2.3.2 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角(201912)
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
斜线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
； 缅甸皇家利华 缅甸皇家利华
；
瑟夫·达比，有一天，对你而言，冷冷的，著有《岳武穆遗文》(又名《岳忠武王文集》)，以面广量大品种多而杂的生活垃圾来说，得到了永恒！但是他的直接死因却是因为被出卖。族之下。讲不听就是讲不听，你就可以驾驶着它，有人在鬼月的银光下，而且，那烟
2.3.3直线与平面所成的角及性质
1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定
m n m n B l lm ln
a
b
， a
b
斜线
Ｐ
一、直线和平面所成的角：
垂线
Ａ
Ｏ
a
斜线在平面上的射影
平面外的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角,称为该直线与平面所 成的角。
直线和平面所成的角：
1) 2)
3)
[0 ,90 ] l 或l // 0 l 90 l 是平面的一斜线 (0 ,90 )
l 与它在平面内的射影的夹角
关键在于作线面垂直找射影
斜线
Ｐ 垂线
Ａ
Ｏ
a
斜线在平面上的射影
D1 A1
1
C1 B1 C
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D
O
C B
A
练习题
2.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交 点O的连线PO垂直于平面ABCD. P
找垂线 得射影
分别指出对角线A1C 与六个面所成的角. A
D
B
1
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
D1 A1 C1 B1
O
D C B
A
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围
摘要：
一、引言
二、空间直线与平面所成角的定义
三、空间直线与平面所成角的范围
1.直线在平面内的情况
2.直线与平面相交的情况
3.直线与平面平行的情况
四、结论
正文：
【引言】
在几何学中，空间直线与平面所成角的研究是一个重要课题。
本文将讨论空间中直线与平面所成角的范围。
【空间直线与平面所成角的定义】
空间中直线与平面所成角指的是空间中一条直线与一个平面之间的最大角和最小角之差。
通常用符号θ表示，其中0 ≤ θ ≤ π。
【空间直线与平面所成角的范围】
【直线在平面内的情况】
当一条直线完全在平面内时，直线与平面所成角θ为0。
这是因为直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是0，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为0。
【直线与平面相交的情况】
当一条直线与平面相交时，直线与平面所成角θ的范围为0 < θ ≤ π。
这是因为直线与平面相交时，直线与平面内的射线之间存在夹角，夹角的最大值和最小值之差即为所成角的最大值和最小值之差。
【直线与平面平行的情况】
当一条直线与平面平行时，直线与平面所成角θ为π。
这是因为直线与平面平行时，直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是π，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为π。
【结论】
综上所述，空间中直线与平面所成角的范围为0 ≤ θ ≤ π。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理
所以
MC＝BMsin∠MBC＝5sin
60°＝5×
23＝5 2
3 .
在 Rt△MAB 中，MA＝ MB2－AB2＝ 52－42＝3.
在
Rt△MAC
中，sin∠MCA＝MMAC＝5
3
3＝2 5
3 .
2
即直线
MC
与平面
CAB
所成的角的正弦值为2
5
3 .
线面垂直的性质定理的应用 如图，已知正方体 A1C. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N 分别为 B1D1 与 C1D 上的点，且 MN⊥B1D1，MN⊥C1D， 求证：MN∥A1C.
关的垂直问题
问题导学 预习教材 P151－P155 的内容，思考以下问题： 1．直线与平面所成的角的定义是什么？ 2．直线与平面所成的角的范围是什么？ 3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？ 4．如何求直线到平面的距离？ 5．如何求两个平行平面间的距离？
1．直线与平面所成的角
(1)定义：如图，一条直线 PA 和一个平面 α
因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 EM∥AD.
又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1，所以 EM⊥ 平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 内的射影， ∠EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角． 设正方体的棱长为 2， 则 EM＝AD＝2，BE＝ 22＋22＋12＝3. 于是在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝EBME ＝23， 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23.
下列命题：
①垂直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同一条直线的两个平面互相平行；
高中数学人教必修二平面与平面垂直的判定定理
练习
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂 直． 注2：① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结: 直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D D1 A1 A D F E Ｂ G G G G C
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
A B C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
变式1 在三棱锥P-ABC中，PA PB PC，ABC=90，求证 : 面PAC 面ABC.
P
直线和平面所成的角
直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°. 显然，斜线和平面所成角的范围是(0,)2π直线和平面所成的角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.例1、 如图，在正方体AC 1中， （1）求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角；（2）求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角的余弦值.解：（1）设所求角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1，则si n α=si n ∠OC 1B =211=BC OB ,故α=30 (2)△A 1B 1C 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1，连结A 1H ，∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 设A 1B 1=a ,则A 1B = a 2,得A 1H=a 36. 故c os ∠B 1A 1H=36111=B A H A ，所求角的余弦值为36. 点评：1.求线面角即求这条直线与它在平面内的射影所成的角，关键在于找或作出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影.2.通过本例我们要进一步明确求线面角的一般步骤，平面的垂线是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用，因此，找或作出平面的垂线是求线面角的关键.3.直线和平面所成的角，是刻画空间位置关系的一类基本几何量，与射影密切相关.其中线面垂直是构成射影的必要条件，而空间各种角的计算方法，都是化为平面图形角的计算.因此，掌握转化的思想方法是解决这类问题的基本功.变式练习：1．已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，（1） 求直线1AB 和平面1111A B C D 所成的角；（2）求直线1DB 和平面1111A B C D 所成的角的正弦值；2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。
二面角定理
B
二面角的大小的范围:
0 180
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
D’
A, B l AC BD
AC⊥l BD ⊥l
C
C’ B’ O
Bl D
A’
D
C
A O 二面角--l--
A B 二面角B--B’C--A A
B 二面角A--BC--D E
O
D C
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4；求二面角 － l－ 的大小。 解： 过 A作 AO⊥ 于O，过 O作 OD⊥ l 于D， 连AD则可得 AD⊥ l
除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?
β a
α
A
4.两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直。 符号表示: a a 面
α β a
A
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直
问题： 已知AB 面BCD, BC CD
一.
1.二面角的定义
一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成 两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
B l
Q
B P
A 平面角由射线--点--射线构成。 2.二面角的表示 O
2.3.2 平面与平面垂直的判定
复习回顾
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 求证：直线SD 平面ABC . 2 若AB BC , 求证：BD 面SAC
1.如图所示，在三棱锥S -ABC中，ABC 90，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
S
B A C D
热身训练
2.如图，直四棱柱ABCD ABC D中，底面四边形ABCD满足什么条件时， AC BD '
A D' B' C' A B D
C
2
2.3.2 直线与平面所成的角
1.理解并掌握斜线在平面内的射影，会找斜线在平面内的射影(重点) 2.理解并掌握直线与平面所成的角(重点) 3.掌握直线与平面所成角的求法(难点、易混点)
自主学习
阅读课本66页，回答下列问题 1.平面的斜线是什么？斜线在平面上的射影是什么？如何找出斜线在平 面上的射影？关键是什么？ 2.怎么描述斜线与平面所成的角？图形如何？ 3.直线与平面所成的角的范围如何？
7
达标训练
1.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值．
S
A
C
B
8
达标训练
2.如图，PA 矩形ABCD所在的平面，M、N 分别是AB、PC的中点．
1 求证：MN / / 平面PAD； 2 若PD与平面ABCD所成的角为45，求证：MN 平面PCD.
精讲点拨
A1 B1C1 D1中， 例1 在正方体ABCD1 求直线A1 B与平面AA1 D1 D所成的角；
2 求直线A1 B与平面BDD1 B1所成的角
5Leabharlann 精讲点拨A1 B1C1 D1中， 变式训练 在正方体ABCD 1 求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
2 求直线A1 B与平面DCC1 D1所成的角; 3 求直线AC与平面DBB1 D1所成的角;
精讲点拨
1 证明：A1 D 平面A1 BC . 2 求直线A1 B和平面BB1C1C 所成的角的正弦值．
A1 B1C1中，BAC＝90，AB＝AC＝2，AA1＝4， 变式训练 如图，在三棱锥ABC A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．
9
归纳延伸
1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.线面垂直的判定定理提供了一种证明异面直线垂直的方法