高中数学第一讲1.3.2相似三角形的性质练习新人教A版选修48
高中数学选修4-1(人教版)练习：第一讲1.3第2课时相似三角形的性质 Word版含解析
第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3 相似三角形的判定及性质第2课时相似三角形的性质A级基础巩固一、选择题1．两个相似三角形的面积之比为1∶2，则其外接圆的半径之比为()A．1∶4B．1∶3C．1∶2 D．1∶ 2解析：因为相似三角形的面积比为相似比的平方，所以相似比为1∶2，两相似三角形外接圆半径之比为相似比，故选D.答案：D2.如图所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.答案：C3.如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()A．1∶3 B．1∶4C ．1∶2D ．2∶3解析：设正方形边长为x (x >0)，则由△AFE ∽△ACB ，可得AF ∶AC ＝FE ∶CB ，即1－x 1＝x 2.所以x ＝23，于是AF FC ＝12. 答案：C4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝23，△ABC 外接圆的直径为4，则△A ′B ′C ′外接圆的直径等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：设△A ′B ′C ′和△ABC 外接圆的直径分别是r ′，r ，则r ′r＝A ′B ′AB ，所以r ′4＝32，所以r ′＝6. 答案：C5．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．6或8D ．14解析：如图①所示，过D 作DE ∥CB 交AB 于E ，则AD ∶AC＝AE ∶AB ＝DE ∶CB ，AB ＝9，AC ＝12，DC ＝23AC ＝23×12＝8.图① 图②所以AD ＝AC －DC ＝12－8＝4，所以DE ＝AD ·CB AC ＝4×1812＝6. 如图②所示，作∠ADE ＝∠B ，交AB 于E ，则△ADE ∽△ABC .所以有AD ∶AB ＝AE ∶AC ＝DE ∶BC ，所以DE ＝AD ·BC AB ＝4×189＝8. 所以DE 的长为6或8.答案：C二、填空题6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且EB＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF ，且CD AE ＝AB AE＝3， 因此△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9. 答案：97．两个相似三角形的对应边上的中线之比是2∶3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别为________．解析：由中线之比为周长之比都为相似比，得周长之比为2∶3，设其中一个三角形周长为2x ，则另一个三角形周长为3x .所以2x ＋3x ＝20.所以x ＝4，即两个三角形的周长分别为8，12. 答案：8 128．如图所示，已知∠ACB ＝∠E ，AC ＝6，AD ＝4，则AE ＝____．解析：因为∠ACB＝∠E，∠DAC＝∠CAE，所以△DAC∽△CAE.所以ADAC＝ACAE，所以AE＝AC2AD＝624＝9.答案：9三、解答题9.如图所示，直线DF交△ABC的BC，AB两边于D，E两点，与CA的延长线交于F，若BDDC＝FEED＝2，求BE∶AE的值．解：过D 作AB 的平行线交AC 于G ，则△FAE ∽△FGD ，△CGD ∽△CAB .则AE DG ＝EF FD ＝23，DG AB ＝CD CB ＝13. 所以AE ＝23DG ，BE ＝73DG ， 所以BE ∶AE ＝7∶2.10.如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP，因为CF∥AB，所以∠F＝∠ABP，从而∠F＝∠ACP，又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角，从而△CPE∽△FPC，所以CPFP＝PEPC.所以PC2＝PE·PF，又PC＝PB，所以PB2＝PE·PF，命题得证．B级能力提升1.如图所示，点D、E、F、G、H、I是△ABC三边的三等分点，△ABC的周长是l，则六边形DEFGHI的周长是()A.13l B ．3l C ．2l D.23l 解析：易得DE 綊13BC ，HI 綊13AC ，GF 綊13AB . 又DI ＝13AB ，HG ＝13BC ，EF ＝13AC ， 则所求周长为23(AB ＋AC ＋BC )＝23l . 答案：D2．如图所示，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________．解析：延长CD与直线l交于点G，设AB＝2a，则CD＝2a，而M是AB的中点，则AM＝12AB＝a，由已知得△AME∽△DGE，所以AMDG＝AEED⇒AMDG＝AEAD－AE.因为AD＝3AE，所以aDG＝AE2AE⇒DG＝2a.又因为△FCG∽△FAM，AF FC＝AMCG⇒AFFG＝AMCD＋DG＝a2a＋2a＝14，即AF∶FC＝1∶4.答案：1∶43．如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3.(1)求△AEF与△CDF周长的比；(2)若S△AEF＝8，求S△CDF.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD且AB＝CD.因为AEEB＝23，所以AEAE＋EB＝22＋3，即AEAB＝25.所以AECD＝25.又由AB∥CD知△AEF∽△CDF，所以△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)由(1)知S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又因为S△AEF＝8，所以S△CDF＝50.。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质达标训练新人教A版选修4-1
三 相似三角形的判定及性质更上一层楼基础·巩固 1如图1-3-10，D 是△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作DE∥BC 交AC 于E.已知AD∶DB=2∶3，则S 下标△ADE∶S 下标BCED 为（ ）图1-3-10A.2∶3B.4∶9C.4∶5D.4∶21 思路解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. 又AD∶DB=2∶3，∴AD∶AB=2∶5.其面积比为4∶25，则S △ADE ∶S 四边形BCED =4∶21. 答案：D2如图1-3-11所示，铁道口的栏杆短臂长1 m ，长臂长16 m ，当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高（ ）图1-3-11A.11.25 mB.6.6 mC.8 mD.10.5 m思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下的数学问题：如右图，等腰△AOC∽等腰 △BOD,OA=1 m,OB=16 m,高CE=0.5 m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF，即1∶16=0.5∶DF，解得DF=8 m.答案：C3有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC=12 cm,高AD=8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（ ） A.18 cm 2或491152cm 2 B.20 cm 2或18 cm 2C.16 cm 2D.15 cm 2思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm,则长为2x cm, 由HG∥BC,得△AHG∽△ABC，得72412288=⇒=-⇒=x x x BC HG AD AK cmS 矩形EFGH =2x 2=491152cm 2； 如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ =18 cm 2.答案：A4如图1-3-12，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=_________.图1-3-12思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段.答案：45如果两个相似三角形的面积比为9∶4，那么它们的相似比为_______________.思路解析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接开平方即可.答案：3∶26如图1-3-13，△ABC中∠C为直角，△DEF中∠F为直角，DE⊥AC，交AC于G，交AB于H，DF⊥AB，交AB于I，求证:△ABC∽△DEF.图1-3-13证明：∵HI⊥DF，EF⊥DF,∴HI∥EF，∠DIH=∠DFE=90°.∴∠DHI=∠DEF.∴△DHI∽△DEF.∵∠DIH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG.∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB=90°,∴△AGH∽△ACB.∴△ABC∽△DE F综合·应用7如图1-3-14，已知∠ACB=∠ADE，∠ABC=∠AED，求证:∠ABE=∠ACD.图1-3-14思路分析:∠ABE 和∠ACD 分别位于△ABE 和△ACD 中，显然不可以利用全等来证明这两个角相等，但这两个角所在的两个三角形能相似吗？从已知条件中给的四个角分别在△ABC 和△AED 中，由它们相等不难证明△ABC∽△AED，这一对三角形的相似，沟通了我们想要证明的两个三角形的关系，沟通了两个角的关系.这里使用了“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法.证明：∵∠ABC=∠AED，∠ACB=∠ADE,∴△ABC∽△AED. ∴AD AC AE AB =,∠BAC=∠EAD.∴ADAEAC AB =. ∴∠BAC -∠EAC=∠EAD -∠EAC,即∠BAE=∠CAD.∴△ABE∽△ACD.（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴∠ABE=∠ACD.8如图1-3-15，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF∥BA，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点.求证:BP 2=PE·PF.图1-3-15思路分析:因为BP 、PE 、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC ，D 是BC 的中点，由等腰三角形的性质知AD 是BC 的垂直平分线，如果我们连结PC ，由线段垂直平分线的性质知PB=PC ，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了.证明：连结PC ，在△ABC 中，∵AB=AC，D 为BC 的中点， ∴AD 垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC -∠1=∠ACB -∠2.∴∠3=∠4. ∵CF∥AB，∴∠3=∠F.∴∠4=∠F. 又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC. ∴PCPF PE PC =.∴PC 2=PE·PF.∵PC=PB，∴PB 2=PE·PF.（等线段代换）9如图1-3-16，已知△ABC 中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB=2∶3∶4， 求S △ADE ∶S 四边形DEGF ∶S 四边形BCGF.图1-3-16思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出△ADE \,△AFG 和△ABC 的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知DE∥FG∥BC 的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值，故应引入参数.解：∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4，设AD=2k,DF=3k,FB=4k(k>0)，则AF=5k,AB=9k, ∵DE∥FG,∴△ADE∽△AFG. ∴254)52()(22===∆∆AF AD S S AFG ADE 同理,可得8125)(2==∆∆AB AF S S ABC AFG . 设S △ADE =4a,则S △AFG =25a,S △ABC =81a(a>0).∴S 四边形DEGF =25a-4a=21a ， S 四边形BCGF =81a-25a=56a.∴S △ADE ∶S 四边形DEGF ∶S 四边形BCGF =4∶21∶56.10如图1-3-17，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形.图1-3-17(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？ (2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB 的度数.思路分析:本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似.因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似以后，那么对应角相等，易求∠APB. 解：（1）∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD. 从而∠ACP=∠PDB=120°. ∴当BDPCPD AC =时，△ACP∽△PDB. 即当CD 2=AC·BD 时，△ACP∽△PDB.（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD.∴∠APB=∠APC＋∠CPD＋∠DPB=∠PBD＋60°＋∠DPB=60°＋60°=120°.。
部编版2020学年高中数学第一讲1.3.2相似三角形的性质练习新人教A版选修48
2.相似三角形的性质课后篇巩固探究一、A组1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=4,A'B'=3,则BC和B'C'上对应中线的比等于()A. B.D.无法确定,得相似比为,则BC和B'C'上对应中线的比等于相似比.2.如图,设AA1与BB1相交于点O,AB∥A1B1,且AB=A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1,则△A1OB1的外接圆的直径为()B.2C.4D.AB∥A1B1,且AB=A1B1,∴△AOB∽△A1OB1,∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比,△A1OB1的外接圆直径为2.ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=3,CD=2,则AC∶BC的值是()A.3∶2B.9∶4D.∠B为公共角,∴Rt△BCD∽Rt△BAC.Rt△ACD∽Rt△ABC,∴Rt△ACD∽Rt△CBD.∴.∵AD=3,CD=2,,即AC∶BC=3∶2.,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,则△MON与△AOC面积的比是()A.1∶2B.1∶9D.1∶4M,N分别是AB,BC中点,∴MN∥AC,且MN=AC,△MON∽△COA,∴.如图,梯形ABCD的对角线交于点O,则下列四个结论:①△AOB∽△COD;②△AOD∽△ACB;③S△DOC∶S△AOD=CD∶AB;④S△AOD=S△BOC.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD,故①正确;由①知,.利用三角形的面积公式可知S△DOC∶S△AOD=OC∶OA=CD∶AB,故③正确;∵S△ADC=S△BCD,∴S△ADC-S△COD=S△BCD-S△COD,∴S△AOD=S△BOC,故④正确.故①③④都正确.易知②错误.答案:C6.如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则等于.解析:在Rt△DAO和Rt△DEA中,∠ADO为公共角,∴Rt△DAO∽Rt△DEA,∴,即.∵点E为AB的中点,∴,.答案:1∶500的地图上,测得一块三角形土地的周长为12 cm,面积为6 cm2,则这块土地的实际周长是m,实际面积是m2.解析:这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形,由比例尺可知,它们的相似比为, 12×500=6 000(cm)=60(m);实际面积是6×5002=1 500 000(cm2)=150(m2).答案:60150,在△ABC中,BC=m,DE∥BC,DE分别交AB,AC于E,D两点,且S△ADE=S四边形BCDE,则DE=.解析:∵DE∥BC,△ADE∽△ACB.又S△ADE+S四边形BCDE=S△ABC,S△ADE=S四边形BCDE,∴S△ADE=S△ABC.∴..∴DE=m.答案:m,D,E分别是AC,AB上的点,∠ADE=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F.若AD=3,AB=5,求:(1)的值;(2)△ADE与△ABC的周长比;ADE与△ABC的面积比.解:(1)在△ADE与△ABC中,因为∠ADE=∠B,∠BAD为公共角,所以△ADE∽△ABC,所以.(2)△ADE与△ABC的周长比等于它们的相似比AD∶AB=3∶5.(3)△ADE与△ABC的面积比等于它们相似比的平方,即.10.如图,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC,且交AC于点E,EF∥AB,且交BC于点F,且1,S△EFC=4,则四边形BFED的面积等于多少?解:因为AD∥EF,DE∥FC,所以△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,所以△ADE∽△EFC.又因为S△ADE∶S△EFC=1∶4,所以AE∶EC=1∶2.所以AE∶AC=1∶3.所以S△ADE∶S△ABC=1∶9.因为S△ADE=1,所以S△ABC=9.所以S四边形BFED=S△ABC-S△ADE-S△EFC=9-1-4=4.二、B组1.如图,在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG内接于△ABC(点G与点C重合),DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于()A.1∶3B.1∶4D.2∶3解析:由题意,得△AEF∽△ABC,所以,所以AF∶CF=AC∶BC=1∶2.答案:C导学号52574014在▱ABCD中,E为CD上一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=()A.4∶10∶25B.4∶9∶25∶5 D.2∶5∶25解析:由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为2∶5,故S△DEF∶S△ABF=4∶25.BED与△BEA有同底BE,高之比为2∶5,故S△BED∶S△BEA=2∶5,即(S△DEF+S△BEF)∶)=2∶5,由比例的性质可得S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.△BEF答案:A,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=.解析:由∠B=∠D ,AE ⊥BC 及∠ACD=90°,得Rt △ABE ∽Rt △ADC ,,故AE==2. 答案:2,已知边长为12的正三角形ABC ,DE ∥BC ,S △BCD ∶S △BAC =4∶9,求CE 的长.解:如图,过点D 作DF ⊥BC 于点F ,过点A 作AG ⊥BC 于点G ,S △BCD =BC ·DF ,S △BAC =BC ·AG.∵S △BCD ∶S △BAC =4∶9, ∴DF ∶AG=4∶9. 易知△BDF ∽△BAG , ∴BD ∶BA=DF ∶AG=4∶9. ∵AB=12,∴CE=BD=.5.如图,D ,E 分别是AC ,AB 上的点,,△ABC 的面积为100 cm 2,求四边形BCDE 的面积.解:∵,∠A=∠A ,∴△ADE ∽△ABC ,∴.∵S △ABC =100 cm 2,∴,∴S △ADE =36 cm 2.∴S 四边形BCDE =S △ABC -S △ADE =100-36=64(cm 2).6.导学号52574015如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ,BD 相交于点O ,AO=2 cm,AC=8 cm,BCD =6 cm 2,求△AOD 的面积S △AOD . 解:因为AO=2 cm,AC=8 cm,所以OC=6 cm .因为AD ∥BC ,所以△AOD ∽△COB. 所以AD ∶BC=OA ∶OC=1∶3. 所以S △AOD ∶S △BOC =1∶9.设梯形ABCD的高为h,则S△ACD=AD·h,S△BCD=BC·h=6 cm2, 所以S△ACD=2 cm2.设S△AOD=x cm2,S△COD=y cm2,由由此解得x=.故△AOD的面积S△AOD= cm2.。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3.1相似三角形的判定练习(含解析)新人教A版选修4_1
1.相似三角形的判定课时过关·能力提升基础巩固1给出下列四个命题:①三边对应成比例的两个三角形相似;②一个角对应相等的两个直角三角形相似;③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;④一个角对应相等的两个等腰三角形相似.其中正确的命题是()A.①③B.①④C.①②④D.①③④①和③都是判定定理,都正确;②中,若相等的角是直角,则不一定相似;④中,若相等的角中,在一个三角形中是顶角,在另一个三角形中是底角,则不一定相似,故选A.2如图,点P为△ABC中的AB边上一点(AB>AC),下列条件中不能保证△ACP与△ABC相似的是()A.∠ACP=∠BB.∠APC=∠ACBC.D.选项的条件缺少对应边的夹角∠B=∠ACP,故不能保证△ACP与△ABC相似.3如图,已知在△ABC中,DE∥BC,点F是BC上一点,AF交DE于点G,则与△ADG相似的是()A.△AEGB.△ABFC.△AFCD.△ABCABF中,DG∥BF,则△ADG∽△ABF.4下列命题中,是真命题的为()A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似60°,所以任意两个等边三角形都是有“两角对应相等”的三角形.故等边三角形都相似.故选D.5如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,要使△ABC∽△CDB,BD应满足()A.BD=B.BD=C.BD=D.BD=∠ABC=∠CDB=90°,∴当时,△ABC∽△CDB,即当时,△ABC∽△CDB,∴BD=.6如图,锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O,图中与△ODB相似的三角形有() A.4个 B.3个C.2个D.1个ODB相似的三角形有△AEB,△OEC,△ADC,共有3个.7以下列条件为依据,能判定△ABC∽△A'B'C'的一组是()A.∠A=45°,AB=12 cm,AC=15 cm;∠A'=45°,A'B'=16 cm,A'C'=25 cmB.AB=12 cm,BC=15 cm,AC=24 cm;A'B'=20 cm,B'C'=25 cm,A'C'=32 cmC.AB=2 cm,BC=15 cm,∠B=36°;A'B'=4 cm,B'C'=5 cm,∠A'=36°D.∠A=68°,∠B=40°;∠A'=68°,∠B'=40°A中,∠A=∠A',但,则△ABC与△A'B'C'不相似;选项B中,,则△ABC 与△A'B'C'不相似;选项C中,,∠B与∠B'不一定相等,则△ABC与△A'B'C'不相似;选项D中,∠A=∠A',∠B=∠B',则△ABC∽△A'B'C'.8如图,O是△ABC内一点,且AB∥A'B',BC∥B'C'.求证:AC∥A'C'.AB∥A'B',∴.又BC∥B'C',∴.∴.∴AC∥A'C'.9如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线.求证:AD2=DC·AC.36°的等腰三角形,它的底角是7 °,而BD是底角的平分线,所以∠CBD=36°,则可推出△ABC∽△BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.∠A=36°,AB=AC ,∴∠ABC=∠C=7 °.又BD 平分∠ABC ,∴∠ABD=∠CBD=36°. ∴AD=BD=BC ,且△ABC ∽△BCD. ∴BC ∶AB=CD ∶BC.∴BC 2=AB ·CD.又BC=AD ,AB=AC ,∴AD 2=AC ·CD.10已知△ABC ,延长BC 到点D ,使CD=BC.取AB 的中点F ,连接FD 交AC 于点E. (1)求的值; (2)若AB=a ,FB=EC ,求AC 的长.如图,过点F 作FM ∥AC ,交BC 于点M.∵F 为AB 的中点, ∴M 为BC 的中点,FM=AC.又CD=BC ,∴3.由FM ∥AC ,得∠CED=∠MFD ,∠ECD=∠FMD ,∴△FMD ∽△ECD. ∴3.∴EC= 3FM= 3 AC=3AC.∴ - -33.(2)∵AB=a ,∴FB= AB=a.又FB=EC,∴EC=a.∵EC=AC,∴AC=3EC=3a.3能力提升1如图,已知点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且△ACP∽△PDB,则∠APB等于() A.60° B. 0°C. 35°D. 50°△ACP∽△PDB,∴∠APC=∠PBD,∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠PBD+60°+∠DPB=(∠PBD+∠DPB)+60°=∠CDP+60°=60°+60°=120°.★2已知在△ABC中,D是AB上一点,在边AC上找一点E,使得△ADE与△ABC相似,则这样的点最多有()A.0个B.1个C.2个D.无数个,DE1∥BC,则△ADE1∽△ABC;在AC上若存在点E2,使∠AE2D=∠B,又∠A=∠A,则△ADE2∽△ACB,故这样的点最多有两个.3如图,已知每个大正方形均由边长为1的小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()ABC的三边长分别为,2, 0,A中三角形三边长分别为1,5, ∵ 0,∴选A.5可以判断选项B,C,D中的三角形与△ABC均不相似.4已知在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC边的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E,则下面结论中正确的是()A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC∠BAC=90°,D是BC中点,∴DA=DC=DB.∴∠DAC=∠C.又AE⊥AD,∴∠EAB+∠BAD=90°,∠CAD+∠BAD=90°,∴∠EAB=∠DAC.∴∠EAB=∠C.又∠AEB=∠CEA,∴△BAE∽△ACE.5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,若AC=6,AD=3,则AB= .ACD和△ABC中,∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,∴△ACD∽△ABC.∴.∴63,∴AB=12.66如图,BD⊥AE,∠C=90°,若AB=4,BC=2,AD=3,则DE= ,CE= .Rt△ACE和Rt△ADB中,∠A是公共角,∴△ACE∽△ADB,∴.∴AE=··4 4=8.3则DE=AE-AD=8-3=5.在Rt△ACE中,CE=-8- 4=27.277如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.求证:(1)△ABE∽△ADF;(2)△EAF∽△ABC.由题意可知,∠D=∠B,∠AEB=∠AFD=90°,∴△ABE∽△ADF.(2)∵△ABE∽△ADF,∴,∠BAE=∠DAF.又AD=BC,∴.∵AF⊥CD,CD∥AB,∴AB⊥AF.∴∠BAE+∠EAF=90°.又AE⊥BC,∴∠BAE+∠B=90°.∴∠EAF=∠B,∴△ABC∽△EAF.★8如图,在△ABC中,AD,CE是两条高,连接DE,如果BE=2,EA=3,CE=4,在不添加任何辅助线和字母的条件下,写出三个正确的结论(要求:分别为边的关系、角的关系、三角形相似等),并对其中一个结论予以证明.,所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度.由AE=3,CE=4,可知CA=5,AC=AB,△ABC是一个等腰三角形,再寻找条件就比较容易了.AB=AC;②∠B=∠ACB;③△CEB∽△ADC.下面仅证明△CEB∽△ADC.∵CE⊥AE,AE=3,CE=4,∴AC=34=5.又AB=AE+BE=5,∴AC=AB.∴∠B=∠ACB.又∠CEB=∠ADC=90°,∴△CEB∽△ADC.。
新人教A高中数学教材目录必修选修很全面
新人教A高中数学教材目录必修选修很全面人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn 思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合课件新人教A版选修4
(2)DE·DC=AE·BD.
证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC.又
BC=CB,∴△ABC≌△DCB.
(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.
又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所
得的对应线段成比例.
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
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专题三
例1如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,
2
与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则
比例中项.
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专题一
专题二
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专题三
例3如图所示,在Rt△ABC中有正方形DEFG,点D,G分别在AB,AC
上,点E,F在斜边BC上,求证:EF2=BE·FC.
证明
如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,
则DE∥AH∥GF.
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专题一
专题二
专题三
=
,
= .
1
= 4 , = .
1
所以 16 = 4,即 BM=4.取 BC 的中点 P,
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专题一
专题二
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专题三
作 PQ∥DH 交 EH 于 Q,如图,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线,
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质(2)课后训练新人教A版选修4-1
相似三角形的性质练习1三角形的一条中位线截该三角形所得的小三角形与原三角形的周长之比等于( )A ．14 B ．13 C ．12D ．不确定2两个相似三角形对应中线分别长6 cm 和18 cm ，若较大三角形的面积是36 cm 2，则较小三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．4 cm 2C ．18 cm 2D ．不确定 3△ABC 内切圆的半径r 1＝4，△A ′B ′C ′内切圆的半径r 2＝6，且△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝2，则A ′B ′等于( )A ．3B ．6C ．9D ．不确定 4如图所示，D 是△ABC 中AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .已知AD ∶DB ＝1∶3，则△ADE 与四边形BCED 的面积比为( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶15 D．1∶165(情景题)有一块三角形铁片ABC ，已知BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余的两个顶点分别在AB ，AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为( )A ．18 cm 2或115249cm 2B ．20 cm 2或18 cm 2C ．16 cm 2D ．15 cm 26在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，则这块土地的实际周长是__________m ，实际面积是__________m 2.7两个相似三角形对应中线之比是3∶7，周长之和为30 cm ，则它们的周长分别是______cm 和______cm.8(探究题)在△ABC 中，如图所示，BC ＝m ，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于E ，D 两点，且S △ADE ＝S 四边形BCDE ，则DE ＝__________.9如图，在△ABC 中，AB ＝14 cm ，59AD BD ，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12 cm ，求△ADE 的面积．10如图，ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝12 CD．(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求ABCD的面积．参考答案1 答案：C 小三角形与原三角形相似，其周长之比等于相似比.2 答案：B 相似比等于61183=，则21139S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭小大，故S 小＝19S 大＝19×36＝4(cm 2).3 答案：A ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴12r ABr A B =''.∴426A B =''，∴A ′B ′＝3. 4答案：C 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC . 又因为AD ∶DB ＝1∶3，所以AD ∶AB ＝1∶4，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶16， 则所求的两部分面积比为1∶15.5答案：A 本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G ，H 分别在AC ，AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm.由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC ，得AK ∶AD ＝HG ∶BC ⇒(8－x )∶8＝2x ∶12⇒247x =(cm)⇒S 矩形EFGH ＝2x 2＝115249(cm 2)； 如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地，可求得S 矩形MNPQ ＝18(cm 2).6答案：60 150 这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为1500，则实际周长是12×500＝6 000(cm)＝60 m ；实际面积是6×5002＝1 500 000(cm 2)＝150 m 2.7答案：9 21 设两个三角形的周长分别为x cm ，y cm ， 则x ∶y ＝3∶7，x ＋y ＝30， 解得x ＝9，y ＝21.8答案：2m ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， 又S △ADE ＋S 四边形BCDE ＝S △ABC ，S △ADE ＝S 四边形BCDE ， ∴S △ADE ＝12S △ABC . ∴212DE BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴212DE m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴DE＝2m .9答案：分析：先求出S△ABC，再由DE∥BC，可得△ABC∽△ADE，由2ADEABCS ADS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求得S△ADE.解：∵CD⊥AB，∴S△ABC＝12AB·CD＝12×14×12＝84(cm2).∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴2ADEABCS ADS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.又59ADBD=，∴514ADAB=.∴258414ADES∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△ADE＝757cm2.10 答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝12 CD，∴219DEFCEBS DES EC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭，214DEFABFS DES AB∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16，∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.。
2019-2020年高中数学 1.3第2课时 相似三角形的性质练习 新人教A版选修4-1
2019-2020年高中数学 1.3第2课时 相似三角形的性质练习 新人教A 版选修4-11．相似三角形的性质定理：(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于____________． (2)相似三角形周长的比等于____________．(3)相似三角形面积的比等于__________________________．2．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于______________．3．如图，在△ABC 中，AB ＝14 cm ，AD BD ＝59，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12 cm ，则△ADE的面积和周长分别是__________，__________．预习导学1．(1)相似比 (2)相似比 (3)相似比的平方 2．相似比的平方 3.757cm 2 15 cm►一层练习1．在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm 1．D2．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，点D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．6或8D ．14 2.C3．△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且AD ∶A ′D ′＝5∶3，下面给出四个结论：①BC ∶B ′C ′＝5∶3；②△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝5∶3；③△ABC 与△A ′B ′C ′的对应高之比为5∶3；④△ABC 与△A ′B ′C ′的对应中线之比为5∶3.其中正确的有( ) A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3.D4．两个相似三角形的一对对应边长分别是24 cm 和12 cm.(1)若它们的周长和是120 cm ，则这两个三角形的周长分别为________和________； (2)若它们的面积差是420 cm 2，则这两个三角形的面积分别为________和________． 4．(1)80 cm 40 cm (2)560 cm 2 140 cm 2 ►二层练习5．在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为( )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4 5．B6．如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFG 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC 等于( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶2D ．2∶3 6.C7．在△ABC 中，点D 为BC 上一点，且∠BAC ＝∠ADC ，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，则DC ＝______cm.7.98．两相似三角形的相似比为1∶3，则其周长之比为________，内切圆面积之比为________．8.1∶3 1∶9 ►三层练习9．点D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A ．4.5，16B ．9，4C ．4.5，8 D.94，169.A10．如图所示，点D 、E 、F 、G 、H 、Ι是△ABC 三边的三等分点，△ABC 的周长是l ，则六边形DEFGHI 的周长是( )A.13l B ．3l C ．2l D.23l 10．解析：易得DE 綊13BC .HI 綊13AC .GF 綊13AB .又DI ＝13AB ，HG ＝13BC ，EF ＝13AC .则所求周长为23(AB ＋AC ＋BC )＝23l .答案：D11．如图所示，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE＝______．11．212．(xx·佛山一模)如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________．12．解析：延长CD 与直线l 交于点G ， 设AB ＝2a ，则CD ＝2a ，而M 是AB 的中点， 则AM ＝12AB ＝a .由已知得△AME ∽△DGE ，∴AM DG ＝AE ED ⇒AM DG ＝AEAD －AE.∵AD ＝3AE ，∴a DG ＝AE2AE ⇒DG ＝2a .又∵△FCG ∽△F AM ，AF FC ＝AM CG ⇒AF FG ＝AM CD ＋DG ＝a 2a ＋2a ＝14，即AF ∶FC ＝1∶4. 答案：1∶413.(xx·清远市高三上学期期末考试)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则∠ACB ＝________．13．30°14．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ，求证：PB 2＝PE ·PF .14．证明：连接PC ，易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP ， ∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP ， 从而∠F ＝∠ACP ，又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角， 从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC .∴PC 2＝PE ·PF ，又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE ·PF ，命题得证．1．相似三角形的性质常用于： (1)计算边长、周长、面积等；(2)用来证明线段成比例、角相等，在进行计算时常常结合方程的思想进行． 2．研究相似三角形的性质时，切记从相似比入手即可，涉及线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方．3．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．【习题1.3】1．证明：如图所示，连接BE ，CD .∵∠ABE 和∠ACD 是同弧所对的圆周角，∴∠ABE ＝∠ACD .又∵∠A ＝∠A ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AD AC ＝AE AB.2．证明：(1)如图所示，在△ABE 和△ACD 中，∵∠BAE ＝∠CAD ，∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝BECD，∴AB ·CD ＝AC ·BE .(2)在△ABC 和△AED 中，∵∠BAC ＝∠BAE ＋∠EAC ，∠EAD ＝∠CAD ＋∠EAC ，且∠BAE＝∠CAD ，∴∠BAC ＝∠EAD .又∵∠BCA ＝∠EDA ，∴△ABC ∽△AED ，∴AC AD ＝BCED .∴AC ·ED＝AD ·BC .3．解析：如图所示，设A ′C ′＝x ，∵∠A ＝∠A ′，∴要使△ABC ∽△A ′B ′C ′，只需aa ′＝bx 即可．∴当x ＝a ′b a时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.4．解析：如图所示．作法：①作线段B ′C ′，使B ′C ′＝32BC .②以B ′为顶点，B ′C ′为始边作∠D ′B ′C ′＝∠B .③在B ′D ′上截取线段B ′A ′，使B ′A ′＝32AB .④连接A ′C ′.则△A ′B ′C ′为所求作的三角形．5．证明：如图所示，∵EF ∥AD ∥BC ，∴GE GB ＝EF BC ，HE HA ＝EF AD ，∵AD ＝BC ，∴GE GB ＝HEHA ，∴GE BE ＝HEAE，又∵∠AEB ＝∠HEG ，∴△AEB ∽△HEG ，∴∠ABE ＝∠HGE ，∴GH ∥AB .6．证明：如图所示．∵DE ∥AB ，∴DE AB ＝OD OA ＝OEOB . ①又∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝OE OB ＝OFOC . ②由①②知OD OA ＝OFOC ，而∠FOD ＝∠COA ，∴△FOD ∽△COA ，∴DF AC ＝ODOA .∴在△ABC 和△DEF 中， 有DE AB ＝EF BC ＝DFAC，∴△DEF ∽△ABC . 7．证明：如图所示，在△ACD 和△BCE 中，∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝ACBC，即AD ·BC ＝BE ·AC .8．解析：设计三种方案仅供参考．方案1：①如图所示，在地面适当位置取一点C ，连接BC ，测量出BC 的距离．②在点C 处竖立处竖立一根垂直于地面的标杆．③在BC 的延长线上取一点D ，使点D ，标杆的顶点E 和树尖A 在一条直线上． ④测量出CD 的距离．在这个方案中，由于△DCE ∽△DBA ，而BC ，CD ，CE 的长可以由测量而得，所以可以求出树高AB (没有考虑测量仪的脚架高)．方案2：①如图所示，在地面上选取一点C，连接BC.②测出∠BCA的度数．③在地面上选取一点D，使∠DCB＝∠BCA.④过D作BC的垂线，交BC于E.⑤测量DE，CE，BC的长，由这三个量可以求得AB的长．因为按方案2的实施，易知Rt△ABC∽Rt△DEC(没有考虑测量仪的脚架高)．方案3：①如图所示，把一面镜子放在离树a m的点E处．②一个人望着镜子后退到点D，这时恰好在镜子里望到树梢点A.③量得ED等于b m，人的眼睛距地面的高度为cm，即可求出AB的长．因为根据光学中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，所以△ABE∽△CDE.9．已知：如图所示，设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线．AE是△ABC的角平分线，A′E′是△A′B′C′的角平分线．求证：(1)ADA′D′＝k；(2)AEA′E′＝k.证明：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA′B′＝BCB′C′.又∵D，D′分别为BC，B′C′的中点，∴ABA′B′＝BCB′C′＝2BD2B′D′＝BDB′D′.且由题意知∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′，∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝k .其余两组对应边上的对应中线之比同理可证． (2)∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，∠B ＝∠B ′，∵AE ，A ′E ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的平分线，∴∠BAE ＝∠B ′A ′E ′，∴△ABE ∽△A ′B ′E ′，∴AE A ′E ′＝AB A ′B ′＝k .同理可证，其余两个对应角的平分线的对应之比也等于相似比．10．解析：∵AE ∶EB ＝1∶2，∴AE ∶AB ＝1∶3.由题意知在△AEF 和△CDF 中，∠EAF＝∠DCF ，∠EF A ＝∠DFC ，∴△AEF ∽△CDF ，∴△AEF 的周长△CDF 的周长＝AE CD ＝AE AB ＝13，∴S △AEF S △CDF ＝19，而S △AEF ＝6，∴S △CDF ＝9S △AEF ＝9×6＝54(cm 2)．11．解析：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．证明略．问题有很多．以下三个问题仅供参考．问题1：相似三角形对应交的外角平分线之比等于相似比．证明：如图所示，设∠ABC ∽∠A ′B ′C ′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的外角平分线，分别交BC ，B ′C ′的延长线于D ，D ′.∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.又∵∠BAC ＋∠1＋∠2＝∠B ′A ′C ′＋∠3＋∠4，而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.又∵∠B ＝∠B ′，∴△ABD ∽△A ′B ′D ′，∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝k . 问题2：△ABC ∽△A ′B ′C ′，以△ABC 的三条边为直径，分别向△ABC 外作半圆(如图所示)，同样，以△A ′B ′C ′的三条边为直径，分别向△A ′B ′C ′外作半圆，则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方(说明：将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题)．证明略．问题3：如图所示，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，BD CD ＝B ′D ′C ′D ′，则AD A ′D ′＝k .证明略．.。
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2.相似三角形的性质
课后篇巩固探究
一、A组
1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=4,A'B'=3,则BC和B'C'上对应中线的比等于()
A. B.
C. D.无法确定
解析:由题意,得相似比为,则BC和B'C'上对应中线的比等于相似比.
答案:A
2.如图,设AA1与BB1相交于点O,AB∥A1B1,且AB=A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1,则△A1OB1的外接圆的直径为()
A.1
B.2
C.4
D.
解析:∵AB∥A1B1,且AB=A1B1,∴△AOB∽△A1OB1,∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比, ∴△A1OB1的外接圆直径为2.
答案:B
3.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=3,CD=2,则AC∶BC的值是()
A.3∶2
B.9∶4
C. D.
解析:∵∠B为公共角,∴Rt△BCD∽Rt△BAC.
同理Rt△ACD∽Rt△ABC,
∴Rt△ACD∽Rt△CBD.
∴.
∵AD=3,CD=2,
∴,即AC∶BC=3∶2.
答案:A
4.如图,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,则△MON与△AOC面积的比是()
A.1∶2
B.1∶9
D.1∶4
解析:∵M,N分别是AB,BC中点,
∴MN∥AC,且MN=AC,
△MON∽△COA,∴.
答案:D
如图,梯形ABCD的对角线交于点O,则下列四个结论:①△AOB∽△COD;②△AOD∽△ACB;③S△DOC∶
S△AOD=CD∶AB;④S△AOD=S△BOC.
其中正确的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD,故①正确;由①知,.利用三角形的面积公式可知S△DOC∶
S△AOD=OC∶OA=CD∶AB,故③正确;∵S△ADC=S△BCD,∴S△ADC-S△COD=S△BCD-S△COD,∴S△AOD=S△BOC,故④正确.故①③④都正确.易知②错误.
答案:C
6.如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则等于.
解析:在Rt△DAO和Rt△DEA中,∠ADO为公共角,∴Rt△DAO∽Rt△DEA,
∴,即.
∵点E为AB的中点,
∴,
∴.
答案:
7.在比例尺为1∶500的地图上,测得一块三角形土地的周长为12 cm,面积为6 cm2,则这块土地的
实际周长是m,实际面积是m2.
解析:这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形,由比例尺可知,它们的相似比为,则实际周长是12×500=6 000(cm)=60(m);实际面积是6×5002=1 500 000(cm2)=150(m2).
答案:60150
8.如图,在△ABC中,BC=m,DE∥BC,DE分别交AB,AC于E,D两点,且S△ADE=S四边形BCDE,则DE=.
解析:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB.
又S△ADE+S四边形BCDE=S△ABC,S△ADE=S四边形BCDE,
∴S△ADE=S△ABC.∴.
.∴DE=m.
答案:m
,D,E分别是AC,AB上的点,∠ADE=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F.若AD=3,AB=5,求:
(1)的值;
(2)△ADE与△ABC的周长比;
(3)△ADE与△ABC的面积比.
解:(1)在△ADE与△ABC中,
因为∠ADE=∠B,∠BAD为公共角,
所以△ADE∽△ABC,所以.
(2)△ADE与△ABC的周长比等于它们的相似比AD∶AB=3∶5.
(3)△ADE与△ABC的面积比等于它们相似比的平方,即.
10.
如图,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC,且交AC于点E,EF∥AB,且交BC于点F,且
S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形BFED的面积等于多少?
解:因为AD∥EF,DE∥FC,
所以△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,
所以△ADE∽△EFC.
又因为S△ADE∶S△EFC=1∶4,
所以AE∶EC=1∶2.
所以AE∶AC=1∶3.
所以S△ADE∶S△ABC=1∶9.
因为S△ADE=1,
所以S△ABC=9.
所以S四边形BFED=S△ABC-S△ADE-S△EFC=9-1-4=4.
二、B组
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG内接于△ABC(点G与点C重合),DE∥AC,EF∥
BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于()
A.1∶3
B.1∶4
D.2∶3
解析:由题意,得△AEF∽△ABC,所以,所以AF∶CF=AC∶BC=1∶2.
答案:C
导学号52574014在▱ABCD中,E为CD上一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=()
A.4∶10∶25
B.4∶9∶25
∶5 D.2∶5∶25
解析:由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为2∶5,故S△DEF∶S△ABF=4∶25.
而△BED与△BEA有同底BE,高之比为2∶5,故S△BED∶S△BEA=2∶5,即(S△DEF+S△BEF)∶
(S△ABF+S△BEF)=2∶5,由比例的性质可得S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.
答案:A
3.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=.
解析:由∠B=∠D,AE⊥BC及∠ACD=90°,得Rt△ABE∽Rt△ADC,
则,故AE==2.
答案:2
4.如图,已知边长为12的正三角形ABC,DE∥BC,S△BCD∶S△BAC=4∶9,求CE的长.
解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,过点A作AG⊥BC于点G,
S△BCD=BC·DF,S△BAC=BC·AG.
∵S△BCD∶S△BAC=4∶9,
∴DF∶AG=4∶9.
易知△BDF∽△BAG,
∴BD∶BA=DF∶AG=4∶9.
∵AB=12,∴CE=BD=.
5.如图,D,E分别是AC,AB上的点,,△ABC的面积为100 cm2,求四边形BCDE的面积.
解:∵,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,∴.
∵S△ABC=100 cm2,
∴,∴S△ADE=36 cm2.
∴S四边形BCDE=S△ABC-S△ADE=100-36=64(cm2).
6.
导学号52574015如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD相交于点O,AO=2 cm,AC=8 cm,
BCD=6 cm 2,求△AOD的面积S
△AOD.
解:因为AO=2 cm,AC=8 cm,
所以OC=6 cm.
因为AD∥BC,所以△AOD∽△COB.
所以AD∶BC=OA∶OC=1∶3.
所以S△AOD∶S△BOC=1∶9.
设梯形ABCD的高为h,则
S△ACD=AD·h,S△BCD=BC·h=6 cm2, 所以S△ACD=2 cm2.
设S△AOD=x cm2,S△COD=y cm2,
由由此解得x=.
故△AOD的面积S△AOD= cm2.。