理论力学第六章
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理论力学 第六章
根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后 的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力 的矢量和确定，作用线通过汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.1 几何法
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
❖结 论
6.1.1 几何法
平面汇交力系合成的结果是一个合力， 它等于原力系中各力的矢量和，合力的 作用线通过各力的汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
cos(FR
, i)
FRx FR
,
cos(FR ,
j)
FRy FR
,
cos(FR
, k)
FRz FR
合力作用线过汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
汇交力系平衡的充分必要条件
汇交力系的合力为零
各力在三个坐标轴上的 投影代数和分别等于零
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6.3 空间任意力系的简化
6.3.2 力系向一点简化·主矢和主矩
设刚体上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。 任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理， 将力系中诸力向O点平移。
得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、…、F n和一力 偶系M1、M2、…、Mn 。
Theoretical Mechanics
n
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力 的矢量和确定，作用线通过汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.1 几何法
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6.1 汇交力系的简化与平衡
❖结 论
6.1.1 几何法
平面汇交力系合成的结果是一个合力， 它等于原力系中各力的矢量和，合力的 作用线通过各力的汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
cos(FR
, i)
FRx FR
,
cos(FR ,
j)
FRy FR
,
cos(FR
, k)
FRz FR
合力作用线过汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
汇交力系平衡的充分必要条件
汇交力系的合力为零
各力在三个坐标轴上的 投影代数和分别等于零
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6.3 空间任意力系的简化
6.3.2 力系向一点简化·主矢和主矩
设刚体上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。 任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理， 将力系中诸力向O点平移。
得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、…、F n和一力 偶系M1、M2、…、Mn 。
Theoretical Mechanics
n
理论力学第6章
一、惯性力系主矢
FIR FIi mi ai
mi FIi
C
ai aC
对于质量不变的质点系：
m a ma
i i
C
所以，惯性力系的主矢为：
FIR m aC
与质点系的运动形式无关！！！
二、惯性力系主矩及简化结果 1、刚体平移
惯性力系向点O简化.
FIi
i
ri
O
aC
rC
t n M F M F z I i z I i mi ri ri Iz
mi ri 2 J z
M Iz J z
M IO M Ix i M Iy j M iz k
如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中 心取此平面与转轴的交点,则
例题
已知：如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴O转动的 角速度为 ，角加速度为 。
求：惯性力系向点Ｏ简化的结果(方向在图上画出).
解:
l FIO m 2
l 2 F m 2
n IO
M IO
1 2 ml 3
2、刚体定轴转动
FIi mi ai mi ri
F mi a mi ri
n Ii n i
2
M Ix M x FIi M x FIit M x FIin
mi ri cos i zi (mi ri 2 sin i zi )
第 6章
6.1 非惯性系惯性力 6.2 达朗贝尔惯性力
惯性力
FI
m
6.2.1 质点的惯性力
ma=F+N
令
F+N-ma=0
理论力学第六章-
• （二）理想约束和虚功原理
作用在质点上的力F与质点任一虚位移 δ的r
标积，称为此力在虚位移中的虚功
δ W F F ' δ r
虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能 量转化过程与之联系。对于处于平衡状态 的体系，作用在各质点上的力（主动力和 约束力）所做的虚功之和为0
若体系中各个约束力所做的虚功之和等 于零，则这种约束称为理想约束
n
F'
δri
0
i1
◆光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约 束，受这些约束的质点，约束力恒与相应 的虚位移垂直! ◆如两个质点（研究对象）被不可伸长的 轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表 面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束， 固定点约束等。
虚功原理：受理想约束的力学系统，保持 平衡的必要条件是作用于该系统的全部主 动力在任意虚位移中的虚功之和为零
s1pqLs1qLqL
称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐 标和广义动量的函数。
• （三）虚功原理的广义坐标表述和广义 力
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位 移之间的存在关系
δxi s1qxi δqxti δt
(i1,2, ,3n)
δt 0
代入虚功原理的表达式可得
δW
3n i 1
Fi
s 1
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
ri
dri dt
s
ri
1q
q
ri t
ri q
ri q
d dt q r i s1q 2 riqq t 2q ri
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
![理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]](https://img.taocdn.com/s3/m/63fd0a4dbe1e650e53ea9909.png)
解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学第6章
6.1 点的合成运动基本概念
z
x
大梁不动时
y
o
动
点？
定参考系？
z
y x
动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？
牵连运动？
O
6.1 点的合成运动基本概念
动
点？
定参考系 ？ 动参考系 ？
绝对运动 ？
相对运动 ？
牵连运动 ？
6.1 点的合成运动基本概念
◆ 运动的相对性 ： 物体对于不同的参考系，运动各
va ve v r
注意点： ＊ 牵连运动是刚体(动系)的运动； 牵连速度是动系（刚体）上一 点(该瞬时与动点相重合的点) 的速度。 ＊速度合成定理适用于任何形式的牵连运动，任意的相对运动。 ＊ v a v r v e 为矢量式，符合平行四边形法则，其 对角线为 va
＊矢量
va .vr .ve 满足“6-4=2”即可求两个未知量。
P'1
PP 相对轨迹 2 P 1P 1 牵连点运动轨迹
PP' 绝对位移 PP2 相对位移 P1 P1 牵连点的位移
zP(P1)
A
Dt
A
y
x
O
6.2
点的速度合成定理
B
P2
B
P'
va vr
PP' PP2 va lim v r lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt P1 P1 ve lim Dt 0 Dt PP' P1 P1 P1P ' PP' P1 P1 P1P ' lim lim lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt
O1
w
O2
j
A
理论力学第六章
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
理论力学课件第6章
lim MM lim MM1 lim M1M
t0 t
t0 t
t0 t
根据点的速度定义，动点 M 在瞬时t 的绝对速度为
va
lim
t 0
MM t
它的方向沿绝对轨迹 MM 的切线。
相对速度
vr
lim
t 0
M1M t
它的方向沿在 M 点处相对轨迹AB 的切线。
牵连速度
ve
lim
t0
MM1 t
同样，它的方向沿曲线 MM1 的切线。 由上述关系，便可得到 va ve vr （6-4）
式（6-4）表示：动点的绝对速度等于动点的牵连速度与相对速度
的矢量和，这就是点的速度合成定理，即动点的绝对速度 va 可由它 的牵连速度 ve 与相对速度vr 构成的平行四边形的对角线来确定，如
图6-3所示。该平行四边形称为速度平行四边形。
度为 ve 。同样由速度合成定理有 va ve vr （b）
现以 aa 表示动点的绝对加速度。根据动点的加速度定义，则动点
的绝对加速度 aa 可写成
aa
lim va va t0 t
（6-5）
将式（a）和式（b）均代入（6-5）式并整理，得到
aa
lim (ve
t 0
vr) (ve t
vr )
本章内容
1 点的合成运动的概念 2 点的速度合成定理
3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 4 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
第一节 点的合成运动的概念
引例 图6-1（a）所示的沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上的点 M ， 对于固结在地面上的坐标系来说，其轨迹是旋轮线，但是对于固结在车 厢上的坐标系来说，其轨迹则是一个圆；又如，图6-1（b）所示的等速
理论力学第六章点的运动学.
d d ds an v v dt ds dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
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4、速度与加速度分布图
v R
2 a at2 an R 2 4
at tan 2 an
§6-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
２、带轮传动
dvB dv A aB aA dt dt
刚体平移→点的运动
§6-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
f t
3、角速度和角加速度
d d 大小： dt dt 方向：逆时针为正
角速度
角加速度
d d 2 2 dt dt
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1、点的运动方程
s R
2、速度
v s R R
3、加速度
dv at R s dt v2 1 2 an R R 2 R
第六章 刚体的简单运动
§6-１ 刚体的平行移动
1、定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
2、由图可知
rB rA AB
3、速度和加速度分布 d AB 因为 0 dt drB drA vB vA 所以 dt dt
r11 vA v v vB r22 A B
1 r2 i12 2 r1