求递推数列通项公式的十种策略例析

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递推数列求通项公式方法技巧大全

数列专题之（一）递推公式求通项1、累加法适应于-1a -a n n = f(n), f(n)可为关于n 的一次函数、指数函数或分式函数（裂项）-1-1-2211a =(a -a )+(a -a )++(a -a )+a n n n n n ……2、累积法-121-1-21a a a a =a a a a n n n n n ∙∙∙∙……3、最简单的类型+1a =ca +d n n当c ≠0且c ≠1且 d ≠0时，通过待定系数法配凑为+1d d a +=c(a +)-1-1n n c c（也可直接用迭代，得-12-21a =c a +(1+c+c ++c )n n n d ） 4、+1a =pa +f(n)n n ，f(n)为关于n 的一次函数例1、在数列{a n }中，1a =1，+1a =3a +2n n n ，求通项a n .（方法一）解： +1a =3a +2n n n ，∴2n ≥时，-1a =3a +2(n-1)n n两式相减得令n b =，则n b =3-1n b +2，利用类型3的方法得n-1=53+2n b ∙即=n-153+2∙再用类型一的累加法得a n =n-1513--22n ∙（2n ≥）经检验1a 也满足（方法二，待定系数法）解：令+1a +x(n+1)+y=3(a ++)n n xn y （注意，3为a n 的系数），展开得+1a =3a +2+2-x n n xn y ，与+1a =3a +2n n n 比较系数得x=1，y=于是令n b =1a ++2n n ，则+1n b =3n b 1b = 故n b =n-1532∙所以a n =n-1513--22n ∙5、+1a =pa +f(n)n n ，f(n)为关于n 的指数函数不妨令f(n)= q n方法一（待定系数法）：令+1+1a +q=p(a +q )n nn n λλ，整理，比较系数得λ值，转化为等比数列求之例2、在数列{a n }中，1a =1，-1-1a =3-2a n n n ，求通项a n 设-1-1a +3=-2(a +3)n n n n λλ∙∙整理得a n =n-1-1-2-53n a λ∙ 比较系数得λ=1-5于是令n b = 1a -35nn ∙，下略方法二： +1a =pa +q n n n 等式两边同时除以+1pn ，得到+1+1a a 1=+()pnn n n nq ppp∙ 令n b =a pn n，则+1n b -n b =1()nq pp∙，结合类型一的累加得到n b 、a n方法三：+1a =pa +q n n n 等式两边同时除以+1n q，得到+1+1a a p 1=+n n n nqqqp∙令n b =a n nq，则+1n b =1+n p b qq结合类型三的配凑得到n b 、a n6、分式类型()+1pa +a =0,-0ra +n n n q r ps rq s≠≠常用方法：直接取倒数例4、在数列{a n }中，1a =1，+1a a =a +1n n n 求通项a n+1a +111==1+a a a n n nn，于是+111-=1a a n n，下略不动点辅助方法：先令pa +ra +n n q s=a n ，若有两重根a ，则a n —a 后取倒数（实际上，例4中a=0），若有两相异根a 、b ，则a -a -n n a b为等比数列例5、在数列{a n }中，1a =1，+11a =2-a n n求通项a n令1=a 2-a n n得两重根1，则+1a -1a -1=2-a n n n，+12-a 11==-1a -1a -1a -1n n n n ，下略例6、在数列{an }中，1a=0，+12a=3-ann求通项an令2a=3-ann得两根1、2，则+1+12-1a-13-a a-11==2a-22a-2-23-an n nn nn∙故a-11=a-22nnn⎛⎫⎪⎝⎭，下略。

递推数列通项公式的十种策略例析--资料

求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。

笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。

仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n =-++，故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)21n 23(a -=。

评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为232a 2a nn1n 1n =-++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12a nn -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-= 所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。

_求递推数列通项公式的十种技巧

求递推数列通项公式的十种技巧一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-=所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。

例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

递推公式求通项公式的几种方.docx

由递推公式求通项公式的常用方法由数列的推公式求通公式是高中数学的重点，也是点，它是年高考命的点。

于推公式确定的数列的求解，通常可以通推公式的，化等差数列或等比数列，有也用到一些特殊的化方法与特殊数列。

方法一：累加法形如 a n+1－ a n＝f(n)（n＝2,3,4 , ⋯） , 且 f( 1) ＋ f( 2) ＋⋯＋ f( n- 1) 可求，用累加法求 a n。

有若不能直接用，可形成种形式，然后利用种方法求解。

例 1：（ 07 年北京理工医）已知数列{ a n中， 1＝n1＝ n＋是常数，}a2,a＋ a cn(c n＝1,2,3,⋯)且a1,a2,a3成公比不 1 的等比数列（1）求 c 的（2）求 {a n} 的通公式解：（ 1） a1,a2,a3 成公比不 1 的等比数列2a1a3a2a n1a n cn(n1,2,3, )(a1c)2a1(a1 c 2c)又a12解得c或（舍去）20因此 c2（2）由（1）知a n 1a n2n,即 a n 1a n 2n ，将n＝1,2,⋯,n－1,分代入a2a121a3a222a4a323a n a n 12(n1)将上面 n－1个式子相加得a n－ a1＝2(1＋2＋3＋⋯＋n－1)＝n2－n又 a1＝2, a n＝n2－ n＋2方法二：累乘法n n)（n f(1)f(f n－1)可求，用累乘法求a n.有若不形如a n+1＝ g(＝ 2,3,4⋯），且2)⋯ ( a能直接用，可形成种形式，然后用种方法求解。

例 2：{ a n}是首 1 的正数列，且 (n＋ 1)a n＋12－na n2＋a n＋1a n＝ 0(n＝ 1,2,3⋯ )，求它的通公式。

解：由意知a1=1,a n＞0(n＝1,2,3⋯)由 (n＋ 1)a n＋12－na n2＋a n＋1a n＝ 0得 (a n＋1＋a n)[( n＋ 1)a n＋1－na n]＝ 0因 a n＞0，a na n+1n＝1,2⋯－1 分代入得＋1＋a n≠，所以=,将n,0a n n＋1,n ,21 a= 12 aa3=2a23⋯⋯a n n－ 1=a n－1n将上面 n－1个式子相乘得，a n＝1×2×⋯×n－1 a123n又，n＝1a n点：本先由已知求出推公式，化成了a n+1＝ g(n)的型，再利用累乘法求通公a n式。

高中精品-数学求递推数列通项公式的十种策略例析

3.3递推数列一、基本知识简述1．有关概念：我们在研究数列{a n }时，如果任一项a n 与它的前一项1-n a （或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。

通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。

主要有以下几种方法：（1）构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.（2）迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.（3）代换法：包括代数代换、三角代换等（4）待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。

3.思想策略：构造新数列的思想。

4.常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）类型II :分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n二、例题：例1：231+=-n n a a ，21=a ，求通项n a分析：构造辅助数列， )1(311+=+-n n a a ，则13-=nn a求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式n a 。

[一般形式] 已知q pa a n n +=-1，a a =1，其中p,q,a 为常数，求通项n a [同类变式]已知数列}{n a 满足)12(21-+=+n a a n n ，且21=a ，求通项n a分析：（待定系数），构造数列}{b kn a n ++使其为等比数列，即)(2)1(1b kn a b n k a n n ++=++++，解得1,2==b k求得12251--⋅=-n a n n[归纳]：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）1)(=n p 时,)(1n q a a n n +=+利用累加法，将)1(1-+=-n q a a n n ，=-1n a 2-n a +)2(-n q ,=2a 1a +)1(q …,各式相加，得 =n a 1a +∑-=11)(n k k q (n ≥2)(2)0)(=n q 时,n n a n p a )(1=+;利用累乘法,∏-==111)(n k n k p a a（3）q n q p n p ==)(,)(时,)0(1≠+=+p qpa a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列法1：(常数变易法) 设)(1x a p x a n n +=+- 则)1(1-+=-p x pa a n n ，从而1-=p qx 亦即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 是以1-+p q a n为首项，公比为p 的等比数列，从而可得：11)1(1--+=-+n n p p qa p q a ， 1)1(1---+=-p q p p q a a n n 1])1([1--⋅+-=-p q p q p a n法2：)(211----=-n n n n a a p a a利用{}1--n n a a 成等比数列求出1--n n a a ，再利用迭代或迭另法求出n a 法3：由q pa a n n +=-1，则可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-------21221221111........p q p a p a p qp a pa p q p a p a n n n n n nn n nn,从而又可得n n n p q p q p q p a p a ++++=...321 即)]...11([121-+++⋅+=n nn pq p p p q p a p a 1])1([1--⋅+-=-p qp q p a n（4）q n q p n p ==)(,)(n时,)0(1≠+=+p qpa a n n n两边同除以np例2：数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.例3：数列}{n a 中，且311=a ，1221+=+n nn a a a ，求数列}{n a 的通项公式.[提示]112111+=+nn a a[归纳]：类型II :分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n练习：1.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

递推数列常十种方法

仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.方法如下：由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，K K)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n+++-+-=-Λ即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：Θ 2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+-Λ.例 1. （2003天津文）已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n , 证明213-=n n a 例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：n a n 12-= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

求数列通项公式的十一种方法 (2)

递推数列的通项公式的十一种求法一、累加法：a n =a 1+（a 2―a 1）+……+（a n ―a n ―1）。

型如a n+1=a n +f （n ）的递推数列例1已知a n+1＝a n ＋2n+1，a 1＝1，求数列{a n }的通项公式。

解：112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=∴通项公式为2n a n =例2已知a n +1=a n +2×3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。

解：已知得 a n +1－a n =2×3n +111232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-∴3 1.n n a n =+-例3已知a n +1=3a n +2×3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。

解：已知两边除以13n +，得111213333n n n nn a a +++=++，则111213333n n n nn a a +++-=+112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-关键是把13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n nn a a +++-=+，求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式。

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仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n=-++，故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 221n 23(a -=。

评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为232a 2a nn1n 1n =-++，说明数列}2a {nn 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12a n n -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n )1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-= 所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。

例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由132a a n n 1n +⋅+=+ 得132a a n n 1n +⋅=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---3)1n ()3333(23)132()132()132()132(122n 1n 122n 1n +-+++++=++⋅++⋅+++⋅++⋅=----所以1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅= 评注：本题解题的关键是把递推关系式132a a n n 1n +⋅+=+转化为132a a n n 1n +⋅=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。

例4 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：132a 3a n n 1n +⋅+=+两边除以1n 3+，得1n nn 1n 1n 31323a 3a +++++=，则1n nn 1n 1n 31323a 3a ++++=-，故3a )3a 3a ()3a 3a ()3a a a ()a a 3a (3a 111223n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n nn nn +-++-+-+-=---------- 333132()3132(3132()3132(22n 1n n +++++++++=-- 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=-- 因此n1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-，则213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅=评注：本题解题的关键是把递推关系式132a 3a n n 1n +⋅+=+转化为1n n n1n 1n 31323a 3a ++++=-，进而求出)3a 3a ()3a 3a ()3a 3a (3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n -----------+-+-+…+3a )3a 3a (11122+-，即得数列}3a {n n的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式例5 已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：因为3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，所以0a n ≠，则n n1n 5)1n (2a a +=+，则112232n 1n 1n n n a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=---3]5)11(2[]5)12(2[]5)12n (2[]5)11n (2[122n 1n ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+-⋅+-=-- 35]23)1n (n [212)2n ()1n (1n ⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=+++-+--所以数列}a {n 的通项公式为!n 523a 2)1n (n 1n n⋅⋅⋅=--评注：本题解题的关键是把递推关系n n 1n a 5)1n (2a ⋅+=+转化为n n1n 5)1n (2a a +=+，进而求出112232n 1n 1n n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅--- ，即得数列}a {n 的通项公式。

例6 （2004年全国15题）已知数列}a {n 满足)1n (a 3a 2a a 1a 321n 1-++++== ， )2n (a )1n (1n ≥-+-，则}a {n 的通项⎪⎩⎪⎨⎧≥==2n 2!n 1n 1a n ，，解：因为)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=-①所以n 1n 3211n na a )1n (a 3a 2a a +-++++=-+②所以②式－①式得n n 1n na a a =-+ 则)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+则)2n (1n a a n1n ≥+=+ 所以2232n 1n 1n n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=--- 22a 2!n a ]34)1n (n [⋅=⋅⋅⋅⋅-= ③由)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ，取n=2得212a 2a a +=，则12a a =，又知1a 1=，则1a 2=，代入③得2!n n 5431a n =⋅⋅⋅⋅⋅= 。

评注：本题解题的关键是把递推关系式)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+转化为1n a a n1n +=+（n ≥2），进而求出2232n 1n 1n n a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅--- ，从而可得当n ≥2时n a 的表达式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式例7 已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：设)5x a (25x a n n 1n 1n ⋅+=⋅+++④将n n 1n 53a 2a ⋅+=+代入④式，得n n 1n n n 5x 2a 25x 53a 2⋅+=⋅+⋅++，等式两边消去n a 2，得n 1n n 5x 25x 53⋅=⋅+⋅+，两边除以n 5，得x 25x 3=⋅+，则x=－1，代入④式，得)5a (25a n n 1n 1n -=-++⑤由1565a 11=-=-≠0及⑤式，得05a nn ≠-，则25a 5a nn 1n 1n =--++，则数列}5a {n n -是以15a 11=-为首项，以2为公比的等比数列，则1n n n 215a -⋅=-，故n 1n n 52a +=-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 53a 2a ⋅+=+转化为)5a (25a n n 1n 1n -=-++，从而可知数列}5a {n n -是等比数列，进而求出数列}5a {n n -的通项公式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。

例8 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：设)y 2x a (3y 2x a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++⑥将425a 3a n n 1n +⋅+=+代入⑥式，得)y 2x a (3y 2x 425a 3n n 1n n n +⋅+=+⋅++⋅++整理得y 32x 3y 42)x 25(n n +⋅=++⋅+。

令⎩⎨⎧=+=+y 3y 4x 3x 25，则⎩⎨⎧==2y 5x ，代入⑥式，得)225a (3225a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++⑦由013121225a 11≠=+=+⋅+及⑦式，得0225a nn ≠+⋅+，则3225a 225a nn 1n 1n =+⋅++⋅+++，故数列}225a {n n +⋅+是以13121225a 11=+=+⋅+为首项，以3为公比的等比数列，因此1n n n 313225a -⋅=+⋅+，则225313a n 1n n -⋅-⋅=-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式425a 3a n n 1n +⋅+=+转化为)225a (3225a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++，从而可知数列}225a {n n +⋅+是等比数列，进而求出数列}225a {n n +⋅+的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。

例9 已知数列}a {n 满足1a 5n 4n 3a 2a 12n 1n =++⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：设z )1n (y )1n (x a 21n ++++++)z yn xn a (22n +++=⑧将5n 4n 3a 2a 2n 1n ++⋅+=+代入⑧式，得z )1n (y )1n (x 5n 4n 3a 222n +++++++⋅⋅+ )z yn xn a (22n +++=，则z2yn 2xn 2a 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(a 22n 2n +++=+++++++++等式两边消去n a 2，得z 2yn 2xn 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(22++=++++++++，则得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+z25z y x y 24y x 2x2x 3，则⎪⎩⎪⎨⎧===18z 10y 3x ，代入⑧式，得18)1n (10)1n (3a 21n ++++++)18n 10n 3a (22n +++=⑨由0323111811013a 21≠=+=+⋅+⋅+及⑨式，得018n 10n 3a 2n ≠+++则218n 10n 3a 18)1n (10)1n (3a 2n 21n =+++++++++，故数列}18n 10n 3a {2n +++为以323111811013a 21=+=+⋅+⋅+为首项，以2为公比的等比数列，因此1n 2n 23218n 10n 3a -⋅=+++，则18n 10n 32a 24n n ---=+。