【精品】2017年江西省赣州市九年级上学期期中数学试卷带解析答案
江西省赣州市2017届九年级上期中数学试卷含答案解析
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2 5．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知如图，AB是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB于 E，CD=6，AE=1，则⊙O 的直径为（ ）
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17．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的 交点）和点 A1．画出△ABC关于点 A1的中心对称图形．
五、解答题 18．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m﹣1=0 有两个实数根1 x ，2 x ． （1）求 m 的取值范围； （2）当 x12+x22=6x1 x2 时，求 m 的值． 19．某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20元且不高于 28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22元时，销售量为 36本；当销售单价为 24元时， 销售量为 32本． （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时， 才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 20．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c交 x 轴于点 A（﹣3，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 P 在抛物线上，且 S△AOP=4SBOC，求点 P 的坐标；
2016-2017学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷
2016-2017年江西省赣州市九年级(上)期中数学试卷及参考答案
2016-2017学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．1．（3分）在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．（3分）车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）A．直径B．周长C．面积D．半径3．（3分）一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m 等于（）A．﹣6或1 B．1 C．﹣6 D．24．（3分）已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，05．（3分）如图，在正方形ABCD中，E位DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）A．15°B．10°C．20°D．25°6．（3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．7．（3分）将方程4x2=2x﹣1化成一般形式为，其二次项系数是，一次项是．8．（3分）将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．9．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡，已知全组共送72张贺卡，则这个小组有人．10．（3分）直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=．12．（3分）如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2﹣y1=4④2AB=3AC．其中正确结论是．三、解答题：共5题，每小题6分，共30分．13．（6分）解方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣x﹣2=0．14．（6分）若x=，y=，求代数式3x2﹣5xy+3y2的值．15．（6分）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．16．（6分）博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）第一次第二次第三次第四次甲75708590乙85827578（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分．2=62.5，S乙（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？请说明理由．17．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是．四、解答题：共4小题，每小题8分，共32分．18．（8分）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF．求证：EC=FD．19．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？20．（8分）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？21．（8分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．五、解答题：10分．22．（10分）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．六、解答题：12分．23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．2016-2017学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．1．（3分）在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；故选：C．2．（3分）车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）A．直径B．周长C．面积D．半径【解答】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长．故选：B．3．（3分）一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m 等于（）A．﹣6或1 B．1 C．﹣6 D．2【解答】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，∴△=16m2﹣4×（m﹣2）（2m﹣6）=0，且m﹣2≠0，∴m2+5m﹣6=0，m≠2，∴（m+6）（m﹣1）=0，解得：m1=﹣6，m2=1．故选：A．4．（3分）已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0【解答】解：根据顶点坐标公式，得横坐标为：=﹣1，解得m=﹣2；纵坐标为：=﹣3，解得n=﹣4．故选：B．5．（3分）如图，在正方形ABCD中，E位DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）A．15°B．10°C．20°D．25°【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°，∴∠EFD=60°﹣45°=15°．故选：A．6．（3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴当x=时，纸盒侧面积最大为．故选：C．二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．7．（3分）将方程4x2=2x﹣1化成一般形式为4x2﹣2x+1=0，其二次项系数是4，一次项是﹣2x．【解答】解：由原方程，移项得4x2﹣2x+1=0，其二次项是4x2，一次项是﹣2x，所以二次项系数是4，一次项是﹣2x．故答案是：4x2﹣2x+1=0；4；﹣2x．8．（3分）将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故答案为y=（x+2）2﹣3．9．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡，已知全组共送72张贺卡，则这个小组有9人．【解答】解：设这小组有x人．由题意得：x（x﹣1）=72，解得x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．即这个小组有9人．故答案为：9．10．（3分）直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．【解答】解：∵点P（m﹣5，2m）是直线y=x+3上的点，∴2m=m﹣5+3，即m=﹣2；那么P点的坐标是（﹣7，﹣4），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．故答案为：（7，4）．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=2．【解答】解：∵AC=3，BC=4，∴AB===5，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD=AC，∴AD=3，∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2．故答案为：2．12．（3分）如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2﹣y1=4④2AB=3AC．其中正确结论是①④．【解答】解：①∵抛物线y2=（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本结论错误；③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=（0+2）2﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=，故y2﹣y1=+=，故本结论错误；④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3，∴B（﹣5，3），C（5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC，故本结论正确．故答案为：①④．三、解答题：共5题，每小题6分，共30分．13．（6分）解方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣x﹣2=0．【解答】解：（1）（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0或x+1=0，所以x1=6，x2=﹣1；（2）（3x+2）（x﹣1）=0，3x+2=0或x﹣1=0，所以x1=﹣，x2=1．14．（6分）若x=，y=，求代数式3x2﹣5xy+3y2的值．【解答】解：x==（）2=5﹣2，y==（+）2=5+2，所以3x2﹣5xy+3y2=3（x2+y2）﹣5xy=3[（5﹣2）2+（5+2）2]﹣5（5+2）（5﹣2）=3[52+（2）2]﹣5×[52﹣（2）2]=3（25+24）﹣5×（25﹣24）=3×49﹣5=142．15．（6分）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．【解答】解：x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．16．（6分）博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）第一次第二次第三次第四次甲75708590乙85827578（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分．（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？请说明理由．【解答】解：（1）甲=（75+70+85+90）=80，乙=（75+78+85+82）=80，（2）∵S甲2=62.5，S乙2=14.5，∴S甲2＞S乙2，∴乙的成绩稳定，因为甲的方差大于乙的方差．17．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是15．【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图2所示：以线段AB为对角线得到菱形ADBC此时面积最大，其面积为：××3=15．当AB为正方形对角线时，最小面积为：5．故答案为：15．四、解答题：共4小题，每小题8分，共32分．18．（8分）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF．求证：EC=FD．【解答】解：作AB垂直平分线OG，∵AG=BG，AE=BF，∴EG=FG，在△EGO和△FGO中，，∴△EGO≌△FGO（SAS），∴OE=OF，∵OC=OD，∴CE=DF．19．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．20．（8分）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【解答】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB=90°．∵∠ABC=30°，∴2QE=QB．=•PB•QE．∴S△PQB设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB=6﹣t，QB=2t，QE=t．根据题意，•（6﹣t）•t=4．t2﹣6t+8=0．t2=2，t2=4．当t=4时，2t=8，8＞7，不合题意舍去，取t=2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．21．（8分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．【解答】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM=AN；（2）解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α=30°，∴∠FAN=30°，∴∠FAB=120°，∵∠B=60°，∴∠B+∠FAB=180°，∴AF∥BP，∴∠F=∠FPC=60°，∴∠FPC=∠B=60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形．五、解答题：10分．22．（10分）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v=﹣x+88，当x=100时，v=﹣×100+88=48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120，∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当20≤x≤220时，y=（﹣x+88）x=﹣（x﹣110）2+4840，∴当x=110时，y最大=4840，∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．六、解答题：12分．23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax2+bx得，解得，所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x；（2）当y=3时，﹣x2+4x=3，解得x1=1，x2=3，则C点坐标为（3，3），所以△ABC的面积=×2×3=3；（3）作PQ⊥BH，如图，设P（m，﹣m2+4m）∵S△ABH +S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP，∴×3×3+（3+m﹣1）×（m2﹣4m）=×（m﹣1）×（3+m2﹣4m）+6，整理得m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，∴P点坐标为（5，﹣5）．。
江西省赣州市 九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘3.抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位4.已知关于x的一元二次方程x2-3x+c=0中c＜0，该方程的根的情况是（ ）A. 方程没有实数根B. 总有两个不相等的实数根C. 有两相等实数根D. 方程的根的情况与c有关5.在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横、纵坐标间的对应值如表：x…-1012 2.534…y…0m-8n-8.75-8-5…则下列结论正确的是（ ）A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的顶点坐标为(2.5,−8.75)C. 当x>4时，y随x的增大而减小D. 抛物线必经过定点(0,−5)6.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+m，则m的值是（ ）A. 1或7B. −1或7C. 1或−7D. −1或−7二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.方程（x-5）（x+6）=x+6的根是______．8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC=______°．9.将抛物线C1：y=-x2-2x，绕着点M（1，0）旋转180°后，所得到的新抛物线C2的解析式是______．10.已知实数x、y满足12x2+2x+y-1=0，则x+y的最大值为______．11.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于______．12.已知⊙O的直径为4，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，点P在⊙O上，若点P到直线AB的距离为1，则∠PAB的度数为______．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）13.用适当的方法解下列方程：（1）3x2+x=3x+1；（2）（2y-5）2=（3y+1）214.已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．15.如图，某小区有一块长21米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．求人行通道的宽度．16.若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2-ax有最大值还是最小值，并求出其最值．17.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺作出一个30°的圆周角．要求：（1）保留作图痕迹，写出作法，写明答案；（2）证明你的作法的正确性．18.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这两段铁丝的总长．19.已知如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为多少？20.已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=m2（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．21.如图1，已知抛物线L1：y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在L1上任取一点P，过点P作直线l⊥x轴，垂足为D，将L1沿直线l翻折得到抛物线L2，交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．（1）当L1与L2重合时，求点P的坐标；（2）当点P与点B重合时，求此时L2的解析式；并直接写出L1与L2中，y均随x 的增大而减小时的x的取值范围；（3）连接PM，PB，设点P（m，n），当n=32m时，求△PMB的面积．22.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．23.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）观察猜想：如图1中，△PMN是______三角形；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE．判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请求出△PMN 面积的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．故选：C．先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数．考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质．3.【答案】B【解析】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4.【答案】B【解析】解：x2-3x+c=0，△=（-3）2-4×1×c=9-4c，∵c＜0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．先求出△，判断△的正负，即可得出选项．本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．解：由表知当x＜2时y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴抛物线的开口向上，故①错误；由x=1时y=-8，x=3时y=-8知抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n），故②错误；∵x＞2时，y随x的增大而增大，∴当x＞4时，y随x的增大而增大，故③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线过点（4，-5），∴抛物线必经过定点（0，-5），故④正确；故选：D．由表格中y的值随x的值的变化情况可判断①；由x=1和x=3时y=-8可得其顶点坐标位置，据此可判断②；由抛物线的对称轴可判断③；根据抛物线的对称轴及抛物线过点（4，-5）可判断④．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴、与x轴的交点及增减性是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵一条抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，-m-4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|m+4-（-m-4）|=6，∴2m+8=±6，当2m+8=6时，m=-1，当2m+8=-6时，m=-7，∴m的值是-1或-7．故选：D．根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．7.【答案】x1=-6，x2=6【解析】解：（x-5）（x+6）=x+6，（x-5）（x+6）-（x+6）=0，（x+6）（x-5-1）=0，x+6=0，x-5-1=0，x1=-6，x2=6，故答案为：x1=-6，x2=6．移项后分解因式，即可把一元二次方程转化成一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，又∠ADC=140°，∴∠B=40°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=80°，故答案为：80根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9.【答案】y=（x-3）2-1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．先利用配方法得到抛物线C1的顶点坐标为（-1，1），再利用中心对称的性质得到点（-1，1）关于M（1，0）中心对称的点的坐标为（3，-1），由于抛物线C1绕着点M（1，0）旋转180°后抛物线形状不变，只是开口方向相反，且旋转后抛物线的顶点坐标为（3，-1），于是可根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：∵y=-x2-2x=-（x+1）2+1，∴抛物线C1的顶点坐标为（-1，1），∵点（-1，1）关于M（1，0）中心对称的点的坐标为（3，-1），∴抛物线C1绕着点M（1，0）旋转180°后，所得到的新抛物线C2的解析式为y=（x-3）2-1．故答案为y=（x-3）2-1．10.【答案】32【解析】解：x2+2x+y-1=0，x+y=-x2-x+1=-（x2+2x+1）+=-（x+1）2+，-（x+1）2+≤，∴x+y的最大值为，故答案为：．利用配方法把原式变形，根据二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的最值，掌握配方法，二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】53【解析】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6-x）2，解得x=，则FD=6-x=．故答案为：根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x．本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．12.【答案】15°或30°或105°．【解析】解：如图作OP1⊥AB交⊙O于P1交AB于H，过点O作直线P2P3∥AB交⊙O 于P2，P3．∵∠AOB=120°，OA=OB，OH⊥AB，∴∠AOH=∠AOB=60°，∠AHO=90°，∴∠OAH=30°，∴OH=OA=1，∴HP1=1，∴直线AB与直线P2P3之间的结论距离为1，∴P1，P2，P3是满足条件的点，∴∠P1AB=∠BOP1=30°，∠P3AB=∠BOP3=15°，∠P2AB=180°-75°=105°，故答案为：15°或30°或105°．如图作OP1⊥AB交⊙O于P1交AB于H，过点O作直线P2P3∥AB交⊙O于P2，P3．首先证明P1，P2，P2是满足条件的点，分别求解即可解决问题；本题考查圆周角定理、垂径定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论都是事先思考问题，属于中考常考题型．13.【答案】解：（1）3x2+x=3x+1（3x+1）x=3x+1，则（3x+1）（x-1）=0，解得：x1=-13，x2=1；（2）（2y-5）2=（3y+1）2（2y-5+3y+1）（2y-5-3y-1）=0，则（5y-4）（-y-6）=0，解得：y1=45，y2=-6．【解析】（1）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可；（2）直接利用平方差公式分解因式，进而解方程得出答案．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．14.【答案】解：（1）抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3；（2）y=（x-1）2-4，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），当x=4时，y=（4-1）2-4=5，所以当0＜x＜4时，y的取值范围为-4≤y＜5．【解析】（1）利用交点式直接写出抛物线解析式；（2）利用配方法得到抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），利用二次函数的性质，x=1时，y的值最小，而x=4时y=5，从而得到y的取值范围．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．15.【答案】解：设人行通道的宽度为x米，则两块绿地可合成长为（21-3x）米、宽为（8-2x）米的矩形，根据题意得：（21-3x）（8-2x）=60，整理得：x2-11x+18=0，解得：x1=2，x2=9．∵当x=9时，21-3x=-6，8-2x=-10，不合题意，舍去，∴x=2．答：人行通道的宽度为2米．【解析】设人行通道的宽度为x米，则两块绿地可合成长为（21-3x）米、宽为（8-2x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为60平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】解：∵一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0，∴-1＜a＜0，∵y=ax2-ax=a（x2-x）=a（x2-x+14-14）=a（x-12）2-14a，而a＜0，∴二次函数有最大值，最大值为-14a．【解析】先根据一次函数的性质得到a+1＞0且a＜0，则-1＜a＜0，再利用配方法得到y=ax2-ax=a（x-）2-a，然后利用二次函数的性质解决问题．本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．也考查了一次函数的性质．17.【答案】解：（1）作直线OA交⊙O于E，连接AC，EC，∠EAC即为所求；（2）∵AE是直径，∴∠ACE=90°，∵∠ADC+∠AEC=180°，∠ADC=120°，∴∠AEC=60°，∴∠EAC=90°-60°=30°．【解析】（1）作直线OA交⊙O于E，连接AC，EC，∠EAC即为所求；（2）利用圆内接四边形的性质以及直径的性质即可证明；此题主要考查了复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握基本知识，是解决问题的关键．18.【答案】解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5（x2+17）=6（x2+2x）整理得x2+12x-85=0，（x+6）2=121，解得x1=5，x2=-17（不合题意，舍去）．5×（52+17）×2=420cm．答：这两段铁丝的总长为420cm．【解析】直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，实质上是正五边形和正六边形的周长相等．19.【答案】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=30°，∴CE=12OC=1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）∴CD=2CE=2．【解析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中的计算问题中，因为常有直角三角形存在，常利用勾股定理求线段的长．20.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=m2，∴x2-5x+6-m2=0，∴△=25-4（6-m2）=1+4m2＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，则（1-3）×（1-2）=m2，2=m2，m=±2，原方程变形为x2-5x+4=0，设方程的另一个根为a，则1×a=4，a=4，则方程的另一个根为4．【解析】（1）先把方程（x-3）（x-2）=m2，变形为x2-5x+6-m2=0，得出△=25-4（6-m2）=1+4m2＞0，即可得出答案；（2）把1代入原方程，得出m，再把原方程变形为x2-6x+4=0，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出方程的另一个根即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21.【答案】解：（1）由抛物线对称性，当点P为抛物线L1的顶点时，抛物线L1与L2重合∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4∴点P（1，4）（2）在抛物线L1中，令y=0，即-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3当点P与点B重合时，此时P（3，0）∴抛物线L2与抛物线L1关于直线x=3对称∴抛物线L2的顶点为（5，4）∵由抛物线对称性可知，抛物线L1和L2开口方向和大小相同．∴抛物线L2和的解析式为y=-（x-5）2+4=-x2+10x-21∴结合图象可知，当x≥5时，抛物线L1与抛物线L2中，y均随x的增大而减小（3）当n=32m时，-m2+2m+3=32m解得m1=-32，m2=2∴点P坐标为（-32，-94）或（2，3）①如图1，当点P坐标为（-32，-94）时，点D的坐标为坐标为（-32，0）∴DB=3-（-32）=92∴MB=2BD=2×92=9∴S△PMB=12⋅MB⋅PD=12×9×94=818②如图2，当点P坐标为（2，3）时，点D的坐标为坐标为（2，0）∴DB=3-2=1∴MB=2BD=2∴S△PMB=12⋅MB⋅PD=12×2×3=3综上所述当点n=32m时，△PMB的面积为818或3【解析】（1）由配方法可得顶点坐标；（2）由对称性求出抛物线L2的顶点，进而得到解析式，由图象可得；（3）利用点P在抛物线上和n=m构造方程求出m、n，分类讨论求△PMB的面积．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、解一元二次方程以及图象平移的性质．解答关键是根据所求得的函数解析式的图象讨论解决问题．22.【答案】解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°-42°=48°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°-α+β2．【解析】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．23.【答案】等腰直角【解析】解：（1）∵AB=AC，AD=AE∴BD=CE∵点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点∴MP=EC，NP=BD，MP∥AC，NP∥AB∴MP=NP∴△PMN是等腰三角形∵∠A=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵MP∥AC，NP∥AB∴∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=45°+∠ACB-∠ACB=90°-∠ACD∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+90°-∠ACD=90°∴△PMN是等腰直角三角形（2））∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE又∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE，∠ABD=∠ACE∵点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点∴MP=EC，NP=BD，MP∥EC，NP∥DB∴MP=NP∴△PMN是等腰三角形∵∠A=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵MP∥AC，NP∥AB∴∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=∠DBC+∠DBC=∠DBC+∠ACB-∠ACD=∠DBC+45°-∠A CD∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DBC+45°-∠ACD+∠ACD+∠ACE=∠DBC+45°+∠AB D=∠ABC+45°=90°∴△PMN是等腰直角三角形（3）∵△PMN是等腰直角三角形∴S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2．∵将△ADE绕点A在平面内自由旋转，∴当点D在AB上时，BD最短，此时BD=AB-AD=6当点D在BA的延长线上时，BD最长，此时BD=AB+AD=14∴≤S△PMN≤（1）由题意可得BD=CE，根据三角形中位线定理，可证MP=PN，根据角的数量关系可求∠MPN=90°，即可证△PMN是等腰直角三角形；（2）由题意可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，根据三角形中位线定理，可证MP=PN，根据角的数量关系可求∠MPN=90°，即可证△PMN是等腰直角三角形；（3）由题意可得S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2，当点D在线段AB上时，BD最短；当点D在线段BA的延长线上时，BD最长，即可求△PMN面积的取值范围．本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形性质和判定，三角形中位线定理，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．。
江西省赣州市赣县2017届九年级上期中数学试卷含答案解析
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）每小题只有一个正确 选项． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线 y=（x+2）2﹣3 可以由抛物线 y=2 平x 移得到，则下列平移过程正确的 是（ ） A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 3．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+c=0 中 c＜0，该方程的根的情况是 （） A．方程没有实数根 B．总有两个不相等的实数根 C．有两相等实数根 D．方程的根的情况与 c 有关 4．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD 的度数是（ ）
四、（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD⊥AB 于点 E，点 G 在直径 DF 的延 长线上，∠D=∠G=30°． （1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若 CD=6，求 GF 的长．
19．如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个 简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状， 身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最 低点距地面的距离为多少米？
五、（本题 10 分） 22．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠ C=90°，∠B=∠E=30°．
江西省赣州市九年级上学期数学期中考试试卷
江西省赣州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017八下·昆山期末) 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）用配方法解关于的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0 ，配方后的方程可以是（）A . （x﹣1）2=4B . （x+1）2=4C . （x﹣1）2=16D . （x+1）2=163. （2分）已知一次函数,若随着的增大而减小,则该函数图象经过（）A . 第一、二、三象限B . 第一、二、四象限C . 第二、三、四象限D . 第一、三、四象限4. （2分） (2019九上·武威期末) 下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（）A . 抛物线开口向下B . 抛物线的顶点坐标为（2，6）C . 抛物线的对称轴是直线x=6D . 抛物线经过点（0，10）5. （2分） (2017九上·台州期中) 已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0，那么x2＋3x的值为（）A . 1B . －3或1C . 3D . －1或36. （2分）(2020·湛江模拟) 若a≠b，且则的值为（）A .B . 1C . .4D . 37. （2分） (2016九上·惠山期末) 已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠OAB=40°，则∠ACB的大小为（）A . 20°B . 50°C . 20°或160°D . 50°或130°8. （2分）(2019·包头) 下列说法正确的是（）A . 立方根等于它本身的数一定是和B . 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形C . 在函数中，的值随着值的增大而增大D . 如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等9. （2分）方程2x2=3(x-6)化为一般式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A . 2、3、-6B . 2、-3、18C . 2、-3、6D . 2、3、610. （2分） (2018九上·西安月考) 函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2020九上·桂林期末) 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________.12. （1分） (2019八下·乌拉特前旗开学考) 若x2﹣mx+25是完全平方式，则m＝________．13. （1分） (2019九上·巴州期中) x、y为实数，且，则 ________．14. （1分）若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为________ ．15. （1分） (2017九上·乐昌期末) 如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么旋转角∠CBC1=________16. （1分）(2016·景德镇模拟) 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=5，BC=12，则AD的长为________．三、解答题 (共8题；共82分)17. （10分） (2019九上·台安期中) 用适当方法解方程：18. （10分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1 ， x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．19. （6分） (2019九上·福田期中) 某商店准备进一批季节性小家电，进价为每台40元，经市场预测，售价为每台48元时，可售出220台；售价每增加1元，销售量减少10台。
江西省赣州市九年级上学期数学期中考试试卷
江西省赣州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，则m的取值范围是（）A . m＜3B . m≤3C . m＜3且m≠2D . m≤3且m≠22. （2分）已知线段a=2，b=8，线段c是线段a、b的比例中项，则c=（）A . 2B . ±4C . 4D . 83. （2分）(2017·裕华模拟) 如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2015八下·金平期中) 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1 ， A2 ，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A . cm2B . cm2C . cm2D . （）ncm25. （2分）(2017·六盘水) 矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A . a=4，b= +2B . a=4，b= ﹣2C . a=2，b= +1D . a=2，b= ﹣16. （2分）(2017·杭州模拟) 下列关于方程x2+x﹣1=0的说法中正确的是（）A . 该方程有两个相等的实数根B . 该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数C . 该方程有一根为D . 该方程有一根恰为黄金比例7. （2分） (2019九上·长春期末) 掷一枚质地均匀的硬币一次，则掷到正面朝上的概率等于（）A . 1B .C .D . 08. （2分）如果函数y=kx-2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数y= 的图象一定在（）。
江西省赣州市宁都县九年级数学上学期期中试题(扫描版)
江西省赣州市宁都县2017届九年级数学上学期期中试题2016-2017学年第一学期九年级数学期中试卷参考答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1、C ；2、B ；3、D ；4、B ；5、C ；6、A ； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）7、4或-4；8、1 ；9、90；10、60%；11、3,121-==x x12、)0,2(n 其中n 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分）． 13、解：略( 11x =，212x =) 14、解：略(12335x x ==，) 15、解：（1）有以下答案供参考： （2）有以下答案供参考：16、解：设抛物线解析式为：()02≠+=a bx ax y 由题意知：⎩⎨⎧=--=+24b a b a 解得：⎩⎨⎧-=-=31b a ∴抛物线解析式为x x y 32--= 17、解：设售价为x 元，总利润为w 元，则w=（x -30）)]40(140[-⨯-x = -(x -55) 2+625，∴x =55时，获得最大利润为625元.答售价为55元时，每天销售该商品获得利润最大，最大利润是625元．四、(本大题共4小题，每小题8分，共32分）．18、解：（1）△OFC 能成为等腰直角三角形．①当F 为BC 的中点时，∵O 点为AC 的中点，∴OF ∥AB ．∴CF =OF =错误！未找到引用源。
．∵AB =BC =5，∴BF =错误！未找到引用源。
．②当B 与F 重合时，∵OF =OC =错误！未找到引用源。
，∴BF =0．（2）OE =OF ．以图证明如下：如图，连接OB ，∵由（1）的结论可知，BO =OC =错误！未找到引用源。
， ∵∠EOB =900－∠BOF =∠FOC ，∠EBO =450=∠C ，∴△OEB ≌△OFC （ASA ），∴OE =OF ．19、解：由题意)0,4(-A ，3182121=-⨯=-=AC AB OC ∴点D 的坐标为)4,3(-D设抛物线的解析式为b ax y +=2 则⎪⎩⎪⎨⎧+-⋅=+-⋅=b a b a 22)3(4)4(0 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76474b a ∴ )(1.9764m b OE ≈== 即门的高度约9.1m 20、解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AO =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COF AOE OC OA OCF OAE ∴△AOE ≌△COF ．（2）当α=30°时，即∠AOE =30°，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴∠OAD =60°，∴∠AEO =90°，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，AB =2∴AO =1，在Rt △AEO 中，∠AEO =90°，AO =1∴AE =21∴OE =， ∴EF =2OE =． 21、解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6×（800-20×6）=4080（元）， 在乙公司购买需要用75%×800×6=3600（元）＜4080（元），∴应去乙公司购买；（2）设该单位买x 台，若在甲公司购买则需要花费x (800-20x )元； 若在乙公司购买则需要花费75%×800x =600x 元；① 若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，则有x (800-20x )=7500，解之得x 1=15，x 2=25，当x 1=15时，每台单价为800-20×15=500＞440，符合题意；当x 2=25时，每台单价为800-20×25=300＜440，不符合题意，舍去，②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有600x =7500，解之得x =12.5(舍去)，第20题图答：该单位是在甲公司购买了15台。
2017-2018学年江西省赣州市宁都县九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2017-2018学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+1=03．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=254．（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（）A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x﹣2）2﹣1 C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2﹣15．（3分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF6．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴、y轴的负半轴于A、B两点，且OA=OB，则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）7．（3分）抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为．8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．9．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为．10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m=．11．（3分）已知二次函数y=2x2﹣4x+m的图象上有三个点，坐标分别为A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是．12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．13．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1=0（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）14．（6分）将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．16．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是．17．（6分）某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB 所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2﹣4．（1）求a的值；（2）点C（﹣1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．18．（8分）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为；②方程x2﹣3x+2=0的解为；③方程x2﹣4x+3=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．19．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？20．（8分）已知函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；（2）当k≠0时，A（n﹣3，n﹣7）、B（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点：①求抛物线的表达式；②求n的值．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）21．（9分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．22．（9分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．六、（本大题1小题，满分12分．）23．（12分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作BC的垂线，垂足为F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）求出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置时发现；当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请求出△PDE的周长最小时点P的坐标；（4）若将“使△PDE的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．2017-2018学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+1=0【解答】解：A、△=02﹣4×1×（﹣1）=4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；B、∵△=02﹣4×1×0=0，∴该方程有两个相等的实数根，选项B不符合题意；C、∵△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；D、∵△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，∴该方程没有实数根，选项D符合题意．故选：D．3．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选：C．4．（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（）A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x﹣2）2﹣1 C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2﹣1【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位y=3（x+2）2+1．故选：C．5．（3分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF【解答】解：OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；故选：D．6．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴、y轴的负半轴于A、B两点，且OA=OB，则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的开口向下、对称轴在y轴的右侧且与y轴交点在原点下方，∴a＜0、b＞0、c＜0，则abc＞0，∵点B（0，c）、且OA=OB，∴点A（﹣c，0），将点A（﹣c，0）代入解析式，得：ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b=﹣1＜0，则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象经过第一、二、四象限，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）7．（3分）抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【解答】解：∵抛物线y=x2+2x﹣3可化为：y=（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．故答案为：（﹣1，﹣4）．8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故答案是：（2，﹣3）．9．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【解答】解：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或x=﹣1．则抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标是（3，0），（﹣1，0）．故答案为（3，0），（﹣1，0）．10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m=﹣1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，∴x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0，且m﹣1≠0，∴m2﹣1=0，即（m﹣1）（m+1）=0且m﹣1≠0，∴m+1=0，解得，m=﹣1；故答案是：﹣1．11．（3分）已知二次函数y=2x2﹣4x+m的图象上有三个点，坐标分别为A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y2＜y3．【解答】解：由二次函数y=2x2﹣4x+m可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣=1，∵A、B、C三点中，A点离对称轴最近，C点离对称轴最远，∴y1＜y2＜y3．故本题答案为：y1＜y2＜y3．12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为40°或70°或100°．【解答】解：连结AP，如图，∵点O是AB的中点，∴OA=OB，∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴点P、C在以AB为直径的圆上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，解得α=100°，综上所述，α的值为40°或70°或100°．故答案为40°或70°或100°．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．13．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1=0（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）【解答】解：（1）△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）=8，x==2±，所以x1=2+，x2=2﹣；（2）3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x+2）=0，x﹣2=0或3x+2=0，所以x1=2，x2=﹣．14．（6分）将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？【解答】解：y=﹣x2﹣2x﹣3，=﹣（x2+2x+1）+1﹣3，=﹣（x+1）2﹣2，所以，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），∵再绕原点O旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），∴所得抛物线解析式为y=（x+2）2+2．15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，解得：k＞﹣；（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=716．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是15．【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图2所示：以线段AB为对角线得到菱形ADBC此时面积最大，其面积为：××3=15．当AB为正方形对角线时，最小面积为：5．故答案为：15．17．（6分）某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2﹣4．（1）求a的值；（2）点C（﹣1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．【解答】解：（1）∵AB=8，由抛物线的性质可知OB=4，∴B（4，0），把B点坐标代入解析式得：16a﹣4=0，解得：a=；（2）过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，∵a=，∴y=x2﹣4，令x=﹣1，∴m=×（﹣1）2﹣4=﹣，∴C（﹣1，﹣），∵C关于原点对称点为D，∴D的坐标为（1，），则CE=DF=，S△BCD=S△BOD+S△BOC=OB•DF+OB•CE=×4×+×4×=15，∴△BCD的面积为15平方米．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．18．（8分）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；19．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？【解答】解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，依题意得：400（1+x）2=484，解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，依题意得：2y+34+y=484，解得y=150所以484﹣150=334（元）．答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．20．（8分）已知函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；（2）当k≠0时，A（n﹣3，n﹣7）、B（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点：①求抛物线的表达式；②求n的值．【解答】（1）证明：①当k=0时，函数为一次函数，即y=x﹣4，与x轴交于点（3，0）；②当k≠0时，函数为二次函数，∵△=（﹣3k）2﹣4k×（﹣4）=（3k+）2≥0，即△≥0，∴与x轴有一个或两个交点；综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；（2）①当k≠0时，函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4为二次函数，∵（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点，∴抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴﹣=﹣1，解得k=，∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4；②∵（n﹣3，n﹣7）是抛物线y=x2+x﹣4上的点，∴n﹣7=（n﹣3）2+（n﹣3）﹣4，解得n1=，n2=3．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）21．（9分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．【解答】解：（1）将x=600、y=18000代入y 1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，解得：；（2）当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元；（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值27900元．22．（9分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）点A到BP的距离为或．理由如下：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴AH=．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．∴=2AH﹣1．∴AH=．综上所述：点A到BP的距离为或．六、（本大题1小题，满分12分．）23．（12分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作BC的垂线，垂足为F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）求出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置时发现；当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请求出△PDE的周长最小时点P的坐标；（4）若将“使△PDE的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；（2）正确，理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴PD===a2+2．PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，∴PD﹣PF=2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小．（4）由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）+×①当﹣4≤a＜0时，S△PDE4×6]=﹣a2﹣3a+4；∴4＜S≤12，△PDE=4，②当a=0时，S△PDE③﹣8＜a＜﹣4时，S=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）△PDE×（﹣a2+8）×=﹣a2﹣3a+4，≤13，∴12≤S△PDE④当a=﹣8时，S=12，△PDE∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，即存在11个好点．。
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2016-2017学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．1．（3分）在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．（3分）车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）A．直径B．周长C．面积D．半径3．（3分）一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m 等于（）A．﹣6或1 B．1 C．﹣6 D．24．（3分）已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，05．（3分）如图，在正方形ABCD中，E位DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）A．15°B．10°C．20°D．25°6．（3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．7．（3分）将方程4x2=2x﹣1化成一般形式为，其二次项系数是，一次项是．8．（3分）将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．9．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡，已知全组共送72张贺卡，则这个小组有人．10．（3分）直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=．12．（3分）如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2﹣y1=4④2AB=3AC．其中正确结论是．三、解答题：共5题，每小题6分，共30分．13．（6分）解方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣x﹣2=0．14．（6分）若x=，y=，求代数式3x2﹣5xy+3y2的值．15．（6分）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．16．（6分）博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分．（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？请说明理由．17．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是．四、解答题：共4小题，每小题8分，共32分．18．（8分）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF．求证：EC=FD．19．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？20．（8分）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？21．（8分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．五、解答题：10分．22．（10分）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．六、解答题：12分．23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．2016-2017学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．1．（3分）在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；故选：C．2．（3分）车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）A．直径B．周长C．面积D．半径【解答】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长．故选：B．3．（3分）一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m 等于（）A．﹣6或1 B．1 C．﹣6 D．2【解答】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，∴△=16m2﹣4×（m﹣2）（2m﹣6）=0，且m﹣2≠0，∴m2+5m﹣6=0，m≠2，∴（m+6）（m﹣1）=0，解得：m1=﹣6，m2=1．故选：A．4．（3分）已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0【解答】解：根据顶点坐标公式，得横坐标为：=﹣1，解得m=﹣2；纵坐标为：=﹣3，解得n=﹣4．故选：B．5．（3分）如图，在正方形ABCD中，E位DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）A．15°B．10°C．20°D．25°【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°，∴∠EFD=60°﹣45°=15°．故选：A．6．（3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴当x=时，纸盒侧面积最大为．故选：C．二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．7．（3分）将方程4x2=2x﹣1化成一般形式为4x2﹣2x+1=0，其二次项系数是4，一次项是﹣2x．【解答】解：由原方程，移项得4x2﹣2x+1=0，其二次项是4x2，一次项是﹣2x，所以二次项系数是4，一次项是﹣2x．故答案是：4x2﹣2x+1=0；4；﹣2x．8．（3分）将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故答案为y=（x+2）2﹣3．9．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡，已知全组共送72张贺卡，则这个小组有9人．【解答】解：设这小组有x人．由题意得：x（x﹣1）=72，解得x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．即这个小组有9人．故答案为：9．10．（3分）直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．【解答】解：∵点P（m﹣5，2m）是直线y=x+3上的点，∴2m=m﹣5+3，即m=﹣2；那么P点的坐标是（﹣7，﹣4），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．故答案为：（7，4）．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=2．【解答】解：∵AC=3，BC=4，∴AB===5，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD=AC，∴AD=3，∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2．故答案为：2．12．（3分）如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2﹣y1=4④2AB=3AC．其中正确结论是①④．【解答】解：①∵抛物线y2=（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本结论错误；③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=（0+2）2﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=，故y2﹣y1=+=，故本结论错误；④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3，∴B（﹣5，3），C（5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC，故本结论正确．故答案为：①④．三、解答题：共5题，每小题6分，共30分．13．（6分）解方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣x﹣2=0．【解答】解：（1）（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0或x+1=0，所以x1=6，x2=﹣1；（2）（3x+2）（x﹣1）=0，3x+2=0或x﹣1=0，所以x1=﹣，x2=1．14．（6分）若x=，y=，求代数式3x2﹣5xy+3y2的值．【解答】解：x==（）2=5﹣2，y==（+）2=5+2，所以3x2﹣5xy+3y2=3（x2+y2）﹣5xy=3[（5﹣2）2+（5+2）2]﹣5（5+2）（5﹣2）=3[52+（2）2]﹣5×[52﹣（2）2]=3（25+24）﹣5×（25﹣24）=3×49﹣5=142．15．（6分）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．【解答】解：x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．16．（6分）博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分．（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？请说明理由．【解答】解：（1）甲=（75+70+85+90）=80，乙=（75+78+85+82）=80，（2）∵S甲2=62.5，S乙2=14.5，∴S甲2＞S乙2，∴乙的成绩稳定，因为甲的方差大于乙的方差．17．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是15．【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图2所示：以线段AB为对角线得到菱形ADBC此时面积最大，其面积为：××3=15．当AB为正方形对角线时，最小面积为：5．故答案为：15．四、解答题：共4小题，每小题8分，共32分．18．（8分）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF．求证：EC=FD．【解答】解：作AB垂直平分线OG，∵AG=BG，AE=BF，∴EG=FG，在△EGO和△FGO中，，∴△EGO≌△FGO（SAS），∴OE=OF，∵OC=OD，∴CE=DF．19．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．20．（8分）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【解答】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB=90°．∵∠ABC=30°，∴2QE=QB．=•PB•QE．∴S△PQB设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB=6﹣t，QB=2t，QE=t．根据题意，•（6﹣t）•t=4．t2﹣6t+8=0．t2=2，t2=4．当t=4时，2t=8，8＞7，不合题意舍去，取t=2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．21．（8分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．【解答】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM=AN；（2）解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α=30°，∴∠FAN=30°，∴∠FAB=120°，∵∠B=60°，∴∠B+∠FAB=180°，∴AF∥BP，∴∠F=∠FPC=60°，∴∠FPC=∠B=60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形．五、解答题：10分．22．（10分）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v=﹣x+88，当x=100时，v=﹣×100+88=48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120，∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当20≤x≤220时，y=（﹣x+88）x=﹣（x﹣110）2+4840，∴当x=110时，y最大=4840，∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．六、解答题：12分．23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax2+bx得，解得，所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x；（2）当y=3时，﹣x2+4x=3，解得x1=1，x2=3，则C点坐标为（3，3），所以△ABC的面积=×2×3=3；（3）作PQ⊥BH，如图，设P（m，﹣m2+4m）∵S△ABH +S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP，∴×3×3+（3+m﹣1）×（m2﹣4m）=×（m﹣1）×（3+m2﹣4m）+6，整理得m2﹣5m=0，解得m 1=0（舍去），m 2=5， ∴P 点坐标为（5，﹣5）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。