【2019最新】高中数学第三章直线与方程3-2直线的方程3-2-3直线的一般式方程优化练习

【2019最新】高中数学第三章直线与方程3-2直线的方程3-2-3直
线的一般式方程优化练习 直线的一般式方程
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为( )
A ．4x ＋3y ＋12＝0
B ．4x ＋3y －12＝0
C ．4x －3y ＋12＝0
D ．4x －3y －12＝0 解析：由已知得方程为x －3＋y 4
＝1， 即4x －3y ＋12＝0.
答案：C
2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( )
A ．a ＝2，b ＝5
B ．a ＝2，b ＝－5
C ．a ＝－2，b ＝5
D ．a ＝－2，b ＝－5 解析：直线5x －2y －10＝0可以化为截距式方程x 2＋y
－5
＝1，所以a ＝2，b ＝－5. 答案：B
3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限 解析： y ＝－a b x ＋c b ，∵k ＝－a b >0，c b
<0，∴该直线过第一、三、四象限．
答案：C
4．过点M (2,1)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点．若M 为线段PQ 的中点，则这条直线方程为( )
A ．2x －y －3＝0
B ．2x ＋y －5＝0
C ．x ＋2y －4＝0
D ．x －2y ＋3＝0 解析：设y －1＝k (x －2)，令x ＝0得y ＝1－2k ，
则0＋－2k 2＝1，解得k ＝－12
， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
答案：C
5．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )
A ．2x ＋y －6＝0
B ．x －2y ＋7＝0
C ．x －y ＋3＝0
D ．x ＋2y －9＝0
解析：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点B (a ，b )，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b ＋22－5＝0，
b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，所以B (3,5)．
联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4，
所以直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)．
所以反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3
(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0.
答案：B
6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为____________．
解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.
答案：2x －y ＋1＝0
7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，
(1)若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为________；
(2)若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为________．
解析：(1)由题设可知，l 2与l 1的斜率互为相反数，且过点(0,3)，∴l 2的方程为：y ＝－2x ＋3
(2)由题设可知，l 1与l 3的斜率互为相反数，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，∴l 3的方程为：y ＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32＝－2x －3.
答案：(1)y ＝－2x ＋3 (2)y ＝－2x －3
8．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．
解析：AB ⊥l 1时，AB 最短，所以AB 斜率为k ＝1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0
9．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．
解析：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线方程的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，
即2x －y －1＝0.
(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线方程的斜率是－13
. ∴所求直线方程为y ＋2＝－13
(x ＋2)， 即x ＋3 y ＋8＝0.
10．直线方程Ax ＋By ＋C ＝0的系数A ，B ，C 满足什么条件时，这条直线具有如下性质？
(1)与x 轴垂直；(2)与y 轴垂直；(3)与x 轴和y 轴都相交；(4)过原点．(AB 不全为0) 解析：(1)∵与x 轴垂直的直线方程为x ＝a ，即x －a ＝0，它缺少y 的一次项，∴B ＝0.故当B ＝0且A ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与x 轴垂直．
(2)类似于(1)可知：当A ＝0且B ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与y 轴垂直．
(3)要使直线与x ，y 轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)可知：
当A ≠0且B ≠0，即AB ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与x 轴和y 轴都相交．
(4)将x ＝0，y ＝0代入Ax ＋By ＋C ＝0，得C ＝0.
故当C ＝0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0过原点．
[B 组 能力提升]
1．三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )
A ．a ≠±1
B ．a ≠1，a ≠2
C ．a ≠－1
D ．a ≠±1，a ≠2
解析：直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都经过原点，而无论a 为何值，直线x ＋ay ＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x ＋ay ＝3与另两条直线不平行．∴a ≠±1. 答案：A
2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直，则a 的值为( )
A ．－6
B ．6
C ．－45 D.45
解析：若两直线垂直，则2(a －2)＋3a ＝0，解得a ＝45
. 答案：D
3．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为
( )
A ．－4
B ．20
C ．0
D ．24
解析：由直线互相垂直可得－a 4·25
＝－1， ∴a ＝10，所以直线方程为5x ＋2y －1＝0，
又垂足(1，c )在直线上，所以代入得c ＝－2，
再把点(1，－2)代入另一方程可得b ＝－12，
所以a ＋b ＋c ＝－4.故选A.
答案：A
4．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．
解析：∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，也在a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，
∴2a 1＋b 1＋1＝0
① 2a 2＋b 2＋1＝0
② ①－②得2(a 1－a 2)＝－(b 1－b 2)≠0
∴b 1－b 2a 1－a 2
＝－2 ∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为：
y ＝－2(x －a 1)＋b 1＝－2x ＋2a 1＋b 1＝－2x －1，
即2x ＋y ＋1＝0.
答案：2x ＋y ＋1＝0
5．若方程x ＋y －6x ＋y ＋3m ＝0表示两条不重合的直线，求实数m 的取值范围． 解析：设x ＋y ＝t ，t ≥0，
由已知方程x ＋y －6x ＋y ＋3m ＝0表示两条不重合的直线，
即关于t 的方程t 2－6t ＋3m ＝0有两个不相等的非负实数根．
则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝36－12m ＞0，3m ≥0，
6＞0，
解得0≤m ＜3.
所以实数m 的取值范围是[0,3)．
6．已知定直线l ：y ＝4x 和定点P (6,4)，点Q 为第一象限内的点且在直线l 上，直线PQ 交x 轴正半轴于M ，求当△OMQ 的面积最小时Q 点的坐标．
解析：如图，因为Q 点在y ＝4x 上， 故可设Q 点坐标为(t,4t )， 于是PQ 所在直线方程为
y －4＝4t －4t －6
·(x －6)． 可求得点M 的坐标为M ⎝
⎛⎭
⎪⎫5t t －1，0， 则△OMQ 的面积为 S (t )＝12·5t t －1·4t ＝10t 2t －1
. 去分母得10t 2
－St ＋S ＝0.
∵t ∈R ，∴Δ＝S 2－4·10S ≥0， ∴S ≥40，S min ＝40，此时t ＝2,4t ＝8， 所以当△OMQ 的面积最小时， Q 点的坐标为Q (2,8)．。