课堂新坐标2016～2017学年度高中数学人教A版必修五同步训练题库章末综合测评2及答案
【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。
2016～2017学年度高中数学人教A必修五同步训练题库章末综合测评1及解析
章末综合测评(一)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC 中,若sin A ＋cos A ＝712,则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形【试题解析】 若A ≤90°,则sin A ＋cos A ≥1>712,∴A >90°. 【参考答案】 A2.在△ABC 中,内角A 满足sin A ＋cos A >0,且tan A －sin A <0,则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 【试题解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角,∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ,∴π2<A <π. ②由①②得,π2<A <3π4. 【参考答案】 C3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a ,那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A.(8,10)B.(22,10)C.(22,10)D.(10,8) 【试题解析】 设1,3,a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ,由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10,32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2, ∴22<a <10. 【参考答案】 B4.已知圆的半径为4,a ,b ,c 为该圆的内接三角形的三边,若abc ＝162,则三角形的面积为( )A.2 2B.8 2C. 2D.22【试题解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8, ∴sin C ＝c 8,∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【参考答案】 C5.△ABC 的三内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设向量p ＝(a ＋c ,b ),q ＝(b －a ,c －a ),若p ∥q ,则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3【试题解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0, 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3.【参考答案】 B6.在△ABC 中,若sin B sin C ＝cos 2A2,则下面等式一定成立的是( ) A.A ＝B B.A ＝C C.B ＝CD.A ＝B ＝C【试题解析】 由sin B sin C ＝cos 2A2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1,∴B －C ＝0,即B ＝C . 【参考答案】 C7.一角槽的横断面如图1所示,四边形ADEB 是矩形,且α＝50°,β＝70°,AC ＝90 mm,BC ＝150 mm,则DE 的长等于( )图1A.210 mmB.200 mmC.198 mmD.171 mm【试题解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°,在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长,即为DE 的长.【参考答案】 A8.(2014·江西高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332 D.3 3【试题解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6,∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3,∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0,即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【参考答案】 C9.(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中,sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B ),则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【试题解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ,即2a 2b ＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3,∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2,∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2,∴a 2＋b 2＝c 2,∴△ABC 为直角三角形,故选D.【参考答案】 D10.在△ABC 中,sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ,则A ＝( )A.30°B.60°C.120°D.150°【试题解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2, ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ,∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12,又0°<A <180°,∴A ＝120°. 【参考答案】 C11.在△ABC 中,A ∶B ＝1∶2,∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分,则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D.0【试题解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线, ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等.∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等. ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2,∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32,又∵B ＝2A , ∴sin 2A sin A ＝32,即2sin A cos A sin A ＝32,∴cos A ＝34. 【参考答案】 C12.如图2,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B 后,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD ＝50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ( )图2A.23＋1B.23－1C.3－1D.3＋1 【试题解析】 在△ABC 中,BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2),在△BCD中,sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1,又∵cos θ＝sin∠BDC,∴cos θ＝3－1.【参考答案】 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形,且∠C为钝角,则a2＋b2与c2的大小关系为.【试题解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab,且∠C为钝角.∴cos C<0,∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【参考答案】a2＋b2<c214.(2013·安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b＋c ＝2a,3sin A＝5sin B,则角C＝.【试题解析】由3sin A＝5sin B,得3a＝5b.又因为b＋c＝2a,所以a＝53b,c＝73b,所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝⎝⎛⎭⎪⎫53b2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0,π),所以C＝2π3.【参考答案】2π315.在锐角△ABC中,BC＝1,B＝2A,则ACcos A的值等于,AC的取值范围为.【试题解析】设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ,∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°,故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32,∴AC＝2cos θ∈(2,3).【参考答案】2(2,3)16.(2014·全国卷Ⅰ)如图3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°;从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝m.图3【试题解析】根据图示,AC＝100 2 m.在△MAC中,∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN中,MNAM＝sin 60°,∴MN＝1003×32＝150(m).【参考答案】150三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sinA sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a;(2)若c2＝b2＋3a2,求B.【解】(1)由正弦定理得,sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A,即sin B(sin2A＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ,所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2, 得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2,故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12,又cos B >0, 故cos B ＝22,所以B ＝45°.18.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a ＝2,cos B ＝35.(1)若b ＝4,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4,求b ,c 的值. 【解】 (1)∵cos B ＝35>0,且0<B <π, ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B , sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4, ∴12×2×c ×45＝4,∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17,∴b ＝17. 19.(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中,∠A ＝3π4,AB ＝6,AC ＝32,点D 在BC 边上,AD ＝BD ,求AD 的长.【解】 设△ABC 的内角∠BAC ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90,所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010, 由题设知0<B <π4, 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中,因为AD ＝BD ,所以∠ABD ＝∠BAD ,所以∠ADB ＝π－2B ,故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20.(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处,由城A 出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去,走了20千米后到达D 处,此时C 、D 间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?【解】 如图所示,设∠ACD ＝α,∠CDB ＝β.在△CBD 中,由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17, ∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中,21sin 60°＝AD sin α, ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米).所以这人还要再走15千米可到达城A .21.(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小;(2)若b ＝2a ,△ABC 的面积为22sin A sin B ,求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0, ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0,即(2cos C ＋1)2＝0, ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0,π),∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2, ∴c ＝5a ,即sin C ＝5sin A , ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ,且S △ABC ＝22sin A sin B , ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ,∴absin A sin B sin C ＝2,由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2,解得c ＝1. 22.(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间;(2)若△ABC 中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且C ＝60°,c ＝3,求△ABC 的面积.【解】 (1)由题意,f (x )的最大值为m 2＋2,所以m 2＋2＝2. 又m >0,所以m ＝2,f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z ), 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R , 由题意,得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ,得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理,得2R (a ＋b )＝26ab ,a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理,得a 2＋b 2－ab ＝9, 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②,得2(ab )2－3ab －9＝0, 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去), 故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。
2016-2017学年高中数学 模块综合测评2 新人教A版选修2-3
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种【解析】 种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选B.【答案】 B2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) 【导学号：97270068】A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6【解析】 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.【答案】 B3．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，则c 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 随机变量ξ服从正态分布N (2,9)， ∴曲线关于x ＝2对称， ∵P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)， ∴c ＋c －22＝2，∴c ＝3.故选C.【答案】 C4．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32＋1，则A －B 的值为( ) A ．128 B ．129 C ．47D ．0【解析】 A －B ＝37－C 17·36＋C 27·35－C 37·34＋C 47·33－C 57·32＋C 67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.【答案】 A5．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120【解析】 ∵C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n＝64，∴n ＝6.T r ＋1＝C r 6x 6－r x －r ＝C r 6x6－2r，令6－2r ＝0，∴r ＝3， 常数项T 4＝C 36＝20，故选B. 【答案】 B6．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )A.19B.29C.13D.23【解析】 由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.【答案】 D7．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23 B ．C 28A 66 C ．C 28A 26 D ．C 28A 25【解析】 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C 28A 26，故选C.【答案】 C8．一个电路如图1所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )图1A.164B.5564C.18D.116【解析】 开关C 断开的概率为12，开关D 断开的概率为12，开关A ，B 至少一个断开的概率为1－12×12＝34，开关E ，F 至少一个断开的概率为1－12×12＝34，故灯不亮的概率为12×12×34×34＝964，故灯亮的概率为1－964＝5564，故选B. 【答案】 B9．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A1234【解析】利用方案A1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A3的期望最大，所以应选择的方案是A3，故选C.【答案】 C10．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是( )A．[0.4,1) B．(0,0.6]C．(0,0.4] D．[0.6,1)【解析】设事件A发生一次的概率为p，则事件A的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，即可得4(1－p)≤6p，p≥0.4.又0<p<1，故0.4≤p<1.【答案】 A11．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )A.715B.815C.1415D．1【解析】由题意，知X取0,1,2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝C27C210＝715，P(X＝1)＝C17·C13C210＝715，P(X＝2)＝C23C210＝115，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝715＋715＝1415.【答案】 C12．已知0<a<1，方程a|x|＝|log a x|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1等于( )A．－10 B．9 C．11 D．－12【解析】作出y＝a|x|(0<a<1)与y＝|log a x|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C1011＝－2＋11＝9.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25614．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________. 【导学号：97270069】【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.【答案】1815．某市工商局于2016年3月份，对全市流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的X饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶X饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的X饮料的概率是________．【解析】“第一瓶X饮料合格”为事件A1，“第二瓶X饮料合格”为事件A2，P(A1)＝P(A2)＝0.8，A1与A2是相互独立事件，则“甲喝2瓶X饮料”都合格就是事件A1，A2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8×0.8＝0.64.【答案】0.6416．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．【解析】 根据题意，每个部门都有3种情况可选，则4个部门选择3个景区有34＝81种不同的选法，记“3个景区都有部门选择”为事件A ，如果3个景区都有部门选择，则某一个景区必须有2个部门选择，其余2个景区各有1个部门选择，分2步分析：(1)从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C 24＝6种分法；(2)每组选择不同的景区，共有A 33＝6种选法．所以3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6＝36种．则P (A )＝3681＝49.【答案】 49三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·河南周口)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．【解】 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n 2，18n (n －1)，∴2·n 2＝1＋18n (n －1)，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)， ∴T k ＋1＝C k8x 8－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k82－k x 4－34k ，当4－34k ∈Z 时，T k ＋1为有理项．∵0≤k ≤8且k ∈Z ，∴k ＝0,4,8符合要求．故有理项有3项，分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.∵n ＝8，∴展开式中共9项．中间一项即第5项的二项式系数最大，则为T 5＝358x .18．(本小题满分12分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 【解】 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴ξ的分布列为(2)则P (C )＝C 34C 36＝420＝15，∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (A )＝C 25C 36＝12，P (AB )＝C 14C 36＝15，P (B |A )＝P AB P A ＝25.19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x2i＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．【解】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1nx i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明) 【解】 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”， 事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2，…，7. 由题意知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6，因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.21．(本小题满分12分)(2016·广州综合测试)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不被聘用的概率是625，乙、丙两人同时被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立． (1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望). 【导学号：97270070】【解】 记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A 1，A 2，A 3，由已知A 1，A 2，A 3相互独立，且满足⎩⎪⎨⎪⎧P A 1＝25，[1－PA 1－P A 3＝625，P A2P A 3＝310，解得P (A 2)＝12，P (A 3)＝35.所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为12，35.(2)ξ的可能取值为1,3.因为P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2 A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋ [1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)] ＝25×12×35＋35×12×25＝625， 所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝3)＝1－625＝1925，所以ξ的分布列为E (ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.22．(本小题满分12分)(2016·辽宁抚顺月考)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，【解】 (1)k ≈12.2，所以按照(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，27，且P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫27k·⎝ ⎛⎭⎪⎫573－k (k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为E (ξ)＝0×125343＋1×343＋2×343＋3×343＝7.。
2016-2017学年高中数学人教版-1 章末综合测评2
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－2【解析】 将y ＝－18x 2化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y＝2.【答案】 B2．(2015·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y24＝1B.x24－y 2＝1 C ．x 2－y22＝1D.x22－y 2＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y24－x2＝1，舍去.法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.3．(2015·湖南高考)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b2a2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c2－a2a2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D4．抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )【导学号：26160065】A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 【解析】 ∵y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴关于直线y ＝x 对称后抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.5．设F 1，F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF1→·PF2→的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4. S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF1→·PF2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】 B6．(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p【解析】 设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx ＝30°，则OA 的方程为y ＝33x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y2＝2px ，得y ＝23p ，∴△AOB 的边长为43p .【答案】 B7．已知|A B →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，O P →＝13O A →＋23O B →，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1C.x29＋y 2＝1 D ．x 2＋y29＝1【解析】 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|A B →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x24＋y 2＝1.【答案】 A8．AB 为过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ·|y A |，因此当|y A |最大， 即|y A |＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C9．若F 1，F 2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， 解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72.【答案】 B10．(2015·重庆高考)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2【解析】 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b2a c ＋a ·－b2a c －a＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C11．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A ．32B ．22 C.2D.322【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 联立直线与抛物线的方程错误!解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝322.【答案】 D12．已知椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2【解析】 由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a4－5a25a2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12，故选C. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b >0，所以b ＝3.【答案】314．设F 1，F 2为曲线C 1：x26＋y22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x26＋y22＝1，x23－y2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝2.【答案】215.如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x2a2＋y2b2＝1的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．图1【解析】 由条件知，c ＝p2，∴其中一个交点坐标为(c,2c )， ∴c2a2＋4c2b2＝1，∴e 4－6e 2＋1＝0， 解得e 2＝3±22，∴e ＝±(2±1)． 又0<e <1，故e ＝2－1. 【答案】2－116．(2015·上海高考)已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为x24－y 2＝1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为________．【解析】 因为C 1的方程为x24－y 2＝1，所以C 1的一条渐近线的斜率k 1＝12，所以C 2的一条渐近线的斜率k 2＝1，因为双曲线C 1、C 2的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设C 2的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以a ＝b ＝2，所以C 2的方程为x24－y24＝1.【答案】 x24－y24＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．【解】 由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，可设椭圆方程为y2a2＋x2a2－25＝1，双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1(b >0)． 点P (3,4)在椭圆上，则16a2＋9a2－25＝1，得a 2＝40，双曲线过点P (3,4)的渐近线方程为y ＝b 25－b2x ，即4＝b25－b2×3，得b 2＝16.所以椭圆方程为y240＋x215＝1，双曲线方程为y216－x29＝1.18．(本小题满分12分)(2016·厦门高二检测)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，(1)若|AB |＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y2＝8x⇒x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0⇒错误!|AB |＝2|x 1－x 2|＝2 错误!＝10， 得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716.(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0， 2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0，2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0，m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验m ＝－8.19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x . (1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为42.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x2a2－y2b2＝1. ∵双曲线过点P (－32，4)，∴18a2－16b2＝1.① 又b a ＝43，② 由①②，得a 2＝9，b 2＝16，∴所求的双曲线方程为x29－y216＝1. (2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝d21＋d22－|F1F2|22d1d2＝错误!＝错误!.20．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 【导学号：26160066】【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a2－b2＝2b ，故e ＝c a ＝255. (2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6. 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)． 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b . (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【解】 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b ＝1－e2a ，得直线F A 的方程为x －ae ＋y 1－e2a＝1，即1－e2x －ey ＋ae 1－e2＝0. 因为原点O 到直线F A 的距离为 22b ＝ae 1－e2， 所以221－e2·a ＝ae 1－e2， 解得e ＝22. (2)设椭圆C 的左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y0x0＋22a ＝12，2·x0－22a 2＋y02＝0，解得x 0＝3210a ，y 0＝225a . 因为P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫225a 2＝4. 所以a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4.故椭圆C 的方程为x28＋y24＝1， 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. 22．(本小题满分12分)(2016·郑州高二检测)已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，A C →＝14A B →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．【解】 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知，当k l ＝12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y1y2＝4，y1＋y2＝8＋p 2，又因为A C →＝14A B →， 所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2.由p >0得：y 1＝4，y 2＝1，p ＝2，即抛物线方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)， 由错误!得x 2－4kx －16k ＝0.①所以x 0＝x1＋x22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . 所以BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， 所以BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程①由Δ＝16k 2＋64k >0得k >0或k <－4.所以b ∈(2，＋∞)．。
2016-2017学年高中数学第二章数列习题课2数列求和高效测评新人教A版必修5资料
2016-2017学年高中数学 第二章 数列 习题课2 数列求和高效测评新人教A 版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析： 设{a n }的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝2a 1，a 1q 3＋2a 1q 6＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝31，故选C.答案： C2．数列{(－1)nn }的前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．－1 006 C ．2 012D ．－2 012解析： S 2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006. 答案： A3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121解析： ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案： C4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n 的前n 项和为( )A ．2n2n ＋1 B ．2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D ．n2n ＋1解析： 该数列的通项为a n ＝2n n ＋1，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…，则S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和S n ＝________. 解析： a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 答案：n 2n ＋16．求和：S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋ (12)________.解析： 被求和式的第k 项为：a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . 所以S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝2n ＋12n －1－2.答案： 2n ＋12n －1－2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解析： (1)设q 为等比数列{a n }的公比， 则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)易知b n ＝2n －1，则S n ＝2 1－2n1－2＋n ×1＋n n －1 2×2＝2n ＋1＋n 2－2.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证T n <1.解析： (1)∵S n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：∵S n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴1S n＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∵n ∈N *，∴1n ＋1>0，即T n <1. 尖子生题库☆☆☆9. (10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析： (1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N *.由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1，2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n，所以2T n －T n ＝(4n －1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n＋5.故T n ＝(4n －5)2n＋5，n ∈N *.。
(课堂新坐标)2016-2017学年高中数学人教a版高二选修4-5_模块综合测评_word版有答案AKMHKM
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2【解析】 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23. 【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】 根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】 由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0. 故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【解析】 对于C 中，1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0， ∴1ab 2<1a 2b . 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D.16【解析】 由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】 设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n ，即n ＝3时取等号，故选C.【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】 当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )， 当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1.【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，6) C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】 要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉M D.不能确定【解析】 ∵g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，∴|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|， 所以g (x )∈M .故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3| ＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]14．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的最小值为________． 【解析】 ∵ab ＝a ＋b ＋8，且a ＞0，b ＞0， ∴ab －8＝a ＋b ≥2ab ， ∴(ab )2－2ab －8≥0， ∴ab ≥4或ab ≤－2(舍去)， ∴ab ≥16，即ab 的最小值为16. 【答案】 1615．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________． 【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b216．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】 由柯西不等式 P ＝am ·b m ＋nc ·d n ≤am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q ，∴P≤Q.【答案】P≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)⎝⎛⎭⎪⎫1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]1a－b＋1b－c＝a－bb－c＋b－ca－b＋2≥2a－bb－c·b－ca－b ＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立．故1a－b＋1b－c≥4a－c成立．18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．图1【解】(1)由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，并指出等号成立的条件．【证明】 根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4， 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S ＝2bc ＋2ac ＋ab . 由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥ 332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ac ＋ab ＝300为最小， 这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1) (2) (3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．【解】 (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)， 取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2，取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n . 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数． 【解】 (1)由a n ＝3－a n －12，得2a n ＝3－a n －1，即1－a n 1－a n －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列， 所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n )＝⎝⎛⎭⎪⎫3－a n 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－a n 2－a 2n (3－2a n ) ＝9a n4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1，故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。
(课堂新坐标)2016-2017学年高中数学人教a版高二选修4-5_模块综合测评_word版有答案AKAKMP
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2【解析】 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23. 【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】 根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】 由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0. 故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【解析】 对于C 中，1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0， ∴1ab 2<1a 2b . 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D.16【解析】 由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】 设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n ，即n ＝3时取等号，故选C.【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】 当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )， 当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1.【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，6) C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】 要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉M D.不能确定【解析】 ∵g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，∴|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|， 所以g (x )∈M .故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3| ＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]14．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的最小值为________． 【解析】 ∵ab ＝a ＋b ＋8，且a ＞0，b ＞0， ∴ab －8＝a ＋b ≥2ab ， ∴(ab )2－2ab －8≥0， ∴ab ≥4或ab ≤－2(舍去)， ∴ab ≥16，即ab 的最小值为16. 【答案】 1615．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________． 【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b216．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】 由柯西不等式 P ＝am ·b m ＋nc ·d n ≤am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q ，∴P≤Q.【答案】P≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)⎝⎛⎭⎪⎫1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]1a－b＋1b－c＝a－bb－c＋b－ca－b＋2≥2a－bb－c·b－ca－b ＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立．故1a－b＋1b－c≥4a－c成立．18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．图1【解】(1)由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，并指出等号成立的条件．【证明】 根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4， 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S ＝2bc ＋2ac ＋ab . 由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥ 332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ac ＋ab ＝300为最小， 这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1) (2) (3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．【解】 (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)， 取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2，取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n . 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数． 【解】 (1)由a n ＝3－a n －12，得2a n ＝3－a n －1，即1－a n 1－a n －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列， 所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n )＝⎝⎛⎭⎪⎫3－a n 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－a n 2－a 2n (3－2a n ) ＝9a n4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1，故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。
高中数学人教A版必修二 章末综合测评2 Word版含答案
点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A．若a、b与α所成的角相等则a∥bB．若a∥αb∥βα∥β则a∥bC．若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD．若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．【答案】 D2．(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B＝BC1＝A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3．设l为直线αβ是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥αl∥β则α∥βB．若l⊥αl⊥β则α∥βC．若l⊥αl∥β则α∥βD．若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误；选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确；选项C由条件应得α⊥β故选项C错误；选项D l与β的位置不确定故选项D错误．故选B【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC＝60°下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB＝ACBD＝DC＝22AB又∠BAC＝60°所以△ABC为等边三角形故BC＝AB＝2BD所以∠BDC＝90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确．选D【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】 如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a又AD ＝aDM ＝a2∴AD 2＝DM 2＋AM 2∴∠AMD ＝90° 【答案】 D10．在矩形ABCD 中若AB ＝3BC ＝4P A ⊥平面AC 且P A ＝1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】 如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE ＝AB ·AD BD ＝125P A ＝1 ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知：PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC中AB＝BC＝AC＝ 3则S＝34×(3)2＝334VABC-A1B1C1＝S×PO＝94∴PO＝ 3又AO＝33×3＝1∴tan ∠P AO＝POAO＝3∴∠P AO＝60°【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1＝A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确．易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS＝8BS＝6CS＝12则SD＝________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS＝CSSD解得SD＝9【答案】914．如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件：________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点．又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15．如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN ＝90° 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝12CD ·PDS △P AB ＝12AB ·P A由AB ＝CDPD >P A 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点 可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错． 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB ＝90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证：AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB＝90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC＝A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC＝C∴AD⊥平面SBC18．(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC＝9BC＝12AB＝15AA1＝12点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9BC＝12AB＝15∴AC2＋BC2＝AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C＝C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点．(1)根据三视图画出该几何体的直观图；(2)在直观图中①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB ＝2CE ＝EF ＝1图8(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF ＝1AG ＝12AC ＝1所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF＝CG＝1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE＝EF＝1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD＝G∴CF⊥平面BDE21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB＝2DEGH分别为ACBC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证：平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一：连接DGCD设CD∩GF＝M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB＝2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF＝GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点．又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中由BC＝2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH＝EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF＝H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF＝HC因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH＝H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC＝O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF ＝30°在Rt △OEF 中OF ＝12OC ＝14AC ＝24a∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ∴OP ＝2EF ＝66a∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3。
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章末综合测评(二) (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,12,13,14,… B.－1,2,－3,4,… C.－1,－12,－14,－18,… D.1, 2, 3,…,n 【试题解析】 A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列. 【参考答案】 C 2.已知数列{an}是首项a1＝4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,－2a3成等差数列,则公比q等于( )
A.12 B.－1 C.－2 D.2 【试题解析】 由已知,2a5＝4a1－2a3,即2a1q4＝4a1－2a1q2,所以q4＋q2－2＝0,解得q2＝1,因为q≠1,所以q＝－1. 【参考答案】 B 3.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是( ) A.33个 B.65个 C.66个 D.129个 【试题解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}.
则 a1＝2，an＋1＝2an－1，即an＋1－1an－1＝2. ∴an－1＝1·2n－1 ,an＝2n－1＋1,a7＝65. 【参考答案】 B 4.等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成 一个新的数列 {bn},那么162是新数列{bn}的( ) A.第5项 B.第12项 C.第13项 D.第6项 【试题解析】 162是数列{an}的第5项,则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项. 【参考答案】 C 5.已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0),则{an}( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 【试题解析】 ∵Sn＝an－1(a≠0),
∴an＝
S1，n＝1，
Sn－Sn－1，n≥2，
即an＝
a－1，n＝1，
a－1an－1，n≥2，
当a＝1时,an＝0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a≠1时,数列{an}是一个等比数列. 【参考答案】 C 6.等差数列{an}的公差不为零,首项a1＝1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 【试题解析】 设公差为d, ∴(1＋d)2＝1×(1＋4d), ∵d≠0, ∴d＝2,从而S10＝100. 【参考答案】 B 7.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2＝4,S4＝20,则该数列的公差d＝( ) A.2 B.3 C.6 D.7 【试题解析】 S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16, ∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2) ＝4d＝16－4＝12, ∴d＝3. 【参考答案】 B
8.已知数列{an}满足a1＝5,anan＋1＝2n,则a7a3＝( )
A.2 B.4 C.5 D.52 【试题解析】 依题意得an＋1an＋2anan＋1＝2n＋12n＝2,即an＋2an＝2,数列a1,a3,a5,a7,…是一个以5为首项,2为公比的等比数列,因此a7a3＝4. 【参考答案】 B 9.在数列{an}中,a1＝2,2an＋1－2an＝1,则a101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 【试题解析】 ∵2an＋1－2an＝1,
∴an＋1－an＝12,
∴数列{an}是首项a1＝2,公差d＝12的等差数列, ∴a101＝2＋12(101－1)＝52. 【参考答案】 D 10.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图1所示：
图1 则第七个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【试题解析】 法一 ∵a1＝1,a2＝3,a3＝6,a4＝10,a5＝15,a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4－a3＝4,a5－a4＝5, ∴a6－a5＝6,a6＝21,a7－a6＝7,a7＝28. 法二 由图可知第n个三角形数为nn＋12, ∴a7＝7×82＝28. 【参考答案】 B 11.数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2),又a1＝5,则使得an＋λ3n为等差数列的实数λ＝( ) A.2 B.5 C.－12 D.12
【试题解析】 a1＝5,a2＝23,a3＝95,令bn＝an＋λ3n,则b1＝5＋λ3,b2＝23＋λ9,b3＝95＋λ27,
∵b1＋b3＝2b2, ∴λ＝－12. 【参考答案】 C 12.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大的负数为( ) A.S17 B.S18 C.S19 D.S20 【试题解析】 ∵a10<0,a11>0,且a11>|a10|, ∴a11＋a10>0.
S20＝20a1＋a202＝10·(a11＋a10)>0. S19＝19a1＋a192＝192·2a10<0. 【参考答案】 C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.在等差数列{an}和{bn}中,a1＝25,b1＝75,a100＋b100＝100,则数列{an＋bn}的前100项的和为________. 【试题解析】 由已知得{an＋bn}为等差数列,故其前100项的和为S100＝ 100[a1＋b1＋a100＋b100]2
＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【参考答案】 10 000 14.数列{an}满足a1＝1,an＝an－1＋n(n≥2),则a5＝________. 【导学号：05920082】 【试题解析】 由an＝an－1＋n(n≥2),得an－an－1＝n,则a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4
－a3＝4,a5－a4＝5,把各式相加,得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14,
∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15. 【参考答案】 15 15.首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是________. 【试题解析】 设a1＝－24,公差为d,∴a10＝－24＋9d>0且a9＝－24＋
8d≤0,∴83
【参考答案】
8
3，3
16.已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,若a5＝10,则S5＝________. 【试题解析】 设{an}的公差为d,则d≠0. 由lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列, 得2lg a2＝lg a1＋lg a4,∴a22＝a1a4, 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d),d2＝a1d. 又d≠0,故d＝a1,a5＝5a1＝10,d＝a1＝2,
S5＝5a1＋5×42×d＝30. 【参考答案】 30 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)在等差数列{an}中,a1＋a3＝8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和. 【解】 设该数列的公差为d,前n项和为Sn.由已知可得 2a1＋2d＝8,(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d), 所以a1＋d＝4,d(d－3a1)＝0, 解得a1＝4,d＝0或a1＝1,d＝3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.
所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝3n2－n2. 18.(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＋2a2
＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值; (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列. 【解】 (1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·Sn＋2n(n∈N*), ∴当n＝1时,a1＝2×1＝2; 当n＝2时,a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4,∴a2＝4; 当n＝3时,a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6,∴a3＝8. (2)证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*),① ∴当n≥2时,a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1),② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2, ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0,即Sn＝2Sn－1＋2. ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2).∵S1＋2＝4≠0.
∴Sn－1＋2≠0,∴Sn＋2Sn－1＋2＝2. 即{Sn＋2}是以4为首项,2为公比的等比数列. 19.(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10,a4－a3＝2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3,b3＝a7,问：b6与数列{an}的第几项相等？ 【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a4－a3＝2,所以d＝2. 又因为a1＋a2＝10,所以2a1＋d＝10,故a1＝4.