锐角三角函数单元测试3

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锐角三角函数练习卷(含答案)

锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。

- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。

- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。

答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。

答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。

答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。

答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。

证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。

重庆巴蜀中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知：如图，四边形AOBC 是矩形，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，C 点落在D 点处，则D 点的坐标为（）A ．33(3,)22-B ．33(3,)22--C ．33(,3)22D ．(3,33)- 2．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE CE =，3BAC CBD ∠=∠，6266BD =+，则AB 的长为（）A ．6B ．62C ．12D ．102 3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（）A ．5:1B ．4:1C ．3:1D ．2:1 4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（）A ．11sin a +米B ．11cos a-米 C ．11sin a -米 D ．11cos a +米 5．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒=C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒6．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ∠ACB 值为（）A ．355B ．175C ．35D ．457．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（）A ．43B ．8C ．23+4D ．368．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．31)mB ．31)mC ．31)mD ．31)m9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（）A．cos sina xb xa xb x D．sin sina xb x B．cos cosa xb x C．sin cos10．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA＝45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE＝150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED＝60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.411．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（）A．2+6B．1+3C．4 D．2+2312．如图，在矩形ABCD中，33AB ，AD＝9，点P是AD边上的一个动点，连接BP，将矩形ABCD沿BP折叠，得到△A1PB，连接A1C，取A1C的三等分点Q（CQ＜A1Q），当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为（）A ．πB ．23πC ．433πD ．233π 二、填空题13．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．14．已知ABC 中，16,3AB AC cosB ===，则边BC 的长度为____________． 15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为_____．16．如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．17．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ,BC 长为6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 的长为 ________ 米（结果保留根号）18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____． 19．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02A B -+-=，则∠C=____________． 20．如图，O 的直径2AB =，弦1AC =，点D 在O 上，则D ∠的度数是______．三、解答题21．如图，有一个半径为3cm球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P和Q，已知70α=，40β=，一侧接触点离地面距离PM是4cm（sin700.94,cos700.34,tan70 2.75;sin400.64,cos400.77,tan400.84≈≈≈≈≈≈）（1）求圆心O距离地面的高度；（2）直接写出QOP∠与α、β的关系；（3）另一侧接触点离地面距离QN又是什么？22．如图，AB为O的直径，,C D为O上两点，且C为弧BD的中点，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AC（1）求证：EF是O的切线；（2）当32,sin5BF F==时，求AE的长．23．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为10米，且这段斜坡的坡度i=1:3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果保留根号）24．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3=1.732）25．解答下列各题．（1）计算：20170(1)9(3)2cos30π-+--+︒．（2）解方程：(3)(1)3--=x x ．26．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】如图，作 DE ⊥x 轴于点E ，灵活运用三角函数解直角三角形来求点 D 的坐标．【详解】解：如图，作DE ⊥x 轴于点E ，∵点A 的坐标为（0，3），∴OA ＝3．又∵∠OAB ＝60°，∴OB ＝OA•tan ∠OAB ＝33，∠ABO ＝30°． ∴BD ＝BC ＝OA ＝3．∵根据折叠的性质知∠ABD ＝∠ABC ＝60°，∴∠DBE ＝30°，∴DE ＝12BD ＝32，BE ＝332∴OE ＝33－33=33， ∴E 33(3,)22-．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题，翻折前后对应角相等，对应边相等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．2．C解析：C【分析】作DF BC ⊥于F ，根据题意判断出ABC ∆是等腰直角三角形，求出CBD ∠的度数，进而判断出ACD ∆是等边三角形，设AB a ，在Rt BDF ∆中利用直角三角形的性质求出DF 的长，用a 表示出CF 的长，再根据勾股定理即可得出a 的值，进而得出答案．【详解】解：作DF BC ⊥于F ，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，AE CE =，BE EC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，3BAC CBD ∠=∠，30DBC ∴∠=︒，15ABD ∠=︒，1801515150BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，90BAC ∠=︒，60CAD ∴∠=︒，AC AD =，ACD ∴∆是等边三角形，AB AC AD CD ∴===，设AB a ，则2BC a =，AC AD CD a ===，在Rt BDF ∆中， 30DBF ∠=︒，6266BD =+， 32362BD DF ∴==+，3cos (6266)3692BF BD CBD =∠=+⨯=+， 36922CF BF BC a ∴=-=+-，在Rt CDF ∆中，由勾股定理可得222CF DF CD +=，即222(36922)(3236)a a +-++=，解得12a =或12324+，∵12324+＞6266+，即此时AB ＞BD ，不符合，∴AB=12，故选：C ．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．3．A解析：A【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，再根据菱形的高与边长的关系求出∠A ，进而可求出∠ADC ，从而可得答案．【详解】解：如图，DE 是菱形ABCD 的高，DE=1cm ，∵菱形ABCD 的周长是8cm ，∴AD=2cm ，在Rt △ADE 中，∵DE=12AD ，∴∠A=30°，∵AB ∥DC ，∴∠A+∠ADC=180°，∴∠ADC=150°，∴∠ADC ：∠A=150°：30°=5:1．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．4．C解析：C【分析】设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，根据sin αPC PB =＇，列出方程即可解决问题．【详解】解：设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，sin αPC PB =＇∴1sin αx x-=∴x 1xsin α-=， ∴（1-sin α）x=1，∴x=11sin α-．故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．5．A解析：A【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A 、31311sin 60sin 303022-︒-︒==︒=，此项错误；B、22222211 sin45cos45122⎛⎫⎛⎫︒+︒=+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此项正确；C、3sin602tan603,31sin302︒︒===︒，则sin60tan60sin30︒︒=︒，此项正确；D、3cos302tan603,31cos602︒︒===︒，则cos30tan60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．C解析：C【分析】如图，过点A作AH BC⊥于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．【详解】解：如图，过点A作AH BC⊥于H．在Rt ACH∆中，4AH=，3CH=，2222435AC AH CH∴=+=+=，3cos5CHACHAC∴∠==，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．A解析：A【分析】先证明△ABC是等边三角形，以C为圆心，CD为半径作圆，交AD边与点M，可得△CDM 是等边三角形，进而得到∆BCM≅∆ACD，可得到60BMC∠=︒，得到BM∥CD，过点M作MH CD⊥，根据△BCD的面积等于△CDM的面积求解即可；【详解】∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，∵∠ADC=60°，CM=CD ，∴△CDM 是等边三角形，∴60MCD ∠=︒，∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，即：∠BCM=∠ACD ，∴∆BCM ≅∆ACD ，∴∠BMC=∠ADC=60°，∴∠BMC=∠MCD ，∴BM ∥CD ，根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，过点M 作MH CD ⊥，∵CD=4，∴2==CH HD ， ∴tan 602MH MH DH ︒==， ∴23MH =， ∴△△1423432BDC CDM S S ==⨯⨯= 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键． 8．A解析：A【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x ，在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=MN AN ， ∴tan30∘=16x x+ =3√3，解得：x=8(3 +1)，则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.9．A解析：A【分析】作CE ⊥y 轴于E ．解直角三角形求出OD ，DE 即可解决问题．【详解】作CE ⊥y 轴于E ．在Rt △OAD 中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b ，∠OAD=x ，∴OD=sin OAD sin AD b x ∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x ， ∴在Rt △CDE 中，∵CD=AB=a ，∠CDE=x ， ∴DE= cos CDE cos CD a x ∠=，∴点C 到x 轴的距离=EO=DE+OD=cos sin a x b x ，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10．B解析：B【分析】过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG=EF ，EG=BF ，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=12DE=4，DF=43，得到CF=CD+DF=4+43，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG ＝EF ，EG ＝BF ，∵∠CDE ＝150°，∴∠EDF ＝30°，∵DE ＝8，∴EF ＝12DE ＝4，DF ＝43， ∴CF ＝CD +DF ＝4+43，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ，∴GE ＝BF ＝AB +4+43，AG ＝AB ﹣4，∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，∴∠AEG ＝30°，∴tan30°＝3443AG GE AB ==++ ，解得：AB ＝14+63≈24.4，故选：B ．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 11．A解析：A【分析】设DE 交AC 于O ，作BF ⊥AC 于F ，由直角三角形的性质得出CF ＝12BC ＝2，AF ＝BF ＝3CF ＝23，求出AC ＝CF +AF ＝2+23，由平行四边形性质得出AO ＝CO ＝12AC ＝1+3，DO ＝EO ，当OD ⊥AB 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，则△AOD 是等腰直角三角形，即可得出结果．【详解】解：设DE 交AC 于O ，作BF ⊥AC 于F ，如图所示：则∠BFC ＝∠BFA ＝90°，∵∠ACB ＝60°，∠CAB ＝45°，∴∠CBF ＝30°，∠ABF ＝45°＝∠CAB ，∴CF ＝12BC ＝2，AF ＝BF 3＝3 ∴AC ＝CF +AF ＝3∵四边形ADCE 是平行四边形，∴AO ＝CO ＝12AC ＝3DO ＝EO ， ∴当OD ⊥AB 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，则△AOD 是等腰直角三角形，∴OD ＝22AO ＝622， ∴DE ＝2OD 26故选：A ．【点睛】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．12．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9， ∴3tan 3AB ADB AD ∠==，即30ADB ︒∠=， ∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，∴133A B AB ==， ∴1133QE A B ==，当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长1203231803ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．二、填空题13．1【分析】连接BH 证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ）得出∠ABH=30°在Rt △ABH 中解直角三角形即可【详解】解：连接BH 如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，∵BH=BH，AB=EB，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=12∠ABE=30°，∴AH=AB•tan∠33，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt△ABH≌△Rt△EBH，从而求得∠ABH =30°是解题关键．14．4【分析】过A作AD⊥BC于点D则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A作AD⊥BC于点D则由已知可得△ABC为等腰三角形BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=解析：4【分析】过A作AD⊥BC于点D，则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答．【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC=12 BC，∴由 cosB=13得111,62333BDBD ABAB===⨯=，BC=2BD=4，故答案为4 ．【点睛】本题考查等腰三角形和锐角三角函数的综合应用，灵活运用等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键．15．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数解析：1 2【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=12 ACAB=．故答案为：12．【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．16．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A作AC⊥OB于点解析：3．【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出22OA AC-3、BC=OB﹣OC=23Rt△ABC中，根据tan∠ABO=ACBC可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，OC=222221OA AC -=-=3，∴BC=OB ﹣OC=2﹣3，∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=23AC BC =-=2+3．故答案是：2+3．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键．17．【分析】过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ∵BC=6∴解析：62【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ， ∵BC=6，∴CE=2sin 45632BC ︒=⨯=， ∴DF=CE=32，∴62sin 30DF AD ==︒，故答案为：62．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．18．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°进而得出∠B 的度数进而得出答案【详解】∵tan ∠A=∴∠A=30°∵∠C=90°∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°∴cos ∠B=故答案为：【点解析：12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【详解】∵tan ∠A ∴∠A =30°，∵∠C =90°， ∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos ∠B =12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键． 19．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75解析：75°【分析】根据非负数性质得1cos 0,1tan 02A B -=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.【详解】因为()21cos 1tan 02A B -+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -=-= 所以1cos ,tan 12A B == 所以∠A=60°，∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75°【点睛】考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．20．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCA=90°再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA的值进而求得∠A的值然后由圆周角的定理得出答案∠D的值【详解】解：∵的直径是AB∴∠ACB=90°又∵AB=解析：60︒【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出∠BCA=90°，再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA的值，进而求得∠A的值，然后由圆周角的定理得出答案∠D的值．【详解】解：∵O的直径是AB，∴∠ACB=90°,又∵AB=2,AC=1,∴sin∠CBA=12 ACAB=∴∠CBA=30°∴∠A=60°∴∠D=∠A=60°【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，在解答时要注意特殊三角函数的取值．三、解答题21．（1）5.02；（2）QOPαβ∠=+；(3)2.71【分析】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．【详解】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，则OP =3cm ，∠OAP =90°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OPC =90°，∴∠PCM +∠MPC =90°，∠APO +∠MPC =90°，∴∠APO =∠PCM =70°，∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，∴∠OPC =∠OQB =90°，∵∠PCM=α，∠QBN=β，∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，按（1）的方法得，∠OQD=∠NBQ=40°，∴DQ=OQ•cos40°≈3×0.77=2.31（cm），由（1）知，圆心O距离地面的高度5.02cm，DN=5.02cm∴QN=DN-DQ=5.02﹣2.31=2.71（cm）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．22．24 5【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CD得到∠BAC=∠DAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠DAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥FE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）设半径OB=OC=3x，则OF=5x=3x+2，列方程得到OC=3，OD=5，求得AF=8，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BD的中点，∴弧BC=弧CD．∴∠BAC=∠DAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AE，∵AE ⊥FE ，∴OC ⊥FE ．∴FE 是⊙O 的切线；（2）∵3in 5OC s F OF ==， ∴设OB=OC=3x ，OF=5x ，∵OF=OB+BF ，BF=2∴5x=3x+2，∴x=1，∴OC=3，OF=5，∴AF=8， ∵3in 58AE AE s F AF ===， ∴245AE =．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．23．山顶A 到地面BC 的高度AC 是（603+60）米．【分析】作DH ⊥BC 于H ．设AE=x ．在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABC=AC BC，构建方程即可解决问题．【详解】解：作DH ⊥BC 于H ．设AE=x 米．∵DH ：BH=1：3，在Rt △BDH 中，DH 2+（3DH ）210)2，∴DH=60米，BH=180米，在Rt △ADE 中，∵∠ADE=45°，∴DE=AE=x 米，又∵HC=ED ，EC=DH ，∴HC=x 米，EC=60米，在Rt △ABC 中，tan30°=60180x x ++， ∴x=603， ∴AC=AE+EC=（603+60）米．答：山顶A 到地面BC 的高度AC 是（603+60）米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．该文化墙PM 不需要拆除，见解析【分析】首先过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则天桥高CD=6，由新坡面的坡度为1：3，可得tanα=tan ∠CAB=333==，然后由特殊角的三角函数值来求AD ，BD 的长；由坡面BC 的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：3，即可求得AD ，BD 的长，继而求得AB=AD-BD 的长，则可求得PA 答案．【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：3， ∴tanα33==，∴α＝30°．作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米， ∵新坡面的坡度为1：3，∴tan ∠CAD CD 6AD AD 3===，解得，AD ＝63，∵坡面BC 的坡度为1：1，CD ＝6米，∴BD ＝6米，∴AB ＝AD ﹣BD ＝（3-6）米，又∵PB ＝8米，∴PA ＝PB ﹣AB ＝8﹣（3-6）＝14﹣63≈14﹣6×1．732≈3．6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除．【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形，利用好坡比，会解直角三角形是关键．25．（1）132）10x =，24x =．【分析】（1）根据零指数幂的意义，算术平方根，以及特殊锐角的三角函数值代入计算即可；（2）先将原方程去括号、移项，整理后再运用因式分解法解方程．【详解】解：（1）20170(1)9(3)2cos30π-+--+︒13132=-+-+⨯1313=-+-+ 13=+．（2）由原方程得：2433x x -+=，240x x -=，(4)0x x -=，∴10x =，24x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．同时还考查了特殊角三角函数值． 26．433A C '=+【分析】利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C ，进而判断出A'C 是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．【详解】解：如图，连接CC'，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC'是等边三角形，∴BC=C'C ，∵A'B=A'C'，∴A'C 是BC'的垂直平分线，垂足为D ，∴BD=12BC'=3，在Rt △A'BD 中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，在Rt △BCD 中，∠CBD=60°，BC=6，∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。

【初三数学】滁州市九年级数学下(人教版)第二十八章《锐角三角函数》单元综合练习题(含答案解析)

九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125 B.1213 C.513 D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( )A ．1 B.22 C.33D. 3 7．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12) C ．(－32，－12) D ．(－12，－32) 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为． 19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.8，b＝0.4，解这个直角三角形．解：21．(本小题满分9分)△ABC中，(3·tanA－3)2＋|2cosB－3|＝0.(1) 判断△ABC的形状；(2) 若AB＝10，求BC，AC的长．解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC＝6 m．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D ) A．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD 与水平线AE 的夹角为a ，如图所示.若tana=310，则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝，则∠A 的度数是( A )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°5.如图，有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ，则tan(∠BAF ＋∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定7.如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )海里/时 /时海里/时海里/时8.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A.B.C.D.9.如图，△ABD 和△BDC 都是直角三角形，且∠ABD=∠BDC=90°，∠BAD=30°，∠DBC=45°，则tan ∠DAC 的值为( C )A.B. C. D. 310.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米 C.30米 D ．46米11.如图，△ABC 内接于⊙0，AD 为⊙0的直径，交BC 于点E ，若DE=2，0E=3，则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5二、填空题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶2，则sinB ＝________． [答案] 3413.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】6－2415.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE=∠B=a ，DE 交AC 于点E ，且cosa=45，则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米17.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，求cos A的值．【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cos A＝sin B＝.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)【解析】如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，交BC 于点F ，过点C 作CG ⊥DM 于点G ，设BM=x 米，由题意，得DG=47.4米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=40°，则FM=BM=x 米，GF=CG=5米，∴DF=DG ＋GF=52.4米，∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米)，∵DM －FM=DF ，∴x0.84－x=52.4，解得x≈275.1，∴AB=BM ＋AM=BM ＋DE ≈280米. 答：“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算：sin 45°＋cos 230°＋2sin 60°. 【答案】解原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋. 22.如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP=OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上，设∠PCB=α，∠P0C=β，求证tan α·tan β=13【解析】如图，连接AC ，则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ，tan α=BD BC ，BD ∥AC ，∴△PBD ∽△PAC ，∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ，∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BDAC人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数检测卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，BC ＝5，那么下列式子中正确的是( A )A.sin A ＝58B.cos A ＝58C.tan A ＝58 D.以上都不对 2.若cos A ＝32，则∠A 的大小是( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝37，BC ＝4，则AB 的长度为( D ) A.43 B.74 C.8103 D.2834.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A.2＋ 3B.2 3C.3＋ 3D.3 35.△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是( C )A.sin α＝cos αB.tan C ＝2C.sin β＝cos βD.tan α＝16.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( C )A.2 海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里7.Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c 等于( B )A.a cos A＋b sin BB.a sin A＋b sin BC.asin A＋bsin B D.acos A＋bsin B8.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A.4sinθ米2 B.4cosθ米2 C.(4＋tanθ4)米2 D.(4＋4tanθ)米29.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( D )A.(11－22)米B.(113－22)米C.(11－23)米D.(113－4)米10.如图，小明爬山，在山脚下B处看山顶A的仰角为30°，小明在坡度为i＝512的山坡BD上去走1300米到达D处，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为( B )A.600－250 3B.6003－250C.350＋350 3D.500 3二、填空题(每小题4分，共24分)11.计算：2sin60°12.如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于13.传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为10米.14.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平(结果保留根号).15.如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝12 .16.△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是三、解答题(共66分)17.(6分)计算：2cos 245°－(tan60°－2)2－(sin60°－1)0＋(12)－2 解：原式＝2×(22)2－|3－2|－1＋4＝1－(2－3)－1＋4＝3＋2.18.(6分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值.解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.19.(6分)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，求大厅两层之间的距离BC 的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC＝12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.20.(8分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.21.(8分)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内.理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16 cm，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12 cm，∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292，∵17＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.22.(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)人教新版九年级下学期单元测试卷：《锐角三角函数》一．选择题1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A ＝（）A．B．1C．D．2．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①s in105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时二．填空题11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan ∠B＝0.75，sin∠B＝0.6，c os∠B＝0.8）12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．14．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．15．在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，则∠C的度数是．16．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有条．B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）17．如图，点A（t，2）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t＝18．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）三．解答题19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．25．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．26．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．参考答案一．选择题1．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝，故选：A．2．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．3．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．5．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC＝＝2，∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，∴△CBH∽△BAO，∴＝＝＝2，∴BH＝﹣2a，CH＝2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴＝，∴＝，∴FH＝2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b＝﹣2a，∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．7．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，∵AB2＝BC2+AC2，∴132＝（5k）2+（12k）2，∴k＝1，∴BC＝5m，故选：A．9．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF＝∠FDC＝30°，∴EF＝FH，∵∠BGF＝90°，∴EF＝FH＝10，∴DF＝20，∴DC＝DH+HC＝10+1.6≈18.9．故选：B．10．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°＝AB＝6，AD＝AB•sin60°＝6，∴CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tan B＝，∴BC＝＝＝4．故答案为4．12．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．【解答】解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．14．【解答】解：如图，由tan B＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cos A＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∵在△ABC中，|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：A、由一个正多边形的一个外角为36°，得360÷36＝10，则这个多边形的对角线有＝35，B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得cos A＝≈0.667，A＝42.5故答案为：35，42.5°．17．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B．∴sinα＝，∵sinα＝，∴＝，∵A（t，2），∴AB＝2，∴OA＝，∴t＝，故答案为：．18．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．20．【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．21．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cos A＝＝，sin B＝cos A＝，tan B＝＝．22．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．23．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．24．【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C．∵t anα＝，OC＝6，∴PC＝8，即y＝8．（2）∵OP＝＝10．则sinα＝＝＝．25．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．26．【解答】解：过B作BF⊥AD于F．在Rt △ABF 中，AB ＝5，BF ＝CE ＝4．∴AF ＝3．在Rt △CDE 中，tan α＝＝i ＝． ∴∠α＝30°且DE ＝＝4，∴AD ＝AF +FE +ED ＝3+4.5+4＝7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD 为7.5+4．人教版九年级下学期第28章锐角三角函数单元过关测试卷含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（） A 、53 B 、54 C 、43 D 、34 2、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（） A 、等腰三角形 B 、等腰直角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（） A 、21 B 、2 C 、25 D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（）A ．32 m B．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关（第3题）（第4题）（第6题） E D C B A D B C A B D C E A系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A 、72米B 、36米C 、336米D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A ．8.1米B ．17.2米C ．19.7米D ．25.5米二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α=9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为θ时（如图2），四边形的面积．（用含的式子表示）三、解答题（共61分）14、计算：（8分）（145sin 60)︒-︒（2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．（第10题）（第11题）（第13题）Ｄ图1 Ｃ图215、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )AB19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数单元测试卷(有答案)

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试卷(有答案解析)(5)

一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（）A ．4B ．5C ．163D ．832．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )A ．4sin 3A =B ．4cos 3A =C ．4tan 3A =D ．4cot 3A =3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒4．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（）A ．12B ．32C ．1D ．35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（） A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα6．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（）A ．()3,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()2,37．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．8．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（）A．322B．332C．32D．333229．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE 的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10 B．15 C．3D．3510．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（）A ．12B ．52C ．255D ．5511．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度．A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或4512．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题13．如图，河宽CD 为1003米，在C 处测得对岸A 点在C 点南偏西30°方向、对岸B 点在C 点南偏东45°方向，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）14．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若4AB =，3BC =，则图1和图2中点B 点的坐标为_________，点C 的坐标_________．15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，直径AD 交BC 于点E ，若1DE =，2cos 3BAC ∠=，则弦BC 的长为______．16．如图，在矩形ABCD 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， P 为对角线AC 上一动点，过线段BP 上的点M 作EF BP ⊥，交AB 边于点E ，交BC 边于点 F ，点N 为线段EF 的中点，若四边形BEPF 的面积为18，则线段BN 的最大值为 ________ ．17．3cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 18．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）．设点M 转过的路程为m （01m <<），，随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为___．19．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．20．如图，矩形ABCD中，AD=1，CD=3，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为__.三、解答题21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．（1）求证：AB是圆O的切线；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．22．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 AB 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 23．计算；（1）4sin 302cos 453tan 302sin 60--+︒︒︒︒ （2）()213tan 308cos 451tan 60cos60-++-︒︒︒︒24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边6,12AB BC ==，直线32y x m =-+与y 轴交于点P ，与边BC 交于点E ，与边OA 交于点D ．（1）已知矩形ABCO 为中心对称图形，对称中心(点F )为对角线AC OB ，的交点，若直线32y x m =-+恰好经过点F ，求点F 的坐标和m 的值﹒ （2）在（1）的条件下，过点P 的一条直线绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点,N M 、试问是否存在ON 平分CNM ∠的情况．若存在，求线段AM 的长，若不存在，说明理由﹒（3）将矩形ABCO 落在（1）条件下的直线32y x m =-+折叠，若点О落在边CB 上，求出该点坐标，若不在边CB 上，请你说明将（1）中的直线32y x m =-+沿y 轴进行怎样的平移，使矩形ABCO 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边CB 上．25．如图，在ABC 中，60ABC ∠=，23AB =，8BC =，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰ACD △，且120DAC ∠=，则BD =______．26．如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，C 是AD 中点，弦CE AB ⊥于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点；（2）若O 的半径为5，D 是BC 的中点，求弦CE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠ 90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠ ,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒， ,FAG BCG ∴∠=∠ ,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽ ,AF FGEF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则,AB CD x DE ==+= AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()((2222,x x ∴=+235250,x x ∴--=55x ∴=5x = 55855DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠ 1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,m m ∴=⎝⎭83m ∴=（负根舍去）162.3EC EP ∴==故选：.C 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．D解析：D 【分析】分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．【详解】解：由题意可得：2222345c a b =++=，∴3434sin ,cos ,tan ,,5543a b a b A A A cotA c c b a ======== ∴正确答案应该是D ，故选D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．3．A解析：A【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x−10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x−10，∴CE＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EFCE ＝-10xx，∴x＝（x−10）tan 50°，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．D解析：D【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝12BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．【详解】解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝12BC，∴BD＝sin60°×OB∴BC＝2BD＝故答案是【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．5．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαAC=，BC∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.6．B解析：B【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【详解】⊥轴于D点，解：如图，过A点作AD x∆的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30．Rt OAB30AOD ∴∠=︒， 12AD OA ∴=， C 为OA 的中点，1AD AC OC BC ∴====， 2OA ∴=，3OD ∴=，则点A 的坐标为：(3，1)．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．7．A解析：A 【分析】分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==，∴45A ∠=︒，4AB =，又∵CD AB ⊥，∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形CEPF 是矩形，I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1∴2sin 2AE PE AP A x ===， ∴222CE x =， ∴四边形CEPF 的面积为2221222222y x x x x ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误；II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：依题意得：4CP x =-，∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，∴())24sin 4542CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF 的面积为()222144822x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．8．A解析：A【分析】分别过O 作OH ⊥BC ，过G 作GI ⊥OH ，由O 是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC 的中点，则可得BH=32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32，在等腰直角三角形OGI 中，即可求解．【详解】解：过O 作OH ⊥BC 于H ，过G 作GI ⊥OH 于I ∵∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ，∴OH ∥AB ，又O 为中点，∴H 为BC 的中点，∴BH=12BC=32∵GI ⊥OH ，∴四边形BHIG 为矩形，∴GI ∥BH ，GI=BH=32, 又∠F=45°，∴∠OGI=45°，∴在Rt △OGI 中，32cos 2GI OG OGI ==∠．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 9．B解析：B【分析】先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在Rt △CDE 中，∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，∴sin ∠DCE ＝51102DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC ＝103tan303CD ==︒（m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝1033⨯＝15（m ）．故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．10．D解析：D【分析】此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵∠C ＝90°，∴AB ＝225AC BC a +=， ∴cosA ＝555AC AB a==，故选：D ．【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．11．C解析：C【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =，．sin ∠AOD=2，∴∠AOD=60°；sin ∠AOE=2，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.12．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2∵BC＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC ∴EB ＝EC ＝27即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF ＝22EB BF -＝()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB 即()()22235R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题13．100+100【分析】根据正切的定义求出AD 根据等腰直角三角形的性质求出BD进而得到AB的长【详解】在Rt△ACD中tan∠ACD＝则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米）在Rt△CDB解析：【分析】根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．【详解】在Rt△ACD中，tan∠ACD＝AD CD，则AD＝CD×tan∠ACD＝100（米），在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝∴AB＝AD+BD＝（故答案为：（【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．【分析】根据旋转的性质求解【详解】解：∵AB=4在x轴正半轴上∴图1中B坐标为（40）在图2中过B作BE⊥x轴于点E那么OE=4×cos30°=2BE=2在图2中B点的坐标为（22）；易知图1中点C解析：()2⎝⎭【分析】根据旋转的性质求解．【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，∴图1中B坐标为（4，0），在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°BE=2，在图2中B点的坐标为（2）；易知图1中点C 的坐标为（4，3），在图2中，设CD 与y 轴交于点M ，作CN ⊥y 轴于点N ，那么∠DOM=30°，OD=3， ∴DM=3•tan30°=3，OM=3÷cos30°=23，那么CM=4-3，易知∠NCM=30°，∴MN=CM•sin30°=43-，CN=CM•cos30°=433-，则ON=OM+MN=334+， ∴图2中C 点的坐标为（433-，334+）．【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．15．【分析】连接OBOC 由题意易得AE ⊥BC 则有BE=EC ∠BOD=∠BAC 设OB=3rOE=2r 然后根据勾股定理可求解【详解】解：连接OBOC 如图所示：∵内接于AD 过圆心O ∴AE ⊥BC ∴BE=EC ∴∠解析：25【分析】连接OB 、OC ，由题意易得AE ⊥BC ，则有BE=EC ，∠BOD=∠BAC ，设OB=3r ，OE=2r ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图所示：∵ABC 内接于O ，AB AC =，AD 过圆心O ，∴AE ⊥BC ，∴BE=EC ，BD DC =，∴∠BAD=∠CAD ，∵∠BOD=2∠BAD ，∴∠BAC=∠BOD ， ∵2cos 3BAC ∠=， ∴2cos 3BOD ∠=， ∵DE=1，∴设OB=3r ，OE=2r ，则有： 321r r =+，解得：1r =，∴3,2OB OE ==，∴在Rt △BEO 中，BE =， ∴BC =故答案为【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．16．【分析】在△ABC 中求出AC 与AB 的长点P 在AC 上则6≤BP≤8由点N 为线段EF 的中点∠ABC=90º则EF=2BN 根据四边形BEPF 的面积为18利用对角线乘积的一半求面积得BN 与PB 成反比例PB 最解析：154【分析】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=求出AC 与AB 的长，点P 在AC 上则6≤BP≤8，由点N 为线段EF 的中点，∠ABC=90º，则EF=2BN ，根据四边形BEPF 的面积为18，EF BP ⊥利用对角线乘积的一半求面积得，PB BN=18，BN 与PB 成反比例， PB 最小时，BN 最大，当PB ⊥AC 时，PB 最小，求出最小值即可．【详解】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， ∵22sin cos 1CAB CAB ∠+∠=，∴3sin 5CAB ∠=，由正弦函数定义BC sin=ACCAB∠，∴AC=BC6==103sin5CAB∠，由勾股定理得AB=2222AC1068BC-=-=，点P在AC上则6≤BP≤8，∵点N为线段EF的中点，由∠ABC=90º，∴EF=2BN，∵四边形BEPF的面积为18，EF BP⊥，∴S四边形EBFP=11PB EF=PB2BN=PB BN=1822⨯，∴PB BN=18，∴18BN=PB，当PB最小时，BN最大，当PB⊥AC时，PB最小，即S△ABC=11AB BC=AC BP 22BP最小=AB BC8624== AC105⨯BN最大=1815= 2445故答案为：154．【点睛】本题考查锐角三角函数解直角三角形与点到直线距离最短问题，掌握锐角三角函数及其之间的关系，会用锐角三角函数解直角三角形，掌握垂线段最短，会利用面积或勾股定理求BP的最小值，解题时要理解BP最小，BN最大是解题关键．17．20°＜∠A＜30°【详解】∵＜cosA＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°∴20°＜∠A＜30°解析：20°＜∠A＜30°．【详解】∵3＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．18．【分析】当m从变化到时点N相应移动的路经是一条线段只需考虑始点和终点位置即可解决问题当m=时连接PM如图1点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的从而可得到旋转角为120°则∠APM=120°根据PA=解析：23 3【分析】当m从13变化到23时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=13时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的13，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=23时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的23，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．【详解】解：①当m=13时，连接PM，如图1，∠APM=13×360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×33=33．②当m=23时，连接PM，如图2，∠APM=360°-23×360°=120°，同理可得：3综合①、②可得：点N相应移动的路径长为33+33=33．23【点睛】本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．19．（）【分析】由三角函数的定义得到AC得出AC+BC的长度由矩形的面积即可得出结果【详解】在Rt△ABC中（米）∴AC+BC=米∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；故答案为：（）【点睛】本题考解析：（2+23【分析】由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．【详解】在Rt△ABC中，2333BCACtanθ===∴AC+BC=(2+23)米，∴地毯的面积至少需要1×（2+23=（2+232）；故答案为：（2+23）．【点睛】本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC是解决问题的关键．20．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD中∵AD=1CD=解析：2π﹣2【分析】由勾股定理得到AC=2，由三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根据图形的面积即可求得．【详解】在矩形ABCD 中，∵AD=1，，∵AC=2，tan ∠CAB=BC AD AB CD == ∴∠CAB=30°，∵线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，∴∠CAE=∠BAF=90°，∴∠BAG=60°，∵，∴阴影部分面积=S △ABC +S 扇形ABG -S △ACG 21601122360222ππ⋅⨯=+-=-．故答案为：2π﹣2．【点睛】考查了扇形的面积计算，解题关键是灵活运用矩形、旋转的性质和熟记扇形的面积计算公式．三、解答题21．（1）见解析；（26π- 【分析】（1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案．（2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接OB ，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠C ＝30°，∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴AB 是圆O 的切线；（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1，∴AB ＝tan 30OB =3=3， ∴S △ABO ＝12×1×3＝3， ∵∠AOB =2∠C=60°，∴S 扇形OBD ＝601360π︒︒⨯＝6π， ∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD ＝326π-．【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．22．（1）该圆的半径为5m ．；（2）2米．【分析】（1）连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，利用垂径定理求出AD ，再利用勾股定理求出圆的半径．（2）过点O 作OE ⊥AB'，利用垂径定理求出A'E 的长，再利用勾股定理求出OE 的长，然后求出水面上涨的高度．【详解】（1）解：连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，∴CD ⊥AB∴116322AD AB ==⨯= ，设圆的半径为r ，OD=r-1在Rt △AOD 中 OD 2+AD 2=AO 2即（r-1）2+9=r 2．解之：r=5．∴该圆的半径为5m ．（2）解：过点O 作OE ⊥AB'∴A'E=1''2A B =4，∴2222''543OEA O A E ， ∴水面上涨的高度为5-3=2米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（132）231【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式123342322232=⨯-+⨯ 2113=--+ 3=（2）原式()23123221312=-+-32231=+ 231=．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及实数运算法则是解本题的关键． 24．（1）F （6，3），m=12；（2）存在，1243+或1243-；（3）不在，需将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94个单位长度．【分析】（1）由题意得矩形的中心F 坐标为（6，3），代入32y x m =-+，得m=12；（2）分,M N 在y 轴左、右两侧两种情况，证明MON ∆是等边三角形即可得到结论；（3）假设沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处．连接PO′，OO′．则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°所以沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上．设沿直线32y x a =-+将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，Rt △OPE 中，OE OA OP AO '=，即8612AO =所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：394a =，所以将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94单位得直线，将矩形ABCO 沿直线折叠，点O 恰好落在边AB 上．【详解】()1四边形ABCO 是矩形，6,12,AB BC ==()()()12,012,6,,0,6A B C ∴，F 是,AC OB 的交点，FO ∴是OB 的中点，()6,3P ，将()6,3F 代入32y m =-+，得:363,2m -⨯+= 解得12,m = ∴点F 的坐标为()6,3，m 的值为12．（2）存在，①当,M N 在y 轴左侧时，如图1，直线3122y x =-+与y 轴交于点P ， (),0,1212,P OP ∴=,PC OC MG ∴==过M 点作MG BC ⊥交BC 的延长线于点,G,,MNG PNC PCN MGN PC GM ∠=∠∠=∠=，()MGN PCN AAS ∴∆≅∆，,PN MN ∴=点N 是PM 的中点，1,2ON PM MN ∴== ON 平分,//,CNM BC AM ∠,MNO CNO NOM ∴∠=∠=∠MON ∴∆是等边三角形，60,NMO ∴∠=︒4333MO ∴=== 4312AM MO OA ∴=+=+．②当,M N 在y 轴右侧时，如图2，同理可得3,OM =1243,AM AO OM ∴=-=-综上所述，线段AM 的长为123+1243-()3不在，理由如下：假设沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O落在边AB上O′处．连接PO′，OO′，则有PO′=OP，由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE＞30°，所以沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O不可能落在边AB上．设沿直线y=-32x+a将矩形ABCO折叠，点O恰好落在边AB上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a，则由题意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，在Rt△OPE中，tanOEOPEOP∠=，在Rt△OAO′中，tanOAAO OAO'∠='，所以OE OAOP AO'=，即8612AO='，所以AO′=9，在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2解得：a=394，所以将直线y=-32x+12沿y轴向下平移94单位得直线y=-32x+394，将矩形ABCO沿直线y=-32x+394折叠，点O恰好落在边AB上．【点睛】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．25．10．【分析】以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE ，根据旋转变换的性质得到∠DEB ＝90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ，则∠BAE ＝120°，AB ＝AE ，DE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BP ＝AB•cos ∠ABP ＝3，∠DEA ＝∠ABC ＝60°，∴∠DEB ＝30°＋60°＝90°，BE ＝2BP ＝6，在Rt △BED 中，BD 22ED BE ＋＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、旋转性质以及等腰三角形的性质等知识的综合运用，综合熟练掌握相关知识并利用旋转构造直角三角形和等腰三角形模型是解题的关键．26．（1）见解析；（2）53CE= 【分析】（1）先证明CAD ACE ∠=∠可得PA=PC ，然再证明PC=PQ ，即可得到P 是AQ 的中点；（2）首先证明：△CAQC0△CB4，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC 、BC 的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH 的长，则可以求得CE 的长．【详解】（1）证明：∵CE AB ⊥，AB 是直径∴AC AE =又∵AC CD =∴AE CD =∴CAD ACE ∠=∠∴AP CP =∵AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，∴90ACE BCP CAD CQA ∠+∠=∠+∠=°∴BCP CQA ∠=∠∴CP PQ =∴AP PQ =即P 是线段AQ 的中点；（2）∵C 是AD 中点, D 是BC 的中点∴==AC CD DB ，AB 是直径∴90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∠CAB=60°又∵5210AB =⨯=∴5AC =，∴BC ==又∵CE AB ⊥,∠CAB=60°∴CH=AC·sin60°∴22CE CH === 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧的中点的性质以及三角形的面积公式，灵活应用相关相关性质是解答本题的关键．。

锐角三角函数测试题(含答案)

九年级下册《锐角三角函数》单元测试一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ．．．． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、45cos 45sin +的值等于（）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 157．当锐角α>30°时，则cos α的值是（） A ．大于12 B ．小于12C ．大于32D ．小于328．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°；（2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

九年级数学下册《锐角三角函数》单元测试卷(含答案解析)

第二十八章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．sin 30°的值为()A.32 B.22 C.12 D.332．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin B的值是()A.512 B.125 C.1213 D.5133．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为()A.35 B.34 C.105D．14．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的长是()A．3 B．6 C．8 D．95．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin E的值为()A.12 B.22 C.32 D.336．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为()A.34 B.43 C.35 D.457．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S28．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC 的长为()A．2 3 m B．2 6 m C．(23－2)m D．(26－2)m9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为()A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°10．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 的长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( ) A.312B.36C.33D.32二、填空题(每题3分，共30分)11．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝________．12．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－|－2＋3tan45°|＋(2－1.41)0＝________.13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.14．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A＝________．15．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是________cm 2.16．如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________.(结果保留根号)17．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为________．19．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，CD＝5，则sin A等于________．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且CF FD＝13.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE.若CF＝2，AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan E＝52；④S△DEF＝45，其中正确的是________．三、解答题(21题12分，23题8分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)2(2cos 45°－sin 60°)＋24 4；(2)(－2)0－3tan 30°－|3－2|.22．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.23．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝125，求CF的长．24．如图，大海中某岛C的周围25 km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在其北偏东60°的方向上，前进20 km后到达B 处，测得C在其北偏东45°的方向上．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)25．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝13，求sin 2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°. 设∠BAC＝α，则sin α＝BCAB＝13.易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝22x.作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin 2α＝CDOC＝________.【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sin β＝35，求sin 2β的值．答案一、1.C 2.D 3.B4.B 点拨：因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA .又因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB .在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠ACB ＝10×45＝8，则AB ＝BC 2－AC 2＝6. 5．A 6.A7．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥EF ，交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中，∵sin B ＝AMAB ，∴AM ＝3×sin 50°，∴S 1＝12BC ·AM ＝12×7×3×sin 50°＝212sin 50°.在Rt △DEN 中，∠DEN ＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN ＝DN DE ，∴DN ＝7×sin 50°，∴S 2＝12EF·DN ＝12×3×7×sin 50°＝212sin 50°，∴S 1＝S 2.故选D.8．B 点拨：在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝60°，∴AD ＝4sin 60°＝23(m)．在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∴AC ＝2AD ＝2×23＝26(m)． 9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A ＝12，则∠A ＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC )＝12，则180°－∠BAC ＝30°，所以∠BAC ＝150°.10．B 点拨：如图所示，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x ＝36，故选B.二、11.60° 点拨：∵在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，sin A ＝32，cos B＝12，∴∠A ＝∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－60°＝60°.12．2＋3 点拨：原式＝3－|－2＋3|＋1＝4－2＋3＝2＋ 3. 13.43 14.1215．60 点拨：在Rt △ADE 中，sin A ＝DE AD ＝35，DE ＝6 cm ，∴AD ＝10 cm ，∴AB ＝AD ＝10 cm ，∴S 菱形ABCD ＝AB·DE ＝10×6＝60(cm 2)． 16．(73＋21)m17.2 点拨：由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD′AB ＝222＝ 2.18．y ＝23x －3 点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝3，－cos 60°＝－12，－6tan30°＝－2 3.设y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－23，则用待定系数法可求出k ＝23，b ＝－ 3.19.45 点拨：∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8，∴sin A ＝BC AB ＝810＝45. 20．①②④三、21.解：(1)原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×22－32＋62 ＝2－62＋62 ＝2.(2)原式＝1－3＋3－2 ＝－1.22．解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ， ∴a ＝c ·sin A ＝83×32＝12.b ＝c ·sin B ＝83×12＝4 3. (2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°. ∴b ＝a ＝3 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝6 3.23．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC .又∵∠AFC ＝∠DEC ，∴∠AFC ＝∠ADE ，∴DE ∥FC . ∴四边形DECF 是平行四边形． (2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13.又∵tan A＝125＝tan ∠DCH＝DHCH，∴DH＝12，CH＝5.∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝92＋122＝15.∴CF＝DE＝15.24．解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，∴∠BCD＝∠CBM＝45°.设BD＝x km，则CD＝x km.∵∠CAN＝60°，∴∠CAD＝30°.在Rt△CAD中，tan ∠CAB＝tan 30°＝CDAD＝33，∴AD＝3CD＝3x(km)．∵AB＝20 km，AB＋BD＝AD，∴20＋x＝3x，解得x＝103＋10，∴CD＝103＋10≈27.3(km)＞25 km，∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．25．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6 m．在Rt△DEF中，EFFD＝12，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt△HMN中，MN HN＝12.5，∴HN＝2.5MN＝13(m)．∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.26．解：22x3；429如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR ⊥NO于点R.在⊙O中，易知∠NMQ＝90°.∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝2∠Q＝2β.在Rt△QMN中，∵sin β＝MNNQ＝35，∴设MN＝3k，则NQ＝5k，∴MQ＝QN2－MN2＝4k，OM＝12NQ＝52k.∵S△NMQ＝12MN·MQ＝12NQ·MR，∴3k·4k＝5k·MR.∴MR＝125k.在Rt△MRO中，sin 2β＝sin ∠MOR＝MROM＝125k52k＝2425.。

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）tan30°的值等于（）A．√3B．√33C．√22D．12．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，⊙APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3B．4C．2√3D．2√23．（3分）已知Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝50°，AB＝2，则AC＝（）A．2sin50°B．2sin40°C．2tan50°D．2tan40°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，tanA=34.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．25．（3分）如图，在扇形AOB中，⊙AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC⌢交AB⌢于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．23π−√3B．√3−13πC．13πD．√3+13π6．（3分）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40√2海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．(40+40√2)海里D．(40+40√3)海里7．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin⊙ABC的值（）A．√22B．1C．√33D．√28．（3分）在⊙ABC中，(2cosA－√2)2＋| √3－tanB|＝0，则⊙ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形9．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin⊙OBD=（）A．12B．34C．45D．3510．（10分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，⊙BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD=3：4B．当⊙BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当⊙ABE⊙⊙QBP时，t=7秒D．当⊙BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）cos245∘−tan30∘⋅sin60∘=．12．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．13．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm.14．（3分）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，CD是高，如果⊙A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）15．（3分）如图，Rt⊙AOB中，⊙OAB＝90°，⊙OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝−4x图象上，若Rt⊙AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为.三、解答题(共8题；共78分)16．（8分）先化简，再求代数式(aa2−1−1a+1)⋅(a−1)的值，其中a=tan60°−2sin30°．17．（9分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）18．（9分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 √2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）19．（9分）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）20．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，√3≈1.732，√2≈1.414）21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊙AB于E，设⊙ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得⊙EFD＝k⊙AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan⊙DCF的值．22．（11分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）（5分）求楼间距AB；（2）（6分）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）（4分）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）（4分）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求⊙ACD的正切值；（3）（4分）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当⊙OCD＝⊙CAP时，求点P的坐标.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：tan30°=√33．故答案为：B【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。

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知识改变命运
A
D C
B
一、精心选一选
1、若Rt △ABC 的各边都扩大3倍，得到Rt △A /B /C /，那么锐角A 、A /的正弦值的关系为（）
A 、sinA /=4sinA ；
B 、4sinA /=sinA ；
C 、sinA /=sinA ；
D 、不能确定；
2、已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（）
A 、32
sin =B ； B 、32cos =B ； C 、3
2tan =B ； D 、以上都不对；
3、已知△ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ,,，且a b 2=，则cosA 的值为（）
A 、5；
B 、
552； C 、5
5
； D 、2
5； 4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900
，CD ⊥AB 于点D ， BC=3，AC=4，tan ∠BCD 的值为（）
A 、4
3； B 、3
4； C 、5
4； D 、
4
5； 5、若a =tan280，b =sin280，c =cos280，则a 、b 、c 的大小关系是（）
知识改变命运
D
A D 'C
B
A 、a ＞b ＞c ；
B 、b ＞c ＞a ；
C 、c ＞a ＞b ；
D 、
c ＞b ＞a ；
6、下列各式中，正确的是（）
A 、sin200+sin300=sin500；
B 、sin600=2sin300；
C 、tan200﹒tan700=1；
D 、cos300＜cos600； 7. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2，则等腰三角形的顶角的度数是（）
A 、300；
B 、1500；
C 、600或1200；
D 、300或1500；
8. 已知sinA+cosA=m ，sinAcosA=n ，则m ，n 的关系是（）
A 、m=n ；
B 、m=2n+1；
C 、m 2=1-2n ；
D 、m 2=2n+1；
二、细心填一填
9、如果∠A 是锐角，且5
3sin =A ，则=-)90sin(0A _______. 10、sin 2300+cos 2300=__________.
11、反比例函数x
k y =的图象经过点（cos600,tan450
），则k =____.
12、如图，已知正方形ABCD 的边长为5，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的
D /点处，那么tan ∠BAD /= _________。

13、cos 2600+sin 2450+0045tan 30tan 3⋅⋅=_________。

知识改变命运
14、若tanA=2，则
A
A A
A cos sin cos sin -+=___________。

16．如图4，在山顶有座移动通信发射塔BE ，高为30米.为了测量山高AB,在地面引一基线ADC,测得∠BDA=60°,∠C=45°,DC=40米,则山高AB= .(不求近似值) 三、用心做一做 17、求下列各式的值
（1）sin 2450+cos 2450+tan300tan600+sin600cos300; （2）
0030cos 30sin 21-
18、试比较sin100,cos300,sin500,cos700的大小.
知识改变命运
A
B
19、求下列各式的值:
（1）a 、b 、c 是△ABC 的三边，
且满足))((2b c b c a -+=和054=-b c ，求cosA+cosB 的值.
（2）已知A 为锐角，且tanA=3，求sin 2A+2sinAcosA+cos 2A 的值.
20、如图，已知AB 是⊙O 的直径， CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=6，AC=8，
求sin ∠ABD 的值.
知识改变命运
A
P '
A '
H
P
B
21、如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转300后，得到△A /P /B ，且BP=2，那么PP /的长为多少？（不取近似值，以下数据供解题使用：4
2
615cos ,4
2
615sin 00+=-=
）
四、附加题
参考答案
知识改变命运
知识改变命运
一、1、C ；2、C ；3、B ；4、A ；5、C ；6、C ；7. D 8. D
二、9.5
410、1；11、2
1；12、2；；13、4
31；14.3 15. 203
三、17、（1）4
3
2；（2）原式=2
1
2330sin 30cos )30sin 30(cos 00200-=
-=-； 18、cos300=sin600，cos700=sin200，∵sin100＜sin200＜sin500＜sin600，
∴sin100＜cos700＜sin500＜cos300；
19、（1）由))((2b c b c a -+=得222b a c +=，所以∠C=900，由054=-b c
得5
4=c
b
，∴54cos ==c b A ，53cos ==c a B ，∴5
7cos cos =+B A ；（2）原式=
23
21)3(132)3(1tan 1tan 2tan cos sin cos cos sin 2sin 2
2222222+=++⋅+=+++=+++A A A A A A A A A
20、由条件可知：弧AC=弧AD ，则∠ABD=∠ABC ，所以sin ∠ABD=sin ∠ABC=
AB
AC
； AB 为直径，BC=6，AC=8，可得AB=10，∴sin ∠ABD=5
4； 21、由条件可知：△A /P /B ≌△APB ，BP /=BP ，∠PBP /=300，连PP /，作BH ⊥PP /于点H ，
则PP /=2PH ，∠PBH=2
1
∠PBP /=150，在Rt △BPH 中，sin ∠PBH=
BP
PH
， ∴PH=BP ﹒sin ∠PBH=2sin150=
2
2
6-
知识改变命运
四、
22.在Rt △ABD 中，
因为∠A ＝45°, ∠D ＝90°，AD ＝300，
所以AD
AB cos 45
=
=BD AD tan 45300=⋅=．在在Rt △BCD 中，
因为∠BCD ＝60°, ∠D ＝90°，
所以BD BC sin 60=
=
，BD
CD sin 60
== 从而1号救生员到达B
210
=≈（s ）； 2
号救生员到达
B
点所用的时间
为
50191.7=≈（s ）
； 3号救生员到达B 点所用的时间为
300300
20062
+=（s ）．所以2号救生员先到达营求地点B ．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

知识改变命运。