高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质教案新人教A版必修5
高中数学 第二章 数列 数列极限教学设计 新人教A版必修5(2021年整理)
数列极限“数列极限"这节内容为一课时（45分钟），在课堂上很圆满地完成本节课的教学任务。
对本节课的教学我从如下的五个方面进行说明:一、教材分析1．教材的地位和作用（1)在数学中的地位和作用众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.（2）在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册(选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课.这部分内容在课本第73页至76页。
是全章内容的起点，重点 .2．本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念;能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想.3．教学重点、难点、关键的确定教学重点：数列极限的概念教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键:教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质(即定义）确立依据:这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。
二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下：(1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；(2）能力目标:1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析,使学生理解数列极限的定义,学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力.2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程.（3）情感态度与价值观目标：1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。
确立依据:基于对教材、教学大纲和教学内容的分析，制定相应的教学目标。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
高中数学第二章数列 第2课时等差数列的性质学案含解析新人教A版必修
第2课时等差数列的性质[目标] 1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题．[重点] 等差数列性质的应用．[难点] 等差数列性质的理解．知识点一等差数列的重要性质[填一填]1．a n＝a m＋(n－m)d(m,n∈N*)．2．若m＋n＝p＋q(m,n,q,p∈N*),则a m＋a n＝a p＋a q.[答一答]1．在等差数列{a n}中,若a m＋a n＝a p＋a q(m,n,p,q∈N*),则m＋n＝p＋q成立吗？提示：不一定．若数列{a n}是常数列,则m＋n＝p＋q不一定成立．2．在公差为d的等差数列{a n}中,若m＋n＝2p(m,n,p∈N*),则2a p与a m,a n有何关系？提示：2a p＝a m＋a n.3．在等差数列{a n}中,若m＋n＝p,则a m＋a n＝a p成立吗？提示：不成立．知识点二等差数列的其他性质[填一填]1．若{a n}是公差为d的等差数列,则下列数列：(1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){a n＋a n＋k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列．2．若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n＋qb n}(p,q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[答一答]4．在等差数列中,如何判断数列的单调性？提示：在等差数列{a n}中,a n＝a1＋(n－1)d.当d>0时,{a n}是递增数列；当d＝0时,{a n}是常数列；当d<0时,{a n}是递减数列．5．判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”． (1)等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列．( √ ) (2)摆动数列不可能是等差数列．( √ )(3)在等差数列{a n }中,若m ＋n ＋p ＝3t ,则a m ＋a n ＋a p ＝3a t .( √ )类型一 等差数列的性质应用[例1] (1)已知等差数列{a n },a 5＝10,a 15＝25,求a 25的值； (2)已知等差数列{a n },a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝70,求a 1＋a 9的值；(3)已知数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1＝2,b 1＝－3,a 7－b 7＝17,求a 19－b 19的值． [分析] 分析题目,可利用等差数列的性质,也可利用通项公式求解． [解] (1)方法一：设{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝32，故a 25＝a 1＋24d ＝4＋24×32＝40.方法二：因为5＋25＝2×15,所以在等差数列{a n }中有a 5＋a 25＝2a 15,从而a 25＝2a 15－a 5＝2×25－10＝40.方法三：因为5,15,25成等差数列,所以a 5,a 15,a 25也成等差数列,因此a 25－a 15＝a 15－a 5,即a 25－25＝25－10,解得a 25＝40.(2)由等差数列的性质,得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 1＋a 9,所以a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝70,于是a 5＝14,故a 1＋a 9＝2a 5＝28.(3)令c n ＝a n －b n ,因为{a n },{b n }都是等差数列,所以{c n }也是等差数列,设其公差为d ,由已知,得c 1＝a 1－b 1＝5,c 7＝17,则5＋6d ＝17,解得d ＝2,故a 19－b 19＝c 19＝5＋18×2＝41.在等差数列中,一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算,借助于a 1,d 建立方程组进行运算,这是最基本的方法；二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.[变式训练1] (1)在等差数列{a n }中,a 2＝－5,a 6＝a 4＋6,则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7 D ．－4解析：∵{a n }是等差数列,∴a 6－a 4＝6＝2d . ∴d ＝3.∴a 1＋d ＝－5.∴a 1＝－8.(2)若数列{a n }的公差为2,则数列{3a n －2}的公差为( D ) A ．3 B ．4C．5 D．6解析：∵数列{a n}的公差为2,∴数列{3a n－2}的公差为3×2＝6.(3)设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1＝25,b1＝75,a2＋b2＝100,那么由a n＋b n所组成的数列的第37项的值为( C )A．0 B．37C．100 D．－37解析：设c n＝a n＋b n,则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100,c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.故c n＝100(n∈N*)．从而c37＝100.类型二等差数列的实际应用[例2] 有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所买各台单价均减少20元,但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少？[分析] 先求出购买n台时甲商场的售价,再与购买n台时乙商场的售价作差比较．[解]设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价为a n元,当a n不低于440时,a1,a2,…,a n构成等差数列,则a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于或等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当购买台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600(元)．又(800－20n)n－600n＝20n(10－n),所以,当n<10时,600n<(800－20n)n；当n＝10时,600n＝(800－20n)n；当10<n≤18时,(800－20n)n<600n；当n>18时,440n<600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少；当购买10台时,到两商场购买花费相同；当购买台数多于10台时,到甲商场购买花费较少．1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.[变式训练2] 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？解：由题知：a 1＝3,a 2＝5,a 3＝7,a 4＝9,…,可知其是以3为首项,2为公差的等差数列,则a n ＝2n ＋1,当n ＝102时,a 102＝205,当a n ＝999时,2n ＋1＝999,n ＝499.答：第102个雕塑是由205只蝴蝶组成的；由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个． 类型三 等差数列的综合应用[例3] 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都是100项,求它们有多少个共同的项．[分析] 先写出两数列的通项公式,利用两通项公式寻找共同的项． [解] 解法一：设两个数列分别为{a n }与{b k }, 则a 1＝5,d 1＝8－5＝3,通项a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3,d 2＝7－3＝4,通项b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1. 设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同, 即a n ＝b k ,即3n ＋2＝4k －1. ∵n ＝43k －1,而n ∈N *,k ∈N *,∴k 必须为3的倍数,设k ＝3r (r ∈N *),得n ＝4r －1,由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，解得12≤r ≤1014,又∵r ∈N *,∴1≤r ≤25(r ∈N *)． ∴共有25个共同的项．解法二：由解法一知两数列的通项分别为a n ＝3n ＋2,b k ＝4k －1,设共同项构成新数列{c n },则c 1＝11,∵数列{a n },{b n }均为等差数列,∴数列{c n }仍为等差数列,且公差为d ＝12. ∴c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1. 又∵a 100＝302,b 100＝399, ∴c n ＝12n －1≤302,∴n ≤25.25,∴两数列有25个共同项．本题是探求两个数列的公共项问题,解法一是常规解法,解法二利用了最小公倍数．通常是从通项公式入手,建立a n ＝b m 这样的方程,再求其一定范围内的整数解．本题常见的错误是求得数列a n ＝3n ＋2,b n ＝4n －1,即令3n ＋2＝4n －1,解得n ＝3,所以有一个公共项11,这显然是错误的．[变式训练3] 把数列{2n ＋1}中的项依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,…循环,为：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第104个括号内的各数之和为( D )A ．2 036B ．2 048C ．2 060D ．2 072解析：由观察发现,每四个括号是一个循环,一个循环由10个数组成,104个括号有26个循环,则第104个括号内有四个数,这四个数为数列3,5,7,9,…的第257项、第258项、第259项、第260项,分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2,即515,517,519,521,其和为2 072.故选D.1．等差数列{a n }中,若a 2＋a 4 024＝4,则a 2 013＝( A ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．－2解析：∵2a 2 013＝a 2＋a 4 024＝4,∴a 2 013＝2.2．已知等差数列{a n }中,a 7＝π4,则tan(a 6＋a 7＋a 8)等于( C )A ．－33B ．－ 2C ．－1D ．1解析：∵在等差数列{a n }中,a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝3π4,∴tan(a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3π4＝－1.3．如果等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＝6,则数列{2a n －3}是公差为4的等差数列． 解析：设数列{a n }的公差为d ,则a 3－a 1＝2d ＝4, 即d ＝2.故数列{2a n －3}的公差为4.4．在等差数列{a n }中,a 3＝7,a 5＝a 2＋6,则a 6＝13. 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 5＝a 2＋6,∴a 5－a 2＝6,即3d ＝6,d ＝2. ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13. 5．在等差数列{a n }中： (1)若a 5＝a ,a 10＝b ,求a 15； (2)若a 3＋a 8＝m ,求a 5＋a 6； (3)若a 5＝6,a 8＝15,求a 14. 解：(1)∵a 5＋a 15＝2a 10,∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .(2)解法一：∵a 3＋a 8＝(a 1＋2d )＋(a 1＋7d ) ＝2a 1＋9d ＝m ,∴a 5＋a 6＝(a 1＋4d )＋(a 1＋5d )＝2a 1＋9d ＝m . 解法二：∵5＋6＝3＋8, ∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝m .(3)解法一：∵a 8＝a 5＋(8－5)d , 即15＝6＋3d ,∴d ＝3.∴a 14＝a 8＋(14－8)d ＝15＋6×3＝33. 解法二：∵数列{a n }是等差数列,∴数列a 5,a 8,a 11,a 14,…是等差数列,首项a 5＝6,公差d ＝a 8－a 5＝15－6＝9, ∴第四项a 14＝6＋3×9＝33.——本课须掌握的问题运用等差数列的性质,能够简化问题,提高准确性．常用的性质主要有： (1)d ＝a m －a n m －n(m ,n ∈N *,且n ≠m )； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)； (3)若m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N *), 则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地,若m ＋n ＝2p (m ,n ,p ∈N *), 则a m ＋a n ＝2a p .在解决等差数列问题时要注意项数(即项的下标)之间的关系．。
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)
(D)-
3
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【解析】选D.∵{an}为等差数列，a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= π.4
又∵a2+a12=2a7, 3 ∴a2+a12= 8 π,
∴tan(a2+a312)=- . 3
第29页，共46页。
2.设{an}为公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则
m的值为（ ）
（A）8
（B）4
（C）6
（D）12
【解析】选A.在等差数列{an}中，d>0. ∴数列{an}为递增数列.
又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.
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二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·济宁高二检测）在等差数列{an}中，已知公差
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【解析】(1)由等方差数列的定义可知：a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列，设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).又 {an}是等方差数列，∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+ an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)，即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.
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第46页，共46页。
∴lgalg=a-lglbgb,∴ab=1.
答案：1
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4.（15分）如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它的 前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做 这个数列的公方差.
高一数学人教A版必修5第二章2.2等差数列的性质教案
学科数学年级/册高一（必修5）教材版本人教版课题名称等差数列的性质难点名称1、理解等差数列概念的基础上探究等差数列性质；2、用等差数列的概念及通项公式来证明其性质。
难点分析从知识角度分析为什么难等差数列是一种最基本的数列,研究它的性质,需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现；而且等差数列的学习需要前后知识的链接，要循序渐进，掌握好每一个知识点。
从学生角度分析为什么难学生对等差数列有了一定的认识与理解，但是还不能熟练求解和灵活运用；同时高一学生思维活跃，积极性高，但往往不能很好的控制，容易开小差；而且学生的计算和变通能力还比较薄弱。
难点教学方法1、通过搭设台阶，降低坡度，引导学生从等差数列的概念出发，通过观察、分析、归纳、推理来探究其性质；2、通过对等差数列性质的讲解，进一步渗透函数思想。
教学环节教学过程导入在上一节中我们已经学习了等差数列，掌握了等差数列的定义、通项公式与公差，作为一类特殊的数列，它是否具有某些特殊的性质，又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢？（设计意图：本节主要进一步熟练等差数列的通项公式的运用和对一些性质的掌握，因此设计的引入比较直接）知识讲解（难点突破）问题1：对于三个数成等差数列,我们定义等差中项在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)3,(),5;(2)-8,(),0;(3)a,(),b.（设计意图：通过三个数成等差数列引出等差中项的概念。
）等差中项定义：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b组成等差数列，可以看成最简单的等差数列。
这时A叫做a与b的等差中项。
问题2：观察下列几个数列，研究公差与数列单调性的关系（1）1，3，5，7，9……；（2）16，12，8，4，0……；（3）3，3，3，3，3……；（设计意图：引导学生观察，得出数列的第一个性质。
）性质一：若数列{}n a是等差数列，公差为d，若0>d,则{}n a是递增数列；若0<d,则{}n a是递减数baA+=2⇒。
高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列教学设计 新人教A版必修5
等差数列一、教学目标1、通过实例，理解等差数列的概念；2、探索并掌握等差数列的通项公式；3、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；4、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；5、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．二、教学重难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；等差数列的通项公式、性质及应用难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题三、教学过程（一）思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，由学生归纳和概括出：以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
注意：⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{n a },若 n a －1 n a =d (d 是与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差；(3)若d =0, 则该数列为常数列．提问：（1）你能举一些生活中的等差数列的例子吗？（2）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 2b a A += 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。
高中数学 第二章 数列(二)教学设计 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案
（新课标）2015-2016学年高中数学第二章数列（二）教学设计新人教A版必修5从容说课在上节课的内容安排的基础上，本节课安排等差数列与等比数列的综合训练，目标是使学生更熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题，提高运算速度和运算能力.教学重点熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.教学难点解题思路和解题方法的优化.教具准备多媒体课件，投影胶片，投影仪等三维目标一、知识与技能1.熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题;2.提高运算速度和运算能力.二、过程与方法1.精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤;2.在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力.三、情感态度与价值观1.在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质;2.在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识.教学过程导入新课师这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.生(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨.推进新课师 出示投影胶片1：例题1：【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3，试问：是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. ［合作探究］师 这道题涉及到两个数列｛a n ｝和｛b n ｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n ，b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于｛a n ｝是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q.由已知a 1=b 1=1，a 2=b 2,a 8=b 3，可以列出方程组⎩⎨⎧=+=+2711qd q d . 解出d 和q ，则a n ,b n 就确定了.师 如果a n 和b n 确定了，那么a n =log a b n ＋b 就可以转化成含有a ，b ，n 的方程，如何判断a ，b 是否存在呢？生 如果通过含有n ，a ，b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a ，b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由.师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？解：设等差数列｛a n ｝的公差为d (d ≠0)，等比数列｛b n ｝的公比为q ，则解得d =5，q=6.所以a n =5n -4.而b n =6 n -1，若存在常数a ，b ，使得对一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立， 即5n -4=log a 6 n -1＋b ,即5n -4=(n -1)log a 6＋b ,即(log a 6-5)n ＋(b -log a 6＋4)=0.对任意n ∈N *都成立. 只需 ⎩⎨⎧=+-=-046log 056log a a b 成立. 解得a =661,b =1.所以存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立.师 本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式.a n 和b n 确定了，其他的问题就可以迎刃而解.可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键.师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值. ［合作探究］师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解. 请学生读题，并逐句分析已知条件.生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x-d ，x ，x ＋d ,则x-d ＋x ＋x ＋d =300.生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d ＋10， x ＋10，x ＋d ＋11，则(x ＋10)2=(x-d ＋10)(x ＋d ＋11).师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x ，d . 板 书：解：设原计划三年的产值为x-d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值为x-d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋11. ⎩⎨⎧+=+++-=+++-.)10()11)(10(,3002x d x d x d x x d x 解得x=100，d =10，x-d =90,x+d =110.答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清a n 和S n ，抓住基本量a 1，d (q)，再调用有关的概念和公式求解.师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{a k n }是公比为q 的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值.［合作探究］师 题目中数列{a k n }与{a n }有什么关系？生 数列{a k n }的项是从数列{a n }中抽出的部分项.师 由已知条件k 1=1，k 2=5，k 3=17可以知道等差数列{a n }中的哪些项成等比数列？ 生 a 1，a 5，a 17成等比数列.师 要求的k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值，实质上求的是什么？生 实质上就是求数列{k n }的前n 项和.师 要求｛k n ｝的前n 项和，就要确定数列{k n }的通项公式.应该从哪儿入手？生 应该从求等比数列{a k n }的公比入手.其公式为15a a . 师 a 5，a 1要由等差数列｛a n ｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d 和a 1了.生 如果设等差数列{a n }的公差为d ，那么a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d ，由于a 1，a 5，a 17成等比数列，则有(a 1＋4d )2=a 1(a 1＋16d )，从而a n 应该可以求出了.师 请同学们把刚才的分析整理出来.(投影胶片4)解：设数列｛a n ｝的公差为d ，d ≠0，则a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d .因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则 (a 1＋4d )2=a 1 (a 1＋16d )，即2d 2=a 1d .又d ≠0，则a 1=2d .所以a n =a 1＋(n -1)d =2d ＋(n -1)d =(n ＋1)d .因为数列{a k n }的公比为q ，则3)11()15(15=++==d d a a q , 所以a k n =a k1·3 n -1=a 1·3n -1=2d ·3n -1.又a k n =(k n +1)d ,则2d ·3 n -1＝(k n +1)d .由d ≠0，知k n =2·3 n -1-1(n ∈N *).因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n=2·3 0-1＋2·31-1＋2·32-1＋…＋2·3n -1-1=2(30＋31＋32＋…＋3n -1)-n =2·133-n -n =3n -n -1. 师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的.师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.(1)求数列{bn }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与3log 1+n a b 的大小，并证明你的结论. ［合作探究］ 师 数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步.请同学们快速准确地求出b n .生 快速求解.(1)解：设数列{b n }的公差是d ，由题意得b 1＝1,10b 1＋21×10×(10-1)d ＝145, 解得b 1＝1,d ＝3.∴b n ＝3n -2.师 在下一个问题中，数列{a n }与数列{b n }具有什么关系呢？数列{a n }具有什么特征？ 生 数列{a n }是由数列{b n }生成的一个新的数列？由a n ＝log a (1＋n b 1)＝log a (1+231-n )，可知数列{a n }不是特殊数列. 师 题中比较S n 与3log 1+n a b 的大小，你现在能作出预料吗？ 生 不能，S n 是什么样子还不清楚.需要得出S n ，才能进一步思考.师 那就请同学们先把S n 求出来.生 写出S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n )＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )]. 发现式中的那个积不太好处理. 师 能不能现在就和3log 1+n a b 联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？ 生 因为3log 1+n a b =log a 313+n ，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小. 师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法.师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题.(投影胶片6)(2)解:由b n ＝3n -2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n ) ＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )], 3log 1+n a b =log a 313+n , 因此要比较S n 与3log 1+n a b 的大小，可先比较(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )与313+n 的大小.取n ＝1，有(1＋1)＞3113+⨯,取n ＝2，有(1＋1)(1+41)＞3123+⨯, ……由此推测(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 1.(*) 若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b , 当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b . (对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考)下面对(*)式加以证明：证法一：记 A n ＝(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )(1+131+n )=21×45×78×…×2313--n n ,D n ＝313+n , 再设n n C n n B n n 313...9106734,133...895623+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯=, ∵当k∈N 时，121+++k k k k ＞恒成立， 于是A n ＞B n ＞C n .∴A n 3＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D n 3.∴A n ＞D n , 即(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 成立. 由此证得：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b . 当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b . 证法二：∵2313...710471413-+⨯⨯⨯⨯=+n n n , 因此只需证1＋231-k ＞332313-+k k 对任意自然数k 成立, 即证2313--k k ＞332313-+k k ,也即(3k-1)3＞(3k ＋1)(3k-2)2,即9k ＞5. 该式恒成立，故1＋231-k ＞332313-+k k . 取k ＝1，2，3，…n 并相乘即得A n ＞D n .师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用.课堂小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d (q)，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒.布置作业1.合作探究复习参考题B 组题.2.开展探究活动，思考并解答补充作业.板书设计本章复习(二)例1 典型例题剖析 例4 例2 例3习题详解(课本第75页复习参考题)B 组1.（1）B ；（2）D .2.（1）不成等差数列.可以从图象上解释.a ,b ,c 成等差数列，则通项公式为y=p n +q 的形式，且a ,b ,c 位于同一直线上，而a 1,b 1 ,c 1的通项公式却是q pn y +=1的形式，a 1,b 1 , c 1不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列.因为a ,b ,c 成等比，有b 2=a c ，又由于a ,b ,c 非零，两边同时取倒数，则有 c a b1112⨯=， 所以a 1, b 1,c1也成等比数列. 3.体积分数：0.033×(1+25%)6≈0.126，质量分数：0.05×(1+25%)6≈0.191.4.设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为A n ,B n ,C n ，第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也是4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列，则A n =38n ； B n =4n +2)1(-n n ×4=2n 2+2n ； C n =21)21(4.0--n =0.4(2n -1). 下面考察A n ,B n ,C n ,看出n ＜10时,38n ＞0.4(2n-1).因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.n ≥10时，A n ≤C n ,B n ≤C n ,因此，选用第三种付费方式.5.第一个星期选择A 种菜的人数为a ，即a 1=a ，选择B 种菜的人数为b 1=500-a ，所以有以下关系式:a 2=a 1×80%+b 1×30%， a 3=a 2×80%+b 2×30%,……a n =a n -1×80%+b n -1×30%，a n +b n =500,所以a n =150+21a n -1,b n =500-a n =350-21 a n -1. 如果a 1=300,则a 2=300,a 3=300,…,a 10=300.6.略7..设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，2002年底剩余资金是1 000(1+50%)-x ，2003年底剩余资金是［1 000(1+50%)-x ］(1+50%)-x,1 000(1+50%)2-(1+50%)x-x,……5年后达到资金1 000(1+50%)5-(1+50%)4x-(1+50%)3x-(1+50%)2x-(1+50%)x=2 000，解得 x=459万元.备课资料备用习题1.公差不为零的等差数列的第2、第3、第6项依次成等比数列，则公比是( )A. 1B. 2C. 3D.4 2.若等差数列{a n }的首项为a 1=1，数列{b n }为等比数列，把这两个数列对应项相加所得的新数列{a n ＋b n }的前三项为3，12，23，则{a n }的公差与{b n }的公比之和为( )A.-5B.7C.9D.143.在等差数列｛a n ｝中，a 1，a 4，a 25依次成等比数列，且a 1＋a 4＋a 25=114，求成等比数列的这三个数.4.设数列{a n }是首项为1的等差数列，数列{b n }是首项为1的等比数列，又c n =a n -b n (n ∈N *)，已知c 2=61,c 3=92,c 4=547，试求数列{c n }通项公式与前n 项和公式. 5.某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，这三年总产量为1 500吨，第二年到第四年每年增长的百分数相同，这三年总产量为1 820吨，求这四年每年的产量各是多少吨？参考答案：1.C2.C3.由⎩⎨⎧=++=+,114273),24()3(1121d a d a d a解得a 1=38,d =0，或a 1=2,d =4，所以三个数为38，38，38,或2，14，98.4.设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+.54731,9221,61132q d q d q d 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,34d q , 5.设前三年产量依次为a -d ，a ，a ＋d ，则a -d ＋a ＋a ＋d =1 500，解得a ＝500.后三年产量依次为a ,a +d ,a d a 2)(+，由已知a +a +d +ad a 2)(+ =1 820.解得d =100.所以，四年产量依次为400,500,600,720吨.。
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2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。
设计流程如下:。