2013年江门佛山联考(佛山二模)文科数学试题和答案

2013年江门佛山两市高三教学质量检测数 学（文科） 2013.4本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}N x x x A ∈≤<-=,21，集合{}3,2=B ，则A B 等于A ．{}3,2,1B ．{}3,2,1,0C ．{}2D ．{}3,2,1,0,1- 2．已知复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是A． BC． D．3．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀>，210x -≤ C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是A ．30B ．60C ．70D ．805．函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，]11[，-∈x ,则 A ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递减; B ．()f x 为偶函数，且在]10[，上单调递增; C ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递增; D ．()f x 为奇函数，且在]01[，-上单调递减.90 110 周长(cm)100 120第4题图6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．已知幂函数()f x x α=，当1x >时，恒有()f x x <，则α的取值范围是 A ．01α<< B ．1α<C ．0α>D ．0α<8．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是A ．①④B ． ②③C ．②④D ． ①③9．直线0102=-+y x 与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个10．已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l ．设l 是长为2的线段，点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积为A.π B. 2π C. 2π+ D. 4π+二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题) 11．已知向量,a b满足1,==a b ()-⊥a b a ,则向量a 与b 的夹角为 .12．已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上,则圆C 的方程为 . 13．将集合{22st+|0s t ≤<且,s t Z ∈}中的元素按上小下大， 左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于 第i 行第j 列的数记为ij b （0i j ≥>）,则43b = . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:C ρA B 、，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲）如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ， AD CE ⊥于D ， 若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．35691012PABCD 1A 1B 1C 1D 第18题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限， 已知(1,3)A -.（1）若OA OB ⊥,求tan α的值. （2）若B 点横坐标为45,求AOB S ∆.17．（本题满分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA 表示走D 路从甲到丙，再走D 路回到甲，然后走A 路到达乙）;（2）假设从甲到乙方向的道路B 和从丙到甲方向的 道路D 道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？ 18．（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 已知底面ABCD 的正方形， 侧棱1D D 垂直于底面ABCD ，且13D D =．（1）点P 在侧棱1C C 上，若1CP =， 求证：1A P ⊥平面PBD ；（2）求三棱锥11A BDC -的体积V ．19．（本题满分14分）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点()1,0F , 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，直线l 过点(4,0)M .（1）写出抛物线2C 的标准方程；（2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值.20．（本题满分14分）环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积a 2m ，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ，该地的住房总面积为n b 2m . （1）求{}n a 的通项公式；（2）若每年拆除4a 2m ，比较+1n a 与n b 的大小. 21．（本题满分14分）已知函数1()ln f x x x a =+-，ln ()xg x x a=-，a 是常数. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若()g x 有极大值，求a 的取值范围.文科数学评分参考一、填空题 BDBCACBDBD二、填空题11．4π 12．()()22115x y -+-= 13．2014．sin()42πρθ+=（或1cos sin =+θρθρ） 15．13三、解答题16．⑴解法1、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， ……1分 (1,3)OA =- ，(cos ,sin )OB αα=……2分OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=……3分∴cos 3sin 0αα-+=，1tan 3α= ……4分解法2、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα ……1分 3OA k =-， tan OB k α= ……2分∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=- ……3分3tan 1α-=-， 得1tan 3α= ……4分解法3、 设) , (y x B ，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、由⑴OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sin β==，cos β==（每式1分） ……6分 ∵1OB = 4cos 5α=，得3sin 5α==（列式计算各1分） ……8分43sin sin()10510510AOB βα∠=-=⨯+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯32=（列式计算各1分） ……12分解法2、由题意得：AO 的直线方程为30x y += ……6分则3sin 5α== 即43(,)55B （列式计算各1分） ……8分则点B 到直线AO的距离为d ==1分） ……10分又OA ==∴113222AOB S AO d ∆=⨯==（每式1分）…12分3sin5α==即43(,)55B（每式1分）……6分即：(1,3)OA=-，43(,)55OB=，……7分OA==1OB=，4313cos10OA OBAOBOA OB-⨯+⨯⋅∠===……9分（模长、角的余弦各1分）∴sin AOB∠==……10分则113sin1222AOBS AO BO AOB∆=∠==（列式计算各1分）……12分解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2个1分，3-5个2分，5-7个3分，7-11个4分，）……5分共12种情况……6分⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分共4种情况，……8分所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率41123P==（文字说明1分）……12分18．⑴解法1、依题意，1CP=，12C P=，在Rt BCP∆中，PB==……1分同理可知，1A P==1A B==（每式1分）……3分所以22211A P PB A B+=，……4分则1A P PB⊥，……5分同理可证，1A P PD⊥，……6分由于PB PD P=，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，……7分所以，1A P⊥平面PBD．……8分解法2、由1A P PB⊥（或1A P PD⊥）和BDPA⊥1证明1A P⊥平面PBD（证明任何一个线线垂直关系给5分，第二个线线垂直关系给1分）⑵解法1、如图1，易知三棱锥11A BDC-的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即11111114A BDC ABCD ABCD A ABDV V V---=-（文字说明1分）……11分()1111432AB AD A A AB AD A A⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭……13分1323==……14分A BCD1A1B1C1DBD1AM1CN依题意知，三棱锥11A BDC -的各棱长分别是112AC BD ==，1111AB A DC B CD ====1分）……10分 如图2，设BD 的中点为M ，连接11A M C M ，， 则1A M BD ⊥，1C M BD ⊥，且11A M C M ==于是BD ⊥平面11AC M ， ……12分设11A C 的中点为N ，连接MN ，则11MN AC ⊥，且3MN ===， 则三角形11AC M 的面积为11111123322A C M S AC MN ∆==⨯⨯= ， ……13分 所以，三棱锥11A BDC -的体积111132233A C M V S BD ∆==⨯⨯= ． ……14分19．⑴由题意，抛物线2C 的焦点()1,0F ，则1,22pp == ……2分 所以方程为：24y x =． ……3分 ⑵解法1、设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n ， ……4分因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221n m k n k m⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩（每方程1分）……6分 即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ……7分将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k-=⋅++，所以21k =（列式计算各1分）……9分 联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， ……12分注意到221b a =-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ ……13分 因此，椭圆1C. ……14分 解法2、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，因为O P 、两点关于直线l 对称，则=4OM MP =， ……5分即4=，解之得4m =± ……6分即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于,A B 如图.则11ABOPk k =-=,于是直线l 方程为4y x =-（讨论、斜率与方程各1分） ……9分联立 222241y x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分 由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， ……12分注意到221b a =-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ ……13分 因此，椭圆1C. ……14分20．⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ，则当14n ≤≤时，12n n a λ-=；……1分当5n ≥时，(4)n n a λ=+. ……2分所以, 当14n ≤≤时，(21)n n a a =- ……3分当5n ≥时，2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)2n n a +-=（列式1分）……5分故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ……6分⑵13n ≤≤时，11(21)n n a a ++=-，(21)644n n b a a na =-+-，显然有1n n a b +< ……7分4n = 时，1524n a a a +==，463n b b a ==，此时1n n a b +<. ……8分 516n ≤≤ 时，2111122n n n a a ++-=，29226442n n n b a a na +-=+-（每式1分）……10分 1(559)n n a b n a +-=-. ……11分所以,511n ≤≤时，1n n a b +<；1216n ≤≤时，1n n a b +>.17n ≥时，显然1n n a b +>……13分 （对1-2种情况给1分，全对给2分）故当111n ≤≤时，1n n a b +<；当 12n ≥时，1n n a b +>. ……14分21．⑴222211(21)()()()x a x a f x x x a x x a -++'=-=-- ……1分 设22()(21)h x x a x a =-++，其判别式22(21)441a a a ∆=+-=+ ……2分①当14a ≤-时，0,∆≤2()0,()0h x x x a ≥->，()0f x '∴≥,)(x f 在定义域()0,+∞上是增函数； ……3分当0∆>时，由22()(21)0h x x a x a =-++=解得：12x x == （每个根1分）……5分②当104a -<<时，0∆>，210a +>；又22(21)(41)40a a a +-+=>，210a ∴+>，故210x x >>，即()h x 在定义域()0,+∞上有两个零点12212122a a x x ++==在区间()10,x 上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， )(x f 为()10,x 上的增函数在区间()12,x x 上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<，)(x f 为()12,x x 上的增函数 在区间()2,x +∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>,)(x f 为()2,x +∞上的增函数. ……6分③当0a =时，120,1x x ==，在区间()0,1上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<；在区间()1,+∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， ……7分④当0a >时，函数)(x f 的定义域是()()0,,a a +∞ ，()0h a a =-< ，()h x 在()0,a 上有零点1x =在(),a +∞上有零点221,2a x ++=；在区间()10,x 和()2,x +∞上，()0f x '>，)(x f 在()10,x 和()2,x +∞上为增函数；在区间()1,x a 和()2,a x 上，()0f x '<，)(x f 在()1,x a 和()2,a x 上位减函数. ……8分综上: 当14a ≤-时,函数)(x f 的递增区间是()0,+∞；当104a -<<时, )(x f 的递增区间是()10,x 和()2,x +∞,递减区间是()12,x x ；当0a =时，)(x f 的递减区间是()0,1；递增区间是()1,+∞；当0a >时，)(x f 的递减区间()1,x a 和()2,a x ,递增区间是()10,x 和()2,x +∞. ……9分⑵当0a ≤时，()g x 的定义域是()0,+∞，当0a >时，()g x 的定义域是()()0,,a a +∞ ，2(1ln )()()x x ag x x x a --'=-，令()(1ln )t x x x =-，则()ln t x x '=-（每个导数1分） ……11分 在区间()0,1上，()ln 0t x x '=->，()(1ln )t x x x =-是增函数且0()1t x <<；在区间()1,+∞上，()ln 0t x x '=-<，()(1ln )t x x x =-是减函数且()1t x <；当1x =时，(1)1t =. ……12分 故当1a ≥时，()0g x '≤，()g x 无极大值；当01a <<时，()0t a a -≠，方程()t x a =在区间()0,1和()1,+∞上分别有一解,x x '''，此时函数()g x 在x x ''=处取得极大值； ……13分当0a ≤时，方程()t x a =在区间[),e +∞上有一解x '''，此时函数()g x 在x x '''=处取得极大值.综上所述，若()g x 有极大值，则a 的取值范围是(),1-∞. ……14分。