名师制作2019届中考数学总复习单元测试卷六《四边形》(无答案)

2019年中考数学专题复习卷四边形(含解析)

四边形一、选择题1.下列命题正确的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正十边形的每一个内角的度数为（）A. B.C.D.3.在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比为1：2：3：3，则∠B的度数为（）A. 30°B. 40°C. 80°D. 120°4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点D，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件正确的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. ∠ABC=90° D. ∠ABC=∠ADC5.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）。

A.35°B.45°C.55°D.65°6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）。

A.20B.24C.40D.487.如图，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则k的取值为（）A. －B.C. －2 D. 28.如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是（）A. AB＝EFB. AB＝2EF C. AB＝EF D. AB＝EF9.如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（）A. 52B.48 C.40 D. 2010.如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（）A. B.C.D.11.已知图2是由图1七巧板拼成的数字“0”，己知正方形ABCD的边长为4，则六边形EFGHMN的周长为（）A. B.C.D. 1212.如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°二、填空题13.四边形的外角和是________度．14.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于________15.如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为________cm．16.如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点C作CF∥AE，交AD 于点F，则四边形AECF的面积为________．17.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，且点A坐标为（0，4），BC在x轴正半轴上，点C在B点右侧，反比例函数（x＞0）的图象分别交边AD，CD于E，F，连结BF，已知，BC=k，AE= CF，且S四边形ABFD=20，则k=________．18.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则AFE的度数为________19. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN= ,则线段BC的长为________.20.如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为________．（结果保留π）三、解答题21.如图，，，，在一条直线上，已知，，，连接.求证：四边形是平行四边形.22.如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。

2019年人教版数学中考复习《四边形》综合测试(含解析)

中考复习《四边形》综合测试时间：120分钟满分：120分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（每题3分，共10小题）1．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形2．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形3．只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形4．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（）A．14 B．13 C．12 D．105．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形6．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD 于点E，则AE的长是（）A．4 B．C．5 D．8．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE＝AF B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线9．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形10．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（每题3分，共10小题）11．小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？”，小明通过努力得出了答案．为了解决更一般的问题，小明设计了下列图表进行探究：请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论．12．如图，五边形ABCDE 是正五边形．若l 1∥l 2，则∠1﹣∠2＝ °．13．如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝3，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠M AP +∠PAB ，则AP ＝．14．如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2．过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，点P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为．16．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是．17．如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是．18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）19．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有D M＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为．20．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）三．解答题（每题6分，共10小题）21．已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．22．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．24．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．25．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．26．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）28．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．29．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝°时，四边形BECD是矩形．30．如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．（1）求证：BF＝DF；（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）．参考答案一．选择题1．解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．故选：A．2．解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，故选：C．3．解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．故选：C．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，∴CD+AD＝9，∠OAE＝∠OCF，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF，则EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF＝（DE+CF）+CD+EF＝AD+CD+EF＝9+3＝12．故选：C．5．解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，∵在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，∴四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等，即S1＝S2．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC：BD＝3：4，∴AO：OB＝3：4，设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，∵AB＝5，∴5x＝5，x＝1，∴AC＝6，BD＝8，S菱形ABCD＝，∴，AE＝，故选： B．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF＝∠DCB，∠BAE＝∠BAD，∴∠BAE＝∠DCF，∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，BE＝DF，∵AD＝BC，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，A、∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；C、根据∠B＝60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC＝∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠FAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；故选：C．9．解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．10．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：根据图表可得：当参加人数为2人时，握手次数为：1＝×2×1，当参加人数为3人时，握手次数为：3＝×3×2，当参加人数为4人时，握手次数为：6＝×4×3，当参加人数为5人时，握手次数为：10＝×5×4，…∴当参加人数为n人时，握手次数为：．故答案为：．12．解：过B点作BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1﹣∠2＝72°．故答案为：72．13．解：∵BD＝CD，AB＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝3，又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，∴∠P＝∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝6，故答案为：6．14．解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，∴EP＝OD＝a，Rt△HEP中，∠EPH＝30°，∴EH＝EP＝a，∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+＝，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，∵S＝×OB×OC＝×BC×OF，△OBC∴OF＝，∴EF＝．故答案为．16．解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC；故答案为：AD＝DC．17．解：设七巧板的边长为x，则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，＝＝．故答案为：．18．解：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°．19．解：由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．20．解：添加条件：AB＝BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．三．解答题（共10小题）21．解：（1）∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2＝2+2＝4．答：甲同学说的边数n是4；（2）依题意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝360°，解得x＝2．故x的值是2．22．解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，＝AE×BH＝×4×＝；∴S△ABE（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．23．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE＝EF，又∵BE＝CE∴四边形ABFC是平行四边形．24．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，又∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴BE∥DF且BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．25．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD＝2DF，CD＝2DE，∴DE＝DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．26．解：（1）∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG，∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，∴∠CGE＝∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC＝GP，而AG＝AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC＝AP，由（1）可得EG＝DG，∴Rt△ECG≌Rt△DPG，∴EC＝PD，∴AD＝AP+PD＝AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD，∴AE＝AF＝FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．27．（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝CD sin60°＝6×＝3．28．解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD•tan∠DAM＝3×tan30°＝3×＝；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ，设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1+x，∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2＝AN2+NQ2，∴（x+1）2＝32+x2，解得：x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5，∵AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝×AN•NQ＝××3×4＝；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA＝∠BFC，∵∠AHB＝∠BCF＝90°，∴△ABH∽△BFC，∴＝，∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴可以看到点N是在以A为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，DF 最大，此时B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD＝AH，∵AD＝BC，∴AH＝BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF＝BH，由勾股定理得：BH＝＝＝，∴CF＝，∴DF的最大值＝DC﹣CF＝4﹣．29．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．30．（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∴BE＝AB﹣AE，DG＝AD﹣AG，∴BE＝DG，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（SAS），∴BF＝DF；（2）解：在△BCF和△DCF中∴△BCF≌△DCF（SSS），∴∠BCF＝∠DCF，∴点F在对角线AC上∵AD∥EF∥BC∴BE：CF＝AE：AF＝AE： AE＝∴BE：CF＝．。

2019届中考数学压轴冲刺卷：四边形(含解析答案)

四边形1．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．2．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝，求DR的最小值．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，4），动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动，动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动，设D、E两点同时出发，运动时间为t秒，将△ODE沿DE翻折得到△FDE．（1）若四边形ODFE为正方形，求t的值；（2）若t＝2，试证明A、F、C三点在同一直线上；4．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB＝EF＝6cm，BC ＝FP＝8cm，∠EFP＝90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G，与BD交于点K；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动设运动事件为（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当为何值时，PQ∥BD？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动过程中，当t为秒时，PQ⊥PE．5．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．6．如图，矩形ABCD（AB＞AD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．（1）若∠APC＝76°，则∠DAM＝；（2）猜想∠APC与∠DAM的数量关系为，并进行证明；（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP；（4）如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15，＝时，则线段MC的长为．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D 以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP＝BQ＝；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？8．在四边形ABCD中，点E是线段AC上一点，BE∥CD，∠BEC＝∠BAD．（1）如图1已知AB＝AD；①找出图中与∠DAC相等的角，并给出证明；②求证：AE＝CD；（2）如图2，若BC∥ED，，∠BEC＝45°，求tan∠ABE的值．9．如图，已知△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，点E为直线AC上一点，以BE为边，点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF．（1）如图①，当点E在线段AC上时，EF交BC于点D，连接CF；①找出一对全等三角形为；②若四边形ABFC的面积为7，则AE的长是．（2）如图②，当点E在AC的延长线上时，BE交CF于点D．①△CDE的面积记为m，△BDF的面积记为n，探究m、n之间的数量关系并说明理由；②当△CDE的面积为1时，求AE的长．10．如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ．（1）直接写出线段AP和CQ的关系．（2）当A，O，P三点共线时，求线段DP的长．（3）连接PQ，求线段PQ的最小值．11．课题学习：矩形折纸中的数学实践操作折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形所在平面内，B'C和AD相交于点E，如图1所示．探素发现（1）在图1中，①请猜想并证明AE和EC的数量关系；②连接B'D，请猜想并证明B'D和AC的位置关系；（2）第1小组的同学发现，图1中，将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形．若沿对称轴EF 再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图2所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；（3）若将图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图3所示，（1）中的结论①和结论②是否仍然成立，请直接写出你的判断．拓展应用（4）在图3中，若∠B＝30°，AB＝2，请您直接写出：当BC的长度为多少时，△AB'D恰好为直角三角形．12．已知矩形ABCD，作∠ABC的平分线交AD边于点M，作∠BMD的平分线交CD边于点N．（1）若N为CD的中点，如图1，求证：BM＝AD+DM；（2）若N与C点重合，如图2，求tan∠MCD的值；（3）若＝，AB＝6，如图3，求BC的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB边上一点，且AD＝1，点P从点C出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，以CP、DP为邻边作▱CPDE．设▱CPDE和△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）（1）连结CD，求CD的长；（2）当▱CPDE为菱形时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）将线段CD沿直线CE翻折得到线段C′D′．当点D′落在△ABC的边上时，直接写出t的值．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF （1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形．15．如图，在平面直角坐标系xOy中有矩形OABC，A（4，0），C（0，2），将矩形OABC绕原点O逆时针旋转得到矩形OA′B′C′．（Ⅰ）如图1，当点A′首次落在BC上时，求旋转角；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点B′的坐标；（Ⅲ）如图2，当点B′首次落在x轴上时，直接写出此时点A′的坐标．16．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“对直角四边形”．（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是命题；（填“真”或“假”）（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．①图中是“对直角四边形”的是；②当OP的长是时，四边形DEPF为对直角四边形．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，∴∠BAE＝∠DAG，在△ADG和△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（AAS）．（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：作FH⊥MN于H，如图1所示：则∠EHF＝90°＝∠ABE，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，，∴△EFH≌△ABE（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴＝＝；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝＝，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝．2．（1）证明：设正方形ABEF的边长为a，∵AE是正方形ABEF的对角线，∴∠DAG＝45°，由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，则四边形ABCD为矩形，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝，∴AB：AD＝a：＝：1，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：①作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q，如图b所示：∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，∴四边形BQOP是矩形．∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．∴＝，＝，∵O为AC中点，∴OP＝BC，OQ＝AB，∵∠MON＝90°，∴∠QON＝∠POM，∴＝＝＝，∴tan∠OMN＝＝；②如图c所示：∵四边形ABCD为矩形，AB＝，∴BC＝AD＝1，∵BR⊥CM，∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，∴CI＝BC＝，∴DR最小＝﹣＝﹣＝．3．（1）解：∵矩形OABC中，B（8，4），∴OA＝8，OC＝4，∵四边形ODEF为正方形，∴OE∥DF，OE＝DF，∵△ODE沿DE翻折得到△FDE，∴OD＝DF，∵OD＝2t，OE＝4﹣t，∴2t＝4﹣t，t＝；（2）证明：连接AC，作OG⊥AC于G，如图1所示：∵t＝2，∴OE＝BE＝2，OD＝DE＝4，∴DE是△OAC的中位线，∴DE∥AC，且DE＝AC，∴＝＝，∴DE垂直平分OF，由折叠的性质得：DE垂直平分OF，∴G与F点重合，即A、C、F三点在同一条直线；（3）解：存在，理由如下：如图2所示：∵S△BDE＝S△ABC﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ODE＝32﹣t×8﹣×4×（8﹣2t）﹣×2t（4﹣t）＝32﹣4t﹣16+4t﹣4t+t2＝t2﹣4t+16＝（t﹣2）2+12，∴t＝2时，S△BDE有最小值为12；即存在实数t，使△BDE的面积最小，t＝2秒．4．解：（1）∵PQ∥BD，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当t＝时，PQ∥BD．（2）假设存在．∵S五边形AFPQM＝S△ABF+S矩形ABCD﹣S△PQC﹣S△MQD＝×（8﹣t ）×6+6×8﹣（8﹣t ）×t ﹣×（6﹣t ）×（6﹣t ）＝t 2﹣t +．又∵S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8，∴（t 2﹣t +）：48＝9：8，整理得：t 2﹣20t +36＝0，解得t ＝2或18（舍弃），∴t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8．（3）∵PQ ⊥PE ，∴∠QPE ＝90°，∵∠EFP ＝∠C ＝90°，∴∠EPF +∠QPC ＝90°，∠QPC +∠PQC ＝90°，∴∠EPF ＝∠PQC ，∴△EPF ∽△PQC ，∴＝，∴＝，解得t ＝，∴当t ＝时，PQ ⊥PE ．故答案为． 5．解：问题发现（1）①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝∠CDE ＝60°＝∠CED∵点A 、D 、E 在同一条直线上，∴∠ADC ＝120°∵∠ACB ﹣∠DCB ＝∠DCE ﹣∠DCB∴∠ACD ＝∠BCE ，且AC ＝BC ，DC ＝CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴∠ADC ＝∠CEB ＝120°∴∠ABE ＝∠CEB ﹣∠CED ＝60°②∵△ACD ≌△BCE∴AD＝BE故答案为：60°，AD＝BE（2）拓展研究：猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．解决问题：（3）∵点P满足PD＝2，∴点P在以D为圆心，2为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝4，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝2∵∠BPD＝90°＝∠BAD∴点A，点B，点D，点P四点共圆∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP∴∠HAP＝∠APH＝45°∴AH＝HP在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴8＝AH2+（2﹣AH）2，∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1若点P在CD的右侧，同理可得AH＝+1综上所述：点A到BP的距离为： +1或﹣11．解：（1）∵AD∥CP，∠APC＝76°，∴∠DAP＝104°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴∠AMD＝52°，又∵∠D＝90°，∴∠DAM＝38°，故答案为：38°；（2）∠APC＝2∠DAM，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∵点P是射线BC上的点，∴AD∥CP，∴∠DAP+∠APC＝180°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴2∠AMD+∠APC＝180°，在Rt△AMD中，∠D＝90°，∴∠AMD＝90°﹣∠DAM，∴2（90°﹣∠DAM）+∠APC＝180°，∴∠APC＝2∠DAM，故答案为：∠APC＝2∠DAM；（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF＝AP，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AD∥BE，AB⊥BE，∴∠DAM＝∠E，∵M是DC中点，∴DM＝CM，又∵∠1＝∠2，∴△AMD≌△EMC（AAS），∴AD＝CE，∴BE＝BC+CE＝2AD，∵∠APC＝2∠DAM，∴∠APC＝2∠E，∵PA＝PF，∴∠PAF＝∠F，∴∠APC＝2∠F，∴∠E＝∠F，∴AE＝AF，又∵AB⊥BE，∴BE＝BF，又∵BF＝BP+PF＝BP+AP，∴2AD＝BP+AP；（4）如图2，延长MD到点E，使DE＝MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，设AM＝3x，AD＝2x，则DM＝DE＝x，AE＝AP＝3x，∵∠AMD＝∠EMF，∠ADM＝∠EFM＝90°，∴△ADM∽△EFM，∴＝，即＝，解得EF＝x，∴AF＝＝x，∵DE＝MD，AD⊥CE，∴∠AME＝∠AEM，则∠EAF＝2∠AMD，∵AD∥BC，∠DAP＝2∠AMD，∴∠APB＝∠DAP＝2∠AMD，∴∠EAF＝∠APB，又∵∠EFA＝∠B＝90°，AE＝AP，∴△EAF≌△APB（AAS），∴PB＝AF＝x，由AD＝BC得x+15＝2x，解得x＝9，∴AB＝＝12，∴MC＝DC﹣DM＝AB﹣DM＝3，故答案为：3．2．解：（1）由题意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，故答案为：t，26﹣3t；（2）由题意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，设当运动时间为t秒时PD＝QC，此时四边形PQCD为平行四边形．由PD＝QC得，24﹣t＝3t，解得t＝6，∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，设当运动时间为t秒时AP＝BQ，四边形ABQP为平行四边形．由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，解得：t＝，又∵∠B＝90°∴平行四边形ABQP为矩形．∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．3．解：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接DF，则CD＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，∴∠BEC＝∠DFC，∴∠AEB＝∠AFD，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴∠ABE＝∠CAD，②∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF，∵CD＝DF，∴AE＝CD；（3）过点D作DG⊥CD交AC于点G，∵BE∥CD，∴∠DCA＝∠BEC＝45°，∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE∽△DAG，∴＝＝，∵BC∥DE，BE∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD，过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，设AH＝EH＝m，则AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，∴BH＝BE+EH＝2m+m，tan∠ABE＝＝＝．4．解：（1）①△ABE≌△CBF理由如下：∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，且AC＝BC，EB＝BF∴△ABE≌△CBF（SAS）故答案为：△ABE≌△CBF②如图，过点B作BM⊥AC于M，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，BM⊥AC，∴AM＝CM＝BM＝2∴S△ABC＝×4×2＝4∵S四边形ABFC＝7∴S△CBF＝3＝S△ABM，∴＝3∴AE＝3故答案为：3（2）①4+m＝n理由如下：∵△ABE≌△CBF∴S△ABE＝S△CBF，∴S△ABC+S△CBD+S△CDE＝S△CBD+S△BDF，∴4+m＝n②∵△CDE的面积为1，m+4＝n∴n＝5∴S△BDE＝5，如图，过点B作BG⊥AC，BH⊥FC，∵△ABE≌△CBF∴AE＝CF，∠A＝∠BCH＝45°＝∠ACB，且BG⊥AC，BH⊥FC，∴BG＝BH＝2，∠ACF＝90°∵S△BDE＝5，∴DF×BH＝5∴DF＝5，∴设CE＝x，则AE＝4+x＝CF，∴CD＝4+x﹣5＝x﹣1∵S△CDE＝CD×CE＝1∴1＝×x×（x﹣1）∴x＝2，x＝﹣1（舍去）∴AE＝2+x＝6，5．解：（1）AP＝CQ，AP⊥CQ；理由如下：延长QC、AP交于点E，AP的延长线交BC于F，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，由旋转的性质得：∠PDQ＝90°，DP＝DQ，∴∠ADP＝∠CDQ，在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ，∠DAP＝∠DCQ，∵∠BCD＝90°，∴∠DCQ+∠ECF＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠CFE，∴∠CFE+∠ECF＝90°，∴∠CEF＝90°，∴AE⊥QE，∴AP⊥CQ；（2）作DH⊥AP于H，如图2所示：∵O是BC边的中点，∴OB＝BC＝，当A，O，P三点共线时，由勾股定理得：AO＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAH＝∠BOA，∴sin∠DAH＝sin∠BOA＝＝，cos∠DAH＝cos∠BOA＝＝，∴DH＝AD×sin∠DAH＝2×＝4，AH＝AD×cos∠DAH＝2×＝2，∴PH＝AO﹣AH﹣OP＝5﹣2﹣2＝1，∴DP＝＝；（3）连接OD，如图3所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．6．解：（1）∵AD∥CP，∠APC＝76°，∴∠DAP＝104°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴∠AMD＝52°，又∵∠D＝90°，∴∠DAM＝38°，故答案为：38°；（2）∠APC＝2∠DAM，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∵点P是射线BC上的点，∴AD∥CP，∴∠DAP+∠APC＝180°，∴2∠AMD+∠APC＝180°，在Rt△AMD中，∠D＝90°，∴∠AMD＝90°﹣∠DAM，∴2（90°﹣∠DAM）+∠APC＝180°，∴∠APC＝2∠DAM，故答案为：∠APC＝2∠DAM；（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF＝AP，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AD∥BE，AB⊥BE，∴∠DAM＝∠E，∵M是DC中点，∴DM＝CM，又∵∠1＝∠2，∴△AMD≌△EMC（AAS），∴AD＝CE，∴BE＝BC+CE＝2AD，∵∠APC＝2∠DAM，∴∠APC＝2∠E，∵PA＝PF，∴∠PAF＝∠F，∴∠E＝∠F，∴AE＝AF，又∵AB⊥BE，∴BE＝BF，又∵BF＝BP+PF＝BP+AP，∴2AD＝BP+AP；（4）如图2，延长MD到点E，使DE＝MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，设AM＝3x，AD＝2x，则DM＝DE＝x，AE＝AP＝3x，∵∠AMD＝∠EMF，∠ADM＝∠EFM＝90°，∴△ADM∽△EFM，∴＝，即＝，解得EF＝x，∴AF＝＝x，∵DE＝MD，AD⊥CE，∴∠AME＝∠AEM，则∠EAF＝2∠AMD，∵AD∥BC，∠DAP＝2∠AMD，∴∠APB＝∠DAP＝2∠AMD，∴∠EAF＝∠APB，又∵∠EFA＝∠B＝90°，AE＝AP，∴△EAF≌△APB（AAS），∴PB＝AF＝x，由AD＝BC得x+15＝2x，解得x＝9，∴AB＝＝12，∴MC＝DC﹣DM＝AB﹣DM＝3，故答案为：3．7．解：（1）由题意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，故答案为：t，26﹣3t；（2）由题意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，设当运动时间为t秒时PD＝QC，此时四边形PQCD为平行四边形．由PD＝QC得，24﹣t＝3t，解得t＝6，∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，设当运动时间为t秒时AP＝BQ，四边形ABQP为平行四边形．由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，解得：t＝，又∵∠B＝90°∴平行四边形ABQP为矩形．∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．8．解：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接DF，则CD＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，∴∠BEC＝∠DFC，∴∠AEB＝∠AFD，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴∠ABE＝∠CAD，②∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF，∵CD＝DF，∴AE＝CD；（3）过点D作DG⊥CD交AC于点G，∵BE∥CD，∴∠DCA＝∠BEC＝45°，∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE∽△DAG，∴＝＝，∵BC∥DE，BE∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD，过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，设AH＝EH＝m，则AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，∴BH＝BE+EH＝2m+m，tan∠ABE＝＝＝．9．解：（1）①△ABE≌△CBF理由如下：∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，且AC＝BC，EB＝BF∴△ABE≌△CBF（SAS）故答案为：△ABE≌△CBF②如图，过点B作BM⊥AC于M，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，BM⊥AC，∴AM＝CM＝BM＝2∴S△ABC＝×4×2＝4∵S四边形ABFC＝7∴S△CBF＝3＝S△ABM，∴＝3∴AE＝3故答案为：3（2）①4+m＝n理由如下：∵△ABE≌△CBF∴S△ABE＝S△CBF，∴S△ABC+S△CBD+S△CDE＝S△CBD+S△BDF，∴4+m＝n②∵△CDE的面积为1，m+4＝n∴n＝5∴S△BDE＝5，如图，过点B作BG⊥AC，BH⊥FC，∵△ABE≌△CBF∴AE＝CF，∠A＝∠BCH＝45°＝∠ACB，且BG⊥AC，BH⊥FC，∴BG＝BH＝2，∠ACF＝90°∵S△BDE＝5，∴DF×BH＝5∴DF＝5，∴设CE＝x，则AE＝4+x＝CF，∴CD＝4+x﹣5＝x﹣1∵S△CDE＝CD×CE＝1∴1＝×x×（x﹣1）∴x＝2，x＝﹣1（舍去）∴AE＝2+x＝6，10．解：（1）AP＝CQ，AP⊥CQ；理由如下：延长QC、AP交于点E，AP的延长线交BC于F，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，由旋转的性质得：∠PDQ＝90°，DP＝DQ，∴∠ADP＝∠CDQ，在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ，∠DAP＝∠DCQ，∵∠BCD＝90°，∴∠DCQ+∠ECF＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠CFE，∴∠CFE+∠ECF＝90°，∴∠CEF＝90°，∴AE⊥QE，∴AP⊥CQ；（2）作DH⊥AP于H，如图2所示：∵O是BC边的中点，∴OB＝BC＝，当A，O，P三点共线时，由勾股定理得：AO＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAH＝∠BOA，∴sin∠DAH＝sin∠BOA＝＝，cos∠DAH＝cos∠BOA＝＝，∴DH＝AD×sin∠DAH＝2×＝4，AH＝AD×cos∠DAH＝2×＝2，∴PH＝AO﹣AH﹣OP＝5﹣2﹣2＝1，∴DP＝＝；（3）连接OD，如图3所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．11．解：（1）如图1中，①结论：EA＝EC．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．②连接DB′．结论：DB′∥AC．∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．（2）如图2中，①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，∴△AEB′≌△AEF（AAS），∴AB′＝AF，此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．②当AD：AB＝时，也符合题意，∵此时∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．（3）如图3中，当四边形ABCD是平行四边形时，仍然有EA＝EC，DB′∥AC．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵AD＝BC＝CB′，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．（4）①如图3﹣1中，当∠AB′C＝90°时，易证∠BAC＝90°，BC＝＝．②如图3﹣2中，当∠ADB′＝90°时，易证∠ACB＝90°，BC＝AB•cos30°＝．③如图3﹣3中，当∠DAB′＝90°时，易证∠B＝∠ACB＝30°，BC＝2•AB•cos30°＝2．④如图3﹣4中，当∠DAB′＝90°时，易证：∠B＝∠CAB＝30°，BC＝＝，综上所述，满足条件的BC的长为或或2或12．（1）证明：如图1，延长MN、BC交于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠D＝∠NCE，∠DMN＝∠NEC，∵N是DC的中点，∴DN＝CN，∴△DNM≌△CNE（AAS），∴DM＝CE，∵BM平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠MBE＝45°，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠EBM＝45°，∴∠BMD＝180°﹣45°＝135°，∵MN平分∠BMD，∴∠BMN＝∠DMN＝67.5°，∴∠E＝∠DMN＝67.5°，∴∠BMN＝∠E＝67.5°，∴BM＝BE＝BC+CE＝AD+DM；（2）解：如图2，当N与C重合时，由（1）知：∠BMC＝∠DMN＝∠BCM，∴BC＝BM，设AB＝x，则BM＝BC＝x，∵AD＝BC，∴DM＝x﹣x，Rt△DMC中，tan∠MCD＝＝＝﹣1；（3）解：如图3，延长MN、BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵，∴CN＝2，DN＝4，∵△ABM是等腰直角三角形，∴BM＝6，由（1）知：BM＝BG＝6，∵DM∥CG，∴△DMN∽△CGN，∴＝2，设CG＝m，则DM＝2m，6＝6+2m+m，m＝2﹣2，∴BC＝6+2m＝2+4．13．解：（1）过点D作DF⊥AC于点F．如图1中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵DF∥BC，∴△AFD∽△ACB．∴＝＝，∴＝＝，∴AF＝，DF＝，∴CF＝AC﹣AF＝3﹣＝，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∴CD＝＝＝．（2）当▱CPDE为菱形时，如图2中，连接BP交CD于O．∵四边形PCED是菱形，∴PD＝PC，∵BD＝BC＝1，∴PB垂直平分线段CD，∴点E在直线PB上，∵∠CPO+∠PCO＝90°，∠CPB+∠PBC＝90°，∴∠PCO＝∠PBC，∵∠POC＝∠PCB，∴△COP∽△BCP∴＝，∴＝．∴t＝．（3）当0＜t≤时，如图3中，重叠部分是四边形PCED．．S＝t•＝t．当＜t≤3时，如图4中，重叠部分是四边形PCFD．S＝（4×+t）﹣＝t+．当t＞3时，如图 5中，重叠部分是四边形ACFD，S＝（4×+3）﹣＝．综上所述，S＝．（4）如图6中，当点D′落在AB上时，延长CE交AB于O，易知OC⊥AB，OC＝．AO＝，∴OD＝OA﹣AD＝，∵DE∥AC，∴＝，∴＝，∴DE＝，此时t＝，如图7中，当点D′落在BC上时，延长DE交BC于F，作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N．∵∠DCO＝∠OCB，ON⊥CD，OM⊥CB，∴ON＝OM，∵S△DCB＝S△CDO+S△BCO，∴×4×＝××ON+×4×OM，∴OM＝，∵OM∥AC，∴＝，∴BM＝，CM＝，∵EF∥OM，∴＝，可得EF＝，∴CP＝DE＝﹣＝，此时t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．14．解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．∴∠B＝∠AFD＝90°，又∵AE＝BC，∴AE＝AD，∴△ABE≌△DFA（AAS）．②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，根据勾股定理，得BE＝＝＝3，∵△ABE≌△DFA，∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3．∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，∴四边形CDFE的周长＝2（DC+EC）＝2×（4+2）＝12．③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．∴sin∠AEB＝＝，cos∠AEB＝＝，在Rt△FME中，FM＝EF＝，ME＝EF＝，∴MC＝ME+EC＝+2＝，在Rt△FMC中，tan∠FCE＝＝．（2）如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4．∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AE＝AD＝5，由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…（11分）如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G，则CG∥AE，DH＝FH．∴AG＝GD＝2.5．∵CG∥AE，AG∥EC，∴四边形AECG是平行四边形，∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…（13分）如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FQ⊥DC，垂足为点Q．则AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，∴AF＝FE＝AE．∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，∴△ABE∽△DFA，∴＝，即AD×BE＝AF×AE．设BE＝x，∴5x＝×，解得x1＝2，x2＝8（不符合题意，舍去）∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形．综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．15．解：（Ⅰ）∵A（4，0），C（0，2），∴OA＝4，OC＝2，由旋转的性质得：OA'＝OA＝4，∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OA∥BC，在Rt△OCA'中，OC＝OA'，∴∠OA'C＝30°，∵OA∥BC，∴∠AOA'＝∠OA'C＝30°，即当点A′首次落在BC上时，旋转角为30°；（Ⅱ）由矩形和旋转的性质得：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝OC＝2，作B'E⊥BC于E，如图1所示：∵BC∥AO，∴∠OA′C＝∠A′OA＝30°，∴∠B′A′E＝60°，B′E＝sin∠B′A′E×BB′＝×2＝，EA′＝cos∠B′A′E×BB′＝×2＝1，A′C＝cos∠OA′C×OA′＝×4＝2，∴CE＝CA′﹣EA′＝2﹣1，B′的纵坐标为：2+，∴点B′的坐标为：（2﹣1，2+）；（Ⅲ）过点A'作A'F⊥x轴于F，如图2所示：∵∠B'A'O＝90°，A'F⊥B'O，∴B'O＝＝2，∠A'FO＝90°，∵∠A'OF＝∠B'OA'，∴△B'A'O∽△A'FO，∴＝＝，即＝＝，解得：OF＝，A'F＝，∴点A的坐标为（﹣，）．16．（1）解：结论：真．理由：如图1﹣1中，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，∴BD是⊙O的直径，∵AC＝BD，∴AC也是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．故答案为真．（2）证明：如图2中，∵四边形ABCD是对直角四边形，∠DAB＜90°，∴∠D＝∠B＝90°，∴AD2+DC2＝AC2，AB2+BC2＝AC2，∴AD2+DC2＝AB2+BC2，∵AD+DC＝AB+BC∴（AD+DC）2＝（AB+BC）2，即：AD2+2AD•DC+DC2＝AB2+2AB•BC+BC2，∴2AD•DC＝2AB•BC，∴•AD•DC＝•AB•BC，即：S△ADC＝S△ABC．（3）①结论：四边形ECFD是“对直角四边形”．理由：如图3中，∵DE平分∠BDP，DF平分∠ADP，∴∠EDP＝∠BDP，∠FDP＝∠ADP，∴∠EDF＝（∠BDP+∠ADP）＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形ECFD是“对直角四边形”．故答案为四边形ECFD．②如图3中，当OP＝2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．理由：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝10，∵BD＝AD＝5，DP∥AC，∴OB＝OC，∴OD＝AC＝3，∵OP＝2，∴DP＝5，∵∠PDF＝∠DFA＝∠ADF，∴AD＝AF＝5，∴DP＝AF，DP∥AF，∴四边形ADPF是平行四边形，∴∠A＝∠DPF，∵DP＝DB，DE＝DE，∠EDB＝∠EDP，∴△EDB≌△EDP（SAS），∴∠DPE＝∠B，∴∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠B+∠A＝90°，∵∠EDF＝90°，∴四边形DEPF是“对直角四边形”．故答案为2．。

【中考复习】2019年中考数学四边形中考复习(含答案)

2019年中考数学四边形中考复习姓名：__________班级：__________一、选择题1.下列命题中，假命题是（）A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形2.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A.4个B.6个C.8个D.10个3.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（）A.45°B.30°C.60°D.55°4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE=DF，EF与BD相交于点O，连结AO．若∠CBD=35°，则∠DAO的度数为（）A.35°B.55°C.65°D.75°5.两个正方形和一个正六边形按如图方式放置在同一平面内，则∠ɑ的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°6.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A.90°B.180°C.210°D.270°7.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114° D．124°8.在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个9.用一条直线将一个菱形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N值不可能是（）A.360°B.540°C.630°D.720°10.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论:①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.411.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E、F分别在边BC、BA上，CE=1,若∠EOF=45°，则F 点的纵坐标是( )A.1B.C.D.12.如图，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A. B.6 C. D.二、填空题13.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．14.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为．15.在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为______．16.如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为．17.如图,A（4,0）,B（3,3）,以AO，AB为边作平行四边形OABC,则经过C点的反比例函数的解析式为．18.如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．三、解答题19.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．（1）求∠AEF的度数；（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．20.（1）如图1，纸片□ABCD中，AD=5，S=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至□ABCD△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为（）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F/的位置，拼成四边形AFF′D．①证四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D两条对角线的长．21.如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．22.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．23.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．24.如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，交矩形的对角线BD于点E，点F是BC的中点，连接EF．（1）试判断EF与⊙O的关系，并说明理由．（2）若DC=2，EF=，点P是⊙O上除点E、C外的任意一点，则∠EPC的度数为（直接写出答案）参考答案1.C．2.C；3.A；4.B．5.A6.B7.C8.A．9.C；10.D；11.A；12.A.13.答案为：AD=BC;14.答案为：5．15.答案为：8．16.答案为：24．17.答案为：y=﹣3x-1．18.答案为：（0，）．19.20.略21.22.（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=0.5EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．23.解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，解得t=4．答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ，即=8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t=3．答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，面积为：4×8﹣2××3×4=20（cm2）．24.解：（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：如图，连接OE、OF．∵OD=OE，∴∠1=∠D．∵点F是BC的中点，点O是DC的中点，∴OF∥BD，∴∠3=∠D，∠2=∠1，∴∠2=∠3．在△EFO与△CFO中，∵，∴△EFO≌△CFO（SAS），∴∠FEO=∠FCO=90°，∴直线EF与⊙O相切．（2）如图，连接DF．∵由（1）知，△EFO≌△CFO，∴FC=EF=．∴BC=2在直角△FDC中，tan∠D==，∴∠D=60°．当点P在上时，∵点E、P、C、D四点共圆，∴∠EPC+∠D=180°，∴∠EPC=120°，当点P在上时，∠EPC=∠D=60°，故答案为：60°或120°．。

2019届中考数学压轴冲刺卷：四边形(含解析答案)

四边形1．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．2．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝，求DR的最小值．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，4），动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动，动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动，设D、E两点同时出发，运动时间为t秒，将△ODE沿DE翻折得到△FDE．（1）若四边形ODFE为正方形，求t的值；（2）若t＝2，试证明A、F、C三点在同一直线上；4．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB＝EF＝6cm，BC ＝FP＝8cm，∠EFP＝90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G，与BD交于点K；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动设运动事件为（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当为何值时，PQ∥BD？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动过程中，当t为秒时，PQ⊥PE．5．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．6．如图，矩形ABCD（AB＞AD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．（1）若∠APC＝76°，则∠DAM＝；（2）猜想∠APC与∠DAM的数量关系为，并进行证明；（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP；（4）如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15，＝时，则线段MC的长为．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D 以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP＝BQ＝；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？8．在四边形ABCD中，点E是线段AC上一点，BE∥CD，∠BEC＝∠BAD．（1）如图1已知AB＝AD；①找出图中与∠DAC相等的角，并给出证明；②求证：AE＝CD；（2）如图2，若BC∥ED，，∠BEC＝45°，求tan∠ABE的值．9．如图，已知△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，点E为直线AC上一点，以BE为边，点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF．（1）如图①，当点E在线段AC上时，EF交BC于点D，连接CF；①找出一对全等三角形为；②若四边形ABFC的面积为7，则AE的长是．（2）如图②，当点E在AC的延长线上时，BE交CF于点D．①△CDE的面积记为m，△BDF的面积记为n，探究m、n之间的数量关系并说明理由；②当△CDE的面积为1时，求AE的长．10．如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ．（1）直接写出线段AP和CQ的关系．（2）当A，O，P三点共线时，求线段DP的长．（3）连接PQ，求线段PQ的最小值．11．课题学习：矩形折纸中的数学实践操作折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形所在平面内，B'C和AD相交于点E，如图1所示．探素发现（1）在图1中，①请猜想并证明AE和EC的数量关系；②连接B'D，请猜想并证明B'D和AC的位置关系；（2）第1小组的同学发现，图1中，将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形．若沿对称轴EF 再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图2所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；（3）若将图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图3所示，（1）中的结论①和结论②是否仍然成立，请直接写出你的判断．拓展应用（4）在图3中，若∠B＝30°，AB＝2，请您直接写出：当BC的长度为多少时，△AB'D恰好为直角三角形．12．已知矩形ABCD，作∠ABC的平分线交AD边于点M，作∠BMD的平分线交CD边于点N．（1）若N为CD的中点，如图1，求证：BM＝AD+DM；（2）若N与C点重合，如图2，求tan∠MCD的值；（3）若＝，AB＝6，如图3，求BC的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB边上一点，且AD＝1，点P从点C出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，以CP、DP为邻边作▱CPDE．设▱CPDE和△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）（1）连结CD，求CD的长；（2）当▱CPDE为菱形时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）将线段CD沿直线CE翻折得到线段C′D′．当点D′落在△ABC的边上时，直接写出t的值．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF （1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形．15．如图，在平面直角坐标系xOy中有矩形OABC，A（4，0），C（0，2），将矩形OABC绕原点O逆时针旋转得到矩形OA′B′C′．（Ⅰ）如图1，当点A′首次落在BC上时，求旋转角；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点B′的坐标；（Ⅲ）如图2，当点B′首次落在x轴上时，直接写出此时点A′的坐标．16．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“对直角四边形”．（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是命题；（填“真”或“假”）（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．①图中是“对直角四边形”的是；②当OP的长是时，四边形DEPF为对直角四边形．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，∴∠BAE＝∠DAG，在△ADG和△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（AAS）．（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：作FH⊥MN于H，如图1所示：则∠EHF＝90°＝∠ABE，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，，∴△EFH≌△ABE（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴＝＝；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝＝，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝．2．（1）证明：设正方形ABEF的边长为a，∵AE是正方形ABEF的对角线，∴∠DAG＝45°，由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，则四边形ABCD为矩形，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝，∴AB：AD＝a：＝：1，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：①作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q，如图b所示：∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，∴四边形BQOP是矩形．∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．∴＝，＝，∵O为AC中点，∴OP＝BC，OQ＝AB，∵∠MON＝90°，∴∠QON＝∠POM，∴＝＝＝，∴tan∠OMN＝＝；②如图c所示：∵四边形ABCD为矩形，AB＝，∴BC＝AD＝1，∵BR⊥CM，∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，∴CI＝BC＝，∴DR最小＝﹣＝﹣＝．3．（1）解：∵矩形OABC中，B（8，4），∴OA＝8，OC＝4，∵四边形ODEF为正方形，∴OE∥DF，OE＝DF，∵△ODE沿DE翻折得到△FDE，∴OD＝DF，∵OD＝2t，OE＝4﹣t，∴2t＝4﹣t，t＝；（2）证明：连接AC，作OG⊥AC于G，如图1所示：∵t＝2，∴OE＝BE＝2，OD＝DE＝4，∴DE是△OAC的中位线，∴DE∥AC，且DE＝AC，∴＝＝，∴DE垂直平分OF，由折叠的性质得：DE垂直平分OF，∴G与F点重合，即A、C、F三点在同一条直线；（3）解：存在，理由如下：如图2所示：∵S△BDE＝S△ABC﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ODE＝32﹣t×8﹣×4×（8﹣2t）﹣×2t（4﹣t）＝32﹣4t﹣16+4t﹣4t+t2＝t2﹣4t+16＝（t﹣2）2+12，∴t＝2时，S△BDE有最小值为12；即存在实数t，使△BDE的面积最小，t＝2秒．4．解：（1）∵PQ∥BD，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当t＝时，PQ∥BD．（2）假设存在．∵S五边形AFPQM＝S△ABF+S矩形ABCD﹣S△PQC﹣S△MQD＝×（8﹣t ）×6+6×8﹣（8﹣t ）×t ﹣×（6﹣t ）×（6﹣t ）＝t 2﹣t +．又∵S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8，∴（t 2﹣t +）：48＝9：8，整理得：t 2﹣20t +36＝0，解得t ＝2或18（舍弃），∴t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8．（3）∵PQ ⊥PE ，∴∠QPE ＝90°，∵∠EFP ＝∠C ＝90°，∴∠EPF +∠QPC ＝90°，∠QPC +∠PQC ＝90°，∴∠EPF ＝∠PQC ，∴△EPF ∽△PQC ，∴＝，∴＝，解得t ＝，∴当t ＝时，PQ ⊥PE ．故答案为． 5．解：问题发现（1）①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝∠CDE ＝60°＝∠CED∵点A 、D 、E 在同一条直线上，∴∠ADC ＝120°∵∠ACB ﹣∠DCB ＝∠DCE ﹣∠DCB∴∠ACD ＝∠BCE ，且AC ＝BC ，DC ＝CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴∠ADC ＝∠CEB ＝120°∴∠ABE ＝∠CEB ﹣∠CED ＝60°②∵△ACD ≌△BCE∴AD＝BE故答案为：60°，AD＝BE（2）拓展研究：猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．解决问题：（3）∵点P满足PD＝2，∴点P在以D为圆心，2为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝4，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝2∵∠BPD＝90°＝∠BAD∴点A，点B，点D，点P四点共圆∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP∴∠HAP＝∠APH＝45°∴AH＝HP在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴8＝AH2+（2﹣AH）2，∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1若点P在CD的右侧，同理可得AH＝+1综上所述：点A到BP的距离为： +1或﹣11．解：（1）∵AD∥CP，∠APC＝76°，∴∠DAP＝104°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴∠AMD＝52°，又∵∠D＝90°，∴∠DAM＝38°，故答案为：38°；（2）∠APC＝2∠DAM，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∵点P是射线BC上的点，∴AD∥CP，∴∠DAP+∠APC＝180°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴2∠AMD+∠APC＝180°，在Rt△AMD中，∠D＝90°，∴∠AMD＝90°﹣∠DAM，∴2（90°﹣∠DAM）+∠APC＝180°，∴∠APC＝2∠DAM，故答案为：∠APC＝2∠DAM；（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF＝AP，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AD∥BE，AB⊥BE，∴∠DAM＝∠E，∵M是DC中点，∴DM＝CM，又∵∠1＝∠2，∴△AMD≌△EMC（AAS），∴AD＝CE，∴BE＝BC+CE＝2AD，∵∠APC＝2∠DAM，∴∠APC＝2∠E，∵PA＝PF，∴∠PAF＝∠F，∴∠APC＝2∠F，∴∠E＝∠F，∴AE＝AF，又∵AB⊥BE，∴BE＝BF，又∵BF＝BP+PF＝BP+AP，∴2AD＝BP+AP；（4）如图2，延长MD到点E，使DE＝MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，设AM＝3x，AD＝2x，则DM＝DE＝x，AE＝AP＝3x，∵∠AMD＝∠EMF，∠ADM＝∠EFM＝90°，∴△ADM∽△EFM，∴＝，即＝，解得EF＝x，∴AF＝＝x，∵DE＝MD，AD⊥CE，∴∠AME＝∠AEM，则∠EAF＝2∠AMD，∵AD∥BC，∠DAP＝2∠AMD，∴∠APB＝∠DAP＝2∠AMD，∴∠EAF＝∠APB，又∵∠EFA＝∠B＝90°，AE＝AP，∴△EAF≌△APB（AAS），∴PB＝AF＝x，由AD＝BC得x+15＝2x，解得x＝9，∴AB＝＝12，∴MC＝DC﹣DM＝AB﹣DM＝3，故答案为：3．2．解：（1）由题意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，故答案为：t，26﹣3t；（2）由题意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，设当运动时间为t秒时PD＝QC，此时四边形PQCD为平行四边形．由PD＝QC得，24﹣t＝3t，解得t＝6，∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，设当运动时间为t秒时AP＝BQ，四边形ABQP为平行四边形．由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，解得：t＝，又∵∠B＝90°∴平行四边形ABQP为矩形．∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．3．解：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接DF，则CD＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，∴∠BEC＝∠DFC，∴∠AEB＝∠AFD，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴∠ABE＝∠CAD，②∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF，∵CD＝DF，∴AE＝CD；（3）过点D作DG⊥CD交AC于点G，∵BE∥CD，∴∠DCA＝∠BEC＝45°，∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE∽△DAG，∴＝＝，∵BC∥DE，BE∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD，过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，设AH＝EH＝m，则AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，∴BH＝BE+EH＝2m+m，tan∠ABE＝＝＝．4．解：（1）①△ABE≌△CBF理由如下：∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，且AC＝BC，EB＝BF∴△ABE≌△CBF（SAS）故答案为：△ABE≌△CBF②如图，过点B作BM⊥AC于M，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，BM⊥AC，∴AM＝CM＝BM＝2∴S△ABC＝×4×2＝4∵S四边形ABFC＝7∴S△CBF＝3＝S△ABM，∴＝3∴AE＝3故答案为：3（2）①4+m＝n理由如下：∵△ABE≌△CBF∴S△ABE＝S△CBF，∴S△ABC+S△CBD+S△CDE＝S△CBD+S△BDF，∴4+m＝n②∵△CDE的面积为1，m+4＝n∴n＝5∴S△BDE＝5，如图，过点B作BG⊥AC，BH⊥FC，∵△ABE≌△CBF∴AE＝CF，∠A＝∠BCH＝45°＝∠ACB，且BG⊥AC，BH⊥FC，∴BG＝BH＝2，∠ACF＝90°∵S△BDE＝5，∴DF×BH＝5∴DF＝5，∴设CE＝x，则AE＝4+x＝CF，∴CD＝4+x﹣5＝x﹣1∵S△CDE＝CD×CE＝1∴1＝×x×（x﹣1）∴x＝2，x＝﹣1（舍去）∴AE＝2+x＝6，5．解：（1）AP＝CQ，AP⊥CQ；理由如下：延长QC、AP交于点E，AP的延长线交BC于F，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，由旋转的性质得：∠PDQ＝90°，DP＝DQ，∴∠ADP＝∠CDQ，在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ，∠DAP＝∠DCQ，∵∠BCD＝90°，∴∠DCQ+∠ECF＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠CFE，∴∠CFE+∠ECF＝90°，∴∠CEF＝90°，∴AE⊥QE，∴AP⊥CQ；（2）作DH⊥AP于H，如图2所示：∵O是BC边的中点，∴OB＝BC＝，当A，O，P三点共线时，由勾股定理得：AO＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAH＝∠BOA，∴sin∠DAH＝sin∠BOA＝＝，cos∠DAH＝cos∠BOA＝＝，∴DH＝AD×sin∠DAH＝2×＝4，AH＝AD×cos∠DAH＝2×＝2，∴PH＝AO﹣AH﹣OP＝5﹣2﹣2＝1，∴DP＝＝；（3）连接OD，如图3所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．6．解：（1）∵AD∥CP，∠APC＝76°，∴∠DAP＝104°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴∠AMD＝52°，又∵∠D＝90°，∴∠DAM＝38°，故答案为：38°；（2）∠APC＝2∠DAM，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∵点P是射线BC上的点，∴AD∥CP，∴∠DAP+∠APC＝180°，∴2∠AMD+∠APC＝180°，在Rt△AMD中，∠D＝90°，∴∠AMD＝90°﹣∠DAM，∴2（90°﹣∠DAM）+∠APC＝180°，∴∠APC＝2∠DAM，故答案为：∠APC＝2∠DAM；（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF＝AP，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AD∥BE，AB⊥BE，∴∠DAM＝∠E，∵M是DC中点，∴DM＝CM，又∵∠1＝∠2，∴△AMD≌△EMC（AAS），∴AD＝CE，∴BE＝BC+CE＝2AD，∵∠APC＝2∠DAM，∴∠APC＝2∠E，∵PA＝PF，∴∠PAF＝∠F，∴∠E＝∠F，∴AE＝AF，又∵AB⊥BE，∴BE＝BF，又∵BF＝BP+PF＝BP+AP，∴2AD＝BP+AP；（4）如图2，延长MD到点E，使DE＝MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，设AM＝3x，AD＝2x，则DM＝DE＝x，AE＝AP＝3x，∵∠AMD＝∠EMF，∠ADM＝∠EFM＝90°，∴△ADM∽△EFM，∴＝，即＝，解得EF＝x，∴AF＝＝x，∵DE＝MD，AD⊥CE，∴∠AME＝∠AEM，则∠EAF＝2∠AMD，∵AD∥BC，∠DAP＝2∠AMD，∴∠APB＝∠DAP＝2∠AMD，∴∠EAF＝∠APB，又∵∠EFA＝∠B＝90°，AE＝AP，∴△EAF≌△APB（AAS），∴PB＝AF＝x，由AD＝BC得x+15＝2x，解得x＝9，∴AB＝＝12，∴MC＝DC﹣DM＝AB﹣DM＝3，故答案为：3．7．解：（1）由题意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，故答案为：t，26﹣3t；（2）由题意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，设当运动时间为t秒时PD＝QC，此时四边形PQCD为平行四边形．由PD＝QC得，24﹣t＝3t，解得t＝6，∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，设当运动时间为t秒时AP＝BQ，四边形ABQP为平行四边形．由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，解得：t＝，又∵∠B＝90°∴平行四边形ABQP为矩形．∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．8．解：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接DF，则CD＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，∴∠BEC＝∠DFC，∴∠AEB＝∠AFD，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴∠ABE＝∠CAD，②∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF，∵CD＝DF，∴AE＝CD；（3）过点D作DG⊥CD交AC于点G，∵BE∥CD，∴∠DCA＝∠BEC＝45°，∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE∽△DAG，∴＝＝，∵BC∥DE，BE∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD，过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，设AH＝EH＝m，则AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，∴BH＝BE+EH＝2m+m，tan∠ABE＝＝＝．9．解：（1）①△ABE≌△CBF理由如下：∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，且AC＝BC，EB＝BF∴△ABE≌△CBF（SAS）故答案为：△ABE≌△CBF②如图，过点B作BM⊥AC于M，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，BM⊥AC，∴AM＝CM＝BM＝2∴S△ABC＝×4×2＝4∵S四边形ABFC＝7∴S△CBF＝3＝S△ABM，∴＝3∴AE＝3故答案为：3（2）①4+m＝n理由如下：∵△ABE≌△CBF∴S△ABE＝S△CBF，∴S△ABC+S△CBD+S△CDE＝S△CBD+S△BDF，∴4+m＝n②∵△CDE的面积为1，m+4＝n∴n＝5∴S△BDE＝5，如图，过点B作BG⊥AC，BH⊥FC，∵△ABE≌△CBF∴AE＝CF，∠A＝∠BCH＝45°＝∠ACB，且BG⊥AC，BH⊥FC，∴BG＝BH＝2，∠ACF＝90°∵S△BDE＝5，∴DF×BH＝5∴DF＝5，∴设CE＝x，则AE＝4+x＝CF，∴CD＝4+x﹣5＝x﹣1∵S△CDE＝CD×CE＝1∴1＝×x×（x﹣1）∴x＝2，x＝﹣1（舍去）∴AE＝2+x＝6，10．解：（1）AP＝CQ，AP⊥CQ；理由如下：延长QC、AP交于点E，AP的延长线交BC于F，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，由旋转的性质得：∠PDQ＝90°，DP＝DQ，∴∠ADP＝∠CDQ，在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ，∠DAP＝∠DCQ，∵∠BCD＝90°，∴∠DCQ+∠ECF＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠CFE，∴∠CFE+∠ECF＝90°，∴∠CEF＝90°，∴AE⊥QE，∴AP⊥CQ；（2）作DH⊥AP于H，如图2所示：∵O是BC边的中点，∴OB＝BC＝，当A，O，P三点共线时，由勾股定理得：AO＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAH＝∠BOA，∴sin∠DAH＝sin∠BOA＝＝，cos∠DAH＝cos∠BOA＝＝，∴DH＝AD×sin∠DAH＝2×＝4，AH＝AD×cos∠DAH＝2×＝2，∴PH＝AO﹣AH﹣OP＝5﹣2﹣2＝1，∴DP＝＝；（3）连接OD，如图3所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．11．解：（1）如图1中，①结论：EA＝EC．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．②连接DB′．结论：DB′∥AC．∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．（2）如图2中，①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，∴△AEB′≌△AEF（AAS），∴AB′＝AF，此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．②当AD：AB＝时，也符合题意，∵此时∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．（3）如图3中，当四边形ABCD是平行四边形时，仍然有EA＝EC，DB′∥AC．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵AD＝BC＝CB′，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．（4）①如图3﹣1中，当∠AB′C＝90°时，易证∠BAC＝90°，BC＝＝．②如图3﹣2中，当∠ADB′＝90°时，易证∠ACB＝90°，BC＝AB•cos30°＝．③如图3﹣3中，当∠DAB′＝90°时，易证∠B＝∠ACB＝30°，BC＝2•AB•cos30°＝2．④如图3﹣4中，当∠DAB′＝90°时，易证：∠B＝∠CAB＝30°，BC＝＝，综上所述，满足条件的BC的长为或或2或12．（1）证明：如图1，延长MN、BC交于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠D＝∠NCE，∠DMN＝∠NEC，∵N是DC的中点，∴DN＝CN，∴△DNM≌△CNE（AAS），∴DM＝CE，∵BM平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠MBE＝45°，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠EBM＝45°，∴∠BMD＝180°﹣45°＝135°，∵MN平分∠BMD，∴∠BMN＝∠DMN＝67.5°，∴∠E＝∠DMN＝67.5°，∴∠BMN＝∠E＝67.5°，∴BM＝BE＝BC+CE＝AD+DM；（2）解：如图2，当N与C重合时，由（1）知：∠BMC＝∠DMN＝∠BCM，∴BC＝BM，设AB＝x，则BM＝BC＝x，∵AD＝BC，∴DM＝x﹣x，Rt△DMC中，tan∠MCD＝＝＝﹣1；（3）解：如图3，延长MN、BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵，∴CN＝2，DN＝4，∵△ABM是等腰直角三角形，∴BM＝6，由（1）知：BM＝BG＝6，∵DM∥CG，∴△DMN∽△CGN，∴＝2，设CG＝m，则DM＝2m，6＝6+2m+m，m＝2﹣2，∴BC＝6+2m＝2+4．13．解：（1）过点D作DF⊥AC于点F．如图1中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵DF∥BC，∴△AFD∽△ACB．∴＝＝，∴＝＝，∴AF＝，DF＝，∴CF＝AC﹣AF＝3﹣＝，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∴CD＝＝＝．（2）当▱CPDE为菱形时，如图2中，连接BP交CD于O．∵四边形PCED是菱形，∴PD＝PC，∵BD＝BC＝1，∴PB垂直平分线段CD，∴点E在直线PB上，∵∠CPO+∠PCO＝90°，∠CPB+∠PBC＝90°，∴∠PCO＝∠PBC，∵∠POC＝∠PCB，∴△COP∽△BCP∴＝，∴＝．∴t＝．（3）当0＜t≤时，如图3中，重叠部分是四边形PCED．．S＝t•＝t．当＜t≤3时，如图4中，重叠部分是四边形PCFD．S＝（4×+t）﹣＝t+．当t＞3时，如图 5中，重叠部分是四边形ACFD，S＝（4×+3）﹣＝．综上所述，S＝．（4）如图6中，当点D′落在AB上时，延长CE交AB于O，易知OC⊥AB，OC＝．AO＝，∴OD＝OA﹣AD＝，∵DE∥AC，∴＝，∴＝，∴DE＝，此时t＝，如图7中，当点D′落在BC上时，延长DE交BC于F，作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N．∵∠DCO＝∠OCB，ON⊥CD，OM⊥CB，∴ON＝OM，∵S△DCB＝S△CDO+S△BCO，∴×4×＝××ON+×4×OM，∴OM＝，∵OM∥AC，∴＝，∴BM＝，CM＝，∵EF∥OM，∴＝，可得EF＝，∴CP＝DE＝﹣＝，此时t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．14．解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．∴∠B＝∠AFD＝90°，又∵AE＝BC，∴AE＝AD，∴△ABE≌△DFA（AAS）．②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，根据勾股定理，得BE＝＝＝3，∵△ABE≌△DFA，∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3．∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，∴四边形CDFE的周长＝2（DC+EC）＝2×（4+2）＝12．③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．∴sin∠AEB＝＝，cos∠AEB＝＝，在Rt△FME中，FM＝EF＝，ME＝EF＝，∴MC＝ME+EC＝+2＝，在Rt△FMC中，tan∠FCE＝＝．（2）如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4．∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AE＝AD＝5，由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…（11分）如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G，则CG∥AE，DH＝FH．∴AG＝GD＝2.5．∵CG∥AE，AG∥EC，∴四边形AECG是平行四边形，∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…（13分）如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FQ⊥DC，垂足为点Q．则AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，∴AF＝FE＝AE．∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，∴△ABE∽△DFA，∴＝，即AD×BE＝AF×AE．设BE＝x，∴5x＝×，解得x1＝2，x2＝8（不符合题意，舍去）∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形．综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．15．解：（Ⅰ）∵A（4，0），C（0，2），∴OA＝4，OC＝2，由旋转的性质得：OA'＝OA＝4，∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OA∥BC，在Rt△OCA'中，OC＝OA'，∴∠OA'C＝30°，∵OA∥BC，∴∠AOA'＝∠OA'C＝30°，即当点A′首次落在BC上时，旋转角为30°；（Ⅱ）由矩形和旋转的性质得：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝OC＝2，作B'E⊥BC于E，如图1所示：∵BC∥AO，∴∠OA′C＝∠A′OA＝30°，∴∠B′A′E＝60°，B′E＝sin∠B′A′E×BB′＝×2＝，EA′＝cos∠B′A′E×BB′＝×2＝1，A′C＝cos∠OA′C×OA′＝×4＝2，∴CE＝CA′﹣EA′＝2﹣1，B′的纵坐标为：2+，∴点B′的坐标为：（2﹣1，2+）；（Ⅲ）过点A'作A'F⊥x轴于F，如图2所示：∵∠B'A'O＝90°，A'F⊥B'O，∴B'O＝＝2，∠A'FO＝90°，∵∠A'OF＝∠B'OA'，∴△B'A'O∽△A'FO，∴＝＝，即＝＝，解得：OF＝，A'F＝，∴点A的坐标为（﹣，）．16．（1）解：结论：真．理由：如图1﹣1中，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，∴BD是⊙O的直径，∵AC＝BD，∴AC也是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．故答案为真．（2）证明：如图2中，∵四边形ABCD是对直角四边形，∠DAB＜90°，∴∠D＝∠B＝90°，∴AD2+DC2＝AC2，AB2+BC2＝AC2，∴AD2+DC2＝AB2+BC2，∵AD+DC＝AB+BC∴（AD+DC）2＝（AB+BC）2，即：AD2+2AD•DC+DC2＝AB2+2AB•BC+BC2，∴2AD•DC＝2AB•BC，∴•AD•DC＝•AB•BC，即：S△ADC＝S△ABC．（3）①结论：四边形ECFD是“对直角四边形”．理由：如图3中，∵DE平分∠BDP，DF平分∠ADP，∴∠EDP＝∠BDP，∠FDP＝∠ADP，∴∠EDF＝（∠BDP+∠ADP）＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形ECFD是“对直角四边形”．故答案为四边形ECFD．②如图3中，当OP＝2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．理由：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝10，∵BD＝AD＝5，DP∥AC，∴OB＝OC，∴OD＝AC＝3，∵OP＝2，∴DP＝5，∵∠PDF＝∠DFA＝∠ADF，∴AD＝AF＝5，∴DP＝AF，DP∥AF，∴四边形ADPF是平行四边形，∴∠A＝∠DPF，∵DP＝DB，DE＝DE，∠EDB＝∠EDP，∴△EDB≌△EDP（SAS），∴∠DPE＝∠B，∴∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠B+∠A＝90°，∵∠EDF＝90°，∴四边形DEPF是“对直角四边形”．故答案为2．。

浙江省2019年中考数学总复习阶段检测6 四边形试题

阶段检测6 四边形一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的( )A ．OE ＝12DC B ．OA ＝OC C ．∠BOE ＝∠OBA D ．∠OBE ＝∠OCE第1题图第2题图第4题图第8题图2．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a∥b ，∠1＝60°，则∠2的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A ．若AB⊥BC ，则▱ABCD 是菱形B ．若AC⊥BD ，则▱ABCD 是正方形C ．若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D ．若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝4，则四边形OCED 的周长为( )A ．4B ．8C ．10D ．125．在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当平行四边形ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC ＝5；②∠A ＋∠C ＝180°；③AC⊥BD ；④AC ＝BD.A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°7．在平行四边形ABCD 中，AD ＝8，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，且EF ＝2，则AB 的长为( )A ．3B ．5C ．2或3D ．3或58．如图，有一平行四边形ABCD 与一正方形CEFG ，其中E 点在AD 上．若∠ECD ＝35°，∠AEF ＝15°，则∠B 的度数为何？( )A ．50°B ．55°C ．70°D ．75°9．如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( )第9题图第10题图 A ．7 B ．8 C ．7 2 D ．7310．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A (5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D (0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫107，57 二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为 .第11题图第12题图第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAC ＝2∠CAD ，则∠BAE ＝度．13．如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD ′与CE 交于点F.若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为 .14．如图，正方形ABCO 的顶点C 、A 分别在x 轴、y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D ＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是 .15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是 .第14题图第15题图第16题图16．如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连结EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是 .(1)EF ＝2OE ；(2)S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4；(3)BE ＋BF ＝2OA ；(4)在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；(5)OG·BD ＝AE 2＋CF 2. 三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．(2017·安顺)如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点， (1)求证：BC ＝DE ；(2)连结AD 、BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则给△ABC 添加什么条件，为什么？第17题图18．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E和点F.第18题图(1)求证：△AOE≌△COF；(2)当α＝30°时，求线段EF的长度．19．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连结MD，AN.第19题图(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；(2)在图2中，画出一个菱形，使其面积为4；(3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．第20题图21．如图3是利用四边形的不稳定性制造的一个移动升降装修平台，其基本图形是菱形，主体部分相当于由6个菱形相互连接而成，通过改变菱形的角度，从而可改变装修平台高度．(1)如图1是一个基本图形，已知AB＝1米，当∠ABC为30°时，求AC的长及此时整个装修平台的高度(装修平台的基脚高度忽略不计)；(2)当∠ABC从30°变为90°(如图2是一个基本图形变化后的图形)时，求整个装修平台升高了多少米．(结果精确到0.1米，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41)第21题图22．探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P.(1)求证：△ACN≌△CBM；(2)∠CPN＝°.应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图2、3，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图2中∠CPN ＝°；图3中∠CPN＝°.拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其他条件不变，则∠CPN＝°(用含n的代数式表示)．第22题图23．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连结起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连结AC.第23题图结合小敏的思路作答．(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法解决以下问题：(2)如图2，在(1)的条件下，若连结AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．24．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连结PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连结OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．第24题图参考答案阶段检测6 四边形一、1—5.DCCBB 6—10.DDCCD二、11.24 12.22.5 13.36° 14.(2＋3，1) 15.5 16.(1)，(2)，(3)，(5)三、17.(1)∵E 是AC 中点，∴EC ＝12AC.∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC. 又∵DB∥EC，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴BC＝DE. (2)添加AB ＝BC.理由：∵DB 綊AE ，∴四边形DBEA 是平行四边形．∵BC＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴▱ADBE 是矩形．第17题图18.(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AO ＝OC ，∴AE CF ＝OE OF ＝AO OC＝1，∴AE ＝CF ，OE ＝OF ，在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，OE ＝OF AE ＝CF ，∴△AOE ≌△COF. (2)当α＝30°时，即∠AOE＝30°，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠OAD ＝60°，∴∠AEO ＝90°，在Rt △AOB 中，sin∠ABO ＝AO AB ＝AO 2＝12，∴AO ＝1，在Rt △AEO 中，cos ∠AOE ＝cos 30°＝OE AO ＝32，∴OE ＝32，∴EF ＝2OE ＝ 3.第18题图19．(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM ，∴∠NDE ＝∠M AE ，∠DNE ＝∠AME，∵点E是AD 中点，∴DE ＝AE ，在△NDE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NDE ＝∠MAE，∠DNE ＝∠AME DE ＝AE ，，∴△NDE ≌△MAE(AAS)，∴ND ＝MA ，∴四边形AMDN 是平行四边形； (2)AM ＝1.理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝2，∵平行四边形AMDN 是矩形，∴DM ⊥AB ，即∠DMA＝90°，∵∠DAB ＝60°，∴∠ADM ＝30°，∴AM ＝12AD ＝1. 20．(1)如图1， (2)如图2， (3)如图3.第20题图 21.(1)连结图1中菱形ABCD 的对角线AC 、BD ，交于点O ，在Rt △ABO 中，∠AOB ＝90°，∠ABO ＝12∠ABC ＝15°，∴OA ＝AB ·sin ∠ABO ＝1×sin 15°≈0.26米，此时AC ＝2AO ＝2×0.26＝0.52≈0.5米，故可得整个装修平台的高度＝0.52×6＝3.12≈3.1米； (2)当∠ABC 从30°变为90°时，AC ＝2≈1.41米，此时的整个装修平台的高度＝1.41×6＝8.46米，整个装修平台升高了8.46－3.12≈5.3米．第21题图22．探究：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝∠ABC＝60°.∴∠ACN ＝∠CBM＝120°.在△ACN 和△CBM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACN ＝∠CBM CN ＝BM ，，∴△ACN ≌△CBM. (2)∵△ACN≌△CBM，∴∠CAN ＝∠BCM，∵∠ABC ＝∠BMC＋∠BCM，∠BAN ＝∠BAC＋∠CAN，∴∠CPN ＝∠BMC＋∠BAN ＝∠BMC＋∠BAC＋∠CAN＝∠BMC＋∠BAC＋∠BCM＝∠ABC＋∠BAC＝60°＋60°＝120°.应用：将等边三角形换成正方形，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD＝90°.∴∠MBC ＝∠DCN＝90°.在△DCN 和△CBM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ，∠DCN ＝∠MBC，CN ＝BM ，∴△DCN ≌△CBM.∴∠CDN ＝∠BCM，∵∠BCM ＝∠PCN，∴∠CDN ＝∠PCN，在Rt △DCN 中，∠CDN ＋∠CND＝90°，∴∠PCN ＋∠CND＝90°，∴∠CPN ＝90°.将等边三角形换成正五边形，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC ＝∠BCD＝108°.∴∠MBC ＝∠DCN＝72°.在△DCN 和△CBM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ，∠DCN ＝∠MBC CN ＝BM ，，∴△DCN ≌△CBM.∴∠BMC ＝∠CND，∠BCM ＝∠CDN，∵∠ABC ＝∠BMC＋∠BCM＝108°，∴∠CPN ＝180°－(∠CND＋∠PCN)＝180°－(∠CND＋∠BCM)＝180°－(∠BCM＋∠BMC)＝180°－108°＝72°. 拓展：方法和上面正五边形的方法一样，得到∠CPN＝180°－(∠CND＋∠PCN)＝180°－(∠CND＋∠BCM)＝180°－(∠BCM＋∠BMC)＝180°－180°（n －2）n ＝360°n，故答案为360n. 23.(1)是平行四边形，证明：如图2，连结AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC ，同理HG∥AC，HG ＝12AC ，综上可得：EF∥HG，EF ＝HG ，故四边形EFGH 是平行四边形； (2)①AC＝BD.理由如下：由(1)知，四边形EFGH 是平行四边形，且FG ＝12BD ，HG ＝12AC ，∴当AC ＝BD 时，FG ＝HG ，∴平行四边形EFGH 是菱形； ②当AC⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形；理由如下：同①得：四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，GH ∥AC ，∴GH ⊥BD ，∵GF ∥BD ，∴GH ⊥GF ，∴∠HGF ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形．第23题图24．(1)四边形APQD 为平行四边形； (2)OA ＝OP ，OA ⊥OP ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO ＝45°，∴∠ABO ＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB ＝OQ ，在△AOB 和△OPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝PQ ，∠ABO ＝∠PQO BO ＝QO ，，∴△AOB ≌△POQ(SAS)，∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ，∴∠AOP ＝∠BOQ＝90°，∴OA ⊥OP ； (3)如图，过O 作OE⊥BC 于E.①如图1，当P 点在B 点右侧时，则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋22，∴y ＝12×x ＋22·x ，即y ＝14(x ＋1)2－14，又∵0≤x≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值为2；②如图2，当P 点在B 点左侧时，则BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2，∴y ＝12×2－x 2·x ，即y ＝－14(x －1)2＋14，又∵0≤x≤2，∴当x ＝1时，y 有最大值为14；综上所述，当x ＝2时，y 有最大值为2.百度文库，精选试题第24题图试题习题，尽在百度。

全国各地2019年中考数学真题汇编四边形

百度文库，精选试题四边形(填空+选择40题)一、选择题1.已知正多边形的一个外角等于40°、那么这个正多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D2.下列命题正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相垂直平分B. 矩形的对角线互相垂直平分C. 菱形的对角线互相平分且相等D. 正方形的对角线互相垂直平分【答案】D3.如图、将矩形沿对角线折叠、点落在处、交于点、已知 ,的度为（）则A. B.C.D.D【答案】4.如图、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O、点E为边CD的中点、若菱形ABCD的周长为16、∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题B A.C.. 2D.4A 【答案】）的半径为3、则图中阴影部分的面积是（ 5.如图、在中、、B. A.C.D.C【答案】、下列作法中错误的是（用尺规在一个平行四边形内作菱形6.ABCD ）A.B.C.D.试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题【答案】C7.如图、将矩形ABCD沿GH折叠、点C落在点Q处、点D落在AB边上的点E处、若∠AGE=32°、则∠GHC等于（）A. 112°B. 110°C. 108°D. 106°【答案】D8.下列命题、其中是真命题的为（）A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D到顺时针旋转的位置、的边上一点、把绕点如图、点9. 是正方形的面积为、则25、的长为（若四边形）A. 5B.C. 7D.D【答案】一定为平行四边形的AECF上不同的两点、下列条件中、不能得出四边形、EF是对角线BD中、10.□ABCD ）是（试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题A. BE=DFB. AE=CFC. AF//CED. ∠BAE=∠DCF【答案】B11.在中、若与的角平分线交于点、则的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】B12.如图、在?ABCD中、对角线AC与BD相交于点O、E是边CD的中点、连结OE．若∠ABC=60°、∠BAC=80°、则∠1的度数为（）A.50°B.40°C.30°D.20°【答案】B13.如图、在 ABCD中、CD=2AD、BE⊥AD于点E、F为DC的中点、连结EF、BF、下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S=2S；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。

2019年九年级数学中考总复习考前训练：四边形综合测试题

∵∠ ADB=30° ，
∴ AD= OD =2 cos30
3．
19．（ 1）证明：∵四边形
ABCD 是矩形，
∴∠ A ＝∠ D＝ 90°.
∴∠ AEF ＋∠ AFE ＝ 90°.
∵ EF ⊥ EC ， [来源:Z&xx&]
∴∠ FEC＝ 90°.
∴∠ AEF ＋∠ DEC ＝ 90°.
∴∠ AFE ＝∠ DEC.
四边形综合测试题
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．六边形的内角和是（
）
A.540 °
B.720 °
C.900 ° D. 360 °
2．如图，在 □ ABCD中， O 是对角线 AC ， BD 的交点，下列结论错误的是 ( )
A ． AB ∥CD B ．AB=CD
C．AC=BD D． OA=OC
∵∠ ACB=90° ，
∴∠ ACB= ∠ DFB.
∴ AC ∥ DE.
∵ MN ∥AB ，
∴四边形 ADEC 是平行四边形 .
∴ CE＝ AD.
（ 2）解：①四边形 BECD 是菱形 .
理由：∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD.
∵ CE=AD ，
∴ BD=CE.
∵ MN ∥AB ，
∴四边形 BECD 是平行四边形 .
.
14．如图，菱形 ABCD 的边长为 8 cm，∠ A=60°， DE ⊥ AB 于点 E，DF ⊥ BC 于点 F，则四边形 BEDF 的面积为 _ __cm2.
第 14 题图
第 15 题图
15．如图，在□ ABCD 中，AD=10 cm ，CD=6 cm ，E 为 AD 上一点，且 BE=BC ，CE=CD ，则 DE=__ __cm.

名师制作2019届中考数学总复习单元测试卷六《四边形》(无答案)

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