第八章特殊化方法.
课件谭浩强C++程序设计第8章(带特殊条款)
课件谭浩强C++程序设计第8章(带特殊条款)课件：谭浩强《C++程序设计》第8章概述：第8章主要介绍了C++中的继承和多态性。
继承是面向对象编程中的一种重要特性，它允许我们创建一个新的类（称为派生类），该类继承另一个类（称为基类）的属性和方法。
多态性则允许我们使用一个接口来定义多种不同类型的对象的行为。
本章将详细介绍这两个概念，并通过实例来演示它们的应用。
一、继承的概念与定义1.继承的基本概念继承是面向对象编程中的一种机制，允许我们创建一个新的类（派生类），该类继承另一个类（基类）的属性和方法。
派生类可以添加新的属性和方法，也可以覆盖基类的方法。
2.继承的定义在C++中，继承通过使用冒号和访问权限关键字（如public、protected和private）来定义。
例如，如果我们要创建一个派生类Student，它继承自基类Person，可以如下定义：cppclassPerson{public:stringname;intage;};classStudent:publicPerson{public:stringstudentId;};二、继承的访问权限1.公共继承（public）当一个类使用public关键字进行继承时，基类的public成员在派生类中仍然是public，protected成员在派生类中仍然是protected。
2.保护继承（protected）当一个类使用protected关键字进行继承时，基类的public和protected成员在派生类中都变为protected。
3.私有继承（private）当一个类使用private关键字进行继承时，基类的public和protected成员在派生类中都变为private。
三、继承中的构造函数和析构函数1.构造函数的继承在派生类中，构造函数会调用基类的构造函数，然后执行派生类自己的构造函数。
如果基类有默认构造函数，则可以省略基类构造函数的调用。
组合数学第8章[特殊计数序列]
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a0
a4 a3 a2
a2 a3 a4 (a1 (a2 (a3a4 ))) (a2 (a3a4 )) (a3a4 ) a1
a0
a4 a3 a2
a1
a2 a3
a4
Catalan数
(a1 ((a2 a3 )a4 )) ((a2 a3 )a4 ) (a2 a3 ) a1 a2 a3 a4
图8-6
a0 a1 a2
Catalan数
[例4]有2n个人排成一行进入剧场，入场 费50美分。2n个人中有n个人有50美分的 硬币，另n个人有一美元的纸币。问有多 少种列队方式，使得只要有持1美元的人 买票，售票处就有50美分的硬币可以找零 ？ [解]将50的硬币和1美元纸币分别视为+1 和-1，则答案为例3中的符合要求的序列 1 2n 数：Cn 2
Catalan数
((a1 (a2 a3 ))a4 ) (a1 (a2 a3 )) a1 (a2 a3 ) a1
a0
a4 a3 a2
a2 a3 a4 (((a1a2 )a3 )a4 ) a1 a4
a0
a4 a3 a2
((a1a2 )a3 ) (a1a2 ) a1 a2 a3
Catalan数
((a1a2 )(a3a4 )) (a1a2 ) a1 (a3a4 ) a1
nhn1 (4n 6)hn
f n 1 nhn 1，
f n 1 fn 2(2n 3) (4n 6) fn n 1 n 1 (2n 2)( 2n 3) fn (n 1)( n 1)
Catalan数
即
f n1 (2n 2)(2n 3) , f 2 h2 1, fn (n 1)(n 1)
离散数学 第8章：特殊图
验证：
例1 哥尼斯堡七桥问题
例2 下图是欧拉图. 从A点出发, 如何一次成功地走出一条欧拉回路来？ 课后作业： 8.6
§8.3 哈密顿图
哈密顿周游世界问题
哈密顿图的定义
哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图.
例1：
下图为常见的汉字：
既不是欧拉通路 也不是欧拉回路
欧拉通路
欧拉通路
欧拉回路
欧拉图的判别法
定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是欧拉通路当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点. 且从一个奇度顶点开始到另一个奇度顶点结束。
定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都 等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶 点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1, 其余 顶点的入度等于出度.
（可验证某图不是哈密顿图）
几点说明： 1. 定理中的条件是哈密顿图的必要条件, 但不是充分 条件. 2. 可利用该定理判断某些图不是哈密顿图.
无向哈密顿图的一个充分条件
定理 设G是n阶(n3)无向简单图, 若任意两个不相邻的顶 点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通路. 当n3时, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大
中，则Krs必有 r×s 条边。 r=|V1|, s=|V2|.
注意: n 阶零图为二部图.
二部图的判别法
定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇数 长度的回路（无奇圈）. 例 下述各图都是二部图
课后作业： 8.1，8.2， 8.3
§8.2 欧拉图
哥尼斯堡七桥问题
离散数学 第八章
欧拉图(续)
例 图中, (1), (4)为欧拉图; (2), (5)为半欧拉图; (3)，(6)既不 是欧拉图, 也不是半欧拉图. 在(3), (6)中各至少加几条边才能成为欧拉图?
13
欧拉图的判别法
定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点. 定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都 等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶 点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1, 其余 顶点的入度等于出度.
9
8.2 欧拉图
欧拉通路 欧拉回路 欧拉图 半欧拉图
10
哥尼斯堡七桥问题
欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路.
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欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
第8章 一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密顿图 8.4 平面图
1
8.1 二部图 二部图 完全二部图 匹配 极大匹配 最大匹配 匹配数 完备匹配
2
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
第8章异方差性
• 通常的LM=3.54 • 异方差—稳健LM=4.00 • 仍然不能拒绝H0 • 问题：语句的意思，有没有直接计算LM的命令（robust LM statistic已有，则前面的计算？）
其中是解计计量的某计函数并决定着异方差0由于是的函数所以以计条件的期望计计并且所以可以将方程两计同计除以计计计计以后得到的估计量即计广计最小二乘估计量此计得到的计准计计计量是确当wlsglswlsols的
计量经济学导论第四版 伍德里奇
第八章 异方差性 2010.1.12
袁昕
一、异方差----基本概念
3.怀特检验whitetst White‘s general test statistic : 52.17226 Chi-sq(25) P-value = .0011
4.whitetst, fitted White’s special test statistic : 26.57258 Chi-sq( 2) P-value = 1.7e-06
• 定义：不可观测因素的方差随总体的不同部 分（由不同解释变量值所决定）而变化，即：
Var（ui xi ）=i2
• 异方差对OLS影响：
•通常的t、F检验以及置信区间不确当 •OLS不是BLUE，也不再是渐进有效的 •不导致估计系数出现偏误或产生不一致 •拟合优度指标的解释也不受影响
二、OLS估计后的异方差-稳健推断
• 计算F统计量：
异方差-稳健的LM检验
例8.3 P256 CRIME1.DTA
例8.3 P256 CRIME1.DTA
1.ROBUST回归
高一数学第8章知识点梳理
高一数学第8章知识点梳理在高一的数学课程中，第8章是一个重要的章节，主要涵盖了向量的基本概念、向量的运算、向量的线性运算、向量共线与平行、向量的数量积以及向量的应用等内容。
本文将对这些知识点进行梳理并进行简要讲解。
1. 向量的基本概念向量是有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量的大小表示为向量的模或向量的长度。
同时，向量还有起点和终点之分，通常用起点和终点的坐标表示向量。
向量的表示方法有坐标表示法和字母表示法。
2. 向量的运算向量的运算主要包括加法和减法。
向量的加法满足交换律和结合律。
向量的减法可以等效为向量的加法。
3. 向量的线性运算向量的线性运算包括数乘和倍乘。
数乘是指将向量的大小进行相乘，同时保持方向不变。
倍乘是指将两个向量进行数乘后相加。
4. 向量共线与平行向量的共线性可以通过数乘判断，如果两个向量的数乘为0，则说明两个向量共线；如果两个向量的数乘不为0，则说明两个向量不共线。
向量的平行性可以通过向量的坐标表示进行判断，如果两个向量的坐标比例相等，则说明两个向量平行。
5. 向量的数量积向量的数量积又称点积，是指两个向量与它们之间夹角的余弦值相乘所得的一个标量。
向量的数量积具有交换律和分配律。
向量的数量积可以用来求解夹角的余弦值、向量的投影以及判断两个向量的夹角大小。
6. 向量的应用向量的应用非常广泛，可以用来表示物理量，如力或速度。
同时，向量的数量积还可以用来求解平面几何问题，如判断平面上的点是否在一条直线上。
本章的知识点比较抽象，需要同学们进行大量的练习除了理解外，还要进行运用。
因此，建议同学们在学习时要多做一些相关的习题巩固所学知识。
同时，也要注意数学语言的表达，避免使用过于简单和模糊的词汇。
总之，高一数学第8章的知识点对于同学们的数学学习和理解具有重要的意义。
通过学习本章的知识，同学们不仅可以提高数学分析和问题解决的能力，还可以为后续的学习打下坚实的基础。
因此，在学习过程中，同学们要保持积极的态度，勤奋学习，善于总结和归纳，提高数学思维的灵活性和应用能力。
第八章分离变数(傅里叶级数)法
由此得到二个常微分方程：
X "X 0, T "a 2T 0
第二步：边界条件的分离变量 （8.1.4）代入边值条件 u |x0 0,
u |xl 0
X (0) T (t ) 0 , X (l ) T (t ) 0 (t 0) X (0) 0 , X (l ) 0
u( x,t ) 2π 2π sin( x ) cos( at ) X ( x ) T (t ) 2A λ λ
t = T/2
4
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 utt a u xx 0, (0 x l ) (8.1.1) 边界条件 u |x 0 0, u | x l 0 (8.1.2) 初始条件 u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ) (8.1.3)
d cos( nx / l ) dx
x 0
0
d cos( nx / l ) dx
24
x l
0
相应关于 T 的方程
T " 0 ( 0) 及 T " n a T 0 ( 0) l2
2 2 2
解为 T0 A0 B0t
n a n a Tn An cos t Bn sin t l l
2
求解步骤如下：
第一步：泛定方程的分离变量 考虑如下驻波形式的特解： u( x, t ) X ( x) T (t ) (8.1.4) 代入方程（8.1.1）：XT"a 2 X " T 0 两边同除 a XT
2
T" X" 2 a T X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是独立变量，故只有两边为同一常数 (-)。
第八章分离变数法
9
第四步：解时间部分：
T ''
n2 2a2
l2
T
0
通解为：
T (t) Acos nat B sin nat ;
l
l
因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的 特解为
un
(
x, t)
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
sin
nx
l
,
(n 1,2,3)
用分离变数法得到的数学解式特别清 楚地反映了波动的这些基本概念。
2
两端固定弦的自由振动：
泛定方程 utt a2uxx 0, (0 x l)
初始条件 u |x0 0,
u |xl 0,
边界条件 u |t0 ( x), ut |t0 ( x),
(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)
柱外 2u 0
uxx uyy 0
u |x2 y2＝a2 0
用直角坐标，变数无法分离！ 改用极坐标
2u
2
1
u
1
2
2u
2
0
( a)
u |a 0, u(, 2 ) u(, ),
欲分离变数，不仅要求齐次方程、齐次 边界条件，还要选择合适的坐标系！
38
u
|
E0
cos
u0
Q
2
0
ln
2l
x=l边值要求
d sin nx n cosn 0
dx 2l xl 2l
2
n 2k 1, (k 0,1,2, ),
30
u(x,t)