5-3-1 质数与合数(一).教师版
五年级上册数学找质数质数与合数北师大版
0和1既不是质数也不是合数
8）不是2的倍数的数一定是奇数.（ √ ）
9）除2以外所有的偶数都是合数.（ × ）
0是偶数但不是合数
10）最小的自然数，最小的合数，最小的质数的和是7.（ × ）
0+4+2=6
例1、两个质数的和是13，积是22.这两个质数分别是多少？
∵2+11=13 2×11=22 ∴这两个质数分别是2和11
例3、把下面的数分解质因数 （1）100；（2）88；（3）360
5 100
5 20 24
2
2 88
2 44 2 22
11
100=5×5×2×2 88=2×2×2×11 360=5×3×3×2×2×2
分解质因数：把一个合数，用质因 数相乘的形式表示出来，叫做分解 质因数。 分解质因数用短除法！
5 360 3 72 3 24 28 24
2
例4、将下面8个数字平均分成两组，使这两组数的乘积相等
2，5，14，24，27，55，56，99
14=2×7 55=5×11
24=3×2×2×2 56=7×2×2×2
积相等即是所含因数相同
27=3×3×3 99=3×3×11
第①组： 2、 56、 27、 55.
第②组： 14、24、 99、 5.
∵长+宽：20÷2=10（米）3+7=10
∴长=7（米） 宽=3（米）
∴S长=3×7=21㎡
答：这个长方形的面积是21平方米.
例6、两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积
是多少？
∵41是质数 ∴41=1×41 两数的差为1、和为41
大数+小数=和 大数-小数=差 大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2
人教版五年级下册数学第二单元《质数和合数》教案三篇
【导语】学⽣是数学学习的主⼈，是数学课堂上主动求知、主动探索的主体。
教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。
⽆忧考准备了以下内容，希望对你有帮助!【篇⼀】⼈教版五年级下册数学第⼆单元《质数和合数》教案 ⼀、学情分析： 《质数和合数》这⼀课内容⽐较抽象，很难结合⽣活实例或具体情境来教学，学⽣理解起来有⼀定的难度。
另外，到本节课为⽌，已经出现了因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数等概念，有些概念学⽣容易混淆，如学⽣往往把质数和奇数，合数和偶数的概念弄混，教学时应注意让学⽣辨析这些概念。
⼆、教学⽬标： 1、理解质数和合数的概念。
2、能熟练判断质数与合数，能够找出100以内的质数。
3、培养学⽣分析问题的能⼒和应⽤数学的意识；体验从特殊到⼀般的认识发展过程，进⼀步完善学⽣对⾃然数的分类⽅法的掌握，培养学⽣思维的灵活性。
三、教学重难点： 重点：理解质数、合数的含义，能正确快速地判断⼀个数是质数还是合数。
难点：能运⽤⼀定的⽅法，从不同的⾓度判断、感悟质数合数。
四、教学过程： （⼀）导⼊新课。
找出1～20各数的因数。
你发现了什么？ （学⽣可能回答：1只有1个因数，其余的数都有2个以上因数；2，3，5，7，11，13，17，19这些数的因数都只有1和它本⾝；……） 今天我们学习的内容就与⼀个数因数的个数有关。
［设计意图说明：让学⽣⽤⾃⼰的话描述1～20各数因数的特点，通过观察学⽣虽然没有质数与合数的概念，但对这些数已经有了⾃⼰的分类与认识，为之后的分类与概念的学习打下基础。
］ （⼆）新授 探究⼀：认识质数和合数 师：请同学们按照因数的个数，将这些数分分类。
（学⽣可能回答：将1，2，3，5，7，11，13，17，19分为⼀类，它们的因数都是1和它⾃⼰本⾝，其余的数分为⼀类；将1，4，9，16分为⼀类，它们的因数个数都是奇数个，其余的分为⼀类，它们的因数个数都是偶数个；……） 师：同学们都说得⾮常好，请打开课本翻到第14页，请你按照它的⽅法分⼀分。
第三讲 整除、质数与合数 精英班 教师版(带完整答案)_5年级奥数讲义与课件
nm…d 000 第三讲整除、质数与合数1.整除问题（1）用位值的知识证明常用的特殊自然数的整除特征1）2 系列：能被 2 和 5 整除的数要看个位，能被 4 和 25 整除的要看末两位，能被 8 和 125 整除的要看末三位。
请大家想想为什么？我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质，假设一个多位数为是nm…dcba则还可以表示为：nm…dcba =nm…d 000 +cba =nm…d ⨯1000 +cba ，由于8 1000 所以8 ，因此只要cba 能被8 整除该数就一定能被8 整除。
2）3 系列：能被 3 和 9 整除只需看各位数字之和能否被 3 和 9 整除，为什么?我们以三位数abc 为例来证明被 9 整除只需看各位数字之和这一性质，如：abc = 100a +10b +c =(99a + 9b)+(a +b +c)显然(99a + 9b)是 9 的倍数，因此只要(a +b +c)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
3）7,11,13 系列：被7、11、13 整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7、11、13整除。
为什么呢？仔细观察我们会发现7×11×13＝1001,比1000大1，由此可以有如下证明：假设一个多位数为是nm…dcba ，有：nm…dcba =nm…d000 +cba =nm…d⨯1000 +cba=nm…d ⨯1001-nm…d +cba =nm…d ⨯1001-(nm…d -cba )，由于 1001 是 7、11、13的倍数，故只要(nm…d -cba)能被7、11、13 整除即可。
4）特别的，我们还有另外一种判别能否被11 整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11 整除，这个定理也是可以证明的，我们以简单的三位数abc 来说明：abc =100a +10b +c = 99a +11b +a -b +c =(99a +11b)+(a +c -b)显然(99a +11b)是 11的倍数，因此只要(a +c -b)即各个数位数字之和能被 9 整除那么这三位数abc 就能被 9 整知识说明除，反之亦然。
(word完整版)数论模块(教师版)
一． 质数与合数1．基本概念一个数除了1和它本身,不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。
⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2.部分特殊数字的分解111337=⨯;100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯;1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯;2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯。
3。
判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q （均为整数），使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ,再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么p 就为质数。
例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
知识框架数论模块综合复习教 师： 学 生：上课时间：2013年 月 日 ： — ： 上课地点： 校区 上课进度：第 讲二、约数与倍数1．1求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=;②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数:151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．1。
数论第05讲_100以内的质数(教师版)A4
一．质数与合数的概念1．只有1和它本身两个因数的数，称为质数。
2．除了1和它本身，还有其他因数的数，称为合数。
0和1既不是质数，与不是合数。
二．100以内的质数表1~100中的质数是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
1~100中有25个质数，74个合数，其中1既不是质数与不是合数。
质数中有且仅有一个偶数，那就是2。
重难点：熟悉100以内的25个质数，并且灵活应用奇偶性，解决偶质数的相关应用。
题模一：100以内质数表例1.1.1只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2、3、5、7,等．那么，比40大并且比50小的质数是___________，小于100的最大的质数是___________．【答案】41、43、47；97【解析】本题考查100以内的常见质数．例 1.1.2爸爸和儿子岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，且数字之和为13，又已知爸爸比儿子大27岁，则儿子是________岁．【答案】20【解析】13495867=+=+=+，只有67为质数，故年龄和为67．由和差问题易知儿子20岁．例1.1.3五个连续自然数，每个数都是合数且都不超过60，则这五个连续自然数的和最大是（）．A．170B．250C．280D．285【答案】【解析】小于60的质数有59、53、47、43、41、……，所以连续的五个自然数且都是合数，最大的是58、57、56、55、54，它们的和是5455565758280++++=．例1.1.4已知p为50以内的一个两位质数，且21p+也是质数，则满足条件的所有p的和是________．【答案】104【解析】50以内的两位质数是11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，满足条件的有11、23、29、41，和为11232941104+++=．例1.1.5有一类最简真分数满足以下条件：（1）分子与分母都是两位数的质数；（2）分母正好是分子这个质数逆序排列所成的质数．如1331就是满足上述条件的一个分数．那么满足数论第05讲_100以内的质数这两个条件的最简真分数有__________个，其中最大的一个是__________． 【答案】7997【解析】满足自身与其逆序数均为两位质数的有11；13、31；17、71；37、73；79、97．符合条件的最简真分数有有4个，最大的是7997． 题模二：偶质数性质与基本应用 例 1.2.1Let a 、b are prime numbers and the sum of these primes is 49．Then 11a b+=（ ）． A ．9449 B ．4994 C ．8645 D ．4586【答案】B【解析】根据奇偶性及2是质数中唯一的偶数易知两个质数分别为2和47，114994a b +=． 例1.2.2（1）两个质数的和是1999，那么这两个质数是多少？（2）若两个质数的差是35，那么它们的积是多少？【答案】（1）1997（2）74【解析】（1）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为199921997-=． （2）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为35237+=，它们的积是23774⨯=．例1.2.3三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？【答案】可能为（2，3,47）（2,43,7）（2,37,13）（2,31,19）【解析】小于50的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、发现只有一 个偶数2，所以一定包含2，另外两个为奇数，且和为50,5047350437=+=+、503713503119=+=+、．例1.2.4若两个不同的质数m 、n 满足2319m n +=，那么m n +=__________．【答案】7或8【解析】满足条件的有2m =，5n =或5m =，3n =，所以78m n +=或．例1.2.5若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有__________组．【答案】11【解析】三个不同的质数的和是53，所以三个质数都必须是奇数．从最小的奇质数枚举如下：53374331337319315741511375172951929=++=++=++=++=++=++=++71729111329111923131723=++=++=++=++．共11组．例1.2.6三个数 p ， p + 3 ， p + 5 都是质数，它们的倒数之和是 ____ ． 【答案】5970【解析】可知p 一定是2，11159=25770++． 例1.2.7有6个数字a 、b 、c 、d 、p 、q ，满足abc bcd p q pq -=⨯⨯，c 和d 的奇偶性相同，且p 、q 、pq 都是质数，则abcd 最大是多少？【答案】9846【解析】c 和d 的奇偶性相同，故p q pq abc bcd ⨯⨯=-为偶数，p 、q 、pq 中必有偶数，只能是2p =，进而易得3q =，2323138abc bcd -=⨯⨯=．将问题转化为竖式，易知abcd最大是9846．例 1.2.8已知p 、q 为质数，并且存在两个正整数m 、n ，使得p m n =+，q mn =，则p qn m p q m n+=+_________． 【答案】313【解析】因为q mn =且q 为质数，所以m n 、中有一个为1．不妨设1m =，则q n =，1p m n q =+=+．又因为p 、q 为质数，故3,2,2p q n ===．代入得原式值为313． 题模三：质数与合数的应用提高例 1.3.1在1到100这100个正整数中，不能被2、3、5、7中任何一个数整除的数有__________个．【答案】22【解析】数论问题，不能被这些数整除的一定都是质数，1-100的质数去掉1、2、3、5、7还有22个．例1.3.2将正整数1，2，3，4，5，6，…，10000排成一行．若一个数不能表示成两个合数的和，则将此数划去．例如要划去1，但是因为844=+，8就不能划去．根据上面规定划掉所有能划掉的数之后，将剩下的数由小到大排列．这时从左数第2013个数是_______．【答案】2022【解析】从8开始往后的偶数可以拆成两个偶合数的和；从13开始的奇数可以拆成9+2n的形式（n 大于等于2），而1、2、3、4、5、6、7、9、11要划去，所以剩下的数列为8、10、12、13、14、15……，第2013项即为2022．例1.3.3小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数．”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数．”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方．”那么小明今年____________岁．（小明今年年龄小于31岁，且年龄均为整数岁）【答案】16【解析】设小红x 岁，年龄差y ，则小明x y +岁．由题意知x y -为质数①，2x y +为质数②，2x y +为质数③的平方即年龄和，年龄和可能为4，9，25，49．经验证，年龄差为7，小红今年9岁，小明今年16岁．例1.3.4四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？【答案】900【解析】设每个小三角形顶点上的数之和为x ，当计算题4个小三角形顶点上的数之和时，中间三个圆圈算了三次，减去两次后得到六个质数之和20，4220,10x x x -==，三个质数和为10，则这三个质数为2、3、5.六个圆圈分别填两个2、3、5.它们的积为900．随练1.1最小的质数是________，最小的自然数是________．【答案】2；0【解析】最小的质数是2，最小的自然数是0．随练1.2在31、37、51、57、71、77、91、97这8个数中，有几个合数？A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】在这8个数中，31、37、71、97是质数，51、57、77、91是合数，即一共有4个合数．正确答案是C．随练1.3三个连续自然数，每个数都是合数，则这三个连续自然数的和最小是（）．A．6B．27C．45D．720【答案】B【解析】列举可知，最小的三个数为8、9、10，所以这三个连续自然数的和最小是++=．891027随练1.4在20以内的质数中，加上2以后结果还是质数的，一共有（）个．A．8B．6C．4D．2【答案】C【解析】3、5、11、17符合要求，共4个．随练1.5两个质数的和是45，这两个质数的积是_______．【答案】86【解析】两质数必为一奇一偶，故一定有2，另一个为45243-=，两数之积为86．随练1.6从20以内的质数中选出6个，写在一个正方体的六个面上，使得两个向对面的和都相等，所选的6个数是________．【答案】5、7、11、13、17、19【解析】首先2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3、5、7、11、13、17、19这7个数，从中选择6个相当于剔除一个，由于这7个数的和为75，是3 的倍数，而选出的6个数的和也是3的倍数，所以被剔除的那个数应该也是3的倍数，只能是3，所以选出的6个数分别是5、7、11、13、17、19．随练1.7三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积最大是__________．【答案】374【解析】三个数的和是偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇．考虑质数中只有2是偶数，可知一定是一偶两奇，且偶数是2．另外两个奇数是5和23或11和17．所以这三个质数的乘积是2523230⨯⨯=，乘积最大是374．⨯⨯=或21117374随练 1.8一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．【答案】11、13、17、31、37、71、73、79、97【解析】列出备选的两位质数，十位数字是2、4、5、6、8的就不用罗列了．、、、、、、、、、．11131719313771737997观察这些数，只有19颠倒过来后是合数：91713=⨯，排除19，剩下的质数、、、、、、、、都满足要求．111317313771737997作业11~100这100个自然数中质数有25个，合数有________个．【答案】74【解析】1~100中，25个质数之外的75个数中，只有1不是合数，其他的都是．所以有74个合数．作业2a是100以内最大的质数，b是100以内最小的质数，那么a b+=__________．【答案】99【解析】97a =，2b =，所以99a b +=．作业3五个连续的自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是__________．【答案】130【解析】最小的连续五个合数是24、25、26、27、28，所以这五个连续自然数的和最小是130．作业4在横线上填入三个不同的质数，使等式成立________+________+________＝60，则共有________种不同的填法．【答案】3【解析】由奇偶性分析易知这三个质数必为2奇1偶，即必有2，只需将58表示为2个质数之和即可．5855311471741=+=+=+，共3种填法．作业5有一个质数是两位数，这两位上的数字相差6，则这个两位数的质数是．【答案】17或71【解析】各位必为偶数．分别试验1、7和3、9，17或71满足要求．作业6两个质数的和是19，则这两个质数的积是______．【答案】34【解析】由奇偶性可知必有2，另一个为19217-=，两数乘积为34．作业7当p 和3p +5都是质数时，55p +=_______．【答案】37【解析】当p 和3p +5奇偶性不同，而且都为质数，那么较小的数必须为2，所以55p +=37．作业8已知正整数p 、q 都是质数，并且7p q +与11pq +也都是质数，求p 、q 的值．【答案】23p q =⎧⎨=⎩或32p q =⎧⎨=⎩ 【解析】若p 、q 均为奇数则7p q +为大于2的偶数，与其为质数矛盾，故p 、q 必有偶数，即为2．当2p =时，q 、14q +、211q +均为质数，且讨论得此三数被3除的余数各不相同，因此q 只能为3，此时另两个均为17，满足条件；当2q =时，p 、72p +、211p +均为质数，同理可得p 也只能为3，此时另两个数分别为23和17，满足要求．综上，23p q =⎧⎨=⎩或32p q =⎧⎨=⎩． 作业9张中中小朋友手中有四张卡片，分别写有1、2、3、4；张右右小朋友手中也有四张卡片，分别写着5、6、7、9，两位小朋友将卡片放在一起适当组合恰好形成四个不同的两位质数（卡片不重复使用，也不得有剩余），请将四个质数的和求出．答：_________【答案】190【解析】2只能和9配，为29．4只能和7配，为47．进而另两个为61、53，总和为190． 作业10（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？【答案】（1）35（2）2、7、31【解析】（1）39=+奇数偶数．偶质数是2，所以奇质数是39237-=．这两个质数的差是37235-=（2）40是偶数，如果写成三个数相加的形式则有两种情况，40=++偶数偶数偶数，或偶数奇数奇数，第一种情况显然是不可能的（质数中只有2是偶数）．40=++所以可以确定出三个质数中有一个一定是2，剩下两个奇质数的和是38．通过简单的枚举可得，只有73138+=符合题意．所以这三个质数分别是：2，7，31．n-（n为质数）作业11有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如21的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：2213-=就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是（）．A．4B．15C．127D．2047【答案】D【解析】可依次写出梅森数：2213-=，第二个梅森质数；-=，第一个梅森质数；32175-=，第四个梅森质数；11212047-=，第一个梅森-=，第三个梅森质数；7211272131合数．所以答案为D．也可以用排除法，梅森数一定为奇数，A选项排除．42115-=，4为合数，所以15不是梅森数，B选项排除．721127-=，127为质数，所以127为梅森质数，C选项排除．检验可知，D选项为梅森合数，所以答案为D．作业12在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是____________．【答案】5，13，17，29【解析】通过枚举法可得，5、13、17、29．作业13已知a,b,c只3个彼此不同的质数，若37+-最大是+⨯=，则a b ca b c___________．【答案】32【解析】223733132=⇒+=⇒=⇒=⇒+-=．c a b b a a b c作业14有些三位数，它的各位数字的乘积是质数，这样的三位数最大的为A，最小的为B．则A B-=__________．【答案】599【解析】由质数定义可知，质数只能写成1乘本身的形式，则说明三位数的三个数位上的数字有2个1，另一个为质数．则这样的三位数最大为711，最小为112，则-=-=．A B711112599作业15从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可能读的最大的数是________________．【答案】98567432【解析】设首位为9，旁边可为8，下一位最大为5……这样进行下去，最大为98567432．。
【同步配套】北京版五年级下册数学同步说课稿-3.4 质数与合数
【同步配套】北京版五年级下册数学同步说课稿-3.4 质数与合数一、教学背景在小学数学中，质数和合数是一个非常基础的知识点，也是数论中的一个重要概念。
在五年级下册数学中，我们要求学生掌握质数和合数的概念，并能够进行判断。
在做数学题目的过程中，这个概念也是一个非常有用的工具。
二、教学目标1. 知识目标•了解质数和合数的定义及特点•掌握质数和合数的判断方法•能够在数学计算中运用质数和合数的概念2. 能力目标•能够辨别一个数是不是质数或合数•能够在解题过程中灵活运用质数和合数的概念3. 情感目标•培养学生对数学学科的兴趣•培养学生对数学思维的积极性和主动性三、教学内容本次教学内容为“质数和合数”。
1. 质数的定义•只能被1和自己整除的数叫做质数。
•最小的质数是2。
2. 合数的定义•在大于1的整数中，不是质数的数叫做合数。
3. 判断质数和合数的方法•用2到这个数的平方根之间的数去除，如果都不能整除，就是质数。
•如果这个数能被2整除，一定不是质数，如果不能被2整除，再用3、5、7……去除，如果都不能整除，就是质数。
•如果这个数既不是2的倍数，也不是3、5、7……的倍数，那就是合数。
4. 质数和合数的特点•0、1不是质数也不是合数。
•除2以外的偶数都是合数。
•只有1个质因数的合数叫做“无平方因子的合数”。
•除数中质因数有妙用，如筛法求素数和最大公因数。
四、教学重点和难点1. 教学重点•理解质数和合数的定义及特点。
•掌握判断质数和合数的方法。
2. 教学难点•能够在实际问题中应用质数和合数的知识。
五、教学方法本次教学以讲授和演示为主，通过示范、讲解和提问等多种教学方法，让学生逐步掌握质数和合数的概念及其判断方法，并能在实际问题中进行应用。
六、教学过程1. 导入环节（5分钟）1.引入质数和合数的概念。
2. 讲解和演示（20分钟）1.讲解质数和合数的定义及特点。
2.演示判断质数和合数的方法。
3. 练习和讨论（20分钟）1.练习判断一组数中的质数和合数。
五年级上册数学教案-3.5《找质数(认识质数.合数)》 ｜北师大版
五年级上册数学教案－3.5《找质数（认识质数.合数）》｜北师大版一、教学目标1.认识质数和合数的概念，掌握判断质数和合数的方法。
2.能够用分解质因数的方法进行数的分解和判断质数、合数。
3.了解质因数分解在数的计算中的应用。
二、教学重点1.认识质数和合数的概念，掌握判断质数和合数的方法。
2.能够用分解质因数的方法进行数的分解和判断质数、合数。
三、教学难点1.了解质因数分解在数的计算中的应用。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师使用物质、图像、数字等多种载体，设计情境导入，让学生感受到质数和合数之间的不同。
2. 检查上节课作业（10分钟）让学生展示上节课作业的答案，并对有疑问的题目进行讲解。
3. 讲授新知（35分钟）1）认识质数教师通过多个例子，让学生了解质数的定义和基本特征。
2）认识合数再通过例子，让学生了解合数的定义和基本特征。
3）区分质数和合数教师设计质数和合数的分类表，让学生尝试进行分类，并加深对质数和合数的理解。
4）寻找质数和合数教师通过课堂练习，让学生学会寻找质数和合数的方法。
5）用分解质因数的方法判断质数和合数通过试题让学生掌握这一方法，并了解到质因数分解在数的计算中的应用。
4. 练习（30分钟）让学生进行练习，巩固所学内容。
5. 拓展（10分钟）老师让学生自主探究质数和合数在生活中的应用，并进行讨论。
五、课堂小结（5分钟）让学生回顾本节课学到的知识点，进行小结。
六、作业布置（5分钟）老师让学生进行相应作业，巩固所学内容。
七、板书设计1.认识质数2.认识合数3.区分质数和合数4.寻找质数和合数5.用分解质因数的方法判断质数和合数八、教学反思本节课充分利用多种教学方法，如物质教具、图像、数字等，让学生更直观、深入地了解并体验质数和合数的概念、分类和判断方法，同时在板书设计上也充分展现了重点难点梳理和教学安排的合理性，能够提高学生对质数、合数概念的掌握程度。
专题七 质数与合数(教师版)
专题七 质数与合数姓名【基础知识】1.定义质数：只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数（又称素数）.例如：2，3，5等. 合数：正因数多于两个的自然数称为合数.例如：4，6，8，9等.这样，就可把全体非零自然数（正整数）分为三类：1，质数和合数.2.性质(1) 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；(2)如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2；(3)质数必有无限个；(4)若质数p 满足p|ab ，则p|a 或p|b ；(5)若正整数a, b 的积为质数p ，则一定是p=a 或p=b ；(6)若p 是质数，则对任一正整数a ，或者p|a ，或者（p ，a ）=1；3.唯一分解定理3.任何整数(1)n n >可以唯一地分解为：1212k a a a k n p p p =L ,其中12...k p p p <<是质数，12,,....k a a a 是正整数.n 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于12(1)(1)....(1)k a a a +++.4.哥德巴赫猜想1956年，中国的王元证明了“3 + 4”，稍后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”. 1962年，中国的潘承洞证明了“1 + 5”， 稍后证明了“1 + 4”.1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”.【例题解析】例1.判断269，437两个数是合数还是质数.例2.判断数1111112111111是质数还是合数？1111112111111=1111111000000+1111111例3.判定298+1和298+3是质数还是合数？2,4,8,1,+1 尾数为5除以7，余数分别为2,4,1+3 余数为7，恰好整除例4.已知A 是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A.A 根据3的整除性来分类，3k+1,3k+2都不可以，则A=3例5.设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．P为3k+2，然后代入例6.是否存在连续88个自然数都是合数？89的阶乘分别+2，+3，。
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1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊例题精讲知识点拨知识框架5-3-1.质数与合数（一）欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数【难度】1星【题型】填空【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。
如6=3+3，12=5+7，等。
那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97和100=97+3算作同一种形式）。
【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第13题，15分【解析】逐一试验，可知：10039711891783297141594753=+=+=+=+=+=+为所有符合条件的情况，所以共6种。
【答案】6【例3】在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（）.（A）0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛初赛第4题【解析】19是常见的质数，197容易检验知也是质数，本题主要是考查2009这个数是否是质数。
实际上，2009=7×41，是个合数，所以在19，197，2009这三个数中有2个质数。
正确答案为C。
【答案】C【例4】大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？．【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．【答案】质数是314159【例5】用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛【解析】“L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L—质数”是31．【答案】31【例6】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。
【答案】101，103，107，109是4个质数【例7】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【解析】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5197171113+=+=+.每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是55515++=，++=，最大是19191957经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。
【答案】22【例8】自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【关键词】全国小学奥林匹克【解析】这样的自然数有4个：23，37，53，73．【答案】4【例9】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a b≠，而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【解析】若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．【答案】8【例10】炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k=时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】填空【关键词】南京市青少年“科学小博士”思维训练【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【答案】5、17、29答案不唯一【例 11】 图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，口试 【解析】 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【答案】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例 12】 从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】全国小学数学奥林匹克【解析】 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如下图．34765892【答案】98567432【例 13】 九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【考点】判断质数合数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】祖冲之杯【解析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人2⨯+==(个)．22232323529【答案】24辆车，529位老人【例14】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为【考点】判断质数合数【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分【解析】两位数乘以3之后，数字和一定被3整除。
又因为是质数，所以只能是3。
有102，111，120，201，210这五种情况。
依次分析：3倍原数数字和5倍数字和7倍数字和102 34 7（质）170 8（合）111 37 10（合）120 40 4（合）201 67 13（质）335 11（质）469 19（质）210 70 7（质）350 8（合）所以，满足条件的两位数为67【答案】67【例15】三位数A满足：它的所有质因数之和是26。