重点高中数学竞赛知识点
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛专题精讲28高斯函数(含答案)
28高斯函数数论函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R ，值域为Z ；的定义域为R ，值域为 （2）对任意实数，都有. （3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I －4－5－1；是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）.其中. （6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.][x y =][,x x x ][x x ].[}{},{x x x x y -==][x }{x ][x y =}{x y =)1,0[x 1}{0},{][<≤+=x x x x 且x x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][][x y =21x x ≤][][21x x ≤}{x y =}{}{];[][x n x x n n x =++=+*∈∈N n R x ,∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][].[][ba nb na ≥][][][y x xy ⋅≥+∈R y x ,∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][（8），其中. 例题讲解1．求证：其中k 为某一自然数.2．对任意的3．计算和式4．设M 为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？5．求方程]][[][nx n x =*∈+∈N n R x ,,2!211--=⇔k n n n ∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和.]503305[502的值∑==n nS 222}{][x x x =-.051][4042的实数解=+-x x6．7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：.8．求出的个位数字.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ ]31010[10020000+例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使由于n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因对一切k =0,1,…成立，因此， 又因为n 为固定数，当k 适当大时,3．解：显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+故4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.∑∞==1].2[)!(2t t n n ∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则!.|21n n -+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++ 12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则]212[]22[11+=+++k k n n ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k nn n .)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503305n 503305n ,305503)503(305=-n 503305n .304]503)503(305[=-n ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S设x 是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数.5．解：经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】 由于222}{}{}{2][x x x x x +⋅+==}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于.1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x .0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或.2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令.,1],[1命题成立时则==n x A7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ⑴若|－|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2∴ M≥2＞⑵|－|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|，|－＋b|}≥(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|)≥[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.8．先找出的整数部分与分数部分..,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k 2a 2a212a2a 4a 24a 24a 2414a 24a 2414a 24a 2)2a 2(412+213101010020000+=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.3101010020000+31033103)10(100200100200200100+++-.3108110310910310310]31010[,131093103.310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(1005020000100100200001002002000100200001001001002001002002000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知。
高中数学数列知识点清单
高中数学数列知识点清单一、知识概述数列知识点清单①基本定义：数列就是一串按一定次序排列起来的数，比如1, 2, 3, 4, ...就是一个简单的数列。
②重要程度：数列是高中数学的重要组成部分，不仅在解析几何、函数等知识点中出现，而且是数学竞赛中的热门考点。
掌握数列的基本概念和方法，对于解决复杂的数学问题至关重要。
③前置知识：需要提前掌握一些基础的代数知识，比如加法、乘法运算，以及简单的函数概念。
④应用价值：数列在生活中有很多应用，比如金融中的利率计算、时间序列数据分析等，都是数列知识的实际应用。
二、知识体系①知识图谱：数列位于高中数学的核心位置，与函数、解析几何、不等式等多个知识点紧密相连。
②关联知识：数列与等差数列、等比数列、函数图像变化等知识点关系密切，掌握数列可以更好地理解这些知识点的内在联系。
③重难点分析：数列的难点在于理解等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的推导和应用。
关键点在于理解数列的递推关系和求和的方法。
④考点分析：在考试中，数列通常出现在填空题、选择题和解答题中，考察点包括数列的定义、分类、通项公式和前n项和公式的应用等。
三、详细讲解数列按照项与项之间的关系，可以分为等差数列、等比数列和其他一般数列。
其中，等差数列和等比数列是数列中的两大重点。
【等差数列】①概念辨析：等差数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d的数列。
这个常数d叫做公差。
②特征分析：等差数列的特点是相邻两项的差是固定的，因此它具有线性的变化趋势。
③分类说明：根据首项和公差的正负，等差数列可以有递增、递减或等差为零等多种情况。
④应用范围：等差数列在实际生活中应用广泛，比如楼梯台阶数量、等间隔的时间序列等。
【等比数列】①概念辨析：等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数q的数列。
这个常数q叫做公比。
②特征分析：等比数列的特点是相邻两项的比是固定的，因此它具有指数变化的特点。
【高中数学竞赛】四点共圆专题详解
四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
高中数学竞赛常用知识汇集
其中Ai = {qm + i|m为模, q ∈ Z}, i = 0, 1, · · · , m − 1.
m−1
m−1
所有的Ai(i = 0, 1, · · · , m − 1)满足 Ai = Z, Ai = ∅.
i=0
i=0
4. 完全剩余系
从横m的m个同余类A0, A1, · · · , Am−1中, 每一类Ai取一数ai, 则a0, a1, · · · , am−1叫做模m的一个完 全剩余系(简称模m的完系).
k
(6)若 ai = 0, b能整除a1, a2, · · · , ak中的k − 1个, 则b能整除另一个.
i=1
2 同余 1. 定义 设m为正整数, 若整数a和b被m除的余数相同, 则称a和b对模m同余, 记作a ≡ b(modm). 2. 基本性质 (1)a ≡ b(modm) ⇔ m|(b − a). (2)a ≡ b(modm) ⇔ b = km + a(k ∈ Z). (3)a ≡ a(modm). (4)若a ≡ b(modm), 则b ≡ a(modm).
最简单的模m的完全剩余系是0, 1, · · · , m − 1, 也叫做模m的最小非负完系.
显然m个相继整数构成模m的一个完系.
3 质数与合数
1. 一个大于1的整数, 如果只有1和它本身作为它的约数, 这样的正整数叫做质数(也叫素数); 如果除 了1和它本身之外还有其他的正约数, 这样的正整数叫做合数.
i=1
i=1
i=1
m
· · · , δi为非负整数, i = 1, 2, · · · , m, 则[a1, a2, · · · , an] = prii , 其中ri = max{αi, βi, · · · , δi}.
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础1、相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.);(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似;(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.常见模型：相似三角形的性质:（1）相似三角形对应角相等（2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比（3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比（4）相似三角形的周长比等于相似比（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方2、内、外角平分线定理及其逆定理内角平分线定理及其逆定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
如图所示，若AM平分∠BAC，则AAAA =AAAA该命题有逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线外角平分线定理：三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。
如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则AAAA =AAAA其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点，且满足AAAA =AAAA，则AD是∠A的外角的平分线内外角平分线定理相结合：如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠CAE，则AAAA =AAAA=AAAA3、射影定理在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD²=AD·CDAB²=AC·ADBC²=CD·AC对于一般三角形：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA4、旋转相似当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE5、张角定理在△ABC中D为BC边上一点，则sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圆内有关角度的定理圆周角定理及其推论：（1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等（3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径（4）圆内接四边形对角互补（5）圆内接四边形的外角等于其内对角弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
高中数学竞赛讲义（五）──数列
⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。
其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。
定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。
定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
数学竞赛内容
数学竞赛内容
数学竞赛的内容通常涵盖了高中数学的大部分知识点，包括但不限于集合、函数、三角、不等式、数列、解析几何、立体几何和导数等。
此外，也可能会涉及一些更深层次的知识点，例如组合数学、图论和抽象代数等。
在数学竞赛中，问题通常以非常复杂和巧妙的形式出现，需要参赛者有扎实的数学基础和灵活的思维。
他们需要掌握各种解题技巧，例如代数变换、不等式证明、数列求和、几何作图等。
此外，他们还需要具备出色的逻辑思维和推理能力，以便解决一些开放式问题。
总的来说，数学竞赛的内容是相当广泛的，并且难度较高。
如果你对数学竞赛感兴趣，建议你提前系统地学习和练习相关知识点，以提升自己的数学能力和竞争力。
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重点高中数学竞赛知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数学均值不等式被称为均值不等式。
·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即。
特例⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负实数a,b，有，即⑶对非负实数a,b，有⑷对实数a,b，有⑸对非负实数a,b，有⑹对实数a,b，有⑺对实数a,b,c，有⑻对非负数a,b，有⑼对非负数a,b,c，有在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式基本形式：排序不等式的证明要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论正确棣莫弗定理设两个复数（用三角形式表示），则：复数乘方公式：.圆排列定义从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。
计算公式n个不同元素的m-圆排列个数N为：特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
费马小定理费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)韦达定理逆定理如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
[5]推广定理韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
定理：设（i=1、2、3、……n）是方程：的n个根，记k为整数），则有：。
[ 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。
无穷递降法无穷递降法是证明方程无解的一种方法。
其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。
从而与X的最小性相矛盾。
所以，方程无解。
孙子定理又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数：方程组的通解形式：在模的意义下，方程组只有一个解：同余同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:1)a≡a(mod d)2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则4)a+b≡x+m （mod d）其中a≡x (mod d)，b≡m(mod d)5)a-b≡x-m (mod d)其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)6)a*b≡x*m (mod d )其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)7）a≡b（mod d）则a-b整除d欧拉函数φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。
(注意：每种质因数只一个。
比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
若n为质数则φ(n)=n-1。
格点定义数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。
性质1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。
）设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
三面角定义三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠O-ABC。
特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
三面角的补三面角：由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。
性质1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。
三面角相关定理设三面角∠O-ABC的三个面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所对的二面角依次为∠OC，∠OA，∠OB。
1、三面角正弦定理：sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。
2、三面角第一余弦定理：cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。
3、三面角第二余弦定理：cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。
直线方程一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向式，点向式。
点斜式已知直线一点(x1,y1,)并且存在直线的斜率k，则直线可表示为：y-y1=k(x-x1)。
适用范围：斜率K存在的直线。
斜截式已知与Y轴的交点（0，b），斜率为K，则直线可表示为：y=kx+b。
适用范围：斜率存在的直线。
两点式两点式是解析几何直线理论的重要概念。
当已知两点（X1，Y1），（X2，Y2）时，将直线的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代入点斜式时，得到两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 。
适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。
截距式已知与坐标轴的交点（a，0），（0，b）时，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。
适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。
一般式ax+by+c=0 (A、B不同时为0)。
斜率：-A/B截距：-C/B。
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2，则无解。
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2；两直线垂直时：A1A2+B1B2=0A1/B1×A2/B2=-1，都只有一个交点。
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2，则有无数解。
适用范围：所有直线均可适用。
法线式过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度。
x·cos α+y sin α-p=0。
法向式知道直线上一点（x0，y0）和与之垂直的向量（a，b），则a（x-x0）+b（y-y0）=0，法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。
点向式知道直线上一点(x0,y0)和方向向量（u,v ），(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)。
极坐标系极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。
在平面上取定一点O，称为极点。
从O出发引一条射线Ox，称为极轴。
再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。
这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。
极坐标方程于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点顺时针方向旋转α°。
圆方程为r(θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a 的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。
直线经过极点的射线由如下方程表示θ=φ,其中φ为射线的倾斜角度，若k为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan k。
任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。
这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为r(θ)=r0sec(θ-φ)圆幂点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d^2－r^2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．1．定义从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆相交为止的两段之积，称为点A于这圆周的幂．2．圆幂定理已知⊙(O, r) ，通过一定点P，作⊙O的任一割线交圆于A, B，则PA，PB为P对于⊙O的幂，记为k，则当P在圆外时，k=PO^2-r^2；当P在圆内时，k= r^2-PO^2；当P在圆上时，k=0.图Ⅰ：相交弦定理。