）恒成立，则当x∈R时，f（2x）与f（3x）的大小关系为（）A．f（3x）＞f（2x）B．f（3x）＜f（2x）C．f（3x）≥f（2x）D．f（3x）≤f（2x）【解答】解：由函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）对于任意的x∈R有f（1﹣x）=f（1+x）可得函数关于x=1对称由a＞0可得函数在（﹣∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当x＞0时，3x＞2x＞1，f（3x）＞f（2x）当x=0时，3x=2x=1，f（3x）=f（2x）当x＜0时，3x＜2x＜1，f（3x）＞f（2x）综上可得，f（3x）≥f（2x）故选：C．8．函数f(x)=1x−x的图象关于（）A．y轴对称B．坐标原点对称C．直线y=x对称D．直线y=﹣x对称【解答】解：函数f(x)=1x−x的定义域为{x|x≠0，且x∈R}，由f（﹣x）=1−x+x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则函数f(x)=1x−x的图象关于坐标原点对称．故选：B．9．已知f（x）=x3+x，x∈R，若当0≤θ≤π2时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，12）D．（0，1）【解答】解：f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）为奇函数，且f（x）在R上为增函数；由f（msinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（msinθ）＞f（m﹣1）；∴msinθ＞m﹣1；∴m（1﹣sinθ）＜1；∴①θ=π2时，m∈R；②0≤θ＜π2时，m＜11−sinθ；11−sinθ的最小值为1；∴m＜1；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故选：B．10．已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f （x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定大于30B．一定小于30C．等于30D．大于30、小于30都有可能【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣10=x3+x，则有g（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣g（x），函数g（x）为奇函数，又由g（x）=x3+x，则g′（x）=3x2+1＞0，则g（x）在R上为增函数，若x1+x2＜0，则x1＜﹣x2，则有g（x1）＜g（﹣x2）=﹣g（x2），即有g（x1）+g（x2）＜0，则有f（x1）﹣10+f（x2）﹣10＜0，变形可得f（x1）+f（x2）＜20，同理可得：f（x2）+f（x3）＜20，f（x1）+f（x3）＜20，三个式子相加，可得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜30；故选：B．11．奇函数f （x ）满足f （x +2）=﹣f （x ），当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x +12，则f （log 354）=（ ）A ．﹣2B ．﹣76C ．76D ．2【解答】解：∵f [（x +2）+2]=﹣f （x +2）=f （x ），∴f （x ）是以4为周期的奇函数，又∵f(log 354)=f(log 381×23)=f(4+log 323)=f(log 323)=f(−log 332)=−f(log 332)，∵0＜log 332＜1，∴f(log 332)=3log 332+12=32+12=2，∴f （log 354）=﹣2，故选：A ．二．填空题（共5小题）12．奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，则f （1）= 2 ．【解答】解：奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，可得f （x ）+f （2﹣x ）=0，即有f （3）+f （﹣1）=0，则f （﹣1）=﹣2，可得f （1）=﹣f （﹣1）=2，故答案为：2．13．已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（﹣x）+f（x）=0，当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣21）+f（16）=﹣1．【解答】解：由f（﹣x）+f（x）=0，知f（x）是定义在R上的奇函数，又f（x+4）=f（x），且当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，∴f（﹣21）+f（16）=f（﹣1）+f（0）=﹣f（1）=﹣（﹣121﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．14．若函数f（x）=x3+x，若f（a﹣2）+f（a2）≥0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【解答】解：f（x）为奇函数，且在R上单调递增；∴由f（a﹣2）+f（a2）≥0得：f（a2）≥f（2﹣a）；∴a2≥2﹣a；解得a≤﹣2，或a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．15．已知定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （﹣1）=2，则不等式f （x ﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为 （1，2] ．【解答】解：因为f （x ）是在R 上的奇函数，f （﹣1）=2，所以f （1）=﹣f （﹣1）=﹣2，因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （x ﹣1）+2≤0为：f （x ﹣1）≤﹣2=f （1）， 所以0＜x ﹣1≤1，解得1＜x ≤2，所以不等式f （x ﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．16．若函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数，则a= ﹣1 ，函数f （x ）的值域为 （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） ．【解答】解：函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数， 可得f （﹣x ）+f （x ）=a ﹣22−1+a ﹣22−1=2a ﹣（22x −1+2⋅2x 1−2x）=2a +2=0， 解得a=﹣1，则y=f （x ）=﹣1﹣22x −1， 可得1﹣2x =21+y ，即有2x=y−1＞0，y+1解得y＞1或y＜﹣1，可得值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：﹣1，（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），．三．解答题（共2小题）17．已知奇函数f（x），在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，（1）请补全函数f（x）的图象；（2）求函数f（x）的表达式；（3）写出函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）由奇函数的图象关于原点对称，可得函数位于y轴左侧的部分，如图所示：（2）当x≥0时，设f（x）=a（x﹣1）2﹣1，又f（0）=0，得a=1，即f（x）=（x﹣1）2﹣1；当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x﹣1）2﹣1]=﹣（x+1）2+1，（3）根据函数图象可知：函数f（x）的单调递增区间是：（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；函数f（x）的单调递减区间是：[﹣1，1]．18．定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）试判断并证明f（x）在（﹣∞，0）上的单调性；（2）若f（1）＜f（x﹣1），求x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，f（x）在（﹣∞，0）是单调减函数，设x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵f（x）在（0，+∞）是单调增函数∴f（﹣x1）＞f（﹣x2），又∵f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，0）是单调减函数；（2）若f（1）＜f（x﹣1），则f（1）＜f（|x﹣1|），则有|x﹣1|＞1，解可得：x＜0或x＞2，即x的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．。
高中数学《数列的函数特性》教案新课标人教A版必修5
数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。
学习过程：一、课前准备自主学习：数列概念及相关知识，通项公式阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。
二、新课导入①递增数列：②递减数列：③常数数列：自主测评1、下列结论中正确的是（）①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点②任何一个数列都有无数次③数的通项公式存在且唯一A、①②B、②③C、①②③D、①2、已知数列1112,,,6323的一个通项公式为（）A、1nB、6n C、3n D、4n3、判断下列数列的增减性（）①11111,,,,2481632②-3，-1，1，3，5，7……③-3，2，-4，-5，1，6，-2……④-2，-2，-2，-2……⑤0，1，0，1，0，1……探究：是不是所有的数列都有增减性三、巩固应用例3：判断下列无穷数列的增减性（1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)123,2341nn+，，，，例4：作出数列11111,,,,,()248162n---，…的图像，并分析数列的增减性。
试一试：1、P8 T22、已知数列na中；123,6,a a==且21n n na a a ，则数列的第100项为3、已知数列na中，223na n n ，则数列n a是增还是减数列4、已知数列na中，276na n n，求数列n a的最小项四、总结提升1、探究结论2、数列与函数有什么关系？五、能力拓展1、已知数列n a 满足11200930,();31nnna a a nN a a 则等于（ ）A 、0B 、3C D 、22、数列n a 满足13n na a ，若320082,a a 则等于 。
3、已知函数()22x x f x ，数列n a 满足2(log )2n f a n（1）求数列n a 的通项公式 （2）证明：数列n a 是递减数列自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 AT 5、6。
数列的函数特性教学案
数列的函数特性教学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第2课时数列的函数特性知能目标解读.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导.数列的概念与函数概念的联系数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1>an，那么这个数列叫做递增数列.（2）递减数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即an+1<an，那么这个数列叫做递减数列.（3）常数列：如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.（4）摆动数列：一个数列{an}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.注意：有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算an+1-an，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列an=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断数列{an}是递减数列.4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断an+1-an 的符号，通常将an+1-an变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项an的符号，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.知能自主梳理.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.（2）一般地，一个数列｛an｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；（5）如果数列｛an｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的，且从第二项（或某一项）开始的与它的间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式.3.an与Sn的关系S1若数列｛an｝的前n项和记为Sn，即Sn=a1+a2+…+an,则an=［答案］ 1.递增递减摆动常（2）an+1>an递增an+1<an 递减（4）摆动（5）常2.第1项任一项an 前一项an-1 递推3.Sn-Sn-1思路方法技巧命题方向数列表示法的应用［例1］根据数列的通项公式填表：n2…5……nan……53…3画出数列{an}的图像，其中an=3n-1.［分析］根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值.在直角坐标系下，描出点.［解析］由第n项可知此数列的通项公式为：an=3, 所以a1=3×=21,a2=3×=33,a5=3×=69.令3=153，解得n=12.故填充完整的表格为：n2…5…2…nan2133…69…53…3∵an=3n-1，列表：n234…an3927…在直角坐标系中图像如下：［说明］列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；数列an=3n-1的图像是函数y=3x-1上的无穷多个孤立的点.变式应用1 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像.［解析］分别取n=1,2,3,…,得到点（1,1）,,,…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.命题方向数列单调性的判断［例2］已知函数f=2x-2-x，数列{an}满足f=-2n.求数列{an}的通项公式；（2）求证数列{an}是递减数列.［分析］（1）已知函数关系式，由条件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于an的方程即可；（2）只需证明an+1-an<0或>1即可.［解析］（1）∵f=2x-2-x,f=-2n,∴2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,∴an2+2nan-1=0,解得an=-n±.∵an>0,∴an=-n.（2）==<1.即{an}是递减数列.［说明］我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较an与an+1大小的常用方法有：①作差法：若an+1-an>0,则数列{an}是递增数列；若an+1-an<0，则数列{an}是递减数列.②作商法：若>1,则数列{an}是递增数列；若<1，则数列{an}是递减数列.变式应用2 写出数列1,,,,,…的通项公式，并判断它的增减性.［解析］该数列的通项公式为an=,∴an+1-an=-=.∵n∈N+,∴>0,∴an+1<an,∴该数列为递减数列.命题方向数列中最大项与最小项的求法［例3］求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.［分析］由通项公式可以看出an与n构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n 为正整数.［解析］由已知an=-2n2+9n+3=-22+.由于n为正整数,故当n=2时,an取得最大值为13.所以数列{-2n2+9n+3}的最大值为a2=13.［说明］数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.变式应用3 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.［解析］（1）由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N＋,∴n=2,3.∴数列有两项是负数.（2）∵an=n2-5n+4=（n-）2-,可知对称轴方程为n==2.5.又∵n∈N＋,∴n=2或3时，an有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.探索延拓创新命题方向数列的实际应用题［例4］在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为XX元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：该人在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由.［分析］根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n∈N+,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解.［解析］设在A公司月工资为an，在B公司月工资为bn，则问题等价于求cn=an-bn=1270+230n-XX×1.05n-1的最大值.当n≥2时，cn-cn-1=230-100×1.05n-2;当cn-cn-1>0,即230-100×1.05n-2>0时，1.05n-2<2.3，得n<19.1.因此，当2≤n≤19时，cn-1<cn,于是当n≥20时，cn<cn-1.所以c19=a19-b19≈827.即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.［说明］数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4 某企业由于受XX年国家财政紧缩政策的影响，预测XX年的月产值（万元）组成数列{an}，满足an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？［解析］由题意知，实质是求数列{an}的最小项.由于an=2n2-15n+3=2（n-）2-，图像如图所示，由图像知n=4时，a4最小，a4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答［例5］已知an=a•（）n，试判断数列{an}的单调性.［误解］∵an-an-1=a（）n-a（）n-1=-a（）n<0, ∴数列{an}为递减数列.［辨析］错误原因是误认为a>0,其实对非零实数a应分a>0和a<0两种情况讨论.［正解］∵an-an-1=-a（）n,∴①当a>0时，an-an-1<0,∴an<an-1,∴数列{an}是递减数列.②当a<0时，an-an-1>0,∴an>an-1,∴数列｛an｝是递增数列.课堂巩固训练一、选择题.已知数列｛an｝,a1=1,an-an-1＝n-1，则a6=（）A.7B.11 c.16 D.17［答案］c［解析］∵a1=1,an-an-1=n-1，∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2,∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.2.数列{an}中，an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（）A.B.30 c.31 D.32［答案］ B［解析］an=-n2+11n=-（n-）2+,∵n∈N+,∴当n=5或6时，an取最大值30，故选B.3.一给定函数y=f的图像在下列图中，并且对任意a1∈,由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1>an，则该函数的图像是（）［答案］ A［解析］由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1>an,可得f>an,即f>x.故要使该函数y=f图像上任一点（x,y）都满足y>x,图像必在直线y=x的上方，所以A正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题4.已知f=2,f=,则f= .［答案］［解析］∵f=2,f=,∴f==,f===,f===.5.已知数列{an}中，an=an+m满足a1=2,a2=4,则a3= . ［答案］22=a+ma=2a=-1［解析］∵a1=2,a2=4, ∴,∴（舍去）或,4=a2+mm=0m=3∴a3=3+3=2.三、解答题6.证明数列｛｝是递减数列.［证明］令an=，∴an+1-an=-=-=-<0,∴an+1<an.所以数列｛｝是递减数列.课后强化作业一、选择题.已知数列{an}满足an+1-an-3=0，则数列{an}是（）A.递增数列B.递减数列 c.常数列 D.不能确定［答案］A［解析］由条件得an+1-an=3>0可知an+1>an，所以数列{an}是递增数列.2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项为（）A.5B.11 c.10或11 D.36［答案］ D［解析］∵an=-n2+10n+11=-2+36,∴当n=5时，an取最大值36.3.数列｛an｝中，a1=0，以后各项由公式a1•a2•a3•…•an＝n2给出，则a3+a5等于（）A.B.c.D.［答案］c［解析］∵a1•a2•a3•…•an=n2,∴a1•a2•a3=9,a1•a2=4,∴a3＝.同理a5=,∴a3+a5=+=.4.已知数列{an}的通项公式an=lg1536-lg2，则使得an<0成立的最小正整数n的值为（）A.11B.13 c.15 D.12［答案］D［解析］lg1536-lg2n-1<0,lg1536<lg2n-1, 即2n-1>1536,代入验证得答案为D.5.已知数列{an}中，a1=1,a2=3，an=an-1+，则a5=（）A.B.c.4 D.5［答案］A［解析］a3=a2+=3+1=4.a4=a3+=4+=.a5=a4+=+=.6.在数列{an}中，a1=1,an•an-1=an-1+n，则的值是（）A.B.c.D.［答案］ c［解析］∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+3=2+=1,∴a3=, 又a3a4=a3+4,∴a4=3,∵a4a5=a4+5=2,∴a5=,∴==.7.已知Sk表示数列的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1，那么此数列是（）A.递增数列B.递减数列 c.常数列 D.摆动数列［答案］ c［解析］∵ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1，∴Sk=0.可知此数列每一项均为0，即an=0是常数列.8.已知数列{an}的通项公式为an=（）n-1［（）n-1-1］，则关于an的最大项，最小项叙述正确的是（）A.最大项为a1,最小项为a3B.最大项为a1,最小项不存在c.最大项不存在，最小项为a3D.最大项为a1，最小项为a4［答案］A［解析］令t=（）n-1，则它在N+上递减且0<t ≤1，而an=t2-t，在0<t≤时递减，在t≥时递增，且n=1时，t=1，n=2时，t=，n=3时，t=，n=4时，t=，且a4>a3，故选A.二、填空题9.已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12（n∈N+），则（1）这个数列的第四项是；（2）65是这个数列的第项；（3）这个数列从第项起以后各项为正数.［答案］－12 11 7［解析］a4=42-4×4-12＝-12.令65＝n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,∴n=11或n=-7.故65是这个数列的第11项.（3）令n2-4n-12>0,得n>6或n<2.∴这个数列从第7项起各项为正数.0.已知数列{an}的通项an=，则an与an+1的大小关系是.［答案］an+1>an［解析］∵a,b,c均为实数，f==在上是增函数，故数列an=在n∈N+时为递增数列，∴an<an+1.1.已知｛an｝是递增数列，且对任意的自然数n，都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围为.［答案］λ>-3［解析］由｛an｝为递增数列，得an+1-an=2+λ-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立，即λ>-2n-1在n≥1时恒成立，令f=-2n-1,fmax=-3.只需λ>fmax=-3即可.2.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，有以下四种说法：该数列有无限多个正数项；该数列有无限多个负数项；该数列的最大项就是函数f=-2x2+13x的最大值；-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.（把所有正确的序号都填上）［答案］［解析］令-2n2+13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项.当n=3时，数列{an}取到最大值，而当x=3.25时函数f取到最大值.令-2n2+13n=-70，得n=10，或n=-（舍去）.即-70是该数列的第10项.三、解答题3.已知数列1，2，，，，….（1）写出这个数列的一个通项公式an;（2）判断数列｛an｝的增减性.［解析］（1）数列1，2，，，，….可变为，，，，，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n对应，而分子比序号n的3倍少2， ∴an=.∵an==3-,∴an+1=3-,∴an+1-an=3--3+=-=>0, ∴an+1>an.故数列｛an｝为递增数列.4.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.an=n+2;an=.［解析］a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图2.5.已知数列｛an｝,a1=2,an+1=2an，写出数列的前4项，猜想an,并加以证明.［证明］由a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=4=22,a3=2a2=2•22=23,a4=2a3=2•23=24.猜想an=2n.证明如下：由a1=2,an+1=2an,得==…===2.∴an=•…••a1=2•2…2•2＝2n.6.已知函数f=,设f=an.求证：≤an<1.［解析］解法一：因为an-1=-1=-<0,an-=-＝≥0,所以≤an<1.解法二：an===1-<1,an+1-an=-==.由n∈N+得an+1-an>0，即an+1>an,所以数列{an}是递增数列.所以an的最小值为a1=,即an≥.所以≤an<1.。
(新课标)2021版高考数学一轮总复习第二章函数第7讲函数的奇偶性、周期性与对称性导学案新人教A版
第7讲 函数的奇偶性、周期性与对称性【课程要求】1．理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值． 3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．对应学生用书p 16【基础检测】概念辨析1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( ) (4)若函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，则函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 对称．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT(n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√教材改编2．[必修1p 39A 组T 6]已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝__________．[解析]f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2. [答案]－23．[必修1p 45B 组T 4]设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝__________．[解析]f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.[答案]14．[必修1p 39A 组T 6]设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x ∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为____________．[解析]由图象可知，当0＜x ＜2时，f(x)＞0；当2＜x ≤5时， f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x ＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5]． [答案] (－2，0)∪(2，5]易错提醒5．已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B .13C ．－12D .12[解析]依题意得f(－x)＝f(x)，∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13，故选B .[答案]B6．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝1f （x ）对x ∈R 恒成立，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A.12B.2C.22D ．－1 [解析]∵f (x ＋2)＝1f （x ），∴f (x ＋4)＝1f （x ＋2）＝f (x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的周期为4，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∵当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 2.[答案]B 【知识要点】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一关于__y 轴__对称个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数关于__原点__对称(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x ＋T)＝f(x)__，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫做f(x)的最小正周期．3．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．对应学生用书p17函数奇偶性的判断1 (1)下列函数为奇函数的是( )A．y＝ln x B．y＝e xC．y＝x sin x D．y＝e x－e－x[解析]对于选项A，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故不是奇函数．所以选项A 错；对于选项B ，f(－x)＝e －x＝1ex ≠－f(x)，故选项B 错；对于选项C ，f(－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x ＝f(x)，所以y ＝x sin x 为偶函数，故选项C 错；对于选项D ，f(－x)＝e －x－e x＝－(e x－e －x)＝－f(x)，所以函数y ＝e x－e －x为奇函数，故选项D 正确．[答案]D(2)(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是偶函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[解析]因为f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数； 因为|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数； 因为f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数； 因为|f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数． [答案]BC[小结]1.判断函数的奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．2．常用结论：(1)奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶； 奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶．(2)若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记偶函数g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，奇函数h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．(3)复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇．(4)若奇函数y ＝f (x )在x ＝0处有意义，则有f (0)＝0；偶函数y ＝f (x )必满足f (x )＝f (|x |)．1．已知函数f(x)＝x 2－2x22x ＋1，则下列判断正确的是( )A ．f(x)是偶函数不是奇函数B ．f(x)是奇函数不是偶函数C ．f(x)既是偶函数又是奇函数D ．f(x)既不是偶函数也不是奇函数[解析]该函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－2（－x ）22－x ＋1＝x 2－2x 2·2x2x ＋1＝x 2（2x ＋1）－2x 2·2x 2x＋1＝x 2－x 2·2x 2x＋1＝x 2（－1－2x ＋2）2x＋1＝－x 2＋2x22x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，f (1)＝1－23＝13，f (－1)＝1－232＝－13，所以函数f (x )不是偶函数． [答案]B2．函数f(x)＝log a (2＋x)，g(x)＝log a (2－x)(a>0且a ≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是( )A ．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B ．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C ．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D ．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数[解析]F(x)，G(x)定义域均为(－2，2)，由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝log a (2－x)＋log a (2＋x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝log a (2－x)－log a (2＋x)＝－G(x)， ∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数． [答案]B函数的奇偶性的应用2 (1)设函数f(x)＝ln ||x －1x 2＋1，则不等式f(x)>f(2x －1)的解集为( ) A .⎝⎛⎭⎪⎫0，12B .()－∞，1C .⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D .⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [解析]f(x)的定义域为{x|x ≠0}，∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数；当x>0时，f(x)＝ln x －1x 2＋1单调递增，所以由f(x)>f(2x －1)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，2x －1≠0，|x|>|2x －1|，解得13<x<1且x ≠12.[答案]D(2)若关于x 的函数f(x)＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x (t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则t ＝__________．[解析]f(x)＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x 2x 2＋cos x， 设g(x)＝t sin x ＋x2x 2＋cos x ，则g(x)为奇函数，g(x)max ＝a －t ，g(x)min ＝b －t.∵g(x)max ＋g(x)min＝0，∴a ＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1.[答案]1[小结]已知函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； (2)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．(3)求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(4)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．[注意]利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max ＋f(x)min ＝0”的性质解决有关最值问题．3．函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x，则当x >0时，f (x )＝( ) A ．－2x B ．2－xC ．－2－xD ．2x[解析]当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x.∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x.[答案]C4．若函数f(x)＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________． [解析]∵f(x)＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即－x ln (a ＋x 2－x)＝x ln (x ＋a ＋x 2)，从而ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.[答案]1函数的周期性与对称性及应用3 (1)设函数f(x)(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0D ．－12[解析]∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.[答案]A(2)已知函数f (x )与函数g (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称，若存在a ∈R ，使x ∈[1，m ](m >1)时，f (x ＋a )≤4x 成立，则m 的最大值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12[解析]由于函数f (x )与函数g (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称，因此f (x )＝(x ＋1)2，由f (x ＋a )≤4x 得(x ＋a ＋1)2≤4x ，把x ＝1代入得－4≤a ≤0.当a ＝0时，(x ＋1)2≤4x ，解得x ＝1，当a ＝－4时，(x －3)2≤4x ，解之得1≤x ≤9，因此m 的最大值为9.[答案]C(3)对函数f (x )，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数f (x )的下确界．现已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝－3x 2＋2，则f (x )的下确界为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[解析]由题意知，f (x )的周期为2，画出函数f (x )在R 上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.[答案]D[小结](1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T.(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．(4)函数周期性的三个常用结论(a>0)：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a，③若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a.(5)函数对称性代数表示：函数f(x)为奇函数⇔f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)(定义域关于原点对称)；函数f(x)关于点(a，b)对称⇔f(x)＋f(－x＋2a)＝2b，函数f(x)关于直线x＝m对称⇔f(x)＝f(－x＋2m)．5．奇函数f(x)的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 [解析]∵f (x ＋1)为偶函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， 则f (－x )＝f (x ＋2)， 又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2. [答案]A6．设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为____________． [解析]因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. [答案]－10函数性质的综合应用4 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．0<f (1)<f (3)B ．f (3)<0<f (1)C ．f (1)<0<f (3)D ．f (3)<f (1)<0[解析]由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．故选C.[答案]C(2)已知函数f(x＋1)为偶函数，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(－1)＝0，则f(x －1)>0的解集为( )A．(－∞，0)∪(4，＋∞)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]因为函数f(x＋1)为偶函数得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称，因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，因为f(－1)＝0，所以f(3)＝0，因此由f(x－1)>0得x－1>3或x－1<－1，解得x>4或x<0.[答案]A(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是__________．[解析]由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．[答案]①②③[小结](1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0.(3)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．7．已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <4B ．－2<a <1C ．－1<a <2D ．－1<a <0[解析]因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且以3为周期，所以f (5)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝f (1)<1，即2a －3a ＋1<1，解得－1<a <4. [答案]A8．函数f(x)对任意的实数x 都有f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，若y ＝f(x －1)的图象关于x ＝1对称，且f(0)＝2，则f ()2020＋f ()2021＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4[解析]因为y ＝f(x －1)的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f(x)的图象关于x ＝0对称，即f(x)为偶函数，因为f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，所以f(1)＝0，f(x ＋2)＝f(x)，因此f ()2020＝f ()0＝2，f(2021)＝f(1)＝0，f ()2020＋f ()2021＝2.[答案]B对应学生用书p 191．(2018·全国卷Ⅱ理)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析]因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x －1)，∴f(3＋x)＝－f(x ＋1)＝f(x －1)，∴T ＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，∵f(2)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2.[答案]C2．(2019·全国卷Ⅱ理)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln2)＝8，则a＝__________．[解析]因为f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.又因为ln2∈(0，1)，f(ln2)＝8，所以－e－a ln2＝－8，两边取以e为底的对数得－a ln2＝3ln2，所以－a＝3，即a＝－3.[答案]－3。
2021届一轮复习人教A版 等比数列的性质 学案
第2课时 等比数列的性质1．等比数列的性质： (1)通项公式的推广：a n ＝a m · q n －m (m 、n ∈N ＋)．(2)公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列是 等比数列 ，公比为 q .(3)若{a n }是等比数列，且m ＋n ＝p ＋q ，m 、n 、p 、q ∈N ＋，则 a m ·a n ＝a p ·a q . (4)若等比数列{a n }的公比为q ，则{1a n }是以 1q为公比的等比数列．(5)一组等比数列{a n }中，下标成等差数列的项构成 等比数列 . (6)若{a n }与{b n }均为等比数列，则{a n b n }为 等比数列 .(7)公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为 q m.(8){a n }是等差数列，c 是正数，则数列{ca n }是 等比 数列．(9){a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0，a ≠1)是 等差 数列． 2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a ，aq ，aq 2或 a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设 a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设a q 3，a q，aq ，aq 3. Y 预习自测u xi zi ce1．在等比数列{a n }中，若 a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( A ) A ．4 B ．32 C ．169D ．3[解析] 解法一：∵a 6＝a 3·q 3， ∴a 3·q 3＝6.a 9＝a 6·q 3，∴q 3＝96＝32.∴a 3＝6q 3＝6×23＝4.解法二：由等比数列的性质，得a 26＝a 3·a 9， ∴36＝9a 3，∴a 3＝4.2．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( D ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．40[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2， ∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.3．如果数列{a n }是等比数列，那么( A ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列[解析] 数列{a 2n }是等比数列，公比为q 2，故选A ． 4．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 9＝9，则a 5＝ 3 . [解析] 由a 25＝a 1·a 9，∴a 25＝9，∴a 5＝±3. 而a 1、a 9均为正值，故a 5也为正值，∴a 5＝3.5．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 12＝ 567 . [解析] 解法一：可知a 4、a 6、a 8、a 10、a 12成等比数列．其公比为 a 6a 4＝217＝3，所以a 12＝a 4·35－1＝7×34＝567.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 6a 4＝q 2＝3. ∴a 12＝a 4·q 8＝7×34＝567.解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝7，a 6＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝7，a 1q 5＝21，两式相比得q 2＝3.∴a 12＝a 1·q 11＝(a 1·q 5)·q 6＝a 6·(q 2)3＝21×33＝567.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨运用等比数列性质解题例题1 在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10.[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q ，再求a 10. [解析] 解法一：设公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 5＝162，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝23q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23q ＝－3.∴a 10＝a 1q 9＝23×39＝13 122或a 10＝a 1q 9＝－23×(－3)9＝13 122.解法二：∵a 6＝a 2q 4，∴q 4＝a 6a 2＝1622＝81，∴a 10＝a 6q 4＝162×81＝13 122.解法三：在等比数列中，由a 26＝a 2·a 10得a 10＝a 26a 2＝16222＝13 122.『规律总结』 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．〔跟踪练习1〕(1)若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( A ) A ．－12B ．12C ．±12D ．14(2)若等比数列{a n } 的各项均为正数，且a 10·a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .[解析] (1)∵1，a 1，a 2,4成等差数列， 3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0， ∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. (2)因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12， 所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20) ＝ln(a 10·a 11)10＝10ln(a 10·a 11) ＝10·lne 5＝50.命题方向2 ⇨对称法设未知项例题2 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．[解析] 设四个数为2a q －a 、aq、a 、aq ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q ＝162aq－a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8q ＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.『规律总结』 (1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a 、q 表示四个数，也可以据前三个成等差，用a 、d 表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x ，则第二个数为16x ，则第一个数为32x－x ，最后一个数为x 316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x 的方程x 316·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x ＝－128，解之得x ＝±8，则更简捷．〔跟踪练习2〕有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为多少．[解析] 解法一：设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9.d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时， 所求四个数为0,4,8,16. 当a ＝9，d ＝－6时， 所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16. 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.解法三：设四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由条件有⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y ·16－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16，或15,9,3,1.命题方向3 ⇨有关等比数列的开放探究题例题3 已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }定义为b n ＝1n[lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n －1＋lg(ka n )]，是否存在实数k ，使得数列{b n }为等差数列？并证明你的结论．[分析] 先利用数列{a n }是等比数列，求出数列{b n }的通项公式，再求b n ＋1－b n ，看使它成为常数的条件是什么？[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1，b n ＝1n[lg a 1＋lg(a 1q )＋lg(a 1q 2)＋…＋lg(ka 1q n －1)]，解得b n ＝1n [n lg a 1＋12n (n －1)lg q ＋lg k ]＝lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ，∴b n ＋1－b n ＝[lg a 1＋12n lg q ＋1n ＋1lg k ]－[lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1n lg k ]＝12lg q －1nn ＋1lg k . 要使数列{b n }为等差数列，只需k ＝1， 故存在实数k ＝1，使得数列{b n }成为等差数列．『规律总结』 除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条件入手，找到解决问题的突破口．下面的性质要熟悉：①若{a n }是等差数列，c 是正数，则数列{ca n }是等比数列；②若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0，a ≠1)是等差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化．〔跟踪练习3〕在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝1，且a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求数列{a n }的公差d 和数列{b n }的公比q ；(2)是否存在常数a ，b 使得对一切正整数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q 1＋7d ＝q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝6d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1d ＝0(舍去)．(2)假设存在a ，b 使得a n ＝log a b n ＋b 成立， 即有1＋5(n －1)＝log a 6n －1＋b .整理，得(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0. ∵a n ＝log a b n ＋b 对一切正整数n 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧5－log a 6＝04＋b －log a 6＝0，∴a ＝56，b ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为134，求这个等比数列的公比．[误解] 设这四个数为aq －3，aq －1，aq ，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3q －3＝1，①aq －1＋aq ＋aq 3＝134.②由①得a ＝q ，把a ＝q 代入②并整理，得4q 4＋4q 2－3＝0，解得q 2＝12或q 2＝－32(舍去)，故所求的公比为12.[辨析] 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q 2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误．[正解] 设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝1，①aq ＋aq 2＋aq 3＝134.②由①得a ＝q －1，把a ＝q －1代入②并整理，得4q 2＋4q －3＝0，解得q ＝12或q ＝－32，故所求公比为12或－32.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu等比数列的性质⎩⎪⎨⎪⎧等比数列的性质等比数列中的设项方法与技巧等差数列与等比数列的综合应用。
2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第六章第1节 数列的概念与简单表示法(含解析)
第1节数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [常用结论与微点提醒]1.数列的最大(小)项，可以用⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1（n ≥2，n ∈N *）求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对任意n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n.() 解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(老教材必修5P33T4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12， a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 答案 D3.(老教材必修5P33T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.…解析 由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4. 答案 5n －44.(2020·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cos n ＋12πD.cos n ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D5.(2019·郑州一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析 由题意，得a 4＝S 4－S 3＝32. 即255a 13－63a 13＝32，解得a 1＝12.答案 126.(2020·成都诊断)数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________.解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1122＋1214，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 答案 30考点一 由a n 与S n 的关系求通项【例1】 (1)(2019·广州质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________. (2)(2020·西安模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝13a n ＋1－1，则数列{a n }的通项公式为________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)由a 1＝1，S n ＝13a n ＋1－1可得a 1＝13a 2－1＝1，解得a 2＝6，当n ≥2时，S n －1＝13a n －1，又S n ＝13a n ＋1－1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，则a n ＝6·4n －2，又a 1＝1不符合上式， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，6·4n －2，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，6·4n －2，n ≥2规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.【训练1】 (1)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________. (2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1). 两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2).又由题设可得a 1＝2，满足上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *).(2)由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 得a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63.答案 (1)22n －1(n ∈N *) (2)－63考点二 由数列的递推关系求通项 多维探究角度1 累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n【例2－1】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析 因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ， 所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *). 答案 A角度2 累乘法——形如a n ＋1a n＝f (n )，求a n【例2－2】 若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a na n －1＝nn ＋1(n ≥2).所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1(n ≥2)，又a 1也满足上式，所以a n ＝2n ＋1.答案2n ＋1角度3 构造法——形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1，B ≠0)，求a n【例2－3】 (2020·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1. 答案 a n ＝2·3n －1－1角度4 取倒数法——形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n【例2－4】 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.解析 因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n－1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1.答案 a n ＝2n ＋1规律方法 由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.(4)形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A ，B ，C 为常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝C A ·1a n ＋BA，①若A ＝C ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为B A ，②若A ≠C ，则采用待定系数法构造新数列求解.【训练2】 (1)(角度1)在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)(角度2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)(角度3)已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(4)(角度4)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，累计相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，又n ＝1时也适合，故a n ＝4－1n .(2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·2＝2n 2－n ＋22.又a 1＝2也符合上式，∴a n ＝2n 2－n ＋22.(3)因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上， 所以4a n －a n ＋1＋1＝0.所以a n ＋1＋13＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋13.因为a 1＝3，所以a 1＋13＝103.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为103，公比为4的等比数列.所以a n ＋13＝103×4n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝103×4n －1－13.(4)由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n ，所以1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a1＋1＝2，公比为2的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.答案 (1)4－1n (2)2n 2－n ＋22(3)103×4n －1－13(4)12n －1考点三 数列的性质【例3】 (1)(2019·宜春期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n}满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则a 2 019＝( ) A.73B.43C.56D.13(2)(2020·衡水中学一调)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎨⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋（m －1）n ，n ≥5.若a 5是{a n }中的最大值，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意，知a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝43，a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝13，a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝56，a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝23，a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝13，a 7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝56，……，故数列{a n }从第三项起构成周期数列，且周期为3，故a 2 019＝a 3＝13.故选D.(2)因为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋（m －1）n ，n ≥5，所以当2≤n ≤4时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式； 当n ≥6时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋m ， 当n ＝5时，a 5＝S 5－S 4＝5m －45， 综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，5m －45，n ＝5，－2n ＋m ，n ≥6，因为a 5是{a n }中的最大值，所以有5m －45≥8且5m －45≥－12＋m ，解得m ≥535. 答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫535，＋∞规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小，常用比差或比商法进行判断. 【训练3】 (1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 021＝( )A.－1B.12 C.1 D.2(2)已知等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 项取得最大值时，项数n 的值为( ) A.5B.6C.5或6D.6或7解析 (1)由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的数列，因此a 2 021＝a 3×673＋2＝a 2＝2.(2)由a 21＝a 211，可得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0，因为d <0，所以a 1－a 11≠0，所以a 1＋a 11＝0， 又2a 6＝a 1＋a 11，所以a 6＝0. 因为d <0，所以{a n }是递减数列，所以a 1>a 2>…>a 5>a 6＝0>a 7>a 8>…，显然前5项和或前6项和最大，故选C. 答案 (1)D (2)CA 级 基础巩固一、选择题1.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意. 答案 C2.已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132B.116C.14D.12解析 由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2020·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019的值为( ) A.－14B.5C.45D.54解析 在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 019＝a 673×3＝a 3＝45.答案 C4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A.31B.42C.37D.47解析 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47. 答案 D5.(2020·兰州重点高中联考)已知数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a nn 的最小值为( ) A.234B.595C.353D.12解析 数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝34＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝34＋12n (1＋2n －1)＝34＋n 2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝35符合上式，故a n ＝34＋n 2(n ∈N *)，则a nn ＝n ＋34n ≥234，等号成立时n ＝34n ，解得n ＝34，n 不为正整数，由于n 为正整数，所以n ＝5时，5＋345＝595；n ＝6时，6＋346＝353<595.则a n n 的最小值为353，故选C. 答案 C 二、填空题6.已知S n ＝3n ＋2n ＋1，则a n ＝________________. 解析 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1] ＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥27.(2019·汕头一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3(n ∈N *)，则S 10＝________________. 解析 因为a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 所以S n ＋2－S n ＋1＝3S n －S n ＋1＋3，整理得S n ＋2＝3S n ＋3，即S n ＋2＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋32，又S 2＝a 1＋a 2＝3，所以S 10＋32＝S 10＋32S 8＋32·S 8＋32S 6＋32·S 6＋32S 4＋32·S 4＋32S 2＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋32，即S 10＝S 10＋32S 8＋32·S 8＋32S 6＋32·S 6＋32S 4＋32·S 4＋32S 2＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋32－32＝363. 答案 3638.(2020·河北省级示范性高中联考)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________. 解析 因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，……， a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面(n －1)个式子左右两边分别相加 得a n －a 1＝（n ＋4）（n －1）2(n ≥2)，即a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3适合上式，所以a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，n ∈N *，所以a 39＝820.答案 820 三、解答题9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)·a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.10.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围. 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2 ＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞).B 级 能力提升11.(2019·晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 020这2 020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( ) A.98项B.97项C.96项D.95项解析 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2 020得1≤n ≤97321，又n ∈N *，故此数列共有97项.答案 B12.(2020·邵东月考)已知数列{a n }的通项为a n ＝2n ＋3(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n 2＋7n2(n ∈N *)，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{c n }，则满足c n <2 020的n 的最大整数值为( ) A.338B.337C.336D.335解析 对于{b n }，当n ＝1时，b 1＝S 1＝5，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝3n 2＋7n2－3（n －1）2＋7（n －1）2＝3n ＋2，它和数列{a n }的公共项构成的新数列{c n }是首项为5，公差为6的等差数列，则c n ＝6n －1，令c n <2 020，可得n <33656，因为n ∈N *，所以n 的最大值为336. 答案 C13.(2020·合肥联考)已知数列{a n }，a 1＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任意n ≥2，都有2a n a n S n －S 2n＝1，则{a n }的通项公式为________________.解析 n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1⇒2（S n －S n －1）（S n －S n －1）S n －S 2n ＝2（S n －S n －1）－S n －1S n ＝1⇒1S n －1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，12为公差的等差数列. ∴1S n ＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝－2n （n －1），当n ＝1时，a 1＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2 14.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8. 即a 的取值范围是(－10，－8).C 级 创新猜想15.(新背景题)(2019·福州二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个.解析 法一 由题设a ＝3m ＋2＝5n ＋3，m ，n ∈N ， 则3m ＝5n ＋1，m ，n ∈N ，当m ＝5k 时，n 不存在；当m ＝5k ＋1时，n 不存在； 当m ＝5k ＋2时，n ＝3k ＋1，满足题意； 当m ＝5k ＋3时，n 不存在； 当m ＝5k ＋4时，n 不存在.其中k ∈N .故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－615≤k≤2 011 15，则k＝0，1，2，…，134，共135个.即符合条件的a共有135个，故答案为135.法二一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为a n＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135 115，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个.答案135。