2018年高三最新第十五届“希望杯”全国数学邀请赛精品

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题11 使不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（） A 、21π-B 、3222π-C 、6522π-D 、π-21 （第十一届高二第一试第6题）解法1 由已知可知2arccos xx a ->的解集是⎥⎦⎤⎝⎛-121，.在此区间上函数()x x f x arccos 2-=是单调增的.因此a 的值应当满足关系,21a f =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴-21arccos 221a .3222π-=选B.解法2 原不等式同解于2arccos xa x <-，因为121≤<-x ，所以22,2x <≤ 23π-x arccos -<0≤，从而=∴≤-<-a x x ,2arccos 23222π3222π-.故选B. 评析上述两种解法的实质是一回事.关于此题，刊物上有数篇文章的观点值得商榷，现摘其部分加以分析. 一篇文章认为：“由已知不等式得2arccos xa x <-，欲使其解为121≤<-x ，实际上是对⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立，而x y x arccos 2-=在⎥⎦⎤ ⎝⎛-121，上是增函数，所以当21-=x 时，=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21arccos 221min y 3222π-.故选B.” 另一篇文章在介绍了“设(),n x f m ≤≤则()()()⇔<=>⇔>x f a n x f a x f a ;max()m x f a =<min ”后分析道：“令()x x f xarccos 2-=，当121≤<-x 时，()x f <-3222π2≤，又()x f a <，故223a π≤-，选B. ” 还有一篇文章干脆将题目改为：使不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（） A 、⎪⎭⎫⎝⎛-∞-21π， B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-3222π，C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-6522π， D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-π21，并作了如下解答：“由已知得2arccos xa x <-，记()x x f x arccos 2-=，因为x 在⎥⎦⎤⎝⎛-121，时，()x f 单调增，所以=⎪⎭⎫⎝⎛--=-21arccos 221min y 3222π-.因此，3222π-<a .选B.” 首先应当指出，第一、第三篇文章中说增函数()x x f x arccos 2-=在⎥⎦⎤⎝⎛-121，上的最小值是3222π-是明显错误的. 这三篇文章共同的观点是“不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x ”等价于“对⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立”.按此观点，应当有⎪⎭⎫⎝⎛-≤21f a ，题目就错了（选择支中没有正确答案），又怎么能选B 呢？第三篇文章也将题目改错了（选择支中同样没有正确答案）.问题的关键在于“不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x ”与“对⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立”到底是否等价.为说明这一问题，我们只要看一个简单的例子就能明白了. 不等式022≤+-a x x 的解集是[]3,1-，求a 的取值范围.如果认为它等价于“[]3,1-∈x 时，不等式022≤+-a x x 恒成立，求a 的取值范围”，就会这样解：由022≤+-a x x 得()2221122--=+-+-≤x x x x x a ，在[]3,1-上的最小值是()3,31312-≤∴-=--a 为所求.而事实上，38-<-，但0822≤--x x 的解集却不是[]3,1-，而是[]4,2-，可见两者并不等价.至此，我们可以得出结论：“关于x 的不等式()x f a >的解集是D ”与“D x ∈时，关于x 的不等式()x f a >恒成立”不一定是等价的.题12 已知b a ,是正数，并且1996199619981998b a b a+=+，求证222≤+b a .(第十届高一培训题第74题)证法1 若a 与b 中有一个等于1,那么另一个也等于1,此时,显然222≤+b a .若b a ≥且1≠b ,可将1996199619981998b a b a+=+改写为()()219962199611b b a a -=-,由此推得10<<b (若1>b ,则012<-a ,得1<a ,这与b a ≥矛盾),由此得 ,11199622⎪⎭⎫ ⎝⎛=--a b b a,111,10,10221996≤--∴≤⎪⎭⎫⎝⎛<≤<ba ab a b 得 222≤+b a . 证法2 ()()()1998199822199619961998219961996219982ab a b ab a a b a b b +-++=--+=()()221996199622.ab a b a b --- 与19961996b a -同号,∴ ()()22199619960,a b a b --≥()()()1998199822199619962.a b a b a b ∴+≥++ ∴>+=+,01996199619981998b a b a 222≤+b a .证法3 由1996199619981998b a b a+=+及+∈R b a ,,得()()19961996222219981998a b a b a b a b +++=+19981998199622199619981998199622199619981998199622199619981998.1b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a --++++=++++= ()()2219961996,a b a b =---又22b a -与19961996b a -同号,()()22199619960,a b a b ∴---≤1996221996199819981,a b a b a b+∴≤∴+222≤+b a . 评析解决本题的关键在于如何利用已知条件. 证法1通过分类讨论证得222≤+b a ,较繁.由于1996199619981998b a b a+=+,故证法2作差()()()1996199622199819982b a b a b a ++-+,只要此差大于等于0命题便获证.而证法3将22b a +表示成()()199819982219961996b a b a b a +++①,便将问题转化成证①式小于等于2.证法2,3的作法既有技巧性,又有前瞻性,简洁明了.拓展本题可作如下推广推广1 设R b a ∈,,且1996199619981998b a b a +=+,则222≤+b a .推广2 设R b a ∈,,且n n n n b a b a 222222+=+++,其中+∈N n ,则222≤+b a . 推广3 设R b a ∈,,且m m n m nm b a b a222222+=+++,其中+∈N n m ,,则.222≤+n n b a . 推广4 设R b a ∈,,且m m n m nm Bb Aa Bb Aa222222+=+++,其中+∈N n m ,,1,,≤+∈+B A R B A ,则122≤+n n Bb Aa ②.由于推广1，2，3都是推广4的特例，故下面证明推广4. 证明 ⑴当0==b a 时，②式显然成立. ⑵当b a ,不全为零，有()()()()22222222m n m n m m n n A B Aa Bb Aa Bb Aa Bb ++++-++()()()222222222222.m n m n n m m n m m n n AB a a b a b b AB a b a b ++=--+=--mm b a 22- 与n n b a 22-同号，∴()()22220,m m n n AB a b a b --≥∴()()2222m n m n A B Aa Bb ++++()()222222222222.0,m m n n m n m n m m n n Aa Bb Aa Bb Aa Bb Aa Bb Aa Bb A B ++≥+++=+>∴+≤+ .1≤即当b a ,不全为零时，②式也成立.综上，不等式②成立.推广5 设+∈R b a ,，且m m n m nm b a b a +=+++，其中0,,>∈mn Z n m ，则2≤+n n b a . 推广6 设+∈R b a ,，且m m n m nm b a b a+=+++，其中0,,>∈mn R n m ，则2≤+n n b a . 推广7 设+∈R b a ,，且m m n m nm Bb Aa Bb Aa+=+++，其中1,,,0,,≤+∈>∈+B A R B A mn R n m ，则1≤+nnBb Aa ③.由于推广5，6是推广7的特殊情形，故下面证明推广7.证明 ()()()()m nm n m m nn A B AaBb Aa Bb AaBb ++++-++()m n m n n m m n AB a a b a b b ++=--+()().0.m m n n AB a b a b mn =--> 由幂函数的性质，可知m m b a -与n n b a -同号，()()()()()()0,.m m n n m n m n m m n n AB a b a b A B Aa Bb Aa Bb Aa Bb ++∴--≥∴++≥++.1,0≤+≤+∴>+=+++B A Bb Aa Bb Aa Bb Aa n n m m n m n m 即不等式③成立.从变元个数进行推广可得推广8 设()k i R x i ,,2,1 =∈+，且m i ki nm iki x x 11=+=∑=∑，其中,0,,>∈mn R n m 则.1k x ni ki ≤∑=推广9 设()1,,,2,1,1≤∑=∈=+i ki i i A k i R A x ，且mi i ki nm ii ki x A x A 11=+=∑=∑，其中,0,,>∈mn R n m 则11≤∑=ki n ii xA ④.由于推广8是推广9的特例,故下面证明推广9. 证明令1111k kk km nmn i i ii i i i i i i i A A xA x A x +====∆=-⋅∑∑∑∑1111kkkkm nmn i j ji ij ji j i j A A x A x A x+=====-∑∑∑∑().11∑∑==-⋅=kj mi m jnjjiki x xx A A 由下标的对称性,对换上式的下标,得()∑∑==-=∆kj mj mi ni j i ki x x x A A 11..将上面两式相加,得()()112.kkmm n n ijij i j i j A A xx x x ==∆=--∑∑0>mn ,由幂函数性质知mj mi x x -与nj ni x x -同号, ()()0,20,m mnn i j i jij A A x x xx --≥∴∆≥即∑∑∑∑====+⋅≥∴≥∆k i k i ni i k i mi i ki nm ii i x A x A x A A 1111,0,∑∑==+>=ki mi i ki nm ii x A x A 11,0111≤≤∴∑∑==ki i ki ni i A x A ,即不等式④成立.题13 设1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 是实数，且满足1232221≤++x x x ，证明不等式)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .（第十届高二第二试第22题）证法1 当1232221=++x x x 时，原不等式显然成立.当1232221<++x x x 时，可设()()22221231f t x x x t =++-2-()1122331x y x y x y t ++- ()2221231y y y +++-.易知右边()()221122x t y x t y =-+-()()22331x t y t +---.()()()()01233222211≥-+-+-=∴y x y x y x f .()t f 是开口向下的抛物线，()()()2222222112233123123414110t x y x y x y x x x y y y ∴∆=++--++-++-≥即)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .综上，1232221≤++x x x 时，)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .证法2，()3,2,1,=∈+i R y x i i ，1232221≤++x x x ，∴当1232221>++y y y 时， 0)1)(1(232221232221≤-++-++y y y x x x ，又0)1(2332211≥-++y x y x y x ，∴求证的不等式成立.当1232221≤++y y y 时，=-++-++)1)(1(232221232221y y y x x x()()()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+---≤------223222123222123222123222121111y y y x x x y y y x x x()2222222233112211223311222x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++---≤---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2332211)1(-++y x y x y x .综上，在题设条件下，总有)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .证法3 设1232221-++=x x x a ，1122332(1)b x y x y x y =-++-，1232221-++=y y y c ，则由1232221≤++x x x 知0≤a ，从而()222123112233121a b c x x x x y x y x y ++=++--++-21y + 22231y y ++-()()()0233222211≥-+-+-=y x y x y x .()()()0444424222≥++-=---=+--c b a a ac ab a b a ac b,()22420b ac a b -≥+≥，042≥-∴ac b ，即)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .证法4 设()321,,x x x a =，()321,,y y y b =，则()()332211321321,,,,y x y x y x y y y x x x b a ++==⋅，又θcos ⋅⋅=⋅b a b a θcos 232221232221⋅++⋅++=y y y x x x .11223311cos x y x y x y θ∴++-=≥01cos 1232221232221232221232221≥++⋅++-≥⋅++⋅++-y y y x x x y y y x x x θ22112233(1)(1x y x y x y ∴++-≥222222123123(1)(1)x x x y y y ≥++-++-.证法5 记()321,,x x x A =，()321,,y y y B =，()0,0,0O 为坐标原点，则由OB OA AB -≥,，整理得()112233110x y x y x y -++≥≥，01123222123222133221≥++++-≥-++∴y y y x x x y x y x y x ，(22222222112233123123(1)1(1)(1)x y x y x y x x x y y y ∴++-≥≥++-++-.评析这是一个条件不等式的证明问题.由求证式是ac b ≥2的形式自然联想到二次函数的判别式，构造一个什么样的二次函数是关键.当然是构造()()()()11212322213322112232221-+++-++--++=y y y t y x y x y x t x x x t f ，但只有当 01232221≠-++x x x 时，()t f 才是二次函数，故证法1又分01232221=-++x x x 与01232221≠-++x x x 两类情形分别证明.很显然，等价转化思想、分类讨论思想是证法1的精髓.证法2直接运用基本不等式证明.证法3通过换元后证明042≥-ac b （即求证式），技巧性很强，一般不易想到，读者可细心体会其思路是如何形成的.证法4由求证式中的232221x x x ++,232221y y y ++及332211y x y x y x ++联想到空间向量的模及数量积，因而构造向量解决问题.证法5则从几何角度出发，利用OB OA AB -≥使问题轻松得证.五种证法，从多角度展示了本压轴题的丰富内涵.拓展本题可作如下推广：推广 1 若()21,1,2,,,1ni i ii x y R i n x=∈=≤∑ ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑===111121221n i i n i i n i i i y x y x . 推广 2 若()0,,,2,1,≥=∈m n i R y x i i ，∑=≤ni im x12，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑===m y m x m y x n i i n i i n i i i 121221. 两个推广的证明留给读者.题14 已知0x y z >、、，并且2222222111x y z x y z ++=+++，求证：222222111x y z x y z ++≤+++ （第一届备选题）证法1 令tan ,tan ,tan x y z αβγ===，且,,αβγ为锐角，则题设可化为222s i n s i n s i n 2αβγ++=，即222c o s c o sc o s 1αβγ++=.由柯西不等式知221=⨯=()()222222sin sin sin coscos cos αβγαβγ++++()()221sin cos sin cos sin cos sin 2sin 2sin 22ααββγγαβγ⎡⎤≥++=++⎢⎥⎣⎦. ()1sin 2sin 2sin 22αβγ∴++≤由万能公式得222tan tan tan 1tan 1tan 1tan αβγαβγ++≤+++即222111x y zx y z ++≤+++ 证法2 构造二次函数()222f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++22222221112111111x y z t t x y z x y z ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 222222111x y z x y z ⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭. ()0f t ≥ ，当且仅当,x yz ==取t x y z ===时取等号，0∴∆≤，即222222222222211144111111111x y z x y z x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++++ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭0≤，2222222221111,1,1,111111x y z x x y y z z =-=-=-++++++ 又2222222221112,1,111111x y z x y z x y z ++=∴++=++++++ 222244120111x y z x y z ⎛⎫∴++-⨯⨯≤ ⎪+++⎝⎭，故222111x y zx y z++≤+++（当且仅当x y z ===时取等号）证法3 2222222111x y z x y z++=+++，即2221111112111x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2221111,111x y z ++=+++于是2222222222222111111111111x y z x y zx y z x y z x yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即222111x y z x y z++≤+++证法4 令222222,,,111x y z X Y Z x y z===+++则2X Y Z ++=，且222,,111X Y Zx y z X Y Z ===---，所以2222111x y z x y z ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭2X Y Z x y z ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22222222233111X Y Z X Y Z X Y Z x y z X Y Z ⎛⎫⎪⎛⎫≤++=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝---⎭()()2223X Y Z X Y Z ⎡⎤=++-++⎣⎦ ()221132322 2.33X Y Z ⎡⎤⎛⎫≤-++=-⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以222111x y z x y z ++≤+++证法5 设222222222,,,111x a y b z cx a b c y a b c z a b c===+++++++++ 则222222,,,a b c x y z b c a a c b a b c===+-+-+-左边=222222111111x y z x x y y z z+++++1222a b c a b c a b c⎛= ++⎝=++≤=≤=证法6 22222;111x xx xx+≥=+++ 同理2222222222;.111111y y z zy y y z z z +≥+≥++++++三式相加得2222222221112111111x y z x y z x y z ⎛⎫+++++ ⎪++++++⎝⎭222,111x y z x y z ⎫≥++⎪+++⎭即222221.111x y z x y z ⎫+⨯≥++⎪+++⎭故222111x y zx y z ++≤+++ 证法7 2222111x y z x y z ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭2222222222111.111111x y z x y z x y z ⎛⎫=+⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭由已知，易知2222222221111,2,111111x y z x y z x y z ++=++=++++++22222222,111111x y z x y zx y z x y z ⎛⎫∴++≤∴++≤ ⎪++++++⎝⎭证法8 由已知，易知222111 1.111x y z++=+++ 设222111,,,111a b cx a b c y a b c z a b c===+++++++++则x y z ===所以222111x y z x y z a b c++=+++++≤=证法9 由2222222,111x y z x y z++=+++易得2221111111x y z ++=+++，于是2222222222222221112111111111y x z y x y z x z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=++++++++22222222222222111.111111111111x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z⎛⎫++ ⎪+++⎛⎫⎝⎭≥=++∴++≤ ⎪++++++⎝⎭+++++ 证法10 由2222222,111x y z x y z ++=+++易得2221111111x y z ++=+++. ()2222211211,1112221x x x x x +=≤=+++++()()221111,222121y z =+=+++2222223111131 2.1112211122x y z x y z x y z ⎫⎛⎫++≤+++=+=⎪ ⎪++++++⎭⎝⎭222111x y zx y z∴++≤+++ 证法11 由已知，易得2221111111x y z ++=+++.构造空间向量,a =,b = 2222222cos ,.111x y z a b a b a b a b a b x y z θ⎛⎫=≤∴≤++ ⎪+++⎝⎭2=222⎡⎤⎢⎥≤++⎢⎥⎣⎦222⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎣⎦122,=⨯=222111x y zx y z∴++≤+++ 评析条件不等式证明的关键在于如何利用条件，而当条件难以直接利用或条件式显得相当复杂时，通常应当将条件适当转化，证法1、4、5、8正是通过不同形式的换元，使得问题变得简单易证的.灵活（变形）应用基本不等式（证法6、证法10），柯西不等式（证法3、7），以及一些重要的结论（证法9）也是证明不等式的常用方法.证法2、11分别构造函数、向量加以证明，很富创新性，同时也应纳入我们正常思考的范围.拓展本赛题可推广为：命题1 若12,,,0,n x x x >…且()22113,1ni i ix n n x ==-≥+∑则211nii ix x =≤+∑ 证明设tan ,1,2,,,0,2i i i x i n παα==<<…则有2222221111tan 1,sin 1,cos 1.11tan nn n ni i i i i i i i i i x n n x αααα======-∴=-=++∑∑∑∑22111tan sin cos .11tan nn ni ii i i i i i i x x αααα=====++∑∑∑由柯西不等式得1sin cos ni i i αα=≤∑==211nii ix x =∴≤+∑命题2 若12,,,0,n x x x >…且()221,1ni i ix k k x ==≥+∑为常数,n 3,0<k<n则211nii ix x =≤+∑ 命题3 若12,,,0,n x x x >…且()221,,1m ni mi ix k k n m R x ==<∈+∑ 则211mni mi ix x =≤+∑命题2、3的证明与命题1相仿.命题4 设12,,,0,n x x x >…且221ni i ix k s x ==+∑（,,s k 为正常数3,n ≥ 0k n <<），则21nii ix s x =≤+∑ 证明将题设化为221,1i n i ix s k x s==+∑作变换()221,2,,i i x t i n s ==…，则题设化为221.1ni i i t k t ==+∑由命题2得211nii it t =≤+∑即11ni is=≤+化简得2211nni ii i i ix x s x s x ==≤≤++∑ 进一步发散思维，还可得到：命题5 设12,,,0,n x x x >…且2211ni i ix k x ==+∑(),3,0,k n k n ≥<<为常数则21.ni i knx n k=≥-∑ 证明设tan ,i i x α=且i α为锐角()1,2,,i n =….则题设可化为21sin,ni i k α==∑由此得21cos .ni i n k α==-∑由柯西不等式得22222211111cos cos ,cos cos nnn i i i i i i i n αααα===⎡⎤⎛⎫≥=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 即222211sec ,tan ,nn i i i i n n n n k n k αα==≥+≥--∑∑221tan ,ni i n kn n n k n k α=∴≥-=--∑即21.ni i kn x n k=≥-∑仿命题4的证法可将命题5推广为：命题6 设12,,,0,n x x x >…且221ni i ix k s x ==+∑（,,s k 为正常数3,n ≥ 0k n <<），则21.ni i sknx n k=≥-∑ 对本赛题的条件再联想，又可推出命题7 设12,,,0,n x x x >…且()221131ni i i x n n x ==-≥+∑,则()211.n ni i x n =≥-∏ 证明设tan ,i i x α=且i α为锐角()1,2,,i n =….则题设可化为21sin1,ni i n α==-∑由此得21cos 1.ni i α==∑222121cos cos cos 1n n ααα-+++≤-…221cos sin ,11n n n n αα-==--即()21sin n n α-，同理可得 ()211sin n n α--≤，…()211sin n α-≤.以上n 个式子相乘，得()()()22212121cos cos cossin sin sin ,nn n n αααααα-≤ …∴有()21tan 1,nnn i n α=≥-∏即()211.nn i i x n =≥-∏仿命题4的证法又可将命题7推广为：命题8 设12,,,0,n x x x >…且()2211,3ni i ix n s n s x ==-≥+∑为常数，则()211.nnii xs n =≥-⎡⎤⎣⎦∏命题8又可推广为：命题9 设12,,,0,n x x x >…且()113,2,1kni ki ix n n k N k n x ==-≥∈≤≤+∑且则()11nn ki i x n =≥-∏.证明题设可化为11 1.1nki ix ==+∑作变换1,1i k i a x =+则题设化为11,nii a==∑且111,k i i i i a x a a -=-= 2311111,k n a a a a x a a +++-∴==…1123111,kkn a a a x a ⎛⎫+++=≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…即有111,kx ≥⎢⎥⎣⎦同理可得122,k x ≥⎢⎥⎣⎦…,1kn n x ≥⎢⎥⎣⎦.以上n 个式子相乘，得()11nn ki i x n =≥-∏.仿命题4的证法，命题9可进一步推广为：命题10 设12,,,0,n x x x > (11)ni ki ix n s x ==-+∑ (),2,s k N k n ∈≤<为正常数且()11.nnkii xs n ==-⎡⎤⎣⎦∏则题15 求所有的正实数a ，使得对任意实数x 都有22sin22cos ≤+xxa a（第十一届高二第二试第23题）解法1 原不等式即222sin2sin 21≤+-xxa a①.设t a x=2sin2，则化为021≤-+-t at ，其中],1[2sin 22a a t x ∈=（当1>a ），]1,[2si n 22a a t x∈=（当10<<a ）.①式即022≤+-a t t .设a t t t f +-=2)(2，由于)(t f 在1与2a 之间恒小于或等于零，所以0)1(≤f 且0)(2≤a f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≤002124a a a a a ，解之，得1215≤≤-a 为所求. 解法 2 ∵0>a ，∴22222c o s 22s i n12s i n2s i nn2s i n x x x x xxaaaa aaa a -+=+=+，又22s i n 22c o s ≤+x x a a ，∴1≤a .设)1(2sin 22≤≤=t a a t x ，记t tat f +=)(.依题意，2()f t ≥恒成立，∴max )(2t f ≥.t tat f +=)(在区间],[2a a 上单调递减；在区间]1,[a 上单调递增.而1)1(1)(22+=≥+=a f a a a f ，∴2max 1)(a a t f +=（当2a t =时取最大值）,故212≤+a a，解得1215≤≤-a 为所求. 解法3 原不等式即222sin 2sin 21≤+-xxaa .令xat 2sin 2=，则2≤+t ta①. (1)若1=a ，则1=t ，①式显然成立.(2)若1>a ，则2sin202a aa x≤≤，即21a t ≤≤，即①式对任意],1[2a t ∈恒成立由函数t t a y +=的图象（图1）及21a a <<，可得211≤+a ，且222≤+aaa ,但这与1>a 矛盾.（3）若10<<a ，则0sin222a aa x≤≤，即12≤≤t a .由函数t tay +=的图象（图2）及12<<a a ，可得222≤+a a a 且211≤+a ，即0)1)(1(2≤-+-a a a 且1≤a ，又10<<a ，图2图1解得1215<≤-a . 综合（1）、（2）、（3），可得1215≤≤-a 为所求. 评析解决本题的关键是如何由22sin22cos ≤+xx a a 对任意实数x 恒成立，得到关于a 的不等式.由于x x 2sin 212cos -=，故原不等式即222sin2sin21≤+-xxa a ，亦即222sin2sin 2≤+xxa aa .令xat 2sin 2=，则原不等式就是2≤+t t a.至此，若去分母，便将原问题转化为二次不等式恒成立的问题；若不去分母，应当有max )(2t t a +≥，可通过函数t tat f +=)(的最大值解决问题.解法1运用函数思想，把二次不等式022≤+-a t t 恒成立问题转化成二次函数a t t t f +-=2)(2的图象恒不在x 轴上方的问题，从而得到关于a 的不等式组，求出了a 的范围.解法2则由a a a xx 22sin22cos ≥+及22sin22cos ≤+xx a a ，得1≤a 从而得12≤≤t a .再由函数t t a t f +=)(在],[2a a 上单调减，在]1,[a 上单调增，求出了)(t f 的最大值21a a+，由2)(≤t f 恒成立，得212≤+a a ，求出了a 的范围.解法3则直接根据函数t tat f +=)(的图象，分1=a ，1>a ，10<<a 三种情形讨论，直观地求出了a 的范围. 三种解法，道出了解决恒成立问题中求参数的三种方法：解法1为函数法；解法2为最值法；解法3为图象法.当然，解决恒成立问题决不仅仅是这三种方法，比如，还有分离参数法，变更主元法，运用补集思想等.题16 函数()()122222>-+-=x x x x x f 的最小值为 ( ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2（第七届高一培训题第2题）解法1 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=11121x x x f .因为两个互为倒数的数，在它们等于1±时，其和可以取到绝对值的最小值.即当11±=-x ，即2=x 或0=x 时，()x f 的绝对值最小.又1x >，故2x =时，()f x 的绝对值最小.又()0>x f ，∴()()12min ==f x f .选B .解法2 因为1>x ，联想到1sec ≥θ，于是令θ2sec =x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，则θ2tan 1=-x . ()()()()1tan 1tan 221tan 1tan 21tan 21tan 12111222222=⋅⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+-=-+-=θθθθθθx x x x x x f ，当且仅当θθ22tan 1tan =，即2=x 时，()1min =x f .故选B .解法3 设()()1222>+-=x x x x ϕ，()()122>-=x x x g .()()()()02442222222≥-=+-=--+-=-x x x x x x x g x ϕ ，()()0>≥∴x g x ϕ.()()1≥∴x g x ϕ，即()1,f x ≥∴()1min =x f .故选B .解法4 ()()()()11211222222>-+-=-+-=x x x x x x x f .由此联想到万能公式: 22tan2sin 1tan 2ααα=+，故令02tan 1>=-αx ，则()()21tan 120sin 2tan 2f xg αααα+===>， 0sin >∴α.又1sin 1≤≤-α，1sin 0≤<α,1sin 1≥α,即()1≥x f .()1min =∴x f .故选B .解法5 1>x ，01>-∴x ，()()()()()11212121212112112=-⋅-≥-+-=-+-=x x x x x x x f 当且仅当()12121-=-x x ，即2=x 时取等号.()1min =∴x f .故选B . 解法6 1>x ，()()()11222222222222222≥+--=--+-=-+-=∴x x x x x x x x x f ，当2=x 时取等号.故选B .解法7 由22222-+-=x x x y 去分母并整理，得()022222=+++-y x y x .R x ∈ ，()()0224222≥+-+=∆∴y y ，即012≥-y ，1-≤∴y 或1≥y .1>x ，()()()012112>-+-==∴x x x f y ，1≥∴y .当1=y 时，由222212-+-=x x x ，解得()+∞∈=,12x ，()1min =∴x f .故选B .评析解法1、6、7都是运用高一知识解决问题的，其余解法都用到了不等式知识，以解法5、6最简捷.解法7运用的是判别式法.运用此法是有前提的，如果将题中限制条件“1>x ”去掉，此法总能解决问题.但有了“1>x ”的限制，此法就不一定能奏效.只有当1=y 时求出的x 的值在1>x 的范围内时，1才是最小值，否则1就不是最小值，应当另寻他法加以解决.事实上，若将此题改为“求函数()()322222≥-+-=x x x x x f 的最小值，”此法就失灵了.因为1=y 时，[)+∞∉=,32x .故y 取不到1，也就谈不上1min =y 了.若用不等式知识解：()()()221122112221221x x x x y x x x -+-+-===+---，3≥x ，01>-∴x ，()1121212=-⋅-≥∴x x y ，当且仅当()12121-=-x x ，即2=x 时取等号，但[)+∞∉,32，故y 取不到1，同样不能解决问题.此时我们可利用函数单调性解：设213x x <≤，则()()222222222222112121-+---+-=-x x x x x x x f x f ()()()()()()1121221222112222121---+---+-=x x x x x x x x ()()()()()()()()()[]()()112112112212121212121212121212212221221--+--=---+--=--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .213x x <≤ ，021<-∴x x ,()02121>+-x x x x ,011>-∴x ，012>-x ， ()()021<-∴x f x f ，()()21x f x f <，已知函数是[)+∞,3的单调增函数.()45232232332min=-⨯+⨯-==∴f y .拓展本题的函数模型实际就是()()0,0>>+=k x xkx x f ，容易证明，该函数在上单调递减，在)+∞上单调递增.于是关于其最值，我们有下面的定理已知函数()()0,0>>+=k x xkx x f ，则 ⑴当()k m m x ≤<≥0时，()x f 有最小值k 2；⑵当k n x <≤<0时，()x f 有最小值()n f ；⑶当k p x >≥时，()x f 有最小值()p f ；⑷当()r k q r x q <<≤≤时，()x f 有最小值k 2，且有最大值()(){}r f q f ,max .例如，函数()xx x f 4+=在[)+∞,1上有最小值442=；在(]1,0上有最小值()51411=+=f ；在[)+∞,3上有最小值()3133433=+=f ；在[]3,1上有最小值442=，最大值()(){}5313,5max 3,1max =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=f f . 题17 已知,,x y z R +∈，且1231x y z++=，则23y z x ++的最小值是（）A 、5B 、6C 、8D 、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题）解法1 ,,x y z R +∈ ，且1231x y z ++=，1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2323332229,2332y x z x z y x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法2 由,0a x >时有2a xx a+≥，可知 12313691112222,33369923x y z y z x x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++≥-+-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭923y z x ∴++≥，当且仅当369,,369x y zx y z ===，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法3123333923233y z y z z x x x y z z ⎛⎫⎛⎫++=++++≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 12313x y z ===，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法4 由柯西不等式，1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29≥=，当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法5 利用“三个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值”，立得32331233y zx x y z++≥=++，923y z x ∴++≥．当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法6 若α、β、γ是长方体一条对角线与相邻三棱所成的角，则222cos cos cos 1αβγ++=．,,x y z R +∈ ，且1231x y z++=，故不妨设 2222222212,,a b x a b c y a b c ==++++22223c z a b c=++（其中a 、b 、c 是长方体的长宽高）．则222222222222222222222222323y z a b c a b c a b c b a c a c b x a b c a b a c b c++++++++=++=++++++≥3+2+2+2=9，当且仅当a b c ==，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法7构造二次函数222()f t =+-+21232(111)23y z t t x x y z ⎛⎫⎛⎫=++-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,0f t ≥∴∆≤ ，即212364023y z x x y z ⎛⎫⎛⎫-++++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1231,923y z x x y z ++=∴++≥．故选D ．解法8 设123123,,m m m x y z ===，则123123111,,,1,23y z x m m m m m m ===++=123123123111111()923y z x m m m m m m m m m ⎛⎫∴++=++=++++≥ ⎪⎝⎭．故选D ．评析解法1、2、3、4、5、8都是利用一些重要的基本不等式解决问题的．解法6、解法7分别通过构造长方体、函数将原问题转化，根据图形特征解决问题．根据解法2的思路，很容易得下面的错误解法：123123,,,,,,,,,2(1),2(2),2(3),2323y z y z x y z R x R x x y z x y z++∈∴∈∴+≥+≥+≥ 1231232226615,23y z x x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++≥-+-+-=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭min 523y z x ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭．故选A ．错误原因就在于（1）、（2）、（3）式取等号的条件分别是1,2,3x y z ===，而此时1233x y z++=，与已知矛盾．故23y z x ++取不到5．拓展本题可作如下推广：推广1 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且12121n na a a x x x +++= ，则21212min n n x x x n a a a ⎛⎫+++=⎪⎝⎭ ．证明 121212121212n n n n n n x x a x x x x a a a a a a a a x x x ⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2n n n ≥=，当且仅当12121n n a a a x x x n==== 时取等号．21212min n n x x x n a a a ⎛⎫∴+++= ⎪⎝⎭ ．推广2 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且1212n na a a k x x x +++= ，则21212min n n x x x n a a a k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ．证明121212121n n n n x x x x x xk a a a k a a a ⎛⎫+++=⋅+++⋅ ⎪⎝⎭121212121n nn n x a x x a a k a a a x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21n n n k k ≥⋅=，当且仅当1212n n a a a k x x x n ==== 时取等号．21212min n n x x x n a a a k ⎛⎫∴+++=⎪⎝⎭ ．推广3 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且1212n na a a k x x x +++= ，则212min 1()n x x x k+++=．证明 1212,n na a a k x x x +++=∴运用柯西不等式有 121212121211()()n n n n n a a a x x x x x x k x x x k k x x x ⎛⎫+++=⋅+++⋅=++++++ ⎪⎝⎭2211k k≥=+ ，===12n=== 时取等号．212min 1()n x x x k∴+++=+ . 根据推广1、2，立得本题所求最小值为9．由1231x y z ++=，得111123y zx ++=．根据推广3，219231y z x ++≥=23==，即3,6,9x y z ===时取等号．min 923y z x ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭．故选D ．再看一例：例已知,,x y z R +∈，且2475x y z++=，求274y x z ++的最小值．解由2475x y z ++=，得41495274y x z ++=．根据推广3，21272045y x z ++≥=．当且仅当24y x ==，即2,8x z y ===时取等号．min27204y x z ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭．题18 设b a y x ,,,为正实数，b a ,为常数，且1=+ybx a ,则y x +的最小值为_______. （第十一届高二培训题第36题）解法1 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin ,cos 22ααyb xa则=+=+αα22csc sec b a y x αα22cot tan b a b a +++ab b a 2++≥，当αα22cot tan b a =，即4tan baα=时取等号， ab b a y x 2)(min ++=+∴.解法2()ab a y b xx x y x y a b a a a bx y xy ⎛⎫+=++=+++≥++++ ⎪⎝⎭当且仅当ay bx x y=时取等号,ab b a y x 2)(min ++=+∴. 解法3令,m n ==则222m n m n m n ⋅=⋅≥⋅ ，()a b x y x y ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭2)b ，即ab b a y x 2++≥+，当且仅当m 、→n 共线，即当λ=，亦即bay x=时取等号，ab b a y x 2)(min ++=+∴. 解法422())a b x y x y b a a bx y ⎛⎫+=++≥==++ ⎪⎝⎭当且仅当yb y x a x =，即b ay x =22时取等号，ab b a y x 2)(min ++=+∴.解法5 设k y x =+，即x k y -=，代入1=+ybx a ，得0)(2=+--+ka x k a b x ， +∈R x ，由0≥∆，得b a k +≥ab 2+或ab b a k 2-+≤（舍去）．由0=∆，求得)(b a a x +=，)(b a b x k y +=-=，bay x=∴时，ab b a y x 2)(min ++=+. 解法6 +∈R b a y x ,,,且1=+yb x a ⇒10<<x a ，10<<y b⇒0>>a x ，0>>b y ,故设μ+=a x ，ν+=b y )0,(>νμ代入1=+ybx a ，得ab =μν（定值），ab b a b a b a y x 22++=++≥+++=+∴μννμ，当且仅当ab ==νμ，即baab b ab a y x =++=时取等号，ab b a y x 2)(min ++=+∴. 解法7 由解法6知0>>a x ，0>>b y ，记y x k +=①，由1=+ybx a ，得a x bx y -=，代入①可得+-+-=ax aba x k )(ab b a b a 2)(++≥+，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=-0a x a x ab a x，即x a =ab b y +=，∴当bay x =时，ab b a y x 2)(min ++=+. 解法8 如图，在平面直角坐标系XOY 中，由己知条件+∈R b a y x ,,,及1=+y b x a 知直线1=+yYx X 过第一象限内的定点),(b a P ，y x +便是该直线在两坐标轴上的截距之和. 如图所示，设α=∠BAO ，则α=∠BPC ，由图可知)0,(x A ，),0(y B ，cot x OA a b α==+，tan y OB b a α==+．ab b a a b b a y x 2tan cot ++≥+++=+∴αα，当且仅当cot b a α=，即tan baα=时取等号，∴ab b a y x 2)(min ++=+. 解法9 在平面直角坐标系XOY 中，设过定点),(b a P 的直线方程为)(a X k b Y -=-，易求得直线在X 轴与Y 轴上的截距分别为kba x -=，ak b y -=， ()b x y a b ka k ⎛⎫∴+=++-+- ⎪⎝⎭．0k < ，0>-∴k b ，0>-ka ，故x y a b a b +≥++=++⎪⎩⎪⎨⎧<-=-0k kb ka ，a b k =2时取等号， ∴ab b a y x 2)(min ++=+.解法10 由己知，得0=-+xy ay bx ，即0=--ay bx xy ，xy bx ay ab ab ∴--+=,即ab b y a x =--))((，又由)(a x y ay xy bx -=-=，)(b y x bx xy ay -=-=得0>-a x ，0>-b y ．如图，设四边形ABCD 是长方形，令AD=a x -，AB=b y -，则ABCD S ab =（定值），由于面积为定值的长方形中，正方形的周长最小，于是可得ab b y a x =-=-，ab a x +=，ab b y +=，ab b a y x 2++≥+∴，当且仅当ab a x +=，abb y +=时，ab b a y x 2)(min ++=+.评析考虑到+∈R b a y x ,,,且1=+ybx a ，解法1运用三角代换，是常用方法. 两个正数的积为定值，则和有最小值，解法2将y x +改写成()a b x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭，使之可运用这一结论求最值，这是一种常用的技巧.解法3构造向量求最值，使得新教材中向量这一工具得到应用，虽然解法并不很简单，但其意义仍不应低估.柯西不等式在数学竞赛中占有很重要的地位，解法4表明，运用柯西不等式解题十分方便.解法7表明，运用均值不等式求最值，应注意“一正二定三相等” ，重视配凑技巧的运用．美国著名数学教育家玻利亚说过，“对于一个非几何问题，去找一个清晰的几何表达式，可能是走向解答的重要一步”．解法8、9、10正是这样做的．充分挖掘代数问题的几何背景，构造适当几何图形，运用数形结合的思想，常常可以收到意想不到的解题效果，同时也可培养我们的发散思维和创造性思想的能力．拓展此题可作推广：推广己知正常数n a a a ,,,21⋅⋅⋅，以及正实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅（2,≥∈n N n ），且12221=+⋅⋅⋅++n n x a x a x a ，则当且仅当=121a x n n a x a x2222⋅⋅⋅=时，n x x x +⋅⋅⋅++21取得最小值2⋅⋅⋅．读者可参照解法4，利用柯西不等式自己证明该推广，此处不再赘述．题19 如果1=++c b a_______．(第八届高二第一试第19题)解法1 设13+=a x ，13+=b y ，13+=c z ，z y x t ++=，则 2t =222z y x ++zx yz xy 222+++≤22(3y x +)2z +=)131313(3+++++c b a =]3)(3[3+++c b a 18=，23≤∴t ，当且仅当31===c b a 时取等号，∴max 23= ．解法22222113()333a b c +++++≤=⎝⎭2=23≤，当且仅当31===c b a 时取等号．。

希望杯第十至第十五届四年级题目

观察下面的计算:
81 =8,82 =64,83 =512,84 =4096,
85 =32768,86 =262144,87 =2097152,88 =16777216,…
则82012 除以10,得到的余数是
.
3.如果 6 个连续奇数的乘积为 135135,那么这 6 个数的和是
弹 ;用手枪射击 ,发14 发子弹 ,每击中靶心一次奖励4发子弹 .小王用步枪射击 ,
小李用手枪射击,当他们把发的和奖励的子弹都打完时,两人射击的次数相等.
如果小王击中靶心 30 次 ,那么小李击中靶心
次.
19.东方红小学 2012 年的升旗时间因日期的不同而不同 .规定 :
15.甲,乙两个商场推出迎新年优惠活动,甲商场规定:“每满 200 元减
101 元 .”乙商场规定 :“每满 101 元减 50 元 .”小明的爸爸看中了一双标价
图3
699元的运动鞋和一件标价 910 元的羊毛衫,这两类商品在两个商场都有
销售.问:怎么买更便宜呢? 共需多少钱? 请说明理由.
1 月 1 日到 1 月 10 日 ,恒定为早晨 7:13;
图4
1 月 11 日到 6 月 6 日 ,从早晨 7:13 逐渐提前到 4:46,每天依次提前 1 分钟 ;
6 月 7 日到 6 月 21 日 ,恒定为早晨 4:46. 6 月 22 日到 11 月 16 日 ,从早晨 4:46 逐渐推迟到 7:13,每天依次推迟 1 分钟 ;

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
ﻩ
ﻫ
ﻫ
ﻫ
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫ
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫ
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫHale Waihona Puke ﻫ第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ ﻫ ﻫ
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试
ﻫ ﻫ
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试
ﻫ ﻫ ﻫ
ﻫ
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫ
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
ﻫ ﻫ
第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ ﻫ
第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
ﻫ ﻫ
第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ ﻫ
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试

第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理

A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、组填空题（每题分，共分） 11 ．已知函数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E

关于公布第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高中福州赛区(初一年)获奖

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛福州赛区获奖名单各县（市）区进修校，市属中学、县（市）区属中学，各私立学校：第十九届“希望杯”全国数学邀请赛决赛于4月13日进行，经评选，共评出，七年级：一等奖3名、二等奖24名、三等奖277名，共304名；高一年：一等奖1名、二等奖9名、三等奖105名，共115名。

特此表彰。

附件：获奖名单福州教育学院二○○八年六月十二日附件：获奖名单七年级一等奖学校学生姓名指导教师学校学生姓名指导教师闽清天儒中学林坚黄祥凤三中金山校区刘甫晟林如福州十八中学林煌翔韩振卿二等奖闽清天儒中学何常强黄运杰闽清天儒中学黄拔炜黄祥凤福州延安中学周立康周惠艳福州教院附中余毅锟刘宏图福州十九中学卢皓川陈中华福州二十四中薛斯斯陈永清罗源第三中学林子昂林水娟福州时代中学卞文杰范达铭闽清城关中学陈国锴黄学声闽清天儒中学吴虹燕林文俊罗源第三中学于召新黄兆文永泰第一中学温光耀金建瑜福州三牧中学杨亦萍蒋燕敏福州屏东中学蔡兆毅林峰罗源第三中学叶子桐黄菁福清融城中学高思坦洪晶福州华伦中学任琰胡春来福州十九中学陈嘉璇陈中华福州时代中学李健行吴婷华南实验中学林友城余雪芳连江启明中学郑书涵翁孝团闽侯尚干中学林锦林文福州第十中学练文钦薛正森长乐华侨中学官明正陈春燕三等奖闽清天儒中学林涌燊林乐礼闽清天儒中学赖昌勤林乐礼福州时代中学朱睿吴婷连江启明中学何宇翁孝团连江凤城中学叶韫盛郑本蛟福清融城中学吴镇邦卢青冰福州十九中学陈炜捷陈中华闽清城关中学刘雨忱黄声锋福清融城中学薛晨韬洪晶福州第一中学陈景林孙学文福州延安中学王学灿欧之海闽清天儒中学俞杭王向平福州十九中学洪伟峻陈中华福州十八中学柯薇陈英闽清城关中学黄淮锐陈绍坦闽清天儒中学张维洵林文俊2闽清天儒中学陈涵林乐礼福州民族中学郑承捷张秀春福清融城中学何华强洪晶福州屏东中学陈舒晴胡碧莲福州延安中学蔡晶晶钟奇汉闽清天儒中学雷华钊许力科福州民族中学魏弋莘肖周宜福州民族中学赵艳兰李雁峰福清文光中学何敏哲李加良福州教院附中刘瀚文刘宏图福州三牧中学王琰君蒋燕敏福州三牧中学张浩宇黄霖明福州十八中学林镔陈英福州十九中学陈泓铮陈中华福州民族中学雷小芳黄兆英福清文光中学吴茂恺倪明罗源第三中学郭丽超尤芳福清林厝中学何善财陈训育福清文光中学关玮郭小荣福州屏东中学刘思佳陈鸿燕四中桔园洲中学张捷谢小鹏福州第一中学丁运胡舒婷福州二十四中王玮璇陈雯罗源第三中学陈旭林书宝福清元洪高级中学林梦媛林华云福州三十六中瞿宜聘叶坤瑞福州三牧中学姜之麒刘姝福州十八中学叶欣杰陈英福州时代中学杨志灿林晶长乐华侨中学林雨陈肇清长乐朝阳中学郑师宜郑娟长乐旒峰中学陈香翔林秋锦闽侯淘江中学林嘉乐黄慧敏福州杨桥中学林翔陈清松福州励志中学陈晗陈兴林罗源第三中学黄天旭陈继盛福清文光中学吴希峣俞建枝闽侯淘江中学林成伟庄芳芳福州华伦中学刘因胡春来福州二十四中陈佳丽陈建虹长乐吴航中学陈文韬滕晖长乐华侨中学吴艺鸣曾兰娟长乐吴航中学陈董欣王家利福州民族中学胡佳美郑强国罗源第三中学沈伟烨纪建新福清融城中学姚莹卢青冰连江启明中学林汉钊张立群闽侯淘江中学张炀阳张金清3永泰城关中学张维泰董坤兴永泰城关中学陈冲温洪想福州华伦中学吴旭胡春来福州华伦中学章磊胡春来福州日升中学林星游林新云福州十一中学张铁男王淋淋福州屏东中学杨添胡碧莲福州十八中学陈氷枭韩振卿福州民族中学杨起伟邢玉桃罗源第三中学宁潇林晓艳福清文光中学吴彦李加良连江凤城中学孙昌炽郑本蛟闽侯青圃中学林烨芳陈望忠闽侯淘江中学蔡辉张金清福州华伦中学陈君豪魏正余福州第七中学陈祥马利榕长乐朝阳中学林升陈长春长乐朝阳中学陈隆陈锦福州民族中学兰进斌陈耀福清高山中学陈恺亮林文志福清港头中学王丁祥郑姗姗元洪高级中学俞涵林华云连江启明中学陈晗翁孝团闽侯沪屿中学叶宇翔戴荣闽侯实验中学张子钊江连顺永泰第一中学林星张田夫永泰云山中学徐华泉刘春启福州教院附中范思林刘宏图福州黎明中学林良哲叶李花福州英才中学张成旺郑其鉴福州第十五中陈志腾郑雪丽福州励志中学孙朝炜陈兴林福州第十四中林淑婷康萍福州第十八中林伊陈英福州民族中学谢健江郑卫福清文光中学陈凯頔李加良连江启明中学林婷张立群闽侯白沙中学李婷婷徐振明闽侯淘江中学黄伟张金清闽侯虎峰中学林帅斌林瑞新闽侯尚干中学林嘉乐林文师大文博附中李羚朱本辉师大二附中欧江皓林礼贤长乐航城中学张端鸿黄瑞贞长乐朝阳中学林芳婧郑娟福清文光中学潘冠星俞建枝福清文光中学方舟郭小荣元洪高级中学郑婷婷林华云4福清融城中学林意君魏荣福清西山学校陈佳虹饶爱红福清高岭中学林小峰陈龙锦闽侯竹歧中学陈成汉陈玉华闽侯淘江中学吴津津庄芳芳闽侯青圃中学林茂宇施文坚福州华侨中学陈鸿辉陈樟福州第十一中李钧霆陈勇福州第十一中陈卓诺王淋淋福州励志中学刘昕晨陈兴林福州第十八中王轩吴理品福州外国语学校陈泓静郑球福州外国语学校林海烽郑球福清文光中学陈昕苑郭小荣连江启明中学曾骁翁孝团闽侯荆溪中学李梦男洪雪琴闽侯实验中学程序周谟铝阳光国际学校胡宁宁于霞福州二十九中曾铎祥李旭辉福州二十九中朱钰涵李旭辉长乐文武砂中林祥林伟真罗源鉴江中学江舒婷黄锦锋福清城头中学张海威林碧强福清文光中学魏佳伟俞建枝福清文光中学周瑸俞建枝福清文光中学魏模俊郭小荣福清元樵中学陈翔周秀亮福清芦华中学余良武林泽平福清融城中学何庚洪晶福清融城中学方祥兴洪晶福清融城中学林瑜斌洪晶连江启明中学石世纪陈祖强连江启明中学方仪罗惠钦连江透堡中学郑国瑞杨维铨闽侯良存中学林凯赵浩飞闽侯沪屿中学叶澍戴荣福州外国语学校刘宏杰郑球福州三十六中张嘉梁陈英平闽江学院附中汪鸿鸣郭妮亚福州黎明中学张嘉蕾郑明辉师大文博附中许书城朱本辉福州第十中学林耀王杏灵长乐朝阳中学黄恒意陈碧莺福清华侨中学林星垂谢铖斌福清第二中学薛宇航陈霞英闽侯大义中学陈标黄晓英永泰云山中学卢圣添刘春启永泰东洋中学邓国栋黄朱健5福州黎明中学江飞龙郑明辉师大文博附中郑垚朱本辉长乐朝阳中学刘剑豪陈碧莺长乐营前中学林锦李增灵长乐长乐二中陈贤钦叶玉娟罗源三和中学陈文凯薛丹丹罗源第二中学王小平陈朝云福清宏路中学倪坤庄章勤福清宏路中学林凡超庄章勤福清文光中学张宇翔郭小荣福清第二中学陈源韬梁世旺福清芦华中学郑青杰林泽平福清融城中学江友浜吴伟强福清融城中学李凌燕颜少云福清西山学校唐志洋王丹平永泰城关中学叶绍煜刘雪琴永泰城关中学张玲珠温洪想永泰云山中学郑宏波胡灿礼福州黎明中学陈婷郑明辉福州杨桥中学严潘心陈巧香教院二附中王锦波吴亚琼福州励志中学李鑫陈兴林福州励志中学林可馨陈兴林华南实验中学陈文凯黄焰师大文博附中许明侯素芳永泰城关中学檀灵潇范思忠福州第七中学陈志凌马利榕福州三十二中杨嘉伟林力福州二十九中谢周锦李旭辉长乐航城中学高林耿冯丽华长乐长乐二中陈灵陈黎航长乐华侨中学陈震东曾兰娟长乐吴航中学林子荐江秀英福清育才中学翁佳辉郑丽明江兜华侨中学翁松健翁英胜福清民乐中学陈杰郑峰福清临江中学林晓鑫严松发连江凤城中学林圳锋方圆永泰城关中学鲍霖寰董坤兴永泰城关中学王岩董坤兴永泰二十一中卢祯标卢进林永泰霞拔中学章忠铧卢仲济永泰第十五中鄢武张彩霞福州黎明中学温玮昊李国钦福州三十八中倪萍宋文献福州三十八中王特特吴丹岚福州铜盘中学张鸿万潘琍师大二附中魏淑倩林礼贤6罗源第二中学林钧余宁平永泰第一中学林璇蒋何兴福州第七中学许黄敏马利榕福州三十二中余敏林力福州二十四中刘宇镕陈建虹福州二十四中张晨琦陈建虹福州二十九中廖典鹏李旭辉长乐营前中学林峰郑学钦连江兴海学校蔡丽清刘红艳永泰十五中学张利城张彩霞格致鼓山校区蔡莹莹赵丹丹福州第七中学潘星辉彭金祥福州二十四中陈锦添吴件灯福州第四十中林振张惠萍永泰城关中学吴梧鸿林瑞云永泰第一中学张铭丰张祖冬福州三十七中潘鑫婷林文忠八中鳌峰初中卞潇煜林巧燕福州四十一中李昌润林花长乐华阳中学杨星李心超长乐农业中学林星辉候能辉长乐感恩中学刘权陈锦风连江蓼沿中学黄志华汤展潘永泰三洋中学鲍家潮王德程永泰盘谷中学吴晓婷方国财永泰永泰二中郑梅影张洪雅永泰葛岭中学林锦侯明容福州十六中学林泽暄陈国光十八中象园分校周承尧陈晓东福州秀山中学庄庆胜黄家强福州秀山中学冯帆邓赐荣福州十二中学严华伟王德贵福州则徐中学陈芷琼郑伯熙福州二十四中张宜佳陈雯福州二十四中陈安钰谢源波福州第四十中陈宏张惠萍长乐沙京中学文静刘义敏长乐长乐四中林炳辉邱德祥闽江学院附中李铖姜裕晓福州第十六中郑丁榕池贤云福州第十五中魏佳代庄澂福州第十四中张望鹏康萍福州第十中学林滢王杏灵长乐三溪中学陈英黄文标黄如论中学郑榕鹏吴灵强福州英才中学林辉吴燕福州第十二中叶煌王德贵连江明智学校林子思廖均启7连江琯头中学赵航杨银妹福州第十六中赵颖余铿俤`四中桔园洲中学阮文烽王玲娟福州鼓山中学陈阳林东升黄如论中学谢昂谢承才连江树德学校郑焱辉唐得成连江官坂中学林宁叶贤潜连江树德学校吴雅珍严金文福州亭江中学张希园魏秀宗长乐金峰中学王振李秀青连江晓澳中学林飞林威八中鳌峰初中黄文艳林巧燕长乐城关中学邹冠义林豪长乐第五中学游超男陈洲平福州第六中学林源烨江华福州三十四中黄舜晖陈成铨长乐漳新中学林云钦柯维福州格光中学王曜林翔福州二十二中林鑫许兰英长乐朝阳中学张可奇郑鑫金桥高级中学（闽）夏耿毅陈碧高一年级一等奖学校学生姓名指导教师福州第一中学苏钧王欣二等奖福州第一中学刘庆航高东光福州第一中学许鹏辉范思乡福州第一中学林锦帆石先兵福州第一中学陈翰轩石先兵福州第一中学罗玫陶文平福州第一中学黄嘉曌陶文平福州第一中学董泳森黄炳锋福建师大附中黄申石连信榕福清第一中学周汀陈贻康三等奖8福州第一中学林健夫高东光福州第一中学曾溦马俊祥福州第一中学罗海韬黄炳锋罗源第一中学欧国标巫智杰福州第三中学徐刘彬黄炳锋长乐第一中学刘景泽陈永河福清第一中学周伟鹰陈贻康福建师大附中陈舒扬连信榕福州第八中学陈含涛陈文清长乐第一中学郑建潮许尚雄福建师大附中张心祥连信榕福州第七中学王树鹏王光英福州第八中学王翔王芳玲闽清第一中学林立财张和生金桥高级中学（福）邱画谋林岳水罗源第一中学沈文锋郑文雄福州第三中学庄煜昕葛晓杭长乐第一中学柯梢柏吴丽娜福清第一中学林小青陈贻康闽侯第一中学陈彦顺邹华生福清第三中学王长停高国祥福州第三中学王君行黄炳锋长乐第一中学江春辉陈永河福清高山中学林华陈天明福清华侨中学王建武陈天明福清第一中学陈宇明陈贻康福清第一中学张宇澄陈贻康福州格致中学陈柯任李颂京闽清第一中学庄忠秋张和生长乐第一中学林昶咏连佳福清第一中学翁才营陈贻康闽侯第三中学池存杰林锦霞闽侯第一中学林景煌邹华生闽清第一中学林楠张和生闽清第一中学林世杭张和生长乐第一中学林宇鹏许尚雄罗源第一中学张朝钧肖永伙长乐第一中学刘志鸿许尚雄福清第三中学施磊何艇福州第三中学李睦尧黄炳锋福州第三中学吴柯黄炳锋师大文博附中刘玉冰李建娇福州第八中学李滢宋长芬长乐第一中学陈恩连佳福州第三中学林燕黄炳锋福州第三中学熊涛黄炳锋福州高级中学林晨辉高岚龙长乐第七中学江明敬陈依秀9罗源第一中学黄思辰范学基福清虞阳中学胡浩然汤小梅福州第二中学文理峰廖晓庆福州第八中学郑良栋宋长芬永泰第一中学何培颖郑莎莎福州第三中学郑可明郑文祺福州第三中学阮悦葛晓杭福州第三中学林荔菲黄炳锋永泰第二中学林登樟陈俊斌福州华侨中学林希聪郑笑容福州第八中学王超陈文清福州第八中学郑春晨陈文清福州第四中不余昌嵩陈清福州民族中学林子澍丁金萍罗源第一中学卓义斌张昊福州第十八中林潇龙王华长乐华侨中学陈彩枫郑敏惠永泰第一中学黄栋陈小丹福州格致中学王子剑郑鹏宇闽侯第三中学范体权林锦霞福州高级中学高宇奕高岚龙闽侯第一中学方威张少芬闽侯第一中学潘登辉潘榕永泰第二中学林泽贵张智灿福州第八中学吴闽星周平罗源第一中学林齐勇孔敬锋福清华侨中学陈涛陈天明师大文博附中王劲淳马耀新阳光国际学校倪隆成唐雅英福清虞阳中学游桂辉张玉婷福州高级中学叶剑飞高岚龙福州民族中学陈文强吴才升福州教院附中王昱熠邵鸣福州城门中学林高威林艳福州第十八中林逸群薛怀维师大二附中王放赵芯元洪高级中学陈慧辉方霞福州华侨中学林水燕江智春福州第十一中黄林隽陈娟金桥高级中学（闽）林超石先兵长乐高级中学郑彬彬陈乐福州第十八中黄海坡薛怀维福州第七中学池丽英王光英长乐第二中学陈霖陈居秀永泰第一中学卢海良林志敏外国语学校郑学诘桑广田永泰第三中学黄晨锋鄢行海福州第十五中郑行霄吴彩凤10福州第十八中刘晓龙文自强福州第四十中陆宜炜张美兰长乐华侨中学高霄郑敏惠永泰城关中学卢锦清范少华三中金山校区何江龙林继枫三中金山校区肖志刚严飞焰外国语学校唐伟桑广田格致鼓山校区郑嘉韡陈达辉闽江学院附中方绪彬上官翰明11。

第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛培训题(四年级)

14． a ， b ， c 是彼此不同的非 0 自然数，若 a b c = 6 ，求四位奇数 aabc 中最大的那个．
15．三位数 abc 是质数， a ， b ， c 也是质数， cba 是偶数， ab 是 5 的倍数，求三位数 abc ．
16．求被 7 除，余数是 3 的最小的三位数．
17．求被 7 除，余数是 4 的最大的四位数．
45．数一数，图中有多少个三角形？
46．数一数，图中有多少个长方形（包含正方形）？
47．数一数，在图 12 中的不同位置可以画出多少个图 13 所示的图形？（方向可以旋转）
48．图 14 由 10 个相同的小正方形组成，请用三种方法把它分割成两个大小相等、形状相同的部分（沿图中的线分割）．
49．将图中的〇分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻〇涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？
42．晶晶家门牌号码满足：（1）若是 4 的倍教，则它就是 60 ～ 69 中的数；（2）若不是 5 的倍数，则它就是 70 ～ 79 中的数；（3）若不是 8 的倍数，则它就是 80 ～ 89 中的数．晶晶家的门牌号码？
43．数一数，图中有多少个三角形？
44．数一数，图中包含“☆”的长方形（包含正方形）有多少个？
21．四位数 abbc 可被两位数 ac 整除，若 a c ， a c 5 ，求 b ．
22．在下面的算式里加上一对括号，使算式成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
23．在等号左边添上适必的运算符号、括号，使等式成立． 9 9 9 9 8a
78．某单位请小王临时帮忙，规定 12 天报酬是人民币 660 元和一个 MP4 播放器．可是小王工作了七天后，因有急事不能继续，结果这个单位根据每天平均值给小王一个 MP4 播放器和人民币 150 元．问：一个 MP4 播放器价值多少元？

五年级下册数学竞赛奥数试题-2018年第15届希望杯邀请赛第1试试卷

五年级下册数学竞赛奥数试题-2018年第15届希望杯邀请赛第1试试卷2018年⼩学第⼗五届“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试试题以下每题6分，共120分。

1、计算：1.25×6.21×16＋5.8＝。

2、观察下⾯数表中的规律，可知x＝。

3、图1是⼀个由26个相同的⼩正⽅体堆成的⼏何体，它的底层由5×4个⼩正⽅体构成，如果把它的外表⾯（包括底⾯）全部涂成红⾊，那么当这个⼏何体被拆开后，有3个⾯是红⾊的⼩正⽅体有块。

4、⾮零数字a，b，c能组成6个没有重复数字的三位数，且这6个数的和是5994，则这6个数中的任意⼀个数都被9整除。

（填“能”或“不能”）5、将4个边长为2的正⽅形如图2放置在桌⾯上，则它们在桌⾯上所能覆盖的⾯积是。

6、6个⼤于零的连续奇数的乘积是135135，则这6个数中最⼤的是。

7、A，B两桶⽔同样重，若从A桶中倒2.5千克到B桶中，则B桶中⽔的重量是A桶中⽔的重量的6倍，那么桶B中原来有⽔千克。

8、图3是⼀个正⽅体的平⾯展开图，若该正⽅体相对的两个⾯上的数值相等，则a—b×c的值是。

9、同学们去春游，带⽔壶的有80⼈，带⽔果的有70⼈，两样都没带的有6⼈，若两样都带的⼈数是所有参加春游⼈数的⼀半，则参加春游的同学有⼈。

10、如图4，⼩正⽅形的⾯积是1，则图中阴影部分的⾯积是。

11、6个互不相同的⾮零⾃然数的平均数是12，若将其中⼀个两位数ab换成ba，（a，b是⾮零数字），这6个数的平均数变成15，所有满⾜条件的两位数ab共有个。

12、如图5，在△ABC中，D，E，分别是AB，AC的中点，且图中两个阴影部分（甲和⼄）的⾯＝。

积差是5.04，则S△ABC13、松⿏A，B，C共有松果若⼲个，松⿏A原有松果26颗，从中拿出10颗平均分给B，C，然后松⿏B拿出⾃⼰的18颗松果平均分给A，C，最后松⿏C把⾃⼰现有的松果的⼀半平分给A，B，此时3只松⿏的松果数量相同，则松⿏C原有松果颗。

第十五届高中数学希望杯竞赛

第十五届（2004年）“希望杯”全国数学邀请赛高一第2 试一、选择题1．已知集合{ | cos , }2A y y x x Nπ= = ∈，{ | sin , }4B y y x x Nπ= = ∈，则A、A ⊃ BB、A ⊂ BC、A = BD、A∈ B2．若a+m=b+n=c+p=d+q，其中m< 0,n>0,p<0,q>0 ，且m>p那么a,b,c,d 中最大的是A、aB、bC、cD、d3．“a≠b且b≠c”是“a≠c”成立的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件4．已知a,b,c,d 都是整数，且x<2b,b<3c,c<4d,d<50，那么a 的最大值A、1157B、1167C、1191D、11995．设x, y 是任意两个正奇数，且x > y ，若k 总能整除x2−y2，则k 的最大值是A、2B、4C、6D、86．若lg |x|+| tan x|=0 ，则x 的个数是A、0B、1C、2D、37．数列{ } n a 的通项20042008 na nn−=−，在此数列的前50 项中，最大项和最小项依次是A、第1 项和第50 项B、第50 项和第1 项C、第45 项和第44 项D、第44 项和第45 项8．等比数列sec , sec , sec3 3 2 3 3ππθπθ+ θ+ + 的公比是A、1/6B、1/3C、1/2D、19．已知函数f(x) = (x+1)2 ，若存在实数t ，使得f(x+1)≤x在x ∈[1，m ]时成立，则m的最大值是A、2 B、3 C、4 D、510．已知集合M 是满足下列条件的函数f(x)的全体：①当x∈[0,+∞) 时，函数值为非负实数②对于任意s,t∈[0,+∞)，橙子奥数工作室录入暗记，都有f (s)+ f (t)≤ f (s+t)．在函数1 2 3 f (x)=x, f (x)=2x−1, f (x)=ln(x+1)中，属于M 的有A、1f (x) 和2f (x)B、1f (x) 和3f (x)C、2f (x) 和3f (x)D、1f (x) 、2f (x) 和3f (x)二、填空题11．若对于任何非零实数a 和b ，有f(ab)= f(a)+ f(b)，则f (1) = _____．构造一个满足前面条件的函数，它的解析式是f(x) = __________．12．直角坐标平面内横、纵坐标都是整数的点称为格点．将半径为2 的一个圆片平放在直角坐标系内，让它随意移动，它盖住的格点最多有_____个，最少有_____个．13．生物小组的一位同学发现随着气温的升高，蟋蟀每分钟的鸣叫次数也在逐渐增加．他每隔1 °C 记录一次，下面是其中的四组数据，有两个已经模糊不清了，但是他知道记录的数据成等差数列．则表格中的数据A=_____，B=_____．鸣叫次数（次/分）8 29 B 89温度（°C）9 A 20 3614．设{a n}是集合，橙子奥数工作室录入暗记，{2s+ 2t+2r| 0≤s<t<r且r,s,t ∈N}中所有的数从小到大地排成的数列，则5 a = __________，50 a = __________．15．等差数列{ } n a 的前n 项和为n S ，若3 6 S= 21,S= 24 ，则公差d = _____，数列{| |} n a 的前50 项的和是_____．16．直角坐标平面内直线l 上所有的点构成的点集是A，将A 中所有的点左移4 个单位再下移5 个单位后得点集B，若恰有集合A=B，直线l 与x 轴成锐角θ，则tanθ= _____．17．n 个向量的和为零向量，若其中一个向量的坐标为（3，4），则其余n −1 个向量的和的模是_____．18．已知函数f(x)= |x2 +bx+c| 在[0，2]上的最大值为t ，当b,c变化时，t 的最小值是_____．19．In a certain formula, p is directly proportional to s and inversely proportional to t . If p = 2 whens = 15 and t = 2.5 , what is the value of p in terms of t and s ? Answer:__________．20．一个小于15 个正整数，被4 除余2，被5 除余1，这个数是_____．三、解答题21．已知数列：{ } n a 中， 1 2 n n a a n −= + （其中n 是大于1 的整数）⑴若{ } n a 是等差数列，求{ } n a 的通项公式．⑵{ } n a 能否为等比数列？若可能，求其通项公式；若不能，请说明理由．22．不等式(−2)x a−3x−1−(−2)x<0对于任意正整数x 恒成立，求实数a 的取值范围．23．如图，一块边长为20cm 的正方形铁片ABCD 已截去一个半径为r cm（r ∈(0, 20] ）的扇形AEF（1/4 个圆），用剩下的部分截成一个矩形PMCN，怎样截可使此矩形的面积最大？最大面积是多少？__（广西、山东、宁夏、海南卷）（2005年）一、选择题1．命题p:∅∈{∅}；命题q : 若A = {1, 2} ，B={x|x⊆A}，则A∈ B ，那么A、p 真，q 假B、p 真，q 假C、p 假，q 真D、p 真、q 假2．设集合| 1, , | 1, , | 1,2 4 4 8 8 4M =⎧⎨x x=k+ k∈Z⎫⎬N=⎧⎨x x=k+ k∈Z⎫⎬P=⎧⎨x x=k+ k∈Z⎫⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则A、M ∪N=PB、M ∩N=PC、M ∩P=ND、M ∩N=M3．已知关于x 的不等式6 01ax bx+ + >−（a,b∈R）的解集为（−2，−1）∪（1，+∞），则a+b=A、3B、4C、5D、64．下列函数中，值域为R+ 的是A、y = 2−|x−1|B、y=3x+1（x > 0 ）C、y=x2 +x+ 2D、2y 1x=5．偶函数f(x)（x ∈R ）满足f(−4) =f(1) =0，且在区间[0，3]与[3，+∞]上分别递减和递增，则不等式，橙子奥数工作室录入暗记，x3 f (x) <0的解集为A、(−∞,−4)∪(4,+∞)B、(−∞,−1)∪(1,4)C、(−∞,−4)∪(−1,0)D、(−∞,−4)∪(−1,0)∪(1, 4)6．已知直线l,m与平面α，则l // m 的一个充要条件是A、l,m与α等角B、l⊥α,m⊥αC、l//α,m//αD、l⊥α,m//α7．Four people: A,B,C and D are accused in a trial. It is known that⑴if A is guilty ,then B is guilty ⑵if B is guilty ,then C is guilty or A is not guilty ⑶if D is not guilty ,then A is guilty and C is not guilty ⑷if D is guilty ,then B is not guiltyhow many of the accused are guilty ? Answer:A、2B、3C、4D、Insufficient information to determine8．已知1 2 3 1 2 3 f (x) =x+1, f (x) =2x, f (x) = −3x+5,F(x) =min{f (x), f (2), f (x)}，则F(x) 的最大值是A、1B、2C、4D、39．P 是四边形ABCD 所在平面外一点，若点P 到四边形各边的距离相等，则四边形ABCD 是A、正方形B、菱形C、梯形D、两组对边之和相等的四边形10．可将空间分成15 个部分的平面的个数至少是A、3B、4C、5D、6二、填空题11．设集合A={1，2，3，4，5，6}，则从A 到A 的映射f 有___个，其中满足f(a) ≥a的映射有___个．12．正四棱锥P −ABCD 的侧棱长及底面边长均为a ，点M 是侧棱PA 的中点，点N 是侧棱PB 上的一个动点，点T 是底面ABCD 内的一个动点，则MN+NT 的最小值是_____．13．已知正四棱锥的底面积为m ，侧面积为n ，则它的体积等于_____．14．函数，橙子奥数工作室录入暗记，y=3x2−6x+2 2x−x2+4的最大值为_____，最小值为_____．15．如果△ABC 边上的点的坐标(x, y)在映射f: (x,y)→(2x+2,2y−5) 的作用下的象的集合所对应的图形是△A'B'C'，已知△ABC 的面积为6，则△A'B'C'的面积等于_____．16．Let a and b be the two real roots of the quadratic equation x2−(k−1)x+k2+3k+4=0, where k issome real number. The largest possible value of a2+b2 is _____．17．已知半径为5 的球的两个平行截面的面积分别为9π和16π，则这两个截面之间的距离为_____．18．函数y=x2 （−2≤x ≤2）与函数y=x+m的图象恰有1 个公共点在y 轴的右侧，则m 的取值范围是_____．19．直四棱柱1 1 1 1 ABCD −A B C D 的底面ABCD 是等腰梯形，若1 AD=AB=AA， 1 DC = 2AB ，则异面直线1 AD 与1 CB 所成角的余弦值为_____．20．某校高一新生784 人，每班分配56 人，方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画顺序），然后按S 形顺序编班．例如：若有8 个班，将编号1 至8 号分别编在1 至8 班，9 至16 号分别编在8 至1 班，17 至24 号编在1 至8 班，⋯，该校高一新生编号为300（每号只对1 人）的同学编在_____ 班．三、解答题（每题10 分，共33 分）21、已知正四棱锥S −ABCD 中，∠ASB=2θ，AB=a⑴求侧棱与底面ABCD 所成角的余弦值⑵求此四棱锥的内切球的半径22．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法⑴先将自然数表示成五进制（逢5 进1）⑵再将五进制中的数码与集合{V，W，X，Y，Z}中的元素建立一个一一对应后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数编成VYZ，VYX，VVW，求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数．23．已知函数22( ) 11f x x kxx x+ +=+ +⑴当k = 2 时，求f(x)的值域；⑵若存在实数a,b,c 使f(a)+ f (b)< f (c)，试求实数k 的取值范围．。

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第十五届“希望杯”全国数学邀请赛
1．高一第1试
一、选择题（每题4分，共40分）函数()tan2f x x =的最小正周期是（）
A. 2π
B.
π C.
2π D. 4
π 2. 函数12
()log cos f x x =在()0,2x π∈时的单调递增区间是（）
A. 0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
B. ()0,π
C.
(),2ππ D. 3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
3. 对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a -+->>恒成立，则实数a 应满足（）
A. 01a <<
B. 01a <≤
C. 1a >
D. 1a ≥
4. 等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别为n S 、n T ，且
3323n n S n T n -=
+，则66
a
b =（）
A.
3
2 B. 1 C. 65 D. 27
23
5. 如图，EF 是梯形ABCD 的中位线，则在向量1
()2
AD BC +、
1()2AC BD +、1
(2)2
AD AB CD --中，与EF 相等的向量的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 在ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则该三角形一定是（） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7
．函数()f x =
（）
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
8．集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元
素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（） A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法 9．等比数列{}n a 中，“13a a <”是“79a a <”的（）
A.
充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D.
既不充分又不必要条件
10．已知函数()f x 的图象与函数()3x g x =的图象关于点()0,1对称，则()f x =（）
A.3log 1x -
B. 23x
-- C.
23x -+ D. 32log x -
二、A 组填空题（每题4分，共40分） 11．已知函数1,()0x f x x ⎧=⎨
⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩
为有理数，
1，为无理数.当x R ∈时，
()()_______,f g x =()()_____
__.g f x = 12．已知不等式0ax b +>的解集是{}
2x x >，则不等式0bx a +>的解集是______________; 不等式0bx a +>的解集是________________.
13. 一个等差数列共有12项，前4项的和是10，后4项的和是4，则中间4项的和是_______,
10项的和是_______.
14. 某广告公司准备用200只彩色灯泡，设计成一个梯形图案，且每层比上面相邻的一层
多1只灯泡，那么，最多的一层至多可安装_____________只灯泡, 最少的一层至少可安装_____________只灯泡. 15. 数列{}n a 的前n 项的乘积210
2
12n n n P +-⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，则2_____,a ={}n a 的前5项的和是
__________. 16.
已知函数()f x =
，则函数()f x 的最大值与最小值之
差是________________.
17. 定义在R 上的奇函数()f x ，在[)0,+∞上是增函数，若(1)(1)f f x <-，则x 的取
值范围是______________.
18. 已知函数2
()f x x bx c =++在[]0,2上的最大值是t ，且(
1)0,0,f b =>将t 表示成b
的函数()g b ，则()___________.g b =
19. 函数cos(sin )y x =的值域是__________.
20. A creeper grows to length of 4m in 20 days by doubling its length everyday. How many days
does it take to grow to a length of 1
4
m? Answer:______________.(英汉小词典：creeper: 攀缘植物)
三、组填空题（每题8分，共40分）
21．Find the missing number in the sequence 3,6,13,28,________,122, 249,_______.
Answer:______________________.( 英汉小词典：sequence 数列 ) 22．当7,66x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是______________，最大值是_________.
23．函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，可知()f x 的单调递增区间是________; 单调递减区间是_________________.
24． 3支代表队共10名棋手参加围棋比赛，不同代表队的棋手之间都进行一场比赛，同一代表队的棋手之间都不进行比赛. 那么比赛最少可能进行__________场，最多可能进行__________场.
25．设{}n a 是集合{}
220,,s t
s t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排成的数列，则
550________,_____.a a ==
答案：
一、选择题（每题4分，共40分）
1．C 2. A. 3. A. 4. C. 5. D. 6.A 7. B. 8. C. 9. C. 10. B. 二、A 组填空题（每题4分，共40分） 11. 1,0. 12.12x x ⎧⎫≠
⎨⎬⎩⎭, 12x x ⎧⎫
<⎨⎬
⎩
⎭. 13. 7,3198. 14. 42, 5. 15. 15,16.432 16. 0. 17. ()(),02,-∞+∞. 18. b+3. 19. []cos1,1. 20. 16.
二、B 组填空题（每题8分，共40分） 21．59，518．22．7
,2.8
23. ()()1,,,3.+∞-∞- 24. 17, 33. 25. 10, 1180.。