总体均数的估计-研

若 X i 服从正态分布 分布 则 X j 服从正态
若 X i 不服从正态分布 n大：则 X j 近似服从正态分布 n小：则 X j 为非正态分布
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1、从正态总体N(，2)中，随机抽取例数
为n的样本，样本均数X也服从正态分布； 即使从偏态总体抽样，当n足够大时X也近 似正态分布。 2、从N(，2)的正态总体中抽取例数为n的
计算 方法
用途
绝大多数观察对象某 总体均数的区间估计 项指标的分布范围
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均数的标准差和标准误的区别
标准差 标准误
描述观察值的变异程 度。其值越小，观察 意义 值的变异程度越小， 均数的代表性越好…
计算 …
描述样本均数的变异程 度，说明抽样误差的大 小。其值越小，估计总 体均数的可靠性越大…
…
描述观察值的变异程 用于表示抽样误差大小、 度大小，制定医学参 总体均数的区间估计和 用途 考值范围、计算变异 均数的假设检验等 系数和标准误
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练习题
是非判断： 1．标准误是一种特殊的标准差，其表示抽
样误差的大小。
2．N一定时，测量值的离散程度越小，用样
本均数估计总体均数的抽样误差就越小。
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注意： X 、SX均为样本均数的标准误
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标准误
意义：
反映抽样误差的大小。标准误越小，抽 样误差越小，用样本均数估计总体均数的可 靠性越大。 与样本量的关系：S 一定，n↑，标准误↓
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标准误
用途： 衡量抽样误差大小 估计总体均数可信区间 用于假设检验
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第二节
t 分布
一、 t 分布的概念 若某一随机变量X服从总体均数为、总体标准 差为 的正态分布N(,2)
u X

~ N (0,1)
由于样本均数服从总体均数为、总体标准差 2) 为 X的正态分布N(,
X
u
X

~ N (0,1)
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X
对正态变量样本均数X做正态变换（u变换）：
X u / n
X 常未知而用SX估计,则为t变换：
X t S/ n
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X X t , SX S n
本g=100个，，每次样本含量nj=10人，得到每个样本 均数Xj及标准差Sj如图3-1和表3-1所示。
Sj 167.41，2.74 165.56，6.57 168.20，5.36 … 165.69，5.09
X
j
=167.7cm =5.3cm x1,x2,x3,xi,
nj=10
100个
图3-1 1999年某市18岁男生身高的抽样示意图
1、单峰分布，以0为中心，左右对称 2、越小，t值越分散，t分布的峰部越矮而尾
部翘得越高；
3、当逼近, S 逼近 X ,t分布逼近u分布。 X
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t 界值表（P804附表2 ） t/2，：表示自由度为，双侧概率P为
时t的界值
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t分布曲线下面积(概率P或)与横轴t值间的关 系：
一、抽样研究
用样本信息推断总体特征的研究方法称为
抽样研究。
总体
样 本
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统计推断：用样本信息推论总体特征的过程。
包括： 参数估计: 运用统计学原理，用样本统计 量对总体参数进行估计。 假设检验：是指由样本间存在的差别对样 本所代表的总体间是否存在着差别做出判断。 方法：均数的参数估计、均数u 检验 、均数 t 检验…
区间估计的精确度：指区间范围的宽窄，范
围越宽精确度越差。99%的可信区间差于95%的
可信区间（n, S 一定时）。
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四、总体均数可信区间与参考值范围的区别
总体均数的可信区间 参考值范围
含义
按预先给定的概率确 定的未知参数μ所在 的范围 总体均数的可能范围 U分布法或t分布法
“正常人”的解剖、生 理、生化等指标的波 动范围 个体值的波动范围 正态分布法或 百分位数法
Interval, CI)。
常表示为：（L,U）
可信度:估计正确的概率。1-
95％或99％
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二、总体均数可信区间的计算
按一定的可信度由样本均数计算的总体 均数可能所在的范围，这个范围称为总体均 数的可信区间。 方法： (1) u 分布法 (2) t 分布法
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（1）t分布 法
未知、n小时按t分布原理 总体均数的双侧（1-α）CI：
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样本均数的分布
样本号 1 2 3 4 … 97 98 99 100
X
j
167.41 165.56 168.20 166.67 … 167.48 169.93 169.40 165.69
极差：172.61163.28=9.33 看作新 变量 均数：167.69 标准差：1.6922 频数分布图：
（原总体：μ=167.7 σ=5.3）
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三、可信区间的确切含义
总体均数的95％可信区间：从总体中作随机
抽样，作100次抽样，每个样本可算得一个
可信区间，得100个可信区间，平均有95个
可信区间包括总体均数(估计正确)，只有5
个可信区间不包括总体均数(估计错误)
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区间估计的准确度：说对的可能性大小，
用 (1-) 来衡量。99%的可信区间好于95%的 可信区间（n, S 一定时）。
( X t / 2, SX
单侧可信区间：
,
X t / 2,S X )
例3-2：P40
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（2）u 分布 法
已知或未知但n足够大时按正态分布原理 总体均数（1-α）CI ：
( X u / 2 X
,
X u / 2 X )
( X u / 2SX , X u / 2SX )
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正态总体中样本均数抽样分布具有如下特点：
①各样本均数未必等于总体均数；
②各样本均数间存在差异；
③样本均数围绕总体均数呈正态分布；
④样本均数变异范围较原变量变异范围大大缩
小。 在非正态分布总体中可进行类似抽样。
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若 X i不服从正态分布：
样本含量n=4 样本含量n=9 样本含量n=100
X
的平均数＝0.9903
例3-3：P4129 Nhomakorabea总体均数之差的可信区间：
( X1 X 2 ) t / 2, S X1 X 2
n1 n2 2
S X1 X 2 (n1 1)s (n2 1)s 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
2 1 2 2
样本含量较大时可按u分布法计算 例3-4：P42
t值的分布即为t分布
n 1
自由度：随机变量能自由取值的个数 υ=n-m t分布最早由英国统计学家W.S. Gosset 于1908年以“Student”笔名发表，故又称 Student's t-distribution。
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二、t分布的图形与特征 t 分布的曲线：与υ有关
3-3
19
t分布的图形与特征
5
二、均数的抽样误差
抽样误差：由于个体变异和抽样引起的 样本统计量与总体参数之间的差异或各 样本统计量之间的差异。 均数的抽样误差：样本均数与总体均数
或者各样本均数之间的差异。
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例3-1：若某市1999年18岁男生身高服从均数为
167.7cm，标准差为5.3cm的正态分布。从该正态分布
N(167.7, 5.32)cm总体中随机抽样100次即共抽取样
X 的平均数＝1.0068 X 的标准差＝0.3313 X 的中位数＝0.9696
X
的平均数＝0.9995
X 的标准差＝0.4891 X 的中位数＝0.9087
X 的标准差＝0.1002 X 的中位数＝0.9976
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（从总体均数为1的指数分布总体中抽样）
根据数理统计推理和中心极限定理 可得到如下结论：
态分布
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第三节 总体均数的估计
一、可信区间的概念 统计推断：参数估计 假设检验
参数估计：用样本统计量估计总体参数。 1、 点（值）估计：用样本统计量作为对 总体参数的估计值
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2、 区间估计：根据选定的可信度（或置信
度，用概率表示）估计总体参数所在的范围。
该范围称为可信区间或置信区间(confidence
概念回顾：
总体：
样本：
统计量： 参数： 统计分析：统计描述
统计推断：参数估计、假设检验
2
欲了解某地2007年正常成年男性血清总 胆固醇的平均水平，随机抽取该地200名正常 成年男性作为样本。 由于存在个体差异，抽得的样本均数不 太可能恰好等于总体均数。
3
第一节
均数的抽样误差与标准误
在相同自由度时，│t│值增大，P减小； 在相同│t│值时，双尾P为单尾P的两倍。如： 双尾 t0.10 / 2,10 =单尾
t0.05,10=1.812。
单侧概率：一侧尾部面积 双侧概率：两侧尾部面积
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t分布曲线下面积的规律：
中间95%的t值：- t0.05/2， t0.05/2， 中间99%的t值：- t0.01/2， t0.01/2，
样本，样本均数X的总体均数也为，标
准差为X
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标准误(standard error, SE) ：样本统计量的 标准差 样本均数的标准差称为均数的标准误(standard error of mean, SEM) 计算：
x ／ n
Sx S ／
（标准误的理论值）
（标准误的估计值） n
(1) 自由度（υ）一定时，p与│t│成反比;
(2) 概率（p）一定时，υ与│t│成反比。
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t分布与标准正态分布的比较：
1、二者都是单峰分布，以0为中心左右对称