26.1.3二次函数y=ax2+c的图像

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二次函数y=ax2的图象和性质PPT精品课件

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
2021/3/1
1
温故而知新对于函数的图象和性质，我们并不陌生。请同学们回忆：我们是如何研究一次函数的图象和性质的？
（1）画函数的图象（用描点法）
（2）由函数的图象得到函数的图象特征和性质
（3）从哪些方面来概括一次函数的图象特征和性质？
①函数图象的形状 ②函数图象的位置，即图象经过哪些象限。 ③函数随自变量的增大如何变化。
y
在对称轴的右侧，－4 －2
y随x的增大而减小。
－2
不试同归点纳：a<a 0要时越，大，抛
－4
物y线=a的x开2的口图越像小．
－6
24x
y 1 x2 2
特征
2021/3/1
－8
y x2 y2x2 11
我来归纳：函数 y ax 2的图象及其性质：
1函数 yax2的图象是一条抛物
2.当a0时，图象开口向下；
1函数 yax2的图象是一条抛物
2.当a0时，图象开口向上；
且a越大，图象开口就；越小
3对称轴 y轴 ;是
4抛物线的顶点是原点y； x2
5在对称轴的左侧， y 2x2
8
6
y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧， y随x的增大而增大。
4
y 1 x2 2 2
－4 －2
2021/3/1
24
9
5、画出函数y x2 ,y 1x2 ,y 2 x2
yx2的图象上 y1，， y2，y则 3的大小关系是
A、y1y2y3，B、y1y3y2,
C、y y 2021/3/1 3
2
y1，D、y2
y1y3
14
4.y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中，可能是（ B）

九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教

•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时， y随 x的增大而增大， x＜ 0时， y随 x的增大而减小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时， y随 x的增大而减小， x＜ 0时， y随 x的增大而增大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数

26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识吗? a o
(纵轴) 第二象限第一象限第三象限第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。抛物线。抛物线这条抛物线关于y轴这条抛物线关于轴这条抛物线关于y轴这条抛物线关于轴这条抛物线关于y轴这条抛物线关于轴对称，轴就是它的对称，y轴就是它的对称， y轴就是它的对称，y轴就是它的对称，对称，轴就是它的对称轴。对称轴。轴就是它的对称轴。对称轴。对称轴。对称轴。对称轴与抛物线抛物线的交点对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。叫做抛物线的顶点

26.1.3二次函数及其图象(3)

总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0 ,向右平移, h 0 ,向左平移,平移
h个单位.
(2)抛物线 y a( x h)的性质：
2
① a 0时,开口向上；a 0 时，开口向下； ②对称轴是直线 x
h；
③顶点坐标是 ( h,0).
练习二
1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：
1 2 y x , 2
1 y ( x 2) 2 , 2
y
1 ( x 2) 2 . 2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方
1 2 y ( x h ) 向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
一、复习用描点法画出函数向、对称轴与顶点坐标. 图象，并根据图象指出抛物线
yx
yx
2
2
的开口方
对于二次函数y ax
a>0时顶点坐标对称轴位置
（0，0）
y轴在x轴的上方（除顶点外）向上
2
a< 0时
（0，0）
y轴在x轴的下方（除顶点外）向下
开口方向当x=0时,y最小值=0。当x=0时,y最大值=0 最值
2.抛物线y=
B．向下平移1个单位； D．向右平移1个单位．
2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物线. 向下平移3.4个单位呢? 3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值?是多少?
点，当x=
，与y轴交点坐标直线x=3

九年级数学下册第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+

y 3x2
向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
与y=-3x²有关
y3x12 y3x122
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=1).
x=1
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池
y
中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱
在与池中心的水平距离为1m处达到最高，
高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水
管应多长？
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）
是顶点，设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），
∵点（3，0）在抛物线上，
系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）
的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
【解析】选A. 抛物线的
y (米)
顶点坐标为（2,4），
所以水喷出的最大高度
是4米.
x (米)
4.（温州·中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0 C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值【解析】选C．因为图象顶点的纵坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
26.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象
第2课时
1.会画y=a(x-h)2+k的图象； 2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解y=a(x-h)2+k的性质.

26.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象

（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ；（6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 y=2x2 的图象，在向右平移 3 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
y
1 2 x 2
答：形状相同，位置不同。想一想：三条抛物线三个图象之间通过沿x轴平有什么关系？移可重合。
x=-1
1 y ( x 1) 2 2
x=1
1 y ( x 1) 2 2
y
1 2 x 2
观察回答：二次函数的平移.gsp 1 y ( x 1) 函数的图象,开口方向下，对称轴 2 1 (-1,0) y ( x 1) 图象,开口方是 x=-1 ，顶点是；函数的 2 （向下，对称轴是 x=1 ，顶点是 1，0）。
例3 在同一平面直角坐标系内 1 2 y ( x 1) 与 y 1 ( x 1) 2 画出 2 2 的图象．
1 1 2 例题2：参照下表画出函数y = - (x + 1) 与y = - (x - 1)2 的图象 2 2
x
1 y ( x 1) 2 2
1 y ( x 1) 2 2
y 3x 2

26.1.3二次函数y=ax2+c(用)的图像

抛物线y=x2
函数的上下移动
原则：上加下减
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
练习1: 1．二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是 ______，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ______，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ______，函数y＝x2当x＝______时， y有最 ______值，其最______值是______。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
顶点为(0, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移抛物线 y=x2+1 1个单位抛物线y=x2 向下平移抛物线 y=x2－1 1个单位 y
或y=－３x2＋１
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0) 相同的图象形状，只是位置不同；当 c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2 c 上的图象向平移个单位得到，当c<0 时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图 |c| 象向平移个单位得到。下 y

26.1.2二次函数y=ax2的图像课件

2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
2.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是
；
（2）对称轴是
，开口
。
（3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的
。
抛物线在x轴的
方（除顶点外）。
驶向胜利的彼岸
26.1.2二次函数y=ax2的图像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回顾知识:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点的直线。二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。
三、反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象又是什么。
y 2 x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
对称这对轴对这对对这对条称对称与条称称条称抛，称轴抛抛，轴抛，y物轴。物轴物y。物轴y线。线轴就线线就关的就是关关是于交是它于于它y点它的轴y轴的y轴的叫做抛物线的顶点。
1、观察右图，并完成填空。
x
反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象是双曲线。
x
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0）其图象又是什么呢？。
二次函数y=ax2的图像
画出下列函数的图象。
(1)y 1 x2 2
(2)y 2x2 (3)y 2 x2
3
y x2
y 1 x2 2
y x2
y 2x2
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）

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（3）抛物线y=-3x2+5的开口下，对称轴是 y轴，顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x= 0 时，取得最大值，这个值等于 5 。（4）抛物线y=7x2-3的开口上，对称轴是 y轴，顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x= 0 时，取得最小值，这个值等于 -3 。
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
解: 列表
描点连线
x … -3 -2 y=x2+1 … 10 5
-1 2 0
0 1
1 2 0
2 5 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 … 10 … 8 …
y=x2-1
…
8
3
-1
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x2+1 y=x2－1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
顶点为(0, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移抛物线 y=x2+1 1个单位抛物线y=x2 向下平移抛物线 y=x2－1 1个单位 y
抛物线y=x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
上加下减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口向上，对称轴是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而增大，当x= 0 时，取得最小值，这个值等于 c ；当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而减小，当x= 0 时，取得最大值，这个值等于 c 。
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向上平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象下平移 11个单位得到。可由 y=4x2的图象向 (2)将函数y=-3x2+4的图象向下平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
y=ax2 (a≠0) 图象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向向上向下顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴当x<0时, 当x<0时，增 y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。减当x>0时，当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
y=ax2+c (a≠0) 开口方向
顶点坐标对称轴增减性极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。当x>0时， y随着x的增大而增大。
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢? y=2x2+c与y=-2x2+c.gsp (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0) 相同的图象形状，只是位置不同；当 c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2 c 上个单位得到，当的图象向平移 c<0 时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图 |c| 象向平移个单位得到。下 y
y=x2
函数的上下移动
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
观察抛物线y=-x2+2,y=-x2－1与抛物线y=-x2的关系:二次函数y=-x2+c的图象.gsp 抛物线y=-x2 向上平移抛物线 y=-x2+2 抛物线y=-x2
2个单位向下平移抛物线 y=-x2－1 1个单位
x
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系? （1）抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小= C
x=0时,y最大=C
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|c|个单位得到.