高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.2.2 点的极坐标与直角坐标的互化学案 北师大版选修41

2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)[基础·初探]教材整理 极坐标与直角坐标的互化 1.互化的前提条件把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1­2­3所示.图1­2­32.互化公式设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.(1)⎝⎛⎭⎪⎫2，π6________；(2)()1，3 ________；(3)(0,2) ________；(4)⎝⎛⎭⎪⎫4，－π3 ________. 【解析】 (1)x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).(2)ρ＝1＋3＝2，tan θ＝3，∴θ＝π3，∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(3)(0,2)在y 轴上，∴ρ＝2，θ＝π2，∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2. (4)x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2，y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－2 3.∴直角坐标为(2，－23).【答案】 (1)(3，1) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 (3)⎝⎛⎭⎪⎫2，π2(4)(2，－23)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π12.【精彩点拨】 点的极坐标ρ，θ―→x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ―→点的直角坐标x ，y【自主解答】 (1)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3).(2)∵x ＝ρcos θ＝4cos 2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin2π3＝2 3. ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23).(3)∵cos π12＝1＋cosπ62＝ 1＋322＝6＋24， sin π12＝ 1－cosπ62＝ 1－322＝6－24， ∴x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝4cos π12＝6＋2， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－4sin π12＝2－ 6.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，－π12化为直角坐标为( 2＋6，2－6).1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同.2.将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，要求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.[再练一题]1.把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2，－2).【解】 (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点.(2)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点.(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点. (4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2.∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点.). (1)(0,0)；(2)(－1，－1)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.【精彩点拨】 直角坐标x ，y――――――→ρ＝x 2＋y 2tan θ＝y xx 极坐标ρ，θ【自主解答】 (1)由于直角坐标原点(0,0)与极点重合，所以限定ρ≥0,0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ).(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝－2＋－2＝2，tan θ＝y x＝1，θ∈[0,2π).由于点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0,2π).由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4.∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)即可.在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可.[再练一题]2.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0，θ∈R ).(1)(－2,23)；(2)(6，－2). 【解】 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝－2＋32＝4，tan θ＝y x＝－3，θ∈R ，由于点(－2,23)在第二象限， ∴θ＝23π＋2k π，k ∈Z .∴点(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π＋2k π，k ∈Z . (2)∵ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝yx ＝－33，θ∈R . 由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝116π＋2k π，k ∈Z .∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，116π＋2k π，k ∈Z . [探究共研型]探究 1 纽带是什么？【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ＞0，sin θ＝y ρ，cos θ＝xρ，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝|OM |2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0).探究2 将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝y x(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角.当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.在极坐标系中，如果点A ，B 的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，求直角顶点C 的极坐标与该三角形的面积.【精彩点拨】 解答本题既可以把极坐标转化为直角坐标来解，也可以利用余弦定理来解决.【自主解答】 法一：利用坐标转化.对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为()2，2，点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2).设点C 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |，∴A C →·B C →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴(x －2)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4. ①又|AC |2＝|BC |2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2， 即y ＝－x ，代入①得x 2＝2， 解得x ＝±2，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为()2，－2或()－2，2. ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4.法二：设点C 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0,0≤θ＜2π)， ∵|AB |＝2|OA |＝4，∠C ＝π2，|AC |＝|BC |， ∴|AC |＝|BC |＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＋22－2×2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝8， ①ρ2＋22－2×2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π4＝8， ②①＋②化简得ρ2＝4，由ρ＞0得ρ＝2，代入①得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，∴θ－π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝3π4＋k π，k ∈Z ，又0≤θ＜2π，令k ＝0,1， 得θ＝3π4或7π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4，S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4.1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等腰直角三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.坐标平面内两点间的距离公式：(1)如果已知点的直角坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22；(2)如果已知点的极坐标A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，那么|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2[再练一题]3.在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和(3,0)，O 为极点.(1)求|AB |；(2)求S △AOB .【解】 法一：|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝22＋32－2×2×3×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－0＝4＋9－6＝7.S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×2×3×sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－0＝332. 法二：A ，B 的直角坐标为A (1，3)，B (3,0)， ∴|AB |＝－2＋3－2＝7.S △AOB ＝12×3×3＝332. [构建·体系]1.点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6，则点A 的直角坐标为( )A.(－1，－3)B.(－3，1)C.(－3，－1)D.(3，－1)【解析】 ∵x ＝ρcos θ＝2cos 7π6＝－2cos π6＝－2×32＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin7π6＝－2sin π6＝－2×12＝－1， ∴A (－3，－1)为所求. 【答案】 C2.极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】 因为ρ＝3，θ＝3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴x ＝ρcos θ＜0，y ＝ρsin θ＞0，所以极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的第二象限. 【答案】 B3.点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标为________(ρ>0,0<θ<2π).【解析】 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫π2，π24.若点A 的直角坐标为(2,0)，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则|AB |＝________. 【导学号：12990008】【解析】 把点B 的极坐标化为直角坐标是(1，3).则|AB |＝－2＋－32＝2.【答案】 25.将直角坐标P (－1，－3)化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π). 【解】 ∵ρ＝－2＋－32＝2，tan θ＝－3－1＝3，由于点P (－1，－3)在第三象限，所以θ＝4π3，∴直角坐标P (－1，－3)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。