高二数学选修4-4极坐标练习题
高中数学选修4-4检测：极坐标系及其极直互化(附解析)
⎪⎭⎝4A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，2)2.点M 的直角坐标为⎪⎭⎫⎝⎛20π，，则点M 的极坐标可以为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22ππ，D.⎪⎭⎫⎝⎛2-2ππ，3.下列各点与⎪⎭⎫⎝⎛32π，表示极坐标系中同一点的是( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛322π，B.(2，π)C. ⎪⎭⎫⎝⎛372π， D.(2，2π)4．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )A ．ρ＝3，θ＝4B ．ρ＝5，θ＝4C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－435．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．6.在极坐标系中，已知点P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛46π，、P 2⎪⎭⎫⎝⎛438π，，则|P 1P 2|等于( ) A.9 B.10 C.14 D.27.下列的点在极轴上方的是( )A.(3，0)B.⎪⎭⎫⎝⎛673π，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛474π， D .⎪⎭⎫ ⎝⎛4174π，8.点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在直线的距离为________.9．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛24π，，则线段AB 的中点的极坐标为( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛422π， B.⎪⎭⎫⎝⎛42π， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛44π， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛42π，10．在极坐标系中，若A ⎪⎭⎫ ⎝⎛33π，，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛674π，，求△ABO 的面积(O 为极点)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6⎪⎭⎝4A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，2) 解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎪⎭⎫⎝⎛20π，，则点M 的极坐标可以为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22ππ，D.⎪⎭⎫⎝⎛2-2ππ，解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛22ππ，.答案 C 3.下列各点与⎪⎭⎫⎝⎛32π，表示极坐标系中同一点的是( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛322π，B.(2，π)C. ⎪⎭⎫⎝⎛372π， D.(2，2π) 解析 与极坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛32π，相同的点可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππk 232，(k ∈Z)，只有⎪⎭⎫⎝⎛372π，适合.答案 C4．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )A ．ρ＝3，θ＝4B ．ρ＝5，θ＝4C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－43解析：由公式得ρ＝x 2＋y 2＝32＋(－4)2＝5，tan θ＝y x ＝－43，θ∈[0,2π)．答案：D5．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限，tan θ＝－3，所以θ＝2k π－π3(k ∈Z)．答案：2k π－π3(k ∈Z)6.在极坐标系中，已知点P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛46π，、P 2⎪⎭⎫⎝⎛438π，，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B7.下列的点在极轴上方的是( )A.(3，0)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛673π，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛474π， D .⎪⎭⎫⎝⎛4174π，解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎪⎭⎫ ⎝⎛673π，，⎪⎭⎫⎝⎛474π，在极轴下方，点⎪⎭⎫⎝⎛4174π，在极轴上方，故选D.8.点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 3 9．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎪⎭⎫⎝⎛24π，，则线段AB 的中点的极坐标为( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛422π， B.⎪⎭⎫⎝⎛42π， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛44π， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛42π，解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．由ρ2＝x 2＋y 2，得ρ＝2 2. 因为tan θ＝22＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝π4.故线段AB 的中点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛422π，.答案：A10．在极坐标系中，若A ⎪⎭⎫ ⎝⎛33π，，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛674π，，求△ABO 的面积(O 为极点)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：由题意可知，在△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△ABO 的面积为S ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 5π6＝12×3×4×12＝3.答案：B。
(完整版)高中数学选修4-4极坐标练习题2(详细答案附后).docx
极坐标练习题2第1页共6页高中数学选修4-4 极坐标练习题 2班号姓名一、选择题1．已知M5,，下列所给出的不能表示M 点的坐标的是3A．5,3B．5,4C．5,2D．5,5 3332．点P 1,3，则它的极坐标是A．2,B．2,4C．2,D．2,433 333．极坐标方程cos表示的曲线是4A ．双曲线B ．椭圆C．抛物线D．圆4．圆 2 (cos sin) 的圆心坐标是A．1,4B．1,C．2,D．2,24445．在极坐标系中，与圆 4 sin相切的一条直线方程为A ．sin 2 B．cos 2 C．cos4D．cos46．已知点A2,, B3,O 0,0则ABO 为2,24A ．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形7．(0) 表示的图形是4A ．一条射线B．一条直线C．一条线段D．圆8．直线与cos() 1 的位置关系是A ．平行B ．垂直C．相交不垂直D．与有关，不确定9．两圆 2 cos,2sin 的公共部分面积是A.1B.2C.1D.2422极坐标练习题 2第2页共 6 页10.已知点P1的球坐标是P1(23, , ), P2的柱坐标是 P2(5, ,1) ,求P1P2的最小值.4A．2 3 6 B．23 5 C．23 5 D．2二、填空题11．极坐标方程 4 sin 2 5 化为直角坐标方程是212．圆心为C3,，半径为 3 的圆的极坐标方程为613．已知直线的极坐标方程为sin(2，则极点到直线的距离是)4214、在极坐标系中，点11到直线sin() 1的距离等于 ____________．P 2,6615、与曲线cos 1 0 关于对称的曲线的极坐标方程是___________________ ．4三、解答题16．说说由曲线y tan x 得到曲线y3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换．2， O 为极点，求使''点坐标．17．已知P 5,POP是正三角形的P318．棱长为 1 的正方体OABC D1A1B1C1中，对角线OB'与 BD '相交于点P，顶点 O 为坐标原点， OA 、 OC 分别在x轴 , y轴的正半轴上，已知点P 的球坐标P,,，求, tan , sin ．119．ABC 的底边BC10, A B, 以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹方程．220．在平面直角坐标系中已知点 A （ 3， 0）， P 是圆x 2y 2 1 上一个运点，且AOP 的平分线交PA 于 Q 点，求 Q 点的轨迹的极坐标方程．PQO A21．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C 3,，半径 r 1，Q点在圆C上运动．6（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）若 P 在直线 OQ 上运动，且OQ : QP2:3 ，求动点P的轨迹方程．22．建立极坐标系证明：已知半圆直径AB2r (r 0) ，半圆外一条直线 l 与AB所在直线垂直相交于点 T ，并且AT2a(2a r )．若半圆上相异两点M 、 N 到l的距离2MP,NQ，满足 MP:MA NQ : NA 1，则 MA NA AB ．23．如图，AD BC ，D是垂足，H是AD上任意一点，直线BH 与 AC 交于 E 点，直线CH 与 AB 交于 F 点，求证：EDA FDA ．AFEHB D C极坐标练习题 2 参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案ACDABDABCA二．填空题11． y25x25 ；12． 6 cos；13．2； 14． 3 1 ； 15． sin1 0462三．解答题16．解： ytan x 的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1，得到 ytan 2x ，2再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，得到曲线y 3 tan 2x ．设 y '3 tan x ' ，变换公式为x 'x, 0 y 'y, 0将其代入 y '3 tan x ' 得3 x '1 1 ， xy '223 y17.P '(5, )或 P '(5, ) 318.3a, tan2 ,sin1219. 解:设 M,是曲线上任意一点 ,在ABC 中由正弦定理得 :103 )sin(sin22得A 的轨迹是:30 40 sin 220.: O ,2, Q , ,P1,2为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设解 以SOQASOQPSOAP1 3 sin 1 sin 1 3 1 sin2 ， 3cos22 2221．（ 1）26 cos0 ；（ 2） 215 cos50 06622．证法一：以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为2r cos， 设 M1 ,1 ,N(2 ,2)，则 12r cos 1 ，22r cos2 ， 又MP2a 1 cos 12a 2r cos21， NQ2a2 cos22a 2r cos22 ，MP 2a 2r cos 21 2r cos 1 NQ2a 2r cos 222r cos 2cos 1, cos 2 是 方 程 r cos 2r cos a 0 的两个根，由韦达定理：cos 1cos21， MA NA2r cos 12r cos 2 2rAB证法二：以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为2r cos，设 M1 ,1, N (2, 2)又由题意知， M1 ,1, N (2 , 2 )2a上， 2r cos2a 在抛物线1 cos1 ，cosr cos 2r cos a由韦达定理： cos 1cos， cos 1 , cos 2 是方程 r cos 2r cos a 0 的两个根，21， MA NA 2r cos 1 2r cos 2 2r AB23．证明：以 BC 所在的直线为x 轴， AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，设A(0, a) ，B(b,0) ， C (c,0) ， H ( 0, t) ，则A:xylBH1，即 txby btbtFlCH x y 1，即 txcyct 0E:tHcl AC :xy 1 ，即 ax cy accaxy1 ，即 axby ab0 BDCl AB :abE bc a t , b c t，F bc t a , at c bab ct ab ctbt ac ac bt kDEb c at ab ctb c at ab ct bc a tbc a tkDFc b atbt acb c at ac bt bc t abc a tEDCFDB , EDA FDA。
新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业
选修4-4 极坐标系课时作业一、选择题1．在极坐标系中，点M (－2，π6)的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．答案：B2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3，200π)中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．答案：A3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．答案：A4．已知极坐标平面内的点P (2，－5π3)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A ．(2，π3)，(1，3)B ．(2，－π3)，(1，－3)C ．(2，2π3)，(－1，3)D ．(2，－2π3)，(－1，－3) 解析：点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)， 即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1， y ＝2sin (－2π3＝－2sin π3＝－ 3. 答案：D二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M (3，π3)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3) 7．直线l 过点A (3，π3)，B (3，π6)，则直线l 与极轴夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12. 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________． 解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π， ∴cos θ＝－35sin θ＝45∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4.∴点M 的直角坐标为(－3,4)．答案：(－3,4)三、解答题9．设点A (1，π3)，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为B (1，－π3) 关于直线L 的对称点为C (1，2π3)． 关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换îíìx ′＝2x y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得îíì 6＝2x －3＝3y ，解得îíì x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．(创新预测题)在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A (42，π4)，所以(42)2＋r2－82r·cos π4 5.即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．。
高中数学选修4-4极坐标系与极坐标方程综合练习一
第- 5 -页，共 2 页
(2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标． 解析 (1)圆 O：ρ＝cosθ＋sinθ，即 ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆 O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝x＋y，即 x2＋y2－x－y
B．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1
D．ρsinθ＝1
二、填空题：（共 10 小题，每小题 5 分）
7．若曲线的极坐标方程为 ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的 直角坐标方程为________． 8．在极坐标系中，点 P(2，－π6)到直线 l：ρsin(θ－π6)＝1 的距离是________． 9．在极坐标系中，已知两点 A，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则△AOB(其中 O 为极点)的面积为________． 10．在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋π4)＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长为________． 11．在极坐标系中，圆 ρ＝2cosθ 的圆心的极坐标是________，它与方程 θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐 标是________． 12．(2013·西安五校)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1 的交点的极坐标为________． 13．(2013·沧州七校联考)在极坐标系中，直线 ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0 被曲线 C：ρ＝2 所截得弦的中点的极坐标为 ________． 14．已知点 M 的极坐标为(6，116π)，则点 M 关于 y 轴对称的点的直角坐标为________． 15．在极坐标系中，点 P(2，32π)到直线 l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3 的距离为________．
高中数学选修4-4 极坐标与参数方程专项训练题
详解：（1） 的参数方程 ，消参得普通方程为 ，
的极坐标方程化为 即 ；
详解：解：（1）曲线C1的参数方程为 （t为参数），
消去参数t得普通方程为 ，
曲线C2的极坐标方程为 ，两边同乘以 ，
得 ，所以其直角坐标方程为
（2）曲线C1过点P（0，1），则其参数方程为 ，
将其代入方程 得，
，
化简得 ，
设上式方程的根为 ，所以 ，
所以
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题.
7、在平面直角坐标系中，以原点为极点.以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线 和直线 的直角坐标方程；
（2）设直线 过点 与曲线 交于不同两点 ， 的中点为 ， 与 的交点为 ，求 .
8、平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出 的普通方程和极坐标方程；
（2）设 ， 是 上的两点，且 ，求 的值．
6、在直角坐标系 中，直线 的参数方程 （ 为参数， ），曲线 的参数方程 （ 为参数）．
（1）求曲线 在直角坐标系中的普通方程；
（2）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 截直线 所得线段的中点极坐标为 时，求 ．
设 点的参数分别为 ，把 代入 整理得
最新选修4-4极坐标练习题(有答案)-精选.pdf
姓名
班别
成绩
一、选择题（每题 5 分，共 50 分）
1．将点的直角坐标 ( －2，2 3 ) 化成极坐标得 (
)．
A．( 4， 2 )
3
2．极坐标方程
B．( － 4， 2 )
3
C．( － 4， )
3
D． ( 4， )
3
cos ＝ sin2 ( ≥0) 表示的曲线是 (
8
当 l2 与 C2 只有一个公共点时，
|k 2| A 到 l2 所在直线的距离为 2 ，所以 k 2 1
2 ，故 k
0或 k
4
．
3
经检验，当 k 0 时， l1 与 C2 没有公共点；当 k
综上，所求 C1 的方程为 y
4 |x| 2．
3
4 时， l 2与 C 2 没有公共点． 3
9
3
2
2
21.（12 分）在直角坐标系 xOy 中， 直线 C1 : x = 2，圆 C2 ： x 1
y 2 1 ,以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（ 1）求 C1 ， C2 的极坐标方程； （ 2）若直线 C3 的极坐标方程为
R ，设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 C2MN 的面积 . 4
3． B
解析：原方程化为
cos 2 ，即 x 2＋ y2＝ 2－ x ，即 y2＝ 4( 1－ x) ．故选 B．
4． D
解析：∵ x＋ 2y＝ 3，即 x＋ 2y－3＝0，又∵ 0≤ ≤ π， ＞ 0，故选 D． 4
5． B 解析：两曲线化为普通方程为
y＝ 2 和 ( x＋ 1) 2＋ y2＝1，作图知选 B．
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π4)，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．1、【详解】 （1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√12+12=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22ty =4+√22t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。
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高二数学选修4-4 《极坐标》练习题
一．选择题 1．已知⎪⎭
⎫
⎝
⎛-3,
5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3
4,5π
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π
D ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--35,5π
2．点()
3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫
⎝
⎛3,
2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,
1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛4,2π
5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为
A ．2sin =θρ
B ．2cos =θρ
C ．4cos =θρ
D ．4cos -=θρ
6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭
⎫
⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
-ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4
≤=
ρπ
θ表示的图形是
A ．一条射线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．圆 8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是
A 、平行
B 、垂直
C 、相交不垂直
D 、与
有关，不确定
9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.
214
-
π
B.2-π
C.12-π
D.2
π 10.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
二．填空题（每题5分共25分）
11、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 12．极坐标方程52
sin 42
=θ
ρ化为直角坐标方程是
13．圆心为⎪⎭
⎫
⎝⎛6,
3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 14．已知直线的极坐标方程为2
2
)4
sin(=
+
π
θρ，则极点到直线的距离是 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫
⎝
⎛611,
2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
16、与曲线01cos =+θρ关于4
π
θ=
对称的曲线的极坐标方程是__________________。
17、 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点， 则|AB|= 。
三．解答题（共75分） 18、（1）把点M 的极坐标)32,
8(π，),6
11,4(π
),2(π-化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-，)15,0()2,2(--和化成极坐标
19．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程。
20．已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛
π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的'
P 点坐标。
21．ABC ∆的底边,2
1
,10B A BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。
22．在平面直角坐标系中已知点A （3，0），P 是圆珠笔(
)
12
2=+y x 上一个运点，且AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。
O
P
A
Q
F
E D B C
A
H 23、在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎪⎭
⎫
⎝⎛6,
3π，半径=1，Q 点在圆C 上运动。
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）若P 在直线OQ 上运动，且OQ∶QP=2∶3，求动点P 的轨迹方程。
24．如图，BC AD ⊥，D 是垂足，H 是AD 上任意一点，直线BH 与AC 交于E 点，
直线CH 与AB 交于F 点，求证：FDA EDA ∠=∠.
数学选修4-4 《极坐标》测验题
答案
一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
C
D
A
B
D
A
B
C
C
二．填空题
11.0322=-+-y y x x 12．42552
+
=x y ； 13．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=6cos 6πθρ； 14．
2
2
； 15．13+； 16． 01sin =+θρ 17.32 三．解答题
18. （1）)0,2(),2,32(),34,4(---
（2）（)2
3,15(),47,22(),611,
22(π
ππ） 19．解：x y tan =的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
2
1
，得到x y 2tan =，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线x y 2tan 3=。
20. )3
,5('
π
P 或),5('πP
21.解:设()θρ,M 是曲线上任意一点,在ABC ∆ 中由正弦定理得:
2
sin
10)
2
3
sin(θ
θπρ
=
-
得A 的轨迹是:2
sin
40302
θ
ρ-=
22.解:以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()θρ,Q ,()θ2,1P
O AP O Q P O Q A S S S ∆∆∆=+
θθρθρ2sin 1321sin 21sin 321⋅⋅⋅=+⋅∴ ; ∴ θρcos 2
3
= 23．（1）06cos 62
=⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
-πθρρ , （2）0506cos 152
=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛--πθρρ
F
E D B C
A H
24．证明：以BC 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，
设),0(a A ，)0,(b B ，)0,(c C ，),0(t H ，则
1:
=+t y
b x l BH ，即0=-+bt by tx 1:=+t y
c x l CH ，即0=-+ct cy tx
1:=+a y
c x l AC ，即0=-+ac cy ax
1:=+a y
b x l AB ，即0=-+ab by ax
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----∴ct ab t c b ct ab t a bc E ,，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----∴bt ac b c at ac bt a t bc F ,
()()()()()()t a bc at c b t a bc ct ab ct ab at c b k DE --=--⋅--=
∴ ()()()()()()
t a bc at c b a t bc ac bt bt ac at b c k DF ---=--⋅--=
∴ ,FDB EDC ∠=∠∴ F D A E D A ∠=∠。