两类n阶非线性方程的两点边值问题

两类n阶非线性方程的两点边值问题
（1）假设有n阶非线性方程：
\begin{cases}
u_t=a(t)u_{xx}+b(t)u_{x}+c(t)u+f(t,u) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\
u(0,t)=u_0(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2a) \\ u(L,t)=u_L(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2b)
\end{cases}
其中$a(t)$, $b(t)$, $c(t)$和$f(t,u)$是常数或连续函数，$u_0(t)$和$u_L(t)$是两点的边界条件。

（2）解法：
（a）求解方法：两点边值问题可以使用牛顿迭代法或者有限差分法来求解。

（b）牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种迭代方法，它可以求解非线性方程的根。

将方程式（1）代入牛顿迭代法，得到：
$u^{(k+1)}=u^{(k)}-\frac{F(u^{(k)})}{F'(u^{(k)})}$
其中$F(u^{(k)})=a(t)u_{xx}+b(t)u_{x}+c(t)u+f(t,u)-u_0(t)+u_L(t)$，
$F'(u^{(k)})=a(t)u_{xx}+b(t)u_{x}+c(t)+f'(t,u)$，$u^{(k)}$表示迭代次数，
$k=0,1,2,\cdots$。

（c）有限差分法：有限差分法可以将方程（1）划分成若干等分子方程，将空间划分成两点的边界条件（2a）（2b）和内部节点，将时间划分成若干等分子方程。

将空间和时间划分后，就可以求解两点边值问题了。