高中数学正态分布知识点+练习
【高中】对数正态分布经典练习题
【高中】对数正态分布经典练习题
在高中数学中，对数正态分布是一个常见的概率分布。
它通常
用于描述一些随机变量的分布情况，特别是在金融、生物学和环境
科学等领域。
本文将介绍一些对数正态分布的经典练题，帮助提高
学生对该分布的理解和应用能力。
练题一
某市的空气质量指数（AQI）服从对数正态分布，其均值为10，标准差为2。
现有一份空气质量报告显示该市二氧化氮（NO2）浓
度的对数值为8。
问：
1. 请计算该市NO2浓度大于10的概率。
2. 如果将该市的AQI限制在20以下，问NO2浓度大于20的
概率是多少？
练题二
一批电子元件的寿命（以小时计）服从对数正态分布，均值为1000，标准差为100。
现从中随机抽取一件电子元件，则它的寿命
大于1200 的概率是多少？
练题三
某家公司的年利润增长率服从对数正态分布，均值为5%，标
准差为3%。
问：
1. 请计算该公司年利润增长率大于10%的概率。
2. 如果将该公司的年利润增长率限制在8%以下，问年利润增
长率大于8%的概率是多少？
练题四
某品牌手机的售价（以元计）服从对数正态分布，均值为5000，标准差为200。
现从中随机抽取一部手机，则它的售价大于6000的概率是多少？
以上是一些对数正态分布的经典练习题，希望能够帮助学生更
好地理解和应用该分布。
通过这些练习，学生可以提升自己对概率
统计的掌握能力，为将来在相关领域的研究和应用打下坚实的基础。
正态分布练习含答案
正态分布一.选择题：1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案： C 。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
2. 已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)则P (X <3)等于 ( )A.15B.14C.13D.12解析：由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P (X <3)＝P (X >3)＝12. 答案：D3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 ( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：由图可知，μ2>μ1，且σ2>σ1. 答案：A4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论不正确的是 。
A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析：(||)0P a ξ==。
5. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝12π·10e 2(80)200x e -- (x ∈R )，则下列命题不正确的是 ( ) A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则Dη等于 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3，得DX ＝4Dη，而DX ＝σ2＝4，∴D η＝1.答案：B7. 在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是A ．0.6826B ．0.3174C ．0.9544D ．0.9974答案：C 。
正态分布高中练习题及讲解
正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。
2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。
3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。
4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。
5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。
讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。
正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。
正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。
- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。
- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。
- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。
- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。
要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。
解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。
2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。
例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。
对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。
通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。
同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。
正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
2001.若 x 〜N (0,1),求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228.:2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6);3 1 解: (1) F (3) =( ) =0( 1)= 0.8413 2a( )0.975 ■ 200(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413F(y —b))=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)0.8413 — 0.1587 = 0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1=，求总体落入区间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,0 ( 1.2 ) (x )22~=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是f(x),x ()，它是偶函数,1说明” 0,f(x)的最大值为f()=亍，所以"1,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 10.5793 0.8848 10.46424.某县农民年平均收入服从 =500元,在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入 如果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,0 ( 1.96 ) a, a )内=0.975]解：设 表示此县农民年平均收入,~ N(500,2002).P(500520 500(500 500.200 ')(0.1) (0) 0.5398 0.50.0398 ( 2 )a)(盘—)2 200(旦)10.95,200查表知：—1.961设随机变量X 〜 N (3,1), 若P(X4) p ,,则 J P(2<X<4)=—、11(A) p(B)l 一P C .l -2p D . - p22 【答 案】C因为P(X 4) P(X 2)p ,所以 P(2<X<4)1 P(X 4) P(X2) 1 2p ,选C .2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发 芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:3—10 1 Pabc其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为C 7-x 2 7 — x 6 — xP( 3= 0)= C 72 =42,x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,C x 2 x x — 1P( 3= 2)= C 72 = 42 ,.x = 3.4A.9 B .1 2 9 C.3［答案］D［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,由分布列的性质知 a + b + c = 1,又1 111 1E( 3 = — a + c = 3 解得 a= 6’ b= 3 c = 2，二 D(3= 6X2+21-「=舟.4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C . 5D . 23贝U 3取值0,1,2,0X7— x 6— x 42x 7 — x 21 + 2X X X —1 42 55.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E 的期望值为4,方差为2，则p( &1)=()A 255B 9C 247D 7 A 256 B.256 C.256 D .64 ［答案］C［解析］由条件知 旷B(n , P),E E = 4, np = 4 D E = 2n p 1 — p = 2 '1解之得，p = , n = 8, ••• P( = 0)= C 8°x 218= 2 8,1 1 1P( E= 1) = C 81x 2 1x2 7= 2 5，• P(E 1) = 1 — P( = 0) — P(E= 1)A . 2< 俘=淨，01=d2> d3B .皿> 俘=淨，d=d < dC . (J1= (J2<P 3, d 1< d 2= d 3D .小< p2= 3, d 1 = d < d 3 ［答案］D(^2(X)和g(X )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故3= 3，又屉(X)的对称轴的横坐标值比也(X)的对称轴的横坐标值大，故有 3<比 =3.又d 越大，曲线越“矮胖”，d 越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函 数咖(X)和侯(X )的图象一样“瘦高”，松(X )明显“矮胖”，从而可知d= d < d .6①命题"X R,cosx 0 ”的否定是：“ X R,cosx 0 ”； ②若lg a lg b lg( a b),则a b 的最大值为4； ③定义在R 上的奇函数f(X)满足f (X 2)f(X),则f(6)的值为0;=1— 18— 1 5= 24Z2 2 256. 5已知三个正态分布密度函数 则()1XX )= 2 nd e —.2X —d^(x € R , 2 di = 1,2,3)的图象如图所示,［解析］正态分布密度函数<>④已知随机变量 服从正态分布 N(1, 2),P( 5) 0.81,则P( 3) 0.19 ;其中真命题的序号是 ________ (请把所有真命题的序号都填上 ).【答案】①③④ ①命题“ x R,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0 ”；所以① 正确.②若 lg a lg b lg( a b),则 Ig ab lg( a b),即 ab a b,a 0,b 0 .所以a b 22ab a b(/,即(a b) 4(a b),解得a b 4,则a b 的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f( x)满足f ( x 2) f ( x),则f (x 4) f(x),且 f (0) 0,即函数的周期是 4.所以 f (6) f(2) f (0)0;所以③正确④已知随机变量服从 正态分布2N(1, ),P(5) 0.81 ,则P( 5) 1 P(5) 1 0.81 0.19 ,所以 P(3) P( 5)0.19 ;所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间［1,1］上任取两数 m 和n ,则关于x 的方程x 2 mx n 2 0有两不相等实根的概率为 ____________ .1【答案】—由题意知1 m 1, 1 n 1.要使方程x2 mx n 2 0有两不相等实4根，则 2=m 4n 2 0 , 即(m 2n )(m 2n) 0 . .作出对应的可行域，如图直线m 2n 0,m2n0 , 当 m1 时 1 1, n C—, n B—,所 以SO111 1所以方程22 2BC 一 1 [( )xmx n 0有两不相等实根的概率为2 2222S OBC2 1 2 12 24 4'⑶ 随机变量X 服从正态分布 N(1,2),则P(X 0) P(X 2)；2 1⑷ 已知a,b R ,2a b 1,则一 一 &其中正确命题的序号为 ________________________ .a b【答案】⑵(3)(1)2G lnx 〔2 ln2 ,所以⑴错误.(2)不等式1x|x 1| |x 3|的最小值为4,所以要使不等式|x 1|2 1⑵正确.(3)正确.(4)--a b所以⑷错误，所以正确的为 ⑵(3).场中的得分如图所示，则该样本的方差为7 2 3频数为A . 26B . 25C . 23D . 18【答案】D 样本的 平 均数 为23,所以 样本方差为1 [(19 523)2 (20 23)2 (22 23)2 (23 23)2(31 2 23)] 18,选 D3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示 ,据图估计，样本数据在8,10内的21dx 1 x3.，⑵不等式|x 1|| x 3| a 恒成立,则a 4;| x 3| a 成立,则a 4,所以2已知某篮球运动员 2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取 5场,用茎叶图统计该运动员2 1(a 严 b) 4 19,【答案】C样本数据在 8,10之外的频率为（0.02 0.05 0.09 0.15） 2 0.62,0.38 200 76,选 C .1的概率为,选 B .45从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为2【答案】25_3从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的42所以样本数据在8,10内的频率为1 0.62 0.38,所以样本数据在 8,10的频数为4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）的正方形OABC 中任取一点P,则点 1 A .3【答案】（x x 3）dxP 恰好取自阴影部分的概率为B .14【答案】B12141（c XX ） C.D.-5 6根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为11,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分4如图所示，在边长为I 第孕期图4 2.有,1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为10 5。
正态分布练习题
正态分布练习题正态分布是概率论和统计学中非常重要的概率分布之一，广泛应用于各个领域。
为了帮助读者更好地理解和应用正态分布，下面将给出一些正态分布的练习题。
练习题1：某大学的数学成绩呈正态分布，平均分为70，标准差为10。
请计算以下问题的概率：a) 某位学生得分高于85分的概率。
b) 某位学生得分在60分到80分之间的概率。
c) 某位学生得分低于60分的概率。
练习题2：某工厂生产的零件长度呈正态分布，平均长度为100mm，标准差为5mm。
请计算以下问题的概率：a) 从生产线上随机抽取一只零件，其长度在105mm到110mm之间的概率。
b) 从生产线上随机抽取10只零件，其平均长度大于105mm的概率。
c) 从生产线上随机抽取100只零件，其平均长度在98mm到102mm 之间的概率。
练习题3：某城市的日降水量呈正态分布，平均降水量为10mm，标准差为3mm。
请计算以下问题的概率：a) 某天降水量超过14mm的概率。
b) 连续5天的平均降水量低于8mm的概率。
c) 连续10天的总降水量在90mm到110mm之间的概率。
练习题4：某配送中心的送货时间呈正态分布，平均送货时间为30分钟，标准差为5分钟。
请计算以下问题的概率：a) 某次送货时间少于20分钟的概率。
b) 连续10次送货的平均时间在28分钟到32分钟之间的概率。
c) 某天送货总时间超过8小时的概率。
练习题5：某社交平台上用户每日登录次数呈正态分布，平均登录次数为50次，标准差为10次。
请计算以下问题的概率：a) 某用户某天登录次数超过60次的概率。
b) 某用户连续7天的登录次数少于45次的概率。
c) 某用户连续30天的平均登录次数在48次到52次之间的概率。
以上是关于正态分布的一些练习题，通过计算这些概率问题可以更好地理解正态分布的特点和应用。
希望读者能够通过这些练习题提高对正态分布的理解和掌握。
高中数学总复习知识点讲解与练习第19讲 正态分布
= 200.4
“质量提升月”活动后，产品质量指标值 X 近似满足 X ~ N (218,140) ，则 E( X ) = 218.
所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 17.6
10．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 1 月份中 5 天的日销售量 y （单位：千克）与该地
落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
附：若随机变量 ～ ，则 ， ( ) X N µ,σ 2
P(µ −σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826 P(µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544
A. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539 【答案】B
【解析】由题意 P(0 < X ≤1) =1− 1 ×0.6826 =1− 03413 = 0.6587 ，则落入阴影部分的点的个数的估计值为
当日最低气温 x （单位： oC ）的数据，如下表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
（1）求出 y 与 x 的回归方程 yˆ = bˆx + aˆ ；
（2）判断 y 与 x之间是正相关还是负相关；若该地 1 月份某天的最低气温为6oC ，请用所求回归方程预测该店 当日的销售量； （3）设该地 1 月份的日最低气温 X ～ N (µ,σ 2 ) ，其中 µ 近似为样本平均数 x ， σ 2 近似为样本方差s2 ，求
【答案】 【解析】
78
我校成绩高于120分的有1− 0.8 ×780 = 78人. 2
7．已知随机变量ξ 服从正态分布 N (1,σ 2 ) ，若 P(ξ < 0) = 0.2 ，则 P(1< ξ < 2) = ______．
(完整版)高中正态分布经典练习题
正态散布一、选择题1.已知随机变量听从正态散布 N ( 2,9) ，若 P( c 1) P( c 1) ，则 c 等于（）2.已知随机变量听从正态分 N ( 2, 2 ) ，且 P( 4) 0.8 ，则 P(0 2) 等于（）3.已知随机变量听从正态散布 N ( 2, 2 ) ， P( ≤ 4) 0.84 ，则 P( ≤ 0) 等于（）4.已知随机变量X 听从正态散布N (2,2)，P(0 X 4) 0.8 ，则 P( X 4) 等于（）A ．5.已知随机变量听从正态散布 N ( 3, 2 ) ，且 P( 2) 0.3 ，则 P(2 4) 等于（）6.已知随机变量听从正态散布 N ( 3, 2 ) ， P( ≤ 4) 0.842 ，则 P( ≤ 2) 等于（）7.已知随机变量X 听从正态散布N (3,1)，且P(2 X 4) 0.6826 ，则 P( X 4) 等于（）8.已知随机变量X 听从正态散布N (0, 2 ) ，若 P( X 2) 0.023 ，则 P( 2 ≤ X ≤ 2) 等于（）9.在某次联考数学测试中，学生成绩听从正态散布(100, 2 ) ( 0) ，若在（ 80,120）内的概率为，则落在（ 0,80）内的概率为（）10. 已知随机变量X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，且 P( 2 X 2 ) 0.9544 ，P( X ) 0.6826 ，若4, 1 ,则 P(5 X 6) （）11.某商场经营的一种袋装的大米的质量听从正态散布2 )（单位 kg）,任选一袋这类大米，其质量在9.8~10.2kg 的概率为（）12.一批电池的使用时间 X （单位：小时）听从正态散布N ( 36,42 ) ，在这批灯泡中任取一个“使用时间不小于 40 小时”的概率是（）第 1 页共2页二、填空题13. 某校在本学期期中考试中，理科数学考试成绩~ N ( 90,2 ),统计结果显示P(60 120) ，该校参加此次考试的理科学生共420 人，试预计该校成绩高于120 分的理科学生数为 __________.14. 某班有50 名学生，一次考试的成绩服从正态分布 N (100, 2 ) , 已知P(90 100) ,预计该班数学成绩在110分以上的人数为 __________.15.某中学 200 名考生的高考数学成绩近似听从正态散布N (120,102)，则此校数学成绩在140 分以上的考生人数约为 __________.16.某市高二理科学生数学考试的成绩 x 听从正态散布，其密度曲线如图，已知该市理科学生总数是 10000 人，则成绩位于(65,85]的人数约 __________.17. 在某项丈量中，丈量结果听从正态散布N (1, 2 ) (0) ，若在(0,1)内取值的概率为，则在(0,2)内取值的概率为__________.18.假定每日从甲地去乙地的游客人数 X 是听从正态散布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的游客人数不超出900 的概率为 __________.19.一批电阻的阻值 X 听从正态散布N (1000,52) (单位 ).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，能够以为__________. (填写正确序号)①甲乙两箱电阻均可出厂；②甲乙两箱电阻均不行出厂；③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不行出厂；④甲箱电阻不行出厂，乙箱电阻可出厂.20. 某一零件由三个电子元件按下列图方式连结而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作，则零件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时 )均听从正态散布N (1000,502 ) ，且各个元件可否正常工作互相独立，那么该零件的使用寿命超出1000 小时的概率为 __________.15 2O75x20 题图16题图第 2 页共2页。
正态分布课后练习题
正态分布课后练习题正态分布是概率论与统计学中非常重要的一个概念，它在现实生活中的应用非常广泛。
为了更好地掌握正态分布的相关知识，下面我将给大家提供一些正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。
练习题1：某公司的员工薪资服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。
请计算以下几个问题：1. 员工薪资在4000元以上的概率是多少？2. 员工薪资在6000元以下的概率是多少？3. 员工薪资在4000元到6000元之间的概率是多少？练习题2：某学校的学生身高服从正态分布，均值为165厘米，标准差为5厘米。
请计算以下几个问题：1. 学生身高在170厘米以上的概率是多少？2. 学生身高在160厘米以下的概率是多少？3. 学生身高在160厘米到170厘米之间的概率是多少？练习题3：某超市的顾客购买的商品金额服从正态分布，均值为50元，标准差为10元。
请计算以下几个问题：1. 顾客购买的商品金额在60元以上的概率是多少？2. 顾客购买的商品金额在40元以下的概率是多少？3. 顾客购买的商品金额在40元到60元之间的概率是多少？练习题4：某地区的降雨量服从正态分布，均值为50毫米，标准差为10毫米。
请计算以下几个问题：1. 降雨量在60毫米以上的概率是多少？2. 降雨量在40毫米以下的概率是多少？3. 降雨量在40毫米到60毫米之间的概率是多少？以上是一些关于正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正态分布的知识。
在解答这些问题时，可以利用标准正态分布表或者统计软件进行计算。
同时，在计算过程中要注意将问题转化为标准正态分布的问题，再进行计算，以便得到准确的结果。
正态分布在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量控制中，我们可以利用正态分布来判断产品是否合格；在心理学研究中，我们可以利用正态分布来分析人群的智力水平分布；在金融领域，我们可以利用正态分布来分析股票价格的变动情况等等。
因此，掌握正态分布的相关知识对我们的学习和工作都具有重要意义。
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正态分布
要求层次
重难点
正态分布
A
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
（一） 知识内容
1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近
的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22
()2()2πx f x e
μσσ
--=⋅，x ∈R ，
其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．
式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作
2(,)N μσ．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．
例题精讲
高考要求
正态分布
x=μ
O
y
x
⑶重要结论：
①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．
②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
（二）典例分析：
【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，
，则(3)P X <=（ ） A ．1
5
B ．
1
4
C ．1
3
D ．
12
【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()
()210N σσ>，，若X 在()01，
内取值的概率为0.4，则X 在()02，
内取值的概率为 ．
【例3】 对于标准正态分布()01N ，
的概率密度函数()2
2
x f x -=，下列说法不正确的是（ ）
A ．()f x 为偶函数
B ．()f x
C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数
D ．()f x 关于1x =对称
【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，
，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84
【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数
的 ．
【例6】 已知2(1)X N σ-，
~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算
【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．
【例8】 设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）
．
【例9】 设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．
⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->
【例10】 如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，
，，求(11)P ξ-<<的值．
【例11】 正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)
P X ≤的值．
【例12】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A ．2
()2()
x r f x e
σ
-=
B ．22
()x f x - C ．2(1)
4()x f x e -=
D ．2
2()x f x e =
【例13】 若正态分布密度函数2
(1)2
()()
x f x x --
=
∈R ，下列判断正确的是（ ）
A ．有最大值，也有最小值
B ．有最大值，但没最小值
C ．有最大值，但没最大值
D ．无最大值和最小值
【例14】 设ξ的概率密度函数为2
(1)2
()
x f x --=
，则下列结论错误的是（ ）
A ．(1)(1)P P ξξ<=>
B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤
C ．()f x 的渐近线是0x =
D ．1~(01)N ηξ=-，
【例15】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
2
(80)200
()
x f x --=
，则下列命题中不正确的是（ ）
A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D ．该市这次考试的数学标准差为10
【例16】 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h
的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．
【例17】 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，
随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少
【例18】 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论
上说在80分到90分的人数是______．
【例19】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数0
1()1202x f x x a x x ⎧⎪
=-<⎨⎪⎩
≤≤≥，
⑴求常数a 的值；⑵求3
(1)2
P ξ<<．
【例20】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数20
1()1202x f x ax x x ⎧⎪
=<⎨⎪⎩
≤≤≥，求a 的值及3(1)2P ξ<<．
【例21】 设随机变量X 具有概率密度30
()00x ke x f x x -⎧=⎨<⎩
≥，求k 的值及(0.1)P X >．
【例22】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离X 的密度函数
为100||
||100()10000
0||100x x f x x -⎧⎪=⎨⎪>⎩
≤，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．
【例23】 设2~()X N μσ，
，且总体密度曲线的函数表达式为：221
4
()x x f x -+-
=，x ∈R ．
⑴求μσ，
；⑵求(|1|P x -<
及(11P x -<+的值．
【例24】 某校高中二年级期末考试的物理成绩ξ服从正态分布2(7010)N ，
． ⑴若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩． 已知标准正态分布表(0.97)0.833φ=．
【例25】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70100)N ，．已知成
绩在90分以上（含90分）的学生有12名． ⑴试问此次参赛学生总数约为多少人
⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分
附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066
φφφ
，，．
===。