2015-2016学年重庆市部分区县高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年重庆市部分区县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1≤x≤3} D．{x|2＜x≤3}2．计算sin45°cos15°+cos45°sin15°=（）A．B． C．D．3．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的而是（）A．y=B．y=C．y=（）2D．y=4．已知向量=（1，2），=（3，1），则与的夹角为（）A．30°B．45°C．120°D．135°5．若a=30.5，b=ln2，c=log3sin，则下列不等式正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（）A．﹣1 B．C．﹣1或 D．1或7．函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（）A．（，） B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）8．函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为（）A．y=sinx B．y=sin（x+）C．y=sin（4x+）D．y=sin（4x+）9．若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．10．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为（）A．1，B．2，C．1，﹣D．2，﹣11．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．B．2或﹣ C．或﹣D．2或﹣或﹣12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内，函数y=f（x）﹣log a（x+2），（a＞0，a≠1）恰有1个零点，则实数a 的取值范围是（）A．（1，4）B．（4，+∞）C．（，1）∪（4，+∞）D．（0，1）∪（1，4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知全集U=R，集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，则∁U M=．14．函数的定义域为．15．已知向量，，满足•=0，||=2，||=1，则|+2|=．16．给出下列四个命题：①对于向量、、，若∥，∥，则∥；②若角的集合A={α|α=+，k∈N}．B={β|β=kπ±，k∈Z}，则A=B；③函数y=2x的图象与函数y=x2的图象有且仅有2个公共点；④将函数f（﹣x）的图象向右平移2个单位，得到f（﹣x+2）的图象．其中真命题的序号是．（请写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知A={x|1＜2x＜4}，B={x|log2x＞0}．（1）求A∪B；（2）若记符号A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求B﹣A．18．已知sin（x+）=，且x∈（0，）．（1）求tanx的值；（2）求的值．19．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若=（2，1），=（2，﹣2），求的坐标．20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润x表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21．在△ABC中，角A，B，C分别为三个内角，B=2A，向量=（cosA，﹣sinB），向量=（cosB，sinA），且向量⊥．（1）求角B的大小；（2）设f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调递增区间及f（x）在[0，]上的最大值．22．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年重庆市部分区县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1≤x≤3} D．{x|2＜x≤3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接根据交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，所以集合A∩B={x|1＜x≤3}∩{x|x＞2}={x|2＜x≤3}．故选：D．【点评】本题主要考查集合的交并补运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题目．2．计算sin45°cos15°+cos45°sin15°=（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin（45°+15°）=sin60°=，故选D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式．属基础题．3．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的而是（）A．y=B．y=C．y=（）2D．y=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据同一函数的定义：定义域相同，值域相同，解析式相同，判断即可得到结果．【解答】解：与y=x表示同一函数的是y=，故选：D．【点评】此题考查了判断两个函数是否为同一函数，弄清同一函数的定义是解本题的关键．4．已知向量=（1，2），=（3，1），则与的夹角为（）A．30°B．45°C．120°D．135°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的数量积公式解答即可．【解答】解：cos＜＞===，所以与的夹角为45°；故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积公式是运用求两个向量的夹角；属于基础题．5．若a=30.5，b=ln2，c=log3sin，则下列不等式正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=30.5＞30=1，0=ln1＜b=ln2＜lne=1，c=log3sin＜log31=0，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．6．已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（）A．﹣1 B．C．﹣1或 D．1或【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．【解答】解：令f（a）=则或，解之得a=或﹣1，故选：C．【点评】已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解．对于分段函数来说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．7．函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（）A．（，） B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】据函数零点的判定定理，判断出f（）与f（）的符号相反，即可求得结论．【解答】解：∵函数f（x）=2x+4x﹣3的图象是连续的，且在定义域R上为增函数，又∵f（）=﹣2＜0，f（）=＞0，故函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（，），故选：A．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．8．函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为（）A．y=sinx B．y=sin（x+）C．y=sin（4x+）D．y=sin（4x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）﹣]=sin （2x+）的图象，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为y=sin（4x+），故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先找到从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f （﹣x），再整体向右平移1个单位；再画出对应的图象，即可求出结果．【解答】解：因为从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f （﹣x），再整体向右平移1个单位即可得到．即图象变换规律是：①→②．故选：A．【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题，但也是易错题．易错点在于左右平移，平移的是自变量本身，与系数无关．10．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为（）A．1，B．2，C．1，﹣D．2，﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数一个零点和与之最近的最小值点之间的距离，求出T==π，算出ω=2得到表达式为y=sin（2x+φ），再由函数的最小值，将（，﹣1）代入解出φ=，即可得到本题的答案．【解答】解：∵函数的一个零点为x=，与之最近的最小值点为x=∴函数的周期T==4（﹣），即=π，可得ω=2函数表达式为y=sin（2x+φ），∵x=时，函数的最小值为﹣1∴2×+φ=﹣+2kπ，可得φ=﹣+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜，∴取k=1，得φ=故选：B【点评】本题给出三角函数的部分图象，求函数的表达式，着重考查了三角函数的图象与性质、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题．11．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．B．2或﹣ C．或﹣D．2或﹣或﹣【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】求出二次函数的对称轴为x=m，再分对称轴在区间[﹣2，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别根据当﹣2≤x≤1时y的最大值为4，求得m的值，综合可得结论．【解答】解：∵二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1的对称轴为x=m，﹣2≤x≤1，当m＜﹣2时，函数f（x）在[﹣2，1]上是减函数，函数的最大值为f（﹣2）=﹣（2﹣m）2+1+m2=4，求得m=，舍去；当﹣2≤m≤1时，函数f（x）的最大值为f（m）=1+m2=4，求得m=﹣（舍去）．当m＞1时，函数f（x）在[﹣2，1]上是增函数，函数的最大值为f（1）=﹣（1﹣m）2+1+m2=4，求得m=2．综上可得，m=2或﹣．故选：B．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内，函数y=f（x）﹣log a（x+2），（a＞0，a≠1）恰有1个零点，则实数a 的取值范围是（）A．（1，4）B．（4，+∞）C．（，1）∪（4，+∞）D．（0，1）∪（1，4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（﹣2，6）内函数f（x）和y=log a（x+2）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），又f（2+x）=f（2﹣x），即f（x+4）=f（﹣x）∴f（x+4）=f（x），则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，f（x）是定义在R上的偶函数，∴当x∈[0，2]时，f（x）=（）﹣x﹣1，结合题意画出函数f（x）在x∈（﹣2，6）上的图象与函数y=log a（x+2）的图象，结合图象分析可知，要使f（x）与y=log a（x+2）的图象，恰有1个交点，则有0＜a＜1或，解得0＜a＜1或1＜a＜4，即a的取值范围是（0，1）∪（1，4）．故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数a的讨论，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知全集U=R，集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，则∁U M={y|y＜﹣1}．【考点】补集及其运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】先化简集合M，再根据补集的定义求出∁U M．【解答】解：全集U=R，集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，∁U M={y|y＜﹣1}．故答案为：{y|y＜﹣1}．【点评】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题目．14．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】函数的定义域为，由此能求出结果．【解答】解：函数的定义域为，解得x≥2．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答．15．已知向量，，满足•=0，||=2，||=1，则|+2|=4．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；集合思想；平面向量及应用．【分析】根据题意，由数量积的运算性质可得|+2|2=（+2）2=2+4•+42=||2+4•+4||2，代入数据可得|+2|2的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，|+2|2=（+2）2=2+4•+42=||2+4•+4||2=8，则|+2|=4，故答案为：4．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，掌握数量积的有关运算性质是解题的关键．16．给出下列四个命题：①对于向量、、，若∥，∥，则∥；②若角的集合A={α|α=+，k∈N}．B={β|β=kπ±，k∈Z}，则A=B；③函数y=2x的图象与函数y=x2的图象有且仅有2个公共点；④将函数f（﹣x）的图象向右平移2个单位，得到f（﹣x+2）的图象．其中真命题的序号是②④．（请写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用；平面向量及应用；集合．【分析】由于可为零向量，而零向量与任何向量共线，即可判断①；对k讨论为奇数或偶数，分解集合A，判断A，B的关系，即可判断②；写出函数y=2x的图象与函数y=x2的图象的第一象限的交点，令f（x）=2x﹣x2，运用零点存在定理，得到f（x）在（﹣1，0）上有零点，即可判断③；由图象平移的规律，左右平移一定针对自变量x而言，即可判断④．【解答】解：①对于向量、、，若∥，∥，则，的位置关系不确定，由于可为零向量，而零向量与任何向量共线，故①错；②若k=2n，则α=nπ+，若k=2n﹣1，则α=n，n∈Z，则A=B，故②对；③函数y=2x的图象与函数y=x2的图象有交点（2，4），（4，16），当x＜0时，令f（x）=2x﹣x2，由于f（﹣1）＜0，f（0）＞0，即f（x）在（﹣1，0）上有零点，故③错；④将函数f（﹣x）的图象向右平移2个单位，得到f（﹣（x﹣2））的图象，故④对．故答案为：②④【点评】本题考查向量的共线，注意零向量的特点，考查函数的图象的平移和图象的交点，注意运用零点存在定理，同时考查集合的相等，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知A={x|1＜2x＜4}，B={x|log2x＞0}．（1）求A∪B；（2）若记符号A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求B﹣A．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）通过解不等式1＜2x＜4=22、log2x＞0可知A=（0，2）、B=[1，+∞），进而计算可得结论；（2）通过（1）可知A=（0，2）、B=[1，+∞），进而利用B﹣A的定义计算即得结论．【解答】解：（1）∵1＜2x＜4=22，∴0＜x＜2，A=（0，2），∵log2x＞0，∴x＞1，B=[1，+∞），∴A∪B=（0，+∞）；（2）由（1）可知A=（0，2）、B=[1，+∞），∴B﹣A={x|x∈B且x∉A}=[2，+∞）．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．18．已知sin（x+）=，且x∈（0，）．（1）求tanx的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出．【解答】解：（1）∵sin（x+）=，且x∈（0，）．∴cosx=，sinx==．∴tanx==．（2）====7．【点评】本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若=（2，1），=（2，﹣2），求的坐标．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】本题（1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出λ的值，得到本题结论；（2）利用向量和，用，表示，利用，的坐标，得到的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，，∴==+=．∵A，E，C三点共线，∴存在m∈R，使得，∵，∴=．∴=．∵是平面内两个不共线的非零向量，∴，∴，∴实数λ的值为：．（2）∵，，λ=，∴．∵=（2，1），=（2，﹣2），∴=（﹣6，﹣3）+（﹣1，1）=（﹣7，﹣2）．∴的坐标为：（﹣7，﹣2）．【点评】本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题．20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润x表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21．在△ABC中，角A，B，C分别为三个内角，B=2A，向量=（cosA，﹣sinB），向量=（cosB，sinA），且向量⊥．（1）求角B的大小；（2）设f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调递增区间及f（x）在[0，]上的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）由向量垂直得到关于A的等式求出B；（2）利用（1）的结论，化简三角函数式，求单调区间和最值．【解答】解：（1）由已知B=2A，向量=（cosA，﹣sinB），向量=（cosB，sinA），且向量⊥．得到=cosAcosB﹣sinBsinA=cos（A+B）=cos3A=0，所以3A=，A=，B=；（2）f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx=cos（ωx﹣）+sinωx==，（ω＞0），因为f（x）的最小正周期为π，所以，解得ω=2；所以f（x）=，令2x+∈[]，所以x∈[]，所以f（x）的单调递增区间为[]；当x∈[0，]，2x+∈[]，所以sin（2x+）在[0，]上的最大值为．【点评】本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的性质的运用；关键是正确化简三角函数式为最简形式，利用正弦函数的性质求单调区间以及最值．22．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由幂函数在（0，+∞）上为增函数且m∈Z求出m的值，然后根据函数式偶函数进一步确定m的值，则函数的解析式可求；（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=log a[f（x）﹣ax]，求出函数g（x）的定义域，由函数g （x）在区间[2，3]上有意义确定出a的范围，然后分类讨论使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2的a的值．【解答】解：（1）由函数在（0，+∞）上为增函数，得到﹣2m2+m+3＞0解得，又因为m∈Z，所以m=0或1．又因为函数f（x）是偶函数当m=0时，f（x）=x3，不满足f（x）为偶函数；当m=1时，f（x）=x2，满足f（x）为偶函数；所以f（x）=x2；（2），令h（x）=x2﹣ax，由h（x）＞0得：x∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）∵g（x）在[2，3]上有定义，∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x2﹣ax在[2，3]上为增函数．当1＜a＜2时，g（x）max=g（3）=log a（9﹣3a）=2，因为1＜a＜2，所以．当0＜a＜1时，g（x）max=g（2）=log a（4﹣2a）=2，∴a2+2a﹣4=0，解得，∵0＜a＜1，∴此种情况不存在，综上，存在实数，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．【点评】本题考查了幂函数的单调性和奇偶性，考查了复合函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．。