昌平初三期末考试题及答案

昌平区2013—2014学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷2014．1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和5，如果O1O2= 8，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是A．外切 B.相交 C.内切 D.内含2．在不透明的布袋中装有2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是A．15B.13C.25D.233．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，如果∠ABC=30°，那么AC的长是A．1 B C D．24. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形构成中心对称图形，该小正方形的序号是A．①B．②C．③D．④5．如图，在△ABC中，点D E、分别在AB AC、边上，DE∥BC，若:3:4AD AB=，6AE=，则AC等于A. 3B. 4C. 6D. 86．当二次函数249y x x=++取最小值时，x的值为A．2-B．1C．2D．97．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是A．12米B．C．24米D．A B8．已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB 为直径，以弦AC AC 折叠后与AB 相交于点D ，如果3AD DB =，那么AC 的长为A ．B ．C ．D ．6二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如果cos 2A =，那么锐角A 的度数为 .10．如果一个圆锥的母线长为4，底面半径为1，那么这个圆锥的侧面积为 ．11．在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 .12．在平面直角坐标系xoy 中，直线2x =和抛物线2y ax =在第一象限交于点A , 过A 作AB x ⊥轴于点B .如果a 取1，2，3，…，n 时对应的△AOB 的面积为123S S S ，，，，n S ，那么1S =_____；123n S S S S ++++=_____．三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分）13. 如图1，正方形ABCD 是一个6 × 6网格的示意图，其中每个小正方形的边长为1，位于AD 中点处的点P 按图2的程序移动．（1）请在图中画出点P 经过的路径； （2）求点P 经过的路径总长．图2 图114.2sin 60︒-︒．15. 现有三个自愿献血者，两人血型为O 型，一人血型为A 型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所献血的血型均为O 型的概率(要求：用列表或画树状图的方法解答)．16. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两处的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，求AB 两处的距离.17. 已知抛物线与x 轴相交于两点A (1，0)，B (-3，0)，与y 轴相交于点C (0，3)．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)如果点3,2D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点，求△ABD 的面积．18. 如图，在△ABC 中，∠ABC =2∠C ，BD 平分∠ABC，且AD =BD =AB 的值.DBACD四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）19. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，⊙A 与y 轴相切于点3(0,)2B ，与x 轴相交于M 、N 两点.如果点M的坐标为1(,0)2，求点N 的坐标.20.（1）已知二次函数223y x x =--，请你化成2()y x h k =-+的形式，并在直角坐标系中画出223y x x =--的图象；（2）如果11()A x y ，，22()B x y ，是（1）中图象上的两点，且121x x <<，请直接写出1y 、2y 的大小关系；（3）利用（1）中的图象表示出方程2210x x --=的根来，要求保留画图痕迹，说明结果．21. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F . （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为4，BE =2，求∠F 的度数.22. 阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果3AF EF =，求CDCG的值. 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则可以得到△BAF ∽△HEF . 请你回答：（1）AB 和EH 的数量关系为 ，CG 和EH 的数量关系为 ，CDCG的值为 . （2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果(0)AF a a EF =>，那么CDCG的值为 （用含a 的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F . 如果(00)AB BC m n m n CD BE ==>>，，，那么AFEF的值为 （用含m ，n 的代数式表示）.H(1)ABCDE FGG F E D CBA (2)(3)ABCDEF五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）23.由于2013年第30号强台风“海燕”的侵袭，致使多个城市受到影响. 如图所示，A 市位于台风中心M 北偏东15°的方向上，距离B 市位于台风中心M正东方向. 台风中心以每小时30千米的速度沿MF 向北偏东60°的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响. （1）A 市、B 市是否会受到此次台风的影响？说明理由.（2）如果受到此次台风影响,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时?备用图24．已知二次函数y = x 2 – kx + k – 1（ k ＞2）.（1）求证：抛物线y = x 2 – kx + k - 1（ k ＞2）与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ,若tan 3OAC ∠=，求抛物线的表达式；（3）以（2）中的抛物线上一点P （m ,n ）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 取何值时，x 轴与P 相离、相切、相交.25.已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD ，∠BAD =120°，点E 是射线CD 上的一个动点（与C 、D 不重合），将△ADE 绕点A 顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'. （1）如图1，∠AEE'= °；（2）如图2，如果将直线AE 绕点A 顺时针旋转30°后交直线BC 于点F ，过点E 作EM ∥AD 交直线AF 于点M ，写出线段DE 、BF 、ME 之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE =2，AE=ME 的长.E'MF ED CBA E'EDCA图1图2E'MFE D BA 图3昌平区2013—2014学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2014．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分）13．解：（1）如图所示：……………………………………………………2分（2）由题意得,点P经过的路径总长为：270318091802n rπππ⨯==．……………………………4分14．解：原式2322-⨯…………………………………………………………3分 =11+…………………………………………………………4分=2…………………………………………………………………………5分15．解：列表如下：……………………………………………………………4分所以，两次所献血型均为O型的概率为49.…………………………………………………………5分16．解：依题意，可知：30,45,,100,CAB CBA CD AB D CD ∠=︒∠=︒⊥=于点 ……………………………………… 1分,CD AB ⊥90.CDA CDB ∴∠=∠=︒ ………………………………………………………………… 2分Rt 100BDC BD CD ∴∆==在中， ， ………………………………………………………… 3分Rt tan CDADC A AD∆=在中，． ∴3100AD CD== …………………………………………………………………4分100AB AD BD ∴=+=. …………………………………………………………… 5分∴AB 两处的距离为100)米. 17．解：(1) ∵抛物线与y 轴相交于点C (0，3),∴设抛物线的解析式为23y ax bx =++. …………………………………………… 1分∵抛物线与x 轴相交于两点(1,0),(3,0)A B -，∴30,9330.a b a b ++=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………………2分解得：1,2.a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的函数表达式为：232y x x =-+-. …………………………………………3分 （2）∵点3(,)2D m 是抛物线上一点， ∴2(23339)224m =-⨯+=--. …………………………………………………………4分 ∴ 119942242ABDD S AB y ∆==⨯⨯=. ………………………………………………5分 18．解： ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC =2∠1=2∠2. ∵∠ABC =2∠C ，∴∠C =∠1=∠2. …………………………… 1分∴CD BD ==……………………………… 2分 ∴AC =. 又∵∠A=∠A ,∴△ABD ∽△ACB . ……………………………………………………………………… 3分21DCBA∴AD AB ABAC=. ……………………………………………………………………… 4分∴226AB AD AC ==⨯=.∴AB =（舍负）. ……………………………………………………………………5分 四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19．解：连接AB 、AM ，过点A 作AC ⊥MN 于点C ．∵⊙A 与y 轴相切于点B (0，32)，∴AB ⊥y 轴.又∵AC ⊥MN ，x 轴⊥y 轴， ∴四边形BOCA 为矩形．∴AC =OB =32，OC =BA ．∵AC ⊥MN ，∴∠ACM = 90°，MC =CN ． …………………………………………………… 2分∵M (12，0)， ∴OM =12．在 Rt △AMC 中，设AM =r .根据勾股定理得：222MC AC AM +=. 即22213()()22r r -+=，求得r=52． ∴⊙A 的半径为52． …………………………………………………………………… 3分 即AM =CO =AB =52． ………………………………………………………………… 4分∴MC =CN=2 . ∴N (92， 0) . ………………………………………………………………………… 5分 20．解：（1）223y x x =--22113x x =-+--………………………………………………………………… 1分 2(1)4x =--. ………………………………………………………………… 2分画图象，如图所示． …………………………………………………………………… 3分 （2）12y y >．………………………………………………………………………………… 4分 （3）如图所示，将抛物线223y x x =--向上平移两个单位后得到抛物线221y x x =--，抛物线221y x x =--与x 轴交于点A 、B ，则A 、B 两点的横坐标即为方程2210x x --=的根.………… 5分21．（1）证明：连接OD .∵AB =AC ,∴ABC ACB ∠=∠.∵OD =OC ,∴ODC OCD ∠=∠.∴ABC ODC ∠=∠.∴AB ∥OD . ∴AED ODF ∠=∠. ………………… 1分∵DE ⊥AB ,∴90AEF ∠=︒. ∴90ODF ∠=︒. ∴DE OD ⊥.∴DE 是⊙O 的切线. …………………………………………………………… 2分（2）解：连接AD .∵AC 为⊙O 的直径， ADB ∆. ………………………………………………………… 3分. ∵⊙O 的半径为4， ∴AB =AC =8.∴6AE AB BE =-=.∴AD =………………………………………………………………………… 4分 在Rt ADB ∆中，∵sin AD B AB ∠==， ∴60ABC ∠=︒. 又∵AB =AC ,∴ABC ∆是等边三角形. ∴60BAC ∠=︒∴30F ∠=︒. ……………………………………………………………………5分22．解：（1）3AB EH =,2CG EH =, 32. …………………………………………………………… 3分 （2）2a. …………………………………………………………………………………… 4分 （3）mn . ………………………………………………………………………………… 5分五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分） 23．解：（1）如图1，过点A 作AC ⊥MF 于点C , 过点B 作BD ⊥MF 于点D ．依题意得：∠AME =15°，∠EMD =60°，AM =BM = ∴∠AMC =45°，∠BMD =30°．∴61AC =，BD =． …………… 2分 ∵台风影响半径为60千米，而6160AC =>，60BD =<，∴A 市不会受到此次台风影响，B 市会受到此次台风影响. ……………………… 4分（2）如图2，以点B 为圆心，以60千米为半径作PQ 交MF 于P 、Q 两点，连接PB.………………………………………………………………………… 5分∵BD =60千米，∴30PD ==.∵ BD ⊥PQ ，PQ =2PD =60. ……………………… 6分 ∵台风移动速度为30千米/小时， ∴台风通过PQ 的时间为2小时.即B 市受台风影响的持续时间为2小时 . ………………………………………………7分24．（1）证明：∵()()2411k k ∆=--⨯⨯-()22k =-，………………………………………………… 1分又∵2k >， ∴20k ->.∴2(2)0k ->即0∆>.∴抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x 轴必有两个交点. ………………………………… 2分 (2) 解：∵抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x 轴交于A 、B 两点，∴令0y =，有210x kx k -+-=.解得：11x k x =-=或. ………………………………………………………………3分 ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴()()1,0,1,0A B k -. ∵抛物线与y 轴交于点C ,∴()0,1C k -. ………………………………………………………………………… 4分∵在Rt AOC ∆中, tan 3OAC ∠=,∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==, 解得4k =. ∴抛物线的表达式为243y x x =-+. ………………………………………………… 5分 （3）解：当2m <2m >+x 轴与P 相离. ……………………………6分当2m =2m =或2m =x 轴与P 相切. …………………………7分当22m <或22m <<x 轴与P 相交. ………………………………8分25．解：(1) 30°. ……………………………………………………………………………………… 1分 (2)当点E 在线段CD 上时，2DE BF M E +=； ………………………………………… 2分 当点E 在CD 的延长线上，030EAD ︒<∠<︒时，2BF DE M E -=； ………………………………………… 3分 3090EAD ︒<∠≤︒时，2DE BF M E +=；90120EAD ︒<∠<︒时，2DE BF M E -=. …………………………………………4分 (3)作AG BC ⊥于点G , 作DH BC ⊥于点H.由AD ∥BC ，AD =AB =CD ，∠BAD =120°，得∠ABC =∠DCB =60°，易知四边形AGHD 是矩形和两个全等的直角三角形ABG DCH ∆∆，.则GH=AD , BG=CH . ∵120ABE ADC '∠=∠=︒, ∴点E '、B 、C 在一条直线上.设AD =AB =CD=x ,则GH=x ,BG=CH=12x ,.作EQ BC ⊥于Q.PA CD EME'H G在Rt △EQC 中，CE =2, 60C ∠=︒,∴1CQ =, EQ ∴E'Q=21233BC CQ BE x x x '-+=-+-=-.……………………………………………………5分作AP EE '⊥于点P .∵△ADE 绕点A 顺时针旋转120°后，得到△ABE'.∴△A EE'是等腰三角形，30,AE E AE AE ''∠=︒==.∴在Rt △AP E'中，∴EE'=2 E'P= ……………………………………………………………………6分∴在Rt △EQ E'中，9. ∴339x -=.∴4x =. ………………………………………………………………………… 7分 ∴2,8DE BE BC '===，2BG =. ∴4E G '=在Rt △E'AF 中,AG BC ⊥,∴Rt △AG E'∽Rt △F A E'. ∴AE E FE G AE ''=''∴7E F '=.∴5BF E F E B ''=-=. 由（2）知：2DE BF M E +=. ∴72ME =. ……………………………………………………………………… 8分。